Número hipercomplejo

Elemento de un álgebra unitaria sobre el cuerpo de los números reales

En matemáticas , número hipercomplejo es un término tradicional para designar un elemento de un álgebra unitaria de dimensión finita sobre el cuerpo de los números reales . El estudio de los números hipercomplejos a finales del siglo XIX constituye la base de la teoría de representación de grupos moderna .

Historia

En el siglo XIX, los sistemas numéricos denominados cuaterniones , tessarinas , cocuaterniones , bicuaterniones y octoniones se convirtieron en conceptos establecidos en la literatura matemática, que se sumaron a los números reales y complejos . El concepto de número hipercomplejo los abarcaba a todos y exigía una disciplina que los explicara y clasificara.

El proyecto de catalogación comenzó en 1872 cuando Benjamin Peirce publicó por primera vez su Álgebra asociativa lineal , y fue continuado por su hijo Charles Sanders Peirce . ^[1] Lo más significativo es que identificaron los elementos nilpotentes e idempotentes como números hipercomplejos útiles para las clasificaciones. La construcción de Cayley-Dickson utilizó involuciones para generar números complejos, cuaterniones y octoniones a partir del sistema de números reales. Hurwitz y Frobenius demostraron teoremas que ponen límites a la hipercomplejidad: el teorema de Hurwitz dice que las álgebras de composición real de dimensión finita son los reales , los complejos , los cuaterniones y los octoniones , y el teorema de Frobenius dice que las únicas álgebras de división asociativa reales son , , y . En 1958, J. Frank Adams publicó una generalización adicional en términos de invariantes de Hopf en H -espacios que todavía limita la dimensión a 1, 2, 4 u 8. ^[2] ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {O} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$

Fue el álgebra matricial la que aprovechó los sistemas hipercomplejos. Por ejemplo, se encontró que las matrices reales de 2 x 2 eran isomorfas a los cocuaterniones . Pronto el paradigma matricial comenzó a explicar varios otros, ya que se representaban mediante matrices y sus operaciones. En 1907, Joseph Wedderburn demostró que los sistemas hipercomplejos asociativos podían representarse mediante matrices cuadradas o productos directos de álgebras de matrices cuadradas. ^{[3] [4]} A partir de esa fecha, el término preferido para un sistema hipercomplejo se convirtió en álgebra asociativa , como se ve en el título de la tesis de Wedderburn en la Universidad de Edimburgo . Sin embargo, tenga en cuenta que los sistemas no asociativos como los octoniones y los cuaterniones hiperbólicos representan otro tipo de número hipercomplejo.

Como explica Thomas Hawkins ^[5] , los números hipercomplejos son puntos de partida para aprender sobre los grupos de Lie y la teoría de la representación de grupos . Por ejemplo, en 1929, Emmy Noether escribió sobre "cantidades hipercomplejas y teoría de la representación". ^[6] En 1973, Kantor y Solodovnikov publicaron un libro de texto sobre números hipercomplejos que fue traducido en 1989. ^{[7] [8]}

Karen Parshall ha escrito una exposición detallada del apogeo de los números hipercomplejos, ^[9] incluyendo el papel de matemáticos como Theodor Molien ^[10] y Eduard Study . ^[11] Para la transición al álgebra moderna , Bartel van der Waerden dedica treinta páginas a los números hipercomplejos en su Historia del álgebra . ^[12]

Definición

Kantor y Solodovnikov (1989) dan una definición de un número hipercomplejo como un elemento de un álgebra unital , pero no necesariamente asociativa o conmutativa , de dimensión finita sobre los números reales. Los elementos se generan con coeficientes de números reales para una base . Siempre que sea posible, es convencional elegir la base de modo que . Un enfoque técnico para los números hipercomplejos dirige la atención primero a los de dimensión dos. ${\displaystyle (a_{0},\dots ,a_{n})}$ ${\displaystyle \{1,i_{1},\dots ,i_{n}\}}$ ${\displaystyle i_{k}^{2}\in \{-1,0,+1\}}$

Álgebras reales bidimensionales

Teorema: ^{[7] : 14, 15  [13] [14]} Hasta el isomorfismo, hay exactamente tres álgebras unitarias bidimensionales sobre los números reales: los números complejos ordinarios , los números complejos descompuestos y los números duales . En particular, toda álgebra unitaria bidimensional sobre los números reales es asociativa y conmutativa.

Demostración: Como el álgebra es bidimensional, podemos elegir una base {1, u } . Como el álgebra está cerrada en cuanto a la elevación al cuadrado, el elemento de base no real u se eleva al cuadrado a una combinación lineal de 1 y u :

${\displaystyle u^{2}=a_{0}+a_{1}u}$

para algunos números reales un ₀ y un ₁ .

_Usando el método común de completar el cuadrado restando 1 u y sumando el complemento cuadrático a²
₁ / 4 a ambos lados rinde

${\displaystyle u^{2}-a_{1}u+{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}=a_{0}+{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}.}$

Así pues, los tres casos dependen de este valor real: ${\textstyle \left(u-{\frac {1}{2}}a_{1}\right)^{2}={\tilde {u}}^{2}}$ ${\textstyle {\tilde {u}}^{2}~=a_{0}+{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}.}$

• Si 4 a ₀ = − a ₁ ² , la fórmula anterior da ũ ² = 0 . Por lo tanto, ũ puede identificarse directamente con el elemento nilpotente de la base de los números duales. ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \{1,~\varepsilon \}}$
• Si 4 a ₀ > − a ₁ ² , la fórmula anterior da ũ ² > 0 . Esto conduce a los números complejos descompuestos que tienen una base normalizada con . Para obtener j de ũ , este último debe dividirse por el número real positivo que tiene el mismo cuadrado que ũ . ${\displaystyle \{1,~j\}}$ ${\displaystyle j^{2}=+1}$ ${\textstyle a\mathrel {:=} {\sqrt {a_{0}+{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}}}}$
• Si 4 a ₀ < − a ₁ ² , la fórmula anterior da ũ ² < 0 . Esto conduce a los números complejos que tienen base normalizada con . Para obtener i a partir de ũ , este último debe dividirse por un número real positivo que se eleve al cuadrado del negativo de ũ ² . ${\displaystyle \{1,~i\}}$ ${\displaystyle i^{2}=-1}$ ${\textstyle a\mathrel {:=} {\sqrt {{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}-a_{0}}}}$

Los números complejos son la única álgebra hipercompleja bidimensional que es un cuerpo . Las álgebras de división, como los números complejos de división que incluyen raíces no reales de 1, también contienen idempotentes y divisores de cero , por lo que dichas álgebras no pueden ser álgebras de división . Sin embargo, estas propiedades pueden resultar muy significativas, por ejemplo, al representar un cono de luz con un cono nulo . ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1\pm j)}$ ${\displaystyle (1+j)(1-j)=0}$

En una edición de 2004 de la revista Mathematics Magazine, las álgebras reales bidimensionales fueron denominadas "números complejos generalizados". ^[15] La idea de la relación cruzada de cuatro números complejos se puede extender a las álgebras reales bidimensionales. ^[16]

Ejemplos de dimensiones superiores (más de un eje no real)

Álgebras de Clifford

Un álgebra de Clifford es el álgebra asociativa unitaria generada sobre un espacio vectorial subyacente dotado de una forma cuadrática . Sobre los números reales esto equivale a poder definir un producto escalar simétrico, u ⋅ v = ⁠1/2⁠ ( uv + vu ) que se puede utilizar para ortogonalizar la forma cuadrática, para dar una base { e ₁ , ..., e _k } tal que: $${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(e_{i}e_{j}+e_{j}e_{i}\right)={\begin{cases}-1,0,+1&i=j,\\0&i\not =j.\end{cases}}}$$

La imposición de clausura bajo la multiplicación genera un espacio multivectorial abarcado por una base de 2 ^k elementos, {1, e ₁ , e ₂ , e ₃ , ..., e ₁ e ₂ , ..., e ₁ e ₂ e ₃ , ...}. Estos pueden interpretarse como la base de un sistema numérico hipercomplejo. A diferencia de la base { e ₁ , ..., e _k }, los elementos de la base restantes no necesitan anticonmutarse , dependiendo de cuántos intercambios simples se deben realizar para intercambiar los dos factores. Entonces e ₁ e ₂ = − e ₂ e ₁ , pero e ₁ ( e ₂ e ₃ ) = +( e ₂ e ₃ ) e ₁ .

Dejando de lado las bases que contienen un elemento e _i tal que e _i ² = 0 (es decir, direcciones en el espacio original sobre las cuales se degeneró la forma cuadrática ), las álgebras de Clifford restantes se pueden identificar por la etiqueta Cl _{p , q} ( ), que indica que el álgebra se construye a partir de p elementos de base simples con e _i ² = +1 , q con e _i ² = −1 , y donde indica que esta debe ser un álgebra de Clifford sobre los reales, es decir, los coeficientes de los elementos del álgebra deben ser números reales. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Estas álgebras, llamadas álgebras geométricas , forman un conjunto sistemático, que resultan muy útiles en problemas de física que involucran rotaciones , fases o espines , especialmente en mecánica clásica y cuántica , teoría electromagnética y relatividad .

Los ejemplos incluyen: los números complejos Cl _0,1 ( ), los números complejos divididos Cl _1,0 ( ), los cuaterniones Cl _0,2 ( ), los bicuaterniones divididos Cl _0,3 ( ), los cuaterniones divididos Cl _1,1 ( ) ≈ Cl _2,0 ( ) (el álgebra natural del espacio bidimensional); Cl _3,0 ( ) (el álgebra natural del espacio tridimensional y el álgebra de las matrices de Pauli ); y el álgebra del espacio-tiempo Cl _1,3 ( ). ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Los elementos del álgebra Cl _{p , q} ( ) forman una subálgebra par Cl ${\displaystyle \mathbb {R} }$^[0]
_{q +1, p}( ) del álgebra Cl _{q +1, p} ( ), que puede utilizarse para parametrizar rotaciones en el álgebra más amplia. Existe, por tanto, una estrecha conexión entre los números complejos y las rotaciones en el espacio bidimensional; entre los cuaterniones y las rotaciones en el espacio tridimensional; entre los números complejos desdoblados y las rotaciones (hiperbólicas) ( transformaciones de Lorentz ) en el espacio unidimensional, etcétera. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Mientras que los constructos de Cayley-Dickson y de complejos divididos con ocho o más dimensiones no son asociativos con respecto a la multiplicación, las álgebras de Clifford conservan la asociatividad en cualquier número de dimensiones.

En 1995, Ian R. Porteous escribió sobre "El reconocimiento de subálgebras" en su libro sobre álgebras de Clifford. Su Proposición 11.4 resume los casos hipercomplejos: ^[17]

Sea A un álgebra asociativa real con elemento unidad 1. Entonces

• 1 genera ( álgebra de números reales ), ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• cualquier subálgebra bidimensional generada por un elemento e ₀ de A tal que e ₀ ² = −1 es isomorfa a ( álgebra de números complejos ), ${\displaystyle \mathbb {C} }$
• cualquier subálgebra bidimensional generada por un elemento e ₀ de A tal que e ₀ ² = 1 es isomorfa a ² (pares de números reales con producto componente a componente, isomorfa al álgebra de números complejos divididos ), ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• cualquier subálgebra de cuatro dimensiones generada por un conjunto { e ₀ , e ₁ } de elementos mutuamente anticonmutativos de A tal que es isomorfa a ( álgebra de cuaterniones ), ${\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=-1}$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$
• cualquier subálgebra de cuatro dimensiones generada por un conjunto { e ₀ , e ₁ } de elementos mutuamente anticonmutantes de A tal que es isomorfo a M ₂ ( ) ( matrices reales de 2 × 2 , cocuaterniones ), ${\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=1}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• cualquier subálgebra de ocho dimensiones generada por un conjunto { e ₀ , e ₁ , e ₂ } de elementos mutuamente anticonmutantes de A tal que es isomorfo a ² ( biquaternions divididos ), ${\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=-1}$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$
• cualquier subálgebra de ocho dimensiones generada por un conjunto { e ₀ , e ₁ , e ₂ } de elementos mutuamente anticonmutantes de A tal que es isomorfo a M ₂ ( ) ( matrices complejas 2 × 2 , bicuaterniones , álgebra de Pauli ). ${\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=1}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Construcción Cayley-Dickson

Gráfico de Cayley Q8 de multiplicación de cuaterniones que muestra ciclos de multiplicación de i (rojo), j (verde) y k (azul). En el archivo SVG, pase el cursor sobre una ruta o haga clic en ella para resaltarla.

Todas las álgebras de Clifford Cl _{p , q} ( ) aparte de los números reales, los números complejos y los cuaterniones contienen elementos no reales que elevan al cuadrado a +1; y por lo tanto no pueden ser álgebras de división. Un enfoque diferente para extender los números complejos es tomado por la construcción de Cayley-Dickson . Esta genera sistemas numéricos de dimensión 2 ⁿ , n = 2, 3, 4, ..., con bases , donde todos los elementos de base no reales anticonmutan y satisfacen . En 8 o más dimensiones ( n ≥ 3 ) estas álgebras no son asociativas. En 16 o más dimensiones ( n ≥ 4 ) estas álgebras también tienen divisores de cero . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \left\{1,i_{1},\dots ,i_{2^{n}-1}\right\}}$ ${\displaystyle i_{m}^{2}=-1}$

Las primeras álgebras en esta secuencia incluyen los cuaterniones de 4 dimensiones, los octoniones de 8 dimensiones y los sedeniones de 16 dimensiones . Se pierde una simetría algebraica con cada aumento de dimensionalidad: la multiplicación de cuaterniones no es conmutativa , la multiplicación de octoniones no es asociativa y la norma de los sedeniones no es multiplicativa. Después de los sedeniones están los trigintaduoniones de 32 dimensiones (o 32-niones), los sexagintaquatroniones de 64 dimensiones (o 64-niones), los centumduodetrigintaniones de 128 dimensiones (o 128-niones), los ducentiquinquagintasexiones de 256 dimensiones (o 256-niones), y así sucesivamente , como se resume en la tabla siguiente. ^[18]

La construcción de Cayley–Dickson se puede modificar insertando un signo adicional en algunas etapas. De esta manera, se generan las "álgebras divididas" en el conjunto de álgebras de composición en lugar de las álgebras de división:

números complejos divididos con base que satisface , ${\displaystyle \{1,\,i_{1}\}}$ ${\displaystyle \ i_{1}^{2}=+1}$

cuaterniones divididos con base que satisface , y ${\displaystyle \{1,\,i_{1},\,i_{2},\,i_{3}\}}$ ${\displaystyle \ i_{1}^{2}=-1,\,i_{2}^{2}=i_{3}^{2}=+1}$

octoniones divididos con base que satisface , ${\displaystyle \{1,\,i_{1},\,\dots ,\,i_{7}\}}$ ${\displaystyle \ i_{1}^{2}=i_{2}^{2}=i_{3}^{2}=-1}$ ${\displaystyle \ i_{4}^{2}=i_{5}^{2}=i_{6}^{2}=i_{7}^{2}=+1.}$

A diferencia de los números complejos, los números complejos divididos no son algebraicamente cerrados y además contienen divisores de cero no triviales e idempotentes no triviales . Al igual que con los cuaterniones, los cuaterniones divididos no son conmutativos, pero además contienen nilpotentes ; son isomorfos a las matrices cuadradas de dimensión dos. Los octoniones divididos no son asociativos y contienen nilpotentes.

Productos tensoriales

El producto tensorial de dos álgebras cualesquiera es otra álgebra, que puede utilizarse para producir muchos más ejemplos de sistemas numéricos hipercomplejos.

En particular, tomar productos tensoriales con números complejos (considerados como álgebras sobre los reales) conduce a números bicomplejos de cuatro dimensiones (isomorfos a las tessarinas ), bicuaterniones de ocho dimensiones y octoniones complejos de 16 dimensiones . ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }D}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {O} }$

Más ejemplos

• números bicomplejos : un espacio vectorial de 4 dimensiones sobre los reales, bidimensional sobre los números complejos, isomorfo a las tessarinas.
• números multicomplejos : 2 espacios vectoriales ^{n -dimensionales sobre los reales, 2 n −1} -dimensionales sobre los números complejos
• álgebra de composición : álgebra con forma cuadrática que compone con el producto

Véase también

• Thomas Kirkman
• Georg Scheffers
• Richard Brauer
• Análisis hipercomplejo

Referencias

1. Peirce, Benjamin (1881), "Álgebra asociativa lineal", American Journal of Mathematics , 4 (1): 221–6, doi :10.2307/2369153, JSTOR  2369153
2. Adams, JF (julio de 1960), "Sobre la no existencia de elementos de la invariante de Hopf uno" (PDF) , Annals of Mathematics , 72 (1): 20–104, CiteSeerX 10.1.1.299.4490 , doi :10.2307/1970147, JSTOR  1970147 
3. JHM Wedderburn (1908), "Sobre números hipercomplejos", Actas de la London Mathematical Society , 6 : 77–118, doi :10.1112/plms/s2-6.1.77
4. Emil Artin generalizó el resultado de Wedderburn, por lo que se lo conoce como teorema de Artin-Wedderburn.
5. Hawkins, Thomas (1972), "Números hipercomplejos, grupos de Lie y la creación de la teoría de la representación de grupos", Archivo de Historia de las Ciencias Exactas , 8 (4): 243–287, doi :10.1007/BF00328434, S2CID  120562272
6. Noether, Emmy (1929), "Hyperkomplexe Größen und Darstellungstheorie" [Cantidades hipercomplejas y teoría de las representaciones], Mathematische Annalen (en alemán), 30 : 641–92, doi :10.1007/BF01187794, S2CID  120464373, archivado desde el original el 29 de marzo de 2016 , consultado el 14 de enero de 2016
7. Kantor, IL, Solodownikow (1978), Hyperkomplex Zahlen , BSB BG Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig
8. Kantor, IL; Solodovnikov, AS (1989), Números hipercomplejos , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-96980-0, Sr.  0996029
9. Parshall, Karen (1985), "Joseph HM Wedderburn y la teoría estructural de las álgebras", Archivo de Historia de las Ciencias Exactas , 32 (3–4): 223–349, doi :10.1007/BF00348450, S2CID  119888377
10. Molien, Theodor (1893), "Ueber Systeme höherer complexer Zahlen", Mathematische Annalen , 41 (1): 83–156, doi :10.1007/BF01443450, S2CID  122333076
11. Estudio, Eduard (1898), "Theorie der gemeinen und höhern komplexen Grössen", Encyclopädie der mathematischen Wissenschaften , vol. IA, págs. 147 a 183
12. van der Waerden, BL (1985), "10. El descubrimiento de las álgebras, 11. Estructura de las álgebras", Una historia del álgebra , Springer, ISBN 3-540-13610X
13. Yaglom, Isaak (1968), Números complejos en geometría , págs. 10-14
14. Ewing, John H., ed. (1991), Números , Springer, pág. 237, ISBN 3-540-97497-0
15. Harkin, Anthony A.; Harkin, Joseph B. (2004), "Geometría de números complejos generalizados" (PDF) , Mathematics Magazine , 77 (2): 118–129, doi :10.1080/0025570X.2004.11953236, S2CID  7837108
16. Brewer, Sky (2013), "Relación cruzada proyectiva en números hipercomplejos", Advances in Applied Clifford Algebras , 23 (1): 1–14, arXiv : 1203.2554 , doi :10.1007/s00006-012-0335-7, S2CID  119623082
17. Porteous, Ian R. (1995), Álgebras de Clifford y los grupos clásicos , Cambridge University Press , págs. 88-89, ISBN 0-521-55177-3
18. Cariow, Aleksandr (2015). "Un enfoque unificado para desarrollar algoritmos racionalizados para la multiplicación de números hipercomplejos". Przegląd Elektrotechniczny . 1 (2). Wydawnictwo SIGMA-NO: 38–41. doi :10.15199/48.2015.02.09. ISSN  0033-2097.

Lectura adicional

• Alfsmann, Daniel (2006), "Sobre familias de álgebras hipercomplejas de 2^N dimensiones adecuadas para el procesamiento de señales digitales" (PDF) , 14.ª Conferencia Europea de Procesamiento de Señales, Florencia, Italia, págs. 1–4
• Artin, Emil (1965) [1928], "Zur Theorie der hyperkomplexen Zahlen; Zur Arithmetik hyperkomplexer Zahlen", en Lang, Serge ; Tate, John T. (eds.), Los artículos recopilados de Emil Artin , Addison-Wesley , págs. 301–345
• Baez, John (2002), "Los octoniones", Boletín de la Sociedad Matemática Americana , 39 (2): 145–205, arXiv : math/0105155 , doi :10.1090/S0273-0979-01-00934-X, ISSN  0002-9904, S2CID  586512
• Cartan, Élie (1908), "Les systèmes de nombres complex et les groupes de transforms", Encyclopédie des sciences mathématiques pures et appliquées , vol. yo 1. y Obras Completas T.2 pt. 1, págs. 107–246.
• Herzberger, Max (1923), "Ueber Systeme hyperkomplexer Grössen", Tesis doctoral , Universidad Friedrich Wilhelm , archivado desde el original el 30 de enero de 2021 , consultado el 20 de septiembre de 2015
• La Duke, Jeanne (1983), "El estudio de las álgebras asociativas lineales en los Estados Unidos, 1870-1927", en Srinivasan, B.; Sally, J. (eds.), Emmy Noether en Bryn Mawr: Actas de un simposio patrocinado por la Asociación de Mujeres en Matemáticas en honor del centenario de Emmy Noether, Springer, pp. 147-159, ISBN 978-0-387-90838-0
• Olariu, Silviu (2002), Números complejos en N dimensiones , North-Holland Mathematics Studies, vol. 190, Elsevier , ISBN 0-444-51123-7
• Sabadini, Irene ; Shapiro, Michael; Sommen, Frank, eds. (2009), Análisis y aplicaciones hipercomplejas , Birkhauser, ISBN 978-3-7643-9892-7
• Taber, Henry (1904), "Sobre sistemas numéricos hipercomplejos", Transactions of the American Mathematical Society , 5 (4): 509–548, doi :10.2307/1986280, JSTOR  1986280
• MacLagan Wedderburn, JH (1908), "Sobre números hipercomplejos", Actas de la London Mathematical Society , s2-6 (1): 77–118, doi :10.1112/plms/s2-6.1.77

Enlaces externos

• "Número hipercomplejo", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Número hipercomplejo". MathWorld .
• Estudio, E., Sobre sistemas de números complejos y su aplicación a la teoría de grupos de transformación (PDF)(Traducción al español)
• Frobenius, G., Teoría de cantidades hipercomplejas (PDF)(Traducción al español)