Funciones hiperbolásticas

Funciones matemáticas

Gráfico que describe la función hiperbólica tipo I con valores de parámetros variables.

Gráfico que describe la función hiperbólica tipo I con valores de parámetros variables.

Gráfico que describe la función Hiperbolástica Tipo II con valores de parámetros variables.

Gráfico que describe la función Hiperbolástica Tipo II con valores de parámetros variables.

Gráfico que describe la función Hiperbolástica Tipo III con valores de parámetros variables.

Gráfico que describe la función de distribución acumulativa hiperbólica de tipo III con valores de parámetros variables.

Gráfico que describe la función de densidad de probabilidad hiperbólica de tipo III con valores de parámetros variables.

Las funciones hiperbolásticas , también conocidas como modelos de crecimiento hiperbolástico , son funciones matemáticas que se utilizan en la modelización estadística médica . Estos modelos se desarrollaron originalmente para capturar la dinámica de crecimiento de esferas tumorales multicelulares y fueron introducidos en 2005 por Mohammad Tabatabai, David Williams y Zoran Bursac. ^[1] La precisión de las funciones hiperbólicas en el modelado de problemas del mundo real se debe en cierta medida a su flexibilidad en su punto de inflexión. ^{[1] [2]} Estas funciones se pueden utilizar en una amplia variedad de problemas de modelado, como el crecimiento tumoral, la proliferación de células madre , la farmacocinética, el crecimiento del cáncer, la función de activación sigmoidea en redes neuronales y la progresión o regresión de enfermedades epidemiológicas. ^{[1] [3] [4]}

Las funciones hiperbólicas pueden modelar curvas de crecimiento y decaimiento hasta alcanzar la capacidad de carga . Debido a su flexibilidad, estos modelos tienen diversas aplicaciones en el campo médico, con la capacidad de capturar la progresión de la enfermedad con un tratamiento intermedio. Como indican las figuras, las funciones hiperbólicas pueden ajustarse a una curva sigmoidea que indica que la tasa más lenta ocurre en las etapas temprana y tardía. ^[5] Además de las formas sigmoideas que se presentan, también puede adaptarse a situaciones bifásicas en las que las intervenciones médicas ralentizan o revierten la progresión de la enfermedad; pero, cuando el efecto del tratamiento se desvanece, la enfermedad comenzará la segunda fase de su progresión hasta alcanzar su asíntota horizontal.

Una de las principales características que tienen estas funciones es que no sólo se ajustan a formas sigmoidales, sino que también pueden modelar patrones de crecimiento bifásicos que otras curvas sigmoidales clásicas no pueden modelar adecuadamente. Esta característica distintiva tiene aplicaciones ventajosas en diversos campos, incluidos la medicina, la biología, la economía, la ingeniería, la agronomía y la teoría de sistemas asistidos por computadora. ^{[6] [7] [8] [9] [10]}

Función H1

La ecuación de tasa hiperbólica de tipo I , denotada H1, viene dada por

$${\displaystyle {\frac {dP(x)}{dx}}={\frac {P(x)}{M}}\left(M-P\left(x\right)\right)\left(\delta +{\frac {\theta }{\sqrt {1+x^{2}}}}\right),}$$

donde es cualquier número real y es el tamaño de la población en . El parámetro representa la capacidad de carga y los parámetros y en conjunto representan la tasa de crecimiento. El parámetro da la distancia desde una curva sigmoidea simétrica. Resolver la ecuación de tasa hiperbólica de tipo I para da ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle P\left(x\right)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle P\left(x\right)}$

$${\displaystyle P(x)={\frac {M}{1+\alpha e^{-\delta x-\theta \operatorname {arsinh} (x)}}},}$$

¿Dónde está la función seno hiperbólica inversa ? Si se desea utilizar la condición inicial , entonces se puede expresar como ${\displaystyle \operatorname {arsinh} }$ ${\displaystyle P\left(x_{0}\right)=P_{0}}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \alpha ={\frac {M-P_{0}}{P_{0}}}e^{\delta x_{0}+\theta \operatorname {arsinh} (x_{0})}}$.

Si , entonces se reduce a ${\displaystyle x_{0}=0}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \alpha ={\frac {M-P_{0}}{P_{0}}}}$.

La función hiperbólica de tipo I generaliza la función logística . Si los parámetros , entonces se convertiría en una función logística. Esta función es una función hiperbólica de tipo I. La función hiperbólica estándar de tipo I es ${\displaystyle \theta =0}$ ${\displaystyle P(x)}$

${\displaystyle P(x)={\frac {1}{1+e^{-x-\theta \operatorname {arsinh} (x)}}}}$.

Función H2

La ecuación de tasa hiperbólica de tipo II , denotada por H2, se define como

${\displaystyle {\frac {dP(x)}{dx}}={\frac {\alpha \delta \gamma P^{2}(x)x^{\gamma -1}}{M}}\tanh \left({\frac {M-P(x)}{\alpha P(x)}}\right),}$

donde es la función tangente hiperbólica , es la capacidad de carga y ambas determinan conjuntamente la tasa de crecimiento . Además, el parámetro representa la aceleración en el transcurso del tiempo. Resolver la función de tasa hiperbólica de tipo II para da ${\displaystyle \tanh }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \gamma >0}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle P\left(x\right)}$

${\displaystyle P(x)={\frac {M}{1+\alpha \operatorname {arsinh} \left(e^{-\delta x^{\gamma }}\right)}}}$.

Si se desea utilizar la condición inicial , entonces se puede expresar como ${\displaystyle P(x_{0})=P_{0},}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \alpha ={\frac {M-P_{0}}{P_{0}\operatorname {arsinh} \left(e^{-\delta x_{0}^{\gamma }}\right)}}}$.

Si , entonces se reduce a ${\displaystyle x_{0}=0}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \alpha ={\frac {M-P_{0}}{P_{0}\operatorname {arsinh} (1)}}}$.

La función hiperbólica estándar de tipo II se define como

${\displaystyle P(x)={\frac {1}{1+\operatorname {arsinh} \left(e^{-x}\right)}}}$.

Función H3

La ecuación de tasa hiperbólica de tipo III se denota por H3 y tiene la forma

${\displaystyle {\frac {dP(t)}{dt}}=\left(M-P\left(t\right)\right)\left(\delta \gamma t^{\gamma -1}+{\frac {\theta }{\sqrt {1+\theta ^{2}t^{2}}}}\right)}$,

donde > 0. El parámetro representa la capacidad de carga y los parámetros determinan conjuntamente la tasa de crecimiento. El parámetro representa la aceleración de la escala de tiempo, mientras que el tamaño de representa la distancia desde una curva sigmoidea simétrica. La solución de la ecuación diferencial de tipo III es ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \delta ,}$ ${\displaystyle \gamma ,}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \gamma ,}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle P(t)=M-\alpha e^{-\delta t^{\gamma }-\operatorname {arsinh} (\theta t)}}$,

con la condición inicial podemos expresar como ${\displaystyle P\left(t_{0}\right)=P_{0}}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \alpha =\left(M-P_{0}\right)e^{\delta t_{0}^{\gamma }+\operatorname {arsinh} (\theta t_{0})}}$.

La distribución hiperbólica de tipo III es una familia de tres parámetros de distribuciones de probabilidad continuas con parámetros de escala > 0 y ≥ 0 y parámetro como parámetro de forma . Cuando el parámetro = 0, la distribución hiperbólica de tipo III se reduce a la distribución de Weibull . ^[11] La función de distribución acumulativa hiperbólica de tipo III viene dada por ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle F(x;\delta ,\gamma ,\theta )={\begin{cases}1-e^{-\delta x^{\gamma }-\operatorname {arsinh} (\theta x)}&x\geq 0,\\0&x<0\end{cases}}}$,

y su correspondiente función de densidad de probabilidad es

${\displaystyle f(x;\delta ,\gamma ,\theta )={\begin{cases}e^{-\delta x^{\gamma }-\operatorname {arsinh} (\theta x)}\left(\delta \gamma x^{\gamma -1}+{\frac {\theta }{\sqrt {1+\theta ^{2}x^{2}}}}\right)&x\geq 0,\\0&x<0\end{cases}}}$.

La función de riesgo (o tasa de falla) está dada por ${\displaystyle h}$

${\displaystyle h\left(x;\delta ,\gamma ,\theta \right)=\delta \gamma x^{\gamma -1}+{\frac {\theta }{\sqrt {1+x^{2}\theta ^{2}}}}.}$

La función de supervivencia está dada por ${\displaystyle S}$

${\displaystyle S(x;\delta ,\gamma ,\theta )=e^{-\delta x^{\gamma }-\operatorname {arsinh} (\theta x)}.}$

La función de distribución acumulativa hiperbólica estándar de tipo III se define como

${\displaystyle F\left(x\right)=1-e^{-x-\operatorname {arsinh} (x)}}$,

y su correspondiente función de densidad de probabilidad es

${\displaystyle f(x)=e^{-x-\operatorname {arsinh} (x)}\left(1+{\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)}$.

Propiedades

Si se desea calcular el punto donde la población alcanza un porcentaje de su capacidad de carga , entonces se puede resolver la ecuación ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle P(x)=kM}$

para donde . Por ejemplo, el medio punto se puede encontrar estableciendo . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0<k<1}$ ${\displaystyle k={\frac {1}{2}}}$

Aplicaciones

Gráfico hiperbolástico 3D de la biomasa de fitoplancton en función de la concentración de nutrientes y el tiempo

Según investigadores de células madre del Instituto McGowan de Medicina Regenerativa de la Universidad de Pittsburgh, "un modelo más nuevo [llamado hiperbolástico tipo III o] H3 es una ecuación diferencial que también describe el crecimiento celular. Este modelo permite mucha más variación y tiene "Se ha demostrado que predice mejor el crecimiento". ^[12]

Los modelos de crecimiento hiperbólico H1, H2 y H3 se han aplicado para analizar el crecimiento del carcinoma de Ehrlich sólido mediante diversos tratamientos. ^[13]

En ciencia animal, ^[14] las funciones hiperbólicas se han utilizado para modelar el crecimiento de pollos de engorde. ^{[15] [16]} Se utilizó el modelo hiperbólico de tipo III para determinar el tamaño de la herida en recuperación. ^[17]

En el ámbito de la curación de heridas, los modelos hiperbólicos representan con precisión el curso temporal de la curación. Estas funciones se han utilizado para investigar variaciones en la velocidad de curación entre diferentes tipos de heridas y en diferentes etapas del proceso de curación teniendo en cuenta las áreas de oligoelementos, factores de crecimiento, heridas diabéticas y nutrición. ^{[18] [19]}

Otra aplicación de las funciones hiperbólicas es en el área del proceso de difusión estocástica , ^[20] cuya función media es una curva hiperbólica. Se estudian las principales características del proceso y se considera la estimación de máxima verosimilitud de los parámetros del proceso. ^[21] Con este fin, se aplica el algoritmo de optimización metaheurística de luciérnaga después de delimitar el espacio paramétrico mediante un procedimiento por etapas. Algunos ejemplos basados ​​en rutas de muestra simuladas y datos reales ilustran este desarrollo. Una trayectoria de muestra de un proceso de difusión modela la trayectoria de una partícula incrustada en un fluido que fluye y sometida a desplazamientos aleatorios debido a colisiones con otras partículas, lo que se denomina movimiento browniano . ^{[22] [23] [24] [25] [26]} La función hiperbólica de tipo III se utilizó para modelar la proliferación de células madre embrionarias y mesenquimales adultas ; ^{[27] [28] [29] [30]} y el modelo mixto hiperbólico de tipo II se ha utilizado para modelar datos de cáncer de cuello uterino . ^[31] Las curvas hiperbólicas pueden ser una herramienta importante para analizar el crecimiento celular, el ajuste de curvas biológicas, el crecimiento del fitoplancton y la tasa de madurez instantánea. ^{[32] [33] [34] [35]}

En ecología y gestión forestal , los modelos hiperbolásticos se han aplicado para modelar la relación entre el DAP y la altura. ^[36]

El modelo hiperbólico multivariable tipo III se ha utilizado para analizar la dinámica de crecimiento del fitoplancton teniendo en cuenta la concentración de nutrientes. ^[37]

Regresiones hiperbolásticas

Función de distribución acumulativa de hiperbolástico tipo I, logístico e hiperbolástico tipo II

PDF de H1, Logística y H2

Las regresiones hiperbólicas son modelos estadísticos que utilizan funciones hiperbólicas estándar para modelar una variable de resultado dicotómica o multinomial . El propósito de la regresión hiperbólica es predecir un resultado utilizando un conjunto de variables explicativas (independientes). Estos tipos de regresiones se utilizan habitualmente en muchas áreas, incluidas las ciencias médicas, de salud pública, dentales, biomédicas, así como sociales, del comportamiento y de ingeniería. Por ejemplo, el análisis de regresión binaria se ha utilizado para predecir lesiones endoscópicas en la anemia por deficiencia de hierro . ^[38] Además, se aplicó la regresión binaria para diferenciar entre masa anexial maligna y benigna antes de la cirugía. ^[39]

La regresión hiperbólica binaria de tipo I.

Sea una variable de resultado binaria que puede asumir uno de dos valores mutuamente excluyentes, éxito o fracaso. Si codificamos el éxito como y el fracaso como , entonces, para el parámetro , la probabilidad de éxito hiperbólica de tipo I con una muestra de tamaño en función del parámetro y del vector de parámetros dado un vector dimensional de variables explicativas se define como , donde está dado por ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y=1}$ ${\displaystyle Y=0}$ ${\displaystyle \theta \geq -1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}=(\beta _{0},\beta _{1},\ldots ,\beta _{p})}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{i}=(x_{i1},\ x_{i2},\ldots ,\ x_{ip})^{T}}$ ${\displaystyle i=1,2,\ldots ,n}$

${\displaystyle \pi (\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})=P(y_{i}=1|\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})={\frac {1}{1+e^{-(\beta _{0}+\sum _{s=1}^{p}{\beta _{s}x_{is}})-\theta \operatorname {arsinh} (\beta _{0}+\sum _{s=1}^{p}{\beta _{s}x_{is}})}}}}$.

Las probabilidades de éxito son la relación entre la probabilidad de éxito y la probabilidad de fracaso. Para la regresión hiperbólica binaria de tipo I, las probabilidades de éxito se denotan y expresan mediante la ecuación ${\displaystyle Odds_{H1}}$

${\displaystyle Odds_{H1}=e^{\beta _{0}+\sum _{s=1}^{p}{\beta _{s}x_{is}}+\theta \operatorname {arsinh} (\beta _{0}+\sum _{s=1}^{p}{\beta _{s}x_{is}})}}$.

El logaritmo de se llama logit de regresión hiperbólica binaria de tipo I. La transformación logit se denota por y se puede escribir como ${\displaystyle Odds_{H1}}$ ${\displaystyle L_{H1}}$

${\displaystyle L_{H1}=\beta _{0}+\sum _{s=1}^{p}{\beta _{s}x_{is}}+\theta \operatorname {arsinh} [\beta _{0}+\sum _{s=1}^{p}{\beta _{s}x_{is}}]}$.

Información de Shannon para hiperbolástico binario de tipo I (H1)

La información de Shannon para la variable aleatoria se define como ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle I(y)=-{log}_{b}P(y)}$

donde la base del logaritmo y . Para un resultado binario, es igual a . ${\displaystyle b>0}$ ${\displaystyle b\neq 1}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle 2}$

Para la regresión hiperbólica binaria de tipo I, la información viene dada por ${\displaystyle I(y)}$

${\displaystyle I(y)={\begin{cases}-log_{b}{\frac {1}{1+e^{-Z-\theta \operatorname {arsinh} (Z)}}}&y=1,\\-log_{b}{\frac {e^{-Z-\theta \operatorname {arsinh} (Z)}}{1+e^{-Z-\theta \operatorname {arsinh} (Z)}}}&y=0\end{cases}}}$,

donde y son los datos de entrada. Para una muestra aleatoria de resultados binarios de tamaño , la información empírica promedio para H1 hiperbólico se puede estimar mediante ${\displaystyle Z=\beta _{0}+\sum _{s=1}^{p}\beta _{s}x_{s}}$ ${\displaystyle x_{s}}$ ${\displaystyle s^{th}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\overline {I(y)}}={\begin{cases}-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{log_{b}{\frac {1}{1+e^{-Z_{i}-\theta \operatorname {arsinh} (Z_{i})}}}}&y=1,\\-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{log_{b}{\frac {e^{-Z_{i}-\theta \operatorname {arsinh} (Z_{i})}}{1+e^{-Z_{i}-\theta \operatorname {arsinh} (Z_{i})}}}}&y=0\end{cases}}}$,

donde y son los datos de entrada para la observación. ${\displaystyle Z_{i}=\beta _{0}+\sum _{s=1}^{p}\beta _{s}x_{is}}$ ${\displaystyle x_{is}}$ ${\displaystyle s^{th}}$ ${\displaystyle i^{th}}$

Entropía de información para H1 hiperbólico

La entropía de la información mide la pérdida de información en un mensaje o señal transmitido. En aplicaciones de aprendizaje automático, es la cantidad de bits necesarios para transmitir un evento seleccionado aleatoriamente a partir de una distribución de probabilidad. Para una variable aleatoria discreta , la entropía de la información se define como ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle H=-\sum _{y\in Y}{P(y)\ {log}_{b}P(y)}}$

¿Dónde está la función de masa de probabilidad de la variable aleatoria ? ${\displaystyle P(y)}$ ${\displaystyle Y}$

La entropía de la información es la expectativa matemática con respecto a la función de masa de probabilidad . La entropía de la información tiene muchas aplicaciones en el aprendizaje automático y la inteligencia artificial, como el modelado de clasificación y los árboles de decisión. Para el hiperbólico H1, la entropía es igual a ${\displaystyle I(y)}$ ${\displaystyle P(y)}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H&=-\sum _{y\in \{0,1\}}{P(Y=y;\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\beta }})log_{b}(P(Y=y;\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\beta }}))}\\&=-[\pi (\mathbf {x} ;{\boldsymbol {\beta }})\ log_{b}(\pi (\mathbf {x} ;{\boldsymbol {\beta }})+(1-\pi (\mathbf {x} ;{\boldsymbol {\beta }}))log_{b}(1-\pi (\mathbf {x} ;{\boldsymbol {\beta }}))]\\&={log}_{b}(1+e^{-Z-\theta \operatorname {arsinh} (Z)})-{\frac {e^{-Z-\theta \operatorname {arsinh} (Z)}{log}_{b}(e^{-Z-\theta \operatorname {arsinh} (Z)})}{1+e^{-Z-\theta \operatorname {arsinh} (Z)}}}\end{aligned}}}$

La entropía promedio estimada para H1 hiperbólico se denota por y viene dada por ${\displaystyle {\bar {H}}}$

${\displaystyle {\bar {H}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{[log_{b}(1+e^{{-Z}_{i}-\theta \operatorname {arsinh} (Z_{i})})-}{\frac {e^{{-Z}_{i}-\theta \operatorname {arsinh} (Z_{i})}\ {log}_{b}(e^{{-Z}_{i}-\theta \operatorname {arsinh} ((Z_{i})})}{1+e^{{-Z}_{i}-\theta \operatorname {arsinh} (Z_{i})}}}]}$

Entropía cruzada binaria para H1 hiperbólico

La entropía cruzada binaria compara las probabilidades observadas con las predichas. La entropía cruzada binaria promedio para H1 hiperbólico se denota por y es igual a ${\displaystyle y\in \{0,1\}}$ ${\displaystyle {\overline {C}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {C}}&=-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{{[y}_{i}log_{b}(\pi (x_{i};{\boldsymbol {\beta }}))+}{(1-y}_{i})log_{b}(1-\pi (x_{i};{\boldsymbol {\beta }}))]\\&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{[log_{b}(1+e^{{-Z}_{i}-\theta \operatorname {arsinh} (Z_{i})})-}{(1-y}_{i})log_{b}(e^{{-Z}_{i}-\theta \operatorname {arsinh} (Z_{i})})]\end{aligned}}}$

La regresión hiperbólica binaria de tipo II.

La regresión hiperbólica de tipo II es un método alternativo para el análisis de datos binarios con propiedades robustas. Para la variable de resultado binaria , la probabilidad de éxito hiperbólica de tipo II es una función de un vector dimensional de variables explicativas dado por ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{i}}$

${\displaystyle \pi (\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})=P(y_{i}=1|\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})={\frac {1}{1+\operatorname {arsinh} [e^{-(\beta _{0}+\sum _{s=1}^{p}{\beta _{s}x_{is}})}]}}}$,

Para la regresión hiperbólica binaria de tipo II, las probabilidades de éxito se denotan por y se definen como ${\displaystyle Odds_{H2}}$

${\displaystyle Odds_{H2}={\frac {1}{\operatorname {arsinh} [e^{-(\beta _{0}+\sum _{s=1}^{p}{\beta _{s}x_{is}})}]}}.}$

La transformación logit está dada por ${\displaystyle L_{H2}}$

${\displaystyle L_{H2}=-\log {(\operatorname {arsinh} [e^{-(\beta _{0}+\sum _{s=1}^{p}{\beta _{s}x_{is}})}])}}$

Información de Shannon para hiperbolástico binario de tipo II (H2)

Para la regresión hiperbólica binaria H2, la información de Shannon viene dada por ${\displaystyle I(y)}$

${\displaystyle I(y)={\begin{cases}-log_{b}{\frac {1}{1+arsinh(e^{-Z})}}&y=1\\-log_{b}{\frac {arsinh(e^{-Z})}{1+arsinh(e^{-Z})}}&y=0\end{cases}}}$

donde y son los datos de entrada. Para una muestra aleatoria de resultados binarios de tamaño , la información empírica promedio para el H2 hiperbólico se estima mediante ${\displaystyle Z=\beta _{0}+\sum _{s=1}^{p}\beta _{s}x_{s}}$ ${\displaystyle x_{s}}$ ${\displaystyle s^{th}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\overline {I(y)}}={\begin{cases}-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}log_{b}{\frac {1}{1+arsinh(e^{-Z_{i}})}}&y=1\\-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}log_{b}{\frac {arsinh(e^{-Z_{i}})}{1+arsinh(e^{-Z_{i}})}}&y=0\end{cases}}}$

donde y son los datos de entrada para la observación. ${\displaystyle Z_{i}=\beta _{0}+\sum _{s=1}^{p}\beta _{s}x_{is}}$ ${\displaystyle x_{is}}$ ${\displaystyle s^{th}}$ ${\displaystyle i^{th}}$

Entropía de información para H2 hiperbólico

Para el H2 hiperbólico, la entropía de la información es igual a ${\displaystyle H}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H&=-\sum _{y\in \{0,1\}}{P(Y=y;\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\beta }})log_{b}(P(Y=y;\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\beta }}))}\\&=-[\pi (\mathbf {x} ;{\boldsymbol {\beta }})\ log_{b}(\pi (\mathbf {x} ;{\boldsymbol {\beta }}))+(1-\pi (\mathbf {x} ;{\boldsymbol {\beta }}))log_{b}(1-\pi (\mathbf {x} ;{\boldsymbol {\beta }}))]\\&=log_{b}(1+arsinh(e^{-Z}))-{\frac {arsinh(e^{-Z})log_{b}(arsinh(e^{-Z}))}{1+arsinh(e^{-Z})}}\end{aligned}}}$

y la entropía promedio estimada para el H2 hiperbólico es ${\displaystyle {\bar {H}}}$

${\displaystyle {\bar {H}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{[log_{b}(1+{arsinh(e}^{{-Z}_{i}}))-}{\frac {{arsinh(e}^{{-Z}_{i}})\ {log}_{b}{(arsinh(e}^{{-Z}_{i}}))}{1+{arsinh(e}^{{-Z}_{i}})}}]}$

Entropía cruzada binaria para H2 hiperbólico

La entropía cruzada binaria promedio para el H2 hiperbólico es ${\displaystyle {\overline {C}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {C}}&=-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{{[y}_{i}log_{b}(\pi (x_{i};\beta ))+}{(1-y}_{i})log_{b}(1-\pi (x_{i};\beta ))]\\&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{[log_{b}(1+{arsinh(e}^{{-Z}_{i}}))-}{(1-y}_{i})log_{b}({arsinh(e}^{{-Z}_{i}}))]\end{aligned}}}$

Estimación de parámetros para la regresión hiperbólica binaria de tipo I y II.

La estimación del vector de parámetros se puede obtener maximizando la función de probabilidad logarítmica ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$

${\displaystyle {\hat {\beta }}={\underset {\boldsymbol {\beta }}{\operatorname {argmax} }}{\sum _{i=1}^{n}[y_{i}ln(\pi (\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }}))+(1-y_{i})ln(1-\pi (\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }}))]}}$

donde se define según uno de los dos tipos de funciones hiperbólicas utilizadas. ${\displaystyle \pi (\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})}$

La regresión hiperbólica multinomial de tipo I y II.

La generalización de la regresión hiperbólica binaria a la regresión hiperbólica multinomial tiene una variable de respuesta para individuos con categorías (es decir ). Cuando , este modelo se reduce a una regresión hiperbólica binaria. Para cada uno , formamos variables indicadoras donde ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle y_{i}\in \{1,2,\ldots ,k\}}$ ${\displaystyle k=2}$ ${\displaystyle i=1,2,\ldots ,n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle y_{ij}}$

${\displaystyle y_{ij}={\begin{cases}1&{\text{if }}y_{i}=j,\\0&{\text{if }}y_{i}\neq j\end{cases}}}$,

es decir, siempre que la respuesta sea en categoría y de otra manera. ${\displaystyle y_{ij}=1}$ ${\displaystyle i^{th}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle 0}$

Definir vector de parámetros en un espacio euclidiano de dimensión y . ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}_{j}=(\beta _{j0},\beta _{j1},\ldots ,\beta _{jp})}$ ${\displaystyle p+1}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}=({\boldsymbol {\beta }}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {\beta }}_{k-1})^{T}}$

Utilizando la categoría 1 como referencia y como su correspondiente función de probabilidad, la regresión hiperbólica multinomial de probabilidades tipo I se define como ${\displaystyle \pi _{1}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})}$

${\displaystyle \pi _{1}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})=P(y_{i}=1|\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})={\frac {1}{1+\sum _{s=2}^{k}e^{-\eta _{s}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})-\theta \operatorname {arsinh} [\eta _{s}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})]}}}}$

y para , ${\displaystyle j=2,\ldots ,k}$

${\displaystyle \pi _{j}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})=P(y_{i}=j|\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})={\frac {e^{-\eta _{j}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})-\theta \operatorname {arsinh} [\eta _{j}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})]}}{1+\sum _{s=2}^{k}e^{-\eta _{s}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})-\theta \operatorname {arsinh} [\eta _{s}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})]}}}}$

De manera similar, para la regresión hiperbólica multinomial de tipo II tenemos

${\displaystyle \pi _{1}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})=P(y_{i}=1|\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})={\frac {1}{1+\sum _{s=2}^{k}arsinh[e^{-\eta _{s}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})}]}}}$

y para , ${\displaystyle j=2,\ldots ,k}$

${\displaystyle \pi _{j}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})=P(y_{i}=j|\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})={\frac {arsinh[e^{-\eta _{j}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})}]}{1+\sum _{s=2}^{k}arsinh[e^{-\eta _{s}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})}]}}}$

donde con y . ${\displaystyle \eta _{s}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})=\beta _{s0}+\sum _{l=1}^{p}\beta _{sl}x_{il}}$ ${\displaystyle s=2,\dots ,k}$ ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$

La elección depende de la elección del hiperbolástico H1 o H2. ${\displaystyle \pi _{i}(\mathbf {x_{i}} ;{\boldsymbol {\beta }})}$

Información de Shannon para hiperbolástico multiclase H1 o H2

Para la multiclase , la información de Shannon es ${\displaystyle (j=1,2,\dots ,k)}$ ${\displaystyle I_{j}}$

${\displaystyle I_{j}=-log_{b}(\pi _{j}(\mathbf {x} ;{\boldsymbol {\beta }}))}$.

Para una muestra aleatoria de tamaño , la información empírica multiclase se puede estimar mediante ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\overline {I_{j}}}=-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{log_{b}(\pi _{j}(\mathbf {x_{i}} ;{\boldsymbol {\beta }}))}}$.

Entropía multiclase en teoría de la información

Para una variable aleatoria discreta , la entropía de información multiclase se define como ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle H=-\sum _{y\in Y}{P(y)\ {log}_{b}P(y)}}$

¿Dónde está la función de masa de probabilidad para la variable aleatoria multiclase ? ${\displaystyle P(y)}$ ${\displaystyle Y}$

Para el hiperbólico H1 o H2, la entropía multiclase es igual a ${\displaystyle H}$

${\displaystyle H=-\sum _{j=1}^{k}{[\pi _{j}(\mathbf {x} ;{\boldsymbol {\beta }})log_{b}(\pi _{j}(\mathbf {x} ;{\boldsymbol {\beta }}))]}}$

La entropía multiclase promedio estimada es igual a ${\displaystyle {\overline {H}}}$

${\displaystyle {\overline {H}}=-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\sum _{j=1}^{k}{[\pi _{j}(\mathbf {x_{i}} ;{\boldsymbol {\beta }})log_{b}(\pi _{j}(\mathbf {x_{i}} ;{\boldsymbol {\beta }}))]}}}$

Entropía cruzada multiclase para H1 o H2 hiperbólicos

La entropía cruzada multiclase compara la salida multiclase observada con las probabilidades predichas. Para una muestra aleatoria de resultados multiclase de tamaño , la entropía cruzada multiclase promedio para H1 o H2 hiperbólicos se puede estimar mediante ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\overline {C}}}$

${\displaystyle {\overline {C}}=-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\sum _{j=1}^{k}{[y_{ij}log_{b}(\pi _{j}(\mathbf {x_{i}} ;{\boldsymbol {\beta }}))]}}}$

Las probabilidades logarítmicas de membresía en la categoría versus la categoría de referencia 1, denotada por , es igual a ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle o_{j}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})}$

${\displaystyle o_{j}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})=ln[{\frac {\pi _{j}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})}{\pi _{1}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})}}]}$

dónde y . La matriz de parámetros estimada de la regresión hiperbólica multinomial se obtiene maximizando la función de probabilidad logarítmica. Las estimaciones de máxima verosimilitud de la matriz de parámetros son ${\displaystyle j=2,\ldots ,k}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\beta }}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\beta }}}={\underset {\boldsymbol {\beta }}{\operatorname {argmax} }}{\sum _{i=1}^{n}(y_{i1}ln[\pi _{1}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})]+y_{i2}ln[\pi _{2}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})]+\ldots +y_{ik}ln[\pi _{k}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})])}}$

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