En geometría , el principio de Cavalieri , una implementación moderna del método de los indivisibles , llamado así en honor a Bonaventura Cavalieri , es el siguiente: [1]
Hoy en día, el principio de Cavalieri se considera un paso inicial hacia el cálculo integral y, si bien se utiliza en algunas formas, como su generalización en el teorema de Fubini y la representación en capas , los resultados que utilizan el principio de Cavalieri a menudo se pueden mostrar de forma más directa a través de la integración. En la otra dirección, el principio de Cavalieri surgió del antiguo método griego de agotamiento , que utilizaba límites pero no infinitesimales .
El principio de Cavalieri fue originalmente llamado el método de los indivisibles, el nombre con el que se lo conocía en la Europa del Renacimiento . [2] Cavalieri desarrolló una teoría completa de los indivisibles, elaborada en su Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota ( Geometría, avanzada de una manera nueva por los indivisibles de los continuos , 1635) y sus Exercitationes geométricae sex ( Seis ejercicios geométricos , 1647). [3] Si bien el trabajo de Cavalieri estableció el principio, en sus publicaciones negó que el continuo estuviera compuesto de indivisibles en un esfuerzo por evitar las paradojas asociadas y las controversias religiosas, y no lo utilizó para encontrar resultados previamente desconocidos. [4]
En el siglo III a. C., Arquímedes , utilizando un método similar al principio de Cavalieri, [5] fue capaz de encontrar el volumen de una esfera dados los volúmenes de un cono y un cilindro en su obra El método de los teoremas mecánicos . En el siglo V d. C., Zu Chongzhi y su hijo Zu Gengzhi establecieron un método similar para encontrar el volumen de una esfera. [2] Sin embargo, ninguno de los enfoques era conocido en la Europa moderna temprana.
La transición de los indivisibles de Cavalieri a los infinitesimales de Evangelista Torricelli y John Wallis fue un gran avance en la historia del cálculo . Los indivisibles eran entidades de codimensión 1, de modo que se pensaba que una figura plana estaba formada por un número infinito de líneas unidimensionales. Por su parte, los infinitesimales eran entidades de la misma dimensión que la figura que formaban; por tanto, una figura plana estaría formada por "paralelogramos" de ancho infinitesimal. Aplicando la fórmula para la suma de una progresión aritmética, Wallis calculó el área de un triángulo dividiéndolo en paralelogramos infinitesimales de ancho 1/∞.
N. Reed ha demostrado [6] cómo hallar el área limitada por una cicloide utilizando el principio de Cavalieri. Un círculo de radio r puede rodar en el sentido de las agujas del reloj sobre una línea situada debajo de él, o en el sentido contrario a las agujas del reloj sobre una línea situada encima de él. De este modo, un punto del círculo traza dos cicloides. Cuando el círculo ha rodado una distancia determinada, el ángulo que habría formado en el sentido de las agujas del reloj y el que habría formado en el sentido contrario a las agujas del reloj son los mismos. Por tanto, los dos puntos que trazan las cicloides están a la misma altura. La línea que los atraviesa es, por tanto, horizontal (es decir, paralela a las dos líneas sobre las que rueda el círculo). En consecuencia, cada sección transversal horizontal del círculo tiene la misma longitud que la sección transversal horizontal correspondiente de la región limitada por los dos arcos de cicloides. Por tanto, según el principio de Cavalieri, el círculo tiene la misma área que esa región.
Consideremos el rectángulo que delimita un único arco de cicloide. Según la definición de cicloide, tiene un ancho de 2π r y una altura de 2 r , por lo que su área es cuatro veces el área del círculo. Calcule el área dentro de este rectángulo que se encuentra sobre el arco de cicloide dividiendo el rectángulo en el punto medio donde el arco se encuentra con el rectángulo, gire una de las partes 180° y superponga la otra mitad del rectángulo con ella. El nuevo rectángulo, de área el doble de la del círculo, consta de la región de la "lente" entre dos cicloides, cuya área se calculó anteriormente como la misma que la del círculo, y las dos regiones que formaban la región sobre el arco de cicloide en el rectángulo original. Por lo tanto, el área delimitada por un rectángulo sobre un único arco completo de la cicloide tiene un área igual al área del círculo y, por lo tanto, el área delimitada por el arco es tres veces el área del círculo.
El hecho de que el volumen de cualquier pirámide , independientemente de la forma de su base, incluidos los conos (base circular), sea (1/3) × base × altura, se puede establecer mediante el principio de Cavalieri si se sabe únicamente que es cierto en un caso. Se puede establecer inicialmente en un solo caso dividiendo el interior de un prisma triangular en tres componentes piramidales de volúmenes iguales. Se puede demostrar la igualdad de esos tres volúmenes mediante el principio de Cavalieri.
De hecho, el principio de Cavalieri o un argumento infinitesimal similar es necesario para calcular el volumen de los conos e incluso de las pirámides, que es esencialmente el contenido del tercer problema de Hilbert : las pirámides y los conos poliédricos no se pueden cortar y reorganizar en una forma estándar, y en su lugar deben compararse por medios infinitos (infinitesimales). Los antiguos griegos utilizaron varias técnicas precursoras, como los argumentos mecánicos de Arquímedes o el método de extenuación para calcular estos volúmenes.
Consideremos un cilindro de radio y altura , que circunscribe un paraboloide cuyo vértice está en el centro de la base inferior del cilindro y cuya base es la base superior del cilindro.
Consideremos también el paraboloide , con dimensiones iguales pero con su vértice y base invertidos.
Para cada altura , el área de la sección transversal en forma de disco del paraboloide invertido es igual al área de la sección transversal en forma de anillo de la parte del cilindro fuera del paraboloide inscrito.
Por lo tanto, el volumen del paraboloide invertido es igual al volumen de la parte cilíndrica que se encuentra fuera del paraboloide inscrito. En otras palabras, el volumen del paraboloide es , la mitad del volumen del cilindro que lo circunscribe.
Si uno sabe que el volumen de un cono es , entonces puede usar el principio de Cavalieri para derivar el hecho de que el volumen de una esfera es , donde es el radio.
Esto se hace de la siguiente manera: Considérese una esfera de radio y un cilindro de radio y altura . Dentro del cilindro está el cono cuyo vértice está en el centro de una base del cilindro y cuya base es la otra base del cilindro. Por el teorema de Pitágoras , el plano situado unidades por encima del "ecuador" corta a la esfera en un círculo de radio y área . El área de la intersección del plano con la parte del cilindro que está fuera del cono también es . Como se puede ver, el área del círculo definido por la intersección con la esfera de un plano horizontal situado a cualquier altura es igual al área de la intersección de ese plano con la parte del cilindro que está "fuera" del cono; así, aplicando el principio de Cavalieri, podría decirse que el volumen de la semiesfera es igual al volumen de la parte del cilindro que está "fuera" del cono. El mencionado volumen del cono es del volumen del cilindro, por lo que el volumen fuera del cono es el volumen del cilindro. Por lo tanto, el volumen de la mitad superior de la esfera es igual al volumen del cilindro. El volumen del cilindro es
("Base" está en unidades de área ; "altura" está en unidades de distancia . Área × distancia = volumen ).
Por lo tanto, el volumen de la semiesfera superior es y el de toda la esfera es .
En el llamado problema del anillo de servilleta , se demuestra mediante el principio de Cavalieri que cuando se perfora un agujero recto a través del centro de una esfera donde la banda restante tiene una altura de , el volumen del material restante sorprendentemente no depende del tamaño de la esfera. La sección transversal del anillo restante es un anillo plano, cuya área es la diferencia entre las áreas de dos círculos. Por el teorema de Pitágoras, el área de uno de los dos círculos es , donde es el radio de la esfera y es la distancia desde el plano del ecuador hasta el plano de corte, y la del otro es . Cuando se restan estos, se cancela; de ahí la falta de dependencia de la respuesta final de .
