El Palimpsesto de Arquímedes es un códice palimpsesto de pergamino , originalmente una copia griega bizantina de una compilación de Arquímedes y otros autores. Contiene dos obras de Arquímedes que se creían perdidas (el Ostomachion y el Método de teoremas mecánicos ) y la única edición griega original sobreviviente de su obra Sobre los cuerpos flotantes . [1] Se cree que la primera versión de la compilación fue producida por Isidoro de Mileto , el arquitecto de la geométricamente compleja catedral de Santa Sofía en Constantinopla , en algún momento alrededor del año 530 d. C. [2] La copia encontrada en el palimpsesto fue creada a partir de este original, también en Constantinopla, durante el Renacimiento macedonio (c. 950 d. C.), una época en la que las matemáticas en la capital estaban siendo revividas por el ex obispo ortodoxo griego de Tesalónica León el Geómetra , un primo del Patriarca . [3]
Tras el saqueo de Constantinopla por los cruzados occidentales en 1204, el manuscrito fue llevado a un monasterio griego aislado en Palestina , posiblemente para protegerlo de los cruzados ocupantes, que a menudo equiparaban la escritura griega con la herejía contra su iglesia latina y quemaban o saqueaban muchos de esos textos (incluidas dos copias adicionales de los escritos de Arquímedes , al menos). [4] [5] El complejo manuscrito no fue apreciado en este remoto monasterio y pronto fue sobrescrito (1229) con un texto religioso. [6] En 1899, novecientos años después de su escritura, el manuscrito todavía estaba en posesión de la iglesia griega, y de regreso en Estambul, donde fue catalogado por el erudito griego Papadopoulos-Kerameus , atrayendo la atención de Johan Heiberg . Heiberg visitó la biblioteca de la iglesia y se le permitió tomar fotografías detalladas en 1906. La mayor parte del texto original aún era visible, y Heiberg lo publicó en 1915. [7] En 1922, el manuscrito desapareció en medio de la evacuación de la biblioteca ortodoxa griega en Estambul, durante un período tumultuoso posterior a la Primera Guerra Mundial . [8] Un hombre de negocios occidental ocultó el libro durante más de 70 años, y en algún momento se pintaron imágenes falsificadas sobre parte del texto para aumentar el valor de reventa. [8] Incapaz de vender el libro en forma privada, en 1998 la hija del hombre de negocios se arriesgó a una subasta pública en Nueva York impugnada por la iglesia griega; el tribunal estadounidense falló a favor de la subasta, y el manuscrito fue comprado por un comprador anónimo (se rumorea que era Jeff Bezos ). [9] Los textos debajo de las imágenes falsificadas, así como los textos previamente ilegibles, fueron revelados al analizar imágenes producidas por luz ultravioleta , infrarroja , visible y rastrillada , y rayos X.
Todas las imágenes y transcripciones están ahora disponibles gratuitamente en la web en Archimedes Digital Palimpsest bajo la Licencia Creative Commons CC BY . [10] [11] [12]
Arquímedes vivió en el siglo III a. C. y escribió sus pruebas en forma de cartas en griego dórico dirigidas a sus contemporáneos, incluidos los eruditos de la Gran Biblioteca de Alejandría . Estas cartas fueron compiladas por primera vez en un texto completo por Isidoro de Mileto , el arquitecto de la iglesia patriarcal de Santa Sofía , en algún momento alrededor del año 530 d. C. en la entonces capital griega bizantina de Constantinopla. [2]
Una copia de la edición de Isidoro de Arquímedes fue realizada alrededor del año 950 d. C. por un escriba anónimo, también en el Imperio bizantino, en un período durante el cual el estudio de Arquímedes floreció en Constantinopla en una escuela fundada por el matemático, ingeniero y ex arzobispo ortodoxo griego de Tesalónica, León el Geómetra , primo del patriarca . [7]
Este manuscrito bizantino medieval viajó luego de Constantinopla a Jerusalén , probablemente en algún momento después del saqueo de la Constantinopla bizantina por parte de las Cruzadas en 1204. [7] Allí, en 1229, el códice de Arquímedes fue desencuadernado, raspado y lavado, junto con al menos otros seis manuscritos parciales en pergamino, incluido uno con obras de Hipereides . Sus hojas se doblaron por la mitad, se volvieron a encuadernar y se reutilizaron para un texto litúrgico cristiano de 177 hojas numeradas posteriormente, de las cuales 174 existen (cada hoja doblada más antigua se convirtió en dos hojas del libro litúrgico). El palimpsesto permaneció cerca de Jerusalén durante al menos el siglo XVI en el aislado monasterio ortodoxo griego de Mar Saba . En algún momento antes de 1840, el palimpsesto fue devuelto por el Patriarcado Ortodoxo Griego de Jerusalén a su biblioteca (el Metochion del Santo Sepulcro) en Constantinopla.
El erudito bíblico Constantin von Tischendorf visitó Constantinopla en la década de 1840 y, intrigado por las matemáticas griegas visibles en el palimpsesto que encontró en una biblioteca ortodoxa griega , quitó una hoja de él (que ahora está en la Biblioteca de la Universidad de Cambridge). En 1899, el erudito griego Papadopoulos-Kerameus produjo un catálogo de los manuscritos de la biblioteca e incluyó una transcripción de varias líneas del texto subyacente parcialmente visible. [7] Al ver estas líneas, Johan Heiberg , la autoridad mundial en Arquímedes, se dio cuenta de que la obra era de Arquímedes. Cuando Heiberg estudió el palimpsesto en Constantinopla en 1906, confirmó que el palimpsesto incluía obras de Arquímedes que se creían perdidas. La Iglesia Ortodoxa Griega le permitió a Heiberg tomar fotografías cuidadosas de las páginas del palimpsesto y, a partir de ellas, produjo transcripciones, publicadas entre 1910 y 1915 en las obras completas de Arquímedes. Poco después, el texto griego de Arquímedes fue traducido al inglés por TL Heath . Antes de eso, no era muy conocido entre matemáticos, físicos o historiadores.
El manuscrito todavía estaba en la biblioteca del Patriarcado Ortodoxo Griego de Jerusalén (el Metochion del Santo Sepulcro) en Constantinopla en 1920. [8] Poco después, durante un período turbulento para la comunidad griega en Turquía que vio una victoria turca en la Guerra greco-turca (1919-22) junto con el genocidio griego y el intercambio forzado de población entre Grecia y Turquía , el palimpsesto desapareció de la biblioteca de la iglesia griega en Estambul.
En algún momento entre 1923 y 1930, el palimpsesto fue adquirido por Marie Louis Sirieix, un "hombre de negocios y viajero a Oriente que vivía en París". [8] Aunque Sirieix afirmó haber comprado el manuscrito a un monje, que en cualquier caso no habría tenido la autoridad para venderlo, Sirieix no tenía recibo ni documentación de la venta del valioso manuscrito. Guardado en secreto durante años por Sirieix en su sótano, el palimpsesto sufrió daños por el agua y el moho. Además, después de su desaparición de la biblioteca del Patriarcado Ortodoxo Griego, un falsificador añadió copias de retratos evangélicos medievales en pan de oro en cuatro páginas del libro para aumentar su valor de venta, dañando aún más el texto. [13] Estos retratos falsificados en pan de oro casi borraron el texto que había debajo de ellos, y más tarde se necesitarían imágenes de fluorescencia de rayos X en el Centro de Aceleradores Lineales de Stanford para revelarlo. [14]
Sirieix murió en 1956, y en 1970 su hija comenzó a intentar vender discretamente el valioso manuscrito. Incapaz de venderlo en privado, en 1998 finalmente recurrió a Christie's para venderlo en una subasta pública, arriesgándose a una disputa de propiedad. [8] La propiedad del palimpsesto fue inmediatamente impugnada en un tribunal federal de Nueva York en el caso del Patriarcado Ortodoxo Griego de Jerusalén contra Christie's , Inc. La iglesia griega sostuvo que el palimpsesto había sido robado de su biblioteca en Constantinopla en la década de 1920 durante un período de persecución extrema. La juez Kimba Wood falló a favor de la casa de subastas Christie's por negligencia , y el palimpsesto fue comprado por $2 millones por un comprador estadounidense anónimo. El abogado que representó al comprador anónimo declaró que el comprador era "un estadounidense privado" que trabajaba en "la industria de alta tecnología", pero no era Bill Gates . [9]
En el Museo de Arte Walters de Baltimore , el palimpsesto fue objeto de un extenso estudio de imágenes desde 1999 hasta 2008 y de una conservación (ya que había sufrido mucho por el moho mientras estuvo en el sótano de Sirieix). Esta tarea estuvo dirigida por el Dr. Will Noel, curador de manuscritos del Museo de Arte Walters, y gestionada por Michael B. Toth de RB Toth Associates, mientras que la Dra. Abigail Quandt se encargó de la conservación del manuscrito.
Los destinatarios de la digitalización son académicos griegos, historiadores de las matemáticas, personas que crean aplicaciones, bibliotecas, archivos y científicos interesados en la producción de imágenes. [15]
Un equipo de científicos especializados en imágenes, entre ellos el Dr. Roger L. Easton, Jr. del Instituto de Tecnología de Rochester , el Dr. William A. Christens-Barry de Equipoise Imaging y el Dr. Keith Knox (en aquel entonces de Boeing LTS, ahora retirado del Laboratorio de Investigación de la USAF), utilizó el procesamiento informático de imágenes digitales de varias bandas espectrales, incluidas las longitudes de onda ultravioleta, visible e infrarroja, para revelar la mayor parte del texto subyacente, incluido el de Arquímedes. Después de obtener imágenes y procesar digitalmente todo el palimpsesto en tres bandas espectrales antes de 2006, en 2007 volvieron a obtener imágenes de todo el palimpsesto en 12 bandas espectrales, más luz rasante : UV: 365 nanómetros; luz visible: 445, 470, 505, 530, 570, 617 y 625 nm; infrarrojos: 700, 735 y 870 nm; y luz rasante: 910 y 470 nm. El equipo procesó digitalmente estas imágenes para revelar más del texto subyacente con pseudocolor. También digitalizaron las imágenes originales de Heiberg. El Dr. Reviel Netz de la Universidad de Stanford y Nigel Wilson han producido una transcripción diplomática del texto, llenando los vacíos en el relato de Heiberg con estas imágenes. [16]
En algún momento después de 1938, un falsificador colocó cuatro imágenes religiosas de estilo bizantino en el manuscrito en un esfuerzo por aumentar su valor de venta. Al parecer, estas imágenes habían hecho que el texto subyacente fuera ilegible para siempre. Sin embargo, en mayo de 2005, los doctores Uwe Bergmann y Bob Morton utilizaron rayos X altamente enfocados producidos en el Centro de Aceleradores Lineales de Stanford en Menlo Park, California, para comenzar a descifrar las partes del texto de 174 páginas que aún no se habían revelado. La producción de fluorescencia de rayos X fue descrita por Keith Hodgson , director de SSRL:
La luz de sincrotrón se crea cuando los electrones que viajan a una velocidad cercana a la de la luz siguen una trayectoria curva alrededor de un anillo de almacenamiento, emitiendo luz electromagnética en rayos X a través de longitudes de onda infrarrojas. El haz de luz resultante tiene características que lo hacen ideal para revelar la intrincada arquitectura y utilidad de muchos tipos de materia; en este caso, el trabajo hasta entonces oculto de uno de los padres fundadores de toda la ciencia. [17]
En abril de 2007 se anunció que se había encontrado un nuevo texto en el palimpsesto, un comentario sobre las Categorías de Aristóteles de unas 9.000 palabras. La mayor parte de este texto se recuperó a principios de 2009 aplicando el análisis de componentes principales a las tres bandas de color (rojo, verde y azul) de la luz fluorescente generada por la iluminación ultravioleta. El Dr. Will Noel dijo en una entrevista:
Empiezas a pensar que alcanzar un palimpsesto es oro y que alcanzar dos es absolutamente asombroso. Pero luego sucedió algo aún más extraordinario.
Esto se refería al descubrimiento previo de un texto de Hipereides , un político ateniense del siglo IV a. C., que también se encontró dentro del palimpsesto. [1] Es de su discurso Contra Diondas , y fue publicado en 2008 en la revista académica Zeitschrift für Papyrologie und Epigraphik , vol. 165, convirtiéndose en el primer texto nuevo del palimpsesto en ser publicado en una revista académica. [18]
Las transcripciones del libro se codificaron digitalmente siguiendo las pautas de la Text Encoding Initiative , y los metadatos de las imágenes y las transcripciones incluyeron información de identificación y catalogación basada en los elementos de metadatos de Dublin Core . Los metadatos y los datos fueron administrados por Doug Emery de Emery IT.
El 29 de octubre de 2008 (el décimo aniversario de la compra del palimpsesto en una subasta), todos los datos, incluidas las imágenes y las transcripciones, se alojaron en la página web del palimpsesto digital para su uso gratuito bajo una licencia Creative Commons , [19] y las imágenes procesadas del palimpsesto en el orden de las páginas originales se publicaron como un libro de Google. [20] En 2011, fue el tema de la exposición del Museo de Arte Walters "Perdido y encontrado: los secretos de Arquímedes". En 2015, en un experimento sobre la preservación de datos digitales, científicos suizos codificaron el texto del palimpsesto de Arquímedes en ADN. [21] Gracias a su desciframiento, algunos matemáticos sugieren que es posible que Arquímedes haya inventado la integración .
Fuente: [1]
El palimpsesto contiene la única copia conocida del Método de Teoremas Mecánicos .
En sus otras obras, Arquímedes demuestra a menudo la igualdad de dos áreas o volúmenes con el método de exhaución de Eudoxo , una contraparte griega antigua del método moderno de límites. Como los griegos eran conscientes de que algunos números eran irracionales, su noción de un número real era una cantidad Q aproximada por dos secuencias, una que proporciona un límite superior y la otra un límite inferior. Si uno encuentra dos secuencias U y L, y U es siempre mayor que Q, y L siempre menor que Q, y si las dos secuencias finalmente se acercan más que cualquier cantidad preespecificada, entonces Q se encuentra, o se agota , por U y L.
Arquímedes utilizó el método exhaustivo para demostrar sus teoremas. Esto implicaba aproximar la figura cuya área quería calcular en secciones de área conocida, que proporcionan límites superior e inferior para el área de la figura. Luego demostró que los dos límites se vuelven iguales cuando la subdivisión se vuelve arbitrariamente fina. Estas demostraciones, que todavía se consideran rigurosas y correctas, utilizaron la geometría con una brillantez poco común. Los escritores posteriores a menudo criticaron a Arquímedes por no explicar cómo llegó a sus resultados en primer lugar. Esta explicación se encuentra en El método . [ cita requerida ]
El método que describe Arquímedes se basa en sus investigaciones de física , en el centro de masas y en la ley de la palanca . Comparó el área o el volumen de una figura de la que conocía la masa total y el centro de masas con el área o el volumen de otra figura de la que no sabía nada. Consideró que las figuras planas estaban formadas por infinitas líneas, como en el método posterior de los indivisibles , y equilibró cada línea o porción de una figura con una porción correspondiente de la segunda figura en una palanca. El punto esencial es que las dos figuras están orientadas de forma diferente, de modo que las porciones correspondientes están a diferentes distancias del fulcro, y la condición de que las porciones se equilibren no es la misma que la condición de que las figuras sean iguales.
Una vez que demuestra que cada porción de una figura equilibra cada porción de la otra figura, concluye que las dos figuras se equilibran entre sí. Pero se conoce el centro de masa de una figura, y la masa total se puede colocar en este centro y aún así se equilibra. La segunda figura tiene una masa desconocida, pero la posición de su centro de masa podría restringirse a una cierta distancia del fulcro mediante un argumento geométrico, por simetría. La condición de que las dos figuras se equilibren ahora le permite calcular la masa total de la otra figura. Consideró este método como una heurística útil , pero siempre se aseguró de probar los resultados que encontró mediante el método exhaustivo, ya que el método no proporcionaba límites superiores e inferiores.
Utilizando este método, Arquímedes fue capaz de resolver varios problemas que ahora se tratan mediante el cálculo integral , al que Isaac Newton y Gottfried Leibniz le dieron su forma moderna en el siglo XVII . Entre esos problemas estaban el de calcular el centro de gravedad de un hemisferio sólido , el centro de gravedad de un tronco de un paraboloide circular y el área de una región limitada por una parábola y una de sus líneas secantes . (Para detalles explícitos, véase el uso de infinitesimales por parte de Arquímedes ).
Al demostrar rigurosamente teoremas que involucran volumen , Arquímedes utilizó una forma del principio de Cavalieri , que establece que dos volúmenes con secciones transversales de igual área son iguales; el mismo principio forma la base de las sumas de Riemann . En Sobre la esfera y el cilindro , proporciona límites superior e inferior para el área de superficie de una esfera cortándola en secciones de igual ancho. Luego limita el área de cada sección con el área de un cono inscrito y circunscrito, que demuestra que tienen un área mayor y menor correspondientemente.
Pero hay dos diferencias esenciales entre el método de Arquímedes y los métodos del siglo XIX:
Un problema resuelto exclusivamente en el Método es el cálculo del volumen de una cuña cilíndrica, resultado que reaparece como teorema XVII (esquema XIX) de la Estereometría de Kepler .
Algunas páginas del Método no fueron utilizadas por el autor del palimpsesto y por eso aún se encuentran perdidas. Entre ellas, un resultado anunciado se refería al volumen de la intersección de dos cilindros, cifra que Apostol y Mnatsakanian rebautizaron como globo arquimediano n = 4 (y la mitad de éste, cúpula arquimediana n = 4), cuyo volumen se relaciona con la pirámide poligonal n .
En la época de Heiberg, se prestó mucha atención al brillante uso que hizo Arquímedes de los indivisibles para resolver problemas sobre áreas, volúmenes y centros de gravedad. Se prestó menos atención al Ostomachion , un problema tratado en el palimpsesto que parece tratar sobre un rompecabezas para niños. Reviel Netz, de la Universidad de Stanford, ha sostenido que Arquímedes discutió el número de maneras de resolver el rompecabezas, es decir, de volver a colocar las piezas en su caja. No se ha identificado ninguna pieza como tal; no se conocen las reglas para la colocación, como por ejemplo si se permite dar vuelta las piezas; y hay dudas sobre el tablero.
El tablero ilustrado aquí, como también por Netz, es uno propuesto por Heinrich Suter al traducir un texto árabe sin puntos en el que dos e iguales se confunden fácilmente; Suter comete al menos un error tipográfico en el punto crucial, igualando las longitudes de un lado y una diagonal, en cuyo caso el tablero no puede ser un rectángulo. Pero, como las diagonales de un cuadrado se cortan en ángulos rectos, la presencia de triángulos rectángulos hace que la primera proposición del Ostomachion de Arquímedes sea inmediata. Más bien, la primera proposición establece un tablero que consiste en dos cuadrados uno al lado del otro (como en Tangram ). Una conciliación del tablero de Suter con este tablero del Codex fue publicada por Richard Dixon Oldham , FRS, en Nature en marzo de 1926, lo que desató una locura por el Ostomachion ese año.
La combinatoria moderna revela que el número de formas de colocar las piezas del tablero Suter para reformar su cuadrado, permitiendo que se les dé la vuelta, es de 17.152; el número es considerablemente menor –64– si no se permite que las piezas se den la vuelta. La agudeza de algunos ángulos en el tablero Suter dificulta la fabricación, mientras que el juego puede resultar incómodo si se dan la vuelta a las piezas con puntas afiladas. Para el tablero Codex (de nuevo como con Tangram) hay tres formas de agrupar las piezas: como dos cuadrados unitarios uno al lado del otro; como dos cuadrados unitarios uno sobre el otro; y como un solo cuadrado de lado la raíz cuadrada de dos. Pero la clave para estos agrupamientos es formar triángulos rectángulos isósceles, tal como Sócrates hace que el niño esclavo considere en el Menón de Platón –Sócrates estaba defendiendo el conocimiento por recuerdo, y aquí el reconocimiento de patrones y la memoria parecen más pertinentes que un recuento de soluciones. El tablero del Códice se puede encontrar como una extensión del argumento de Sócrates en una cuadrícula de siete por siete cuadrados, lo que sugiere una construcción iterativa de los números de diámetro lateral que dan aproximaciones racionales a la raíz cuadrada de dos.
El estado fragmentario del palimpsesto deja muchas dudas, pero sin duda habría aumentado el misterio si Arquímedes hubiera utilizado el tablero Suter en lugar del tablero del Códice. Sin embargo, si Netz tiene razón, este podría haber sido el trabajo más sofisticado en el campo de la combinatoria en la antigüedad griega. O Arquímedes utilizó el tablero Suter, cuyas piezas podían girarse, o las estadísticas del tablero Suter son irrelevantes.
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