Notación bra-ket

Notación para estados cuánticos

La notación Bra-ket , también llamada notación de Dirac , es una notación para álgebra lineal y operadores lineales en espacios vectoriales complejos junto con su espacio dual tanto en el caso de dimensión finita como en el de dimensión infinita. Está diseñado específicamente para facilitar los tipos de cálculos que surgen con frecuencia en la mecánica cuántica . Su uso en mecánica cuántica está bastante extendido.

La notación Bra-ket fue creada por Paul Dirac en su publicación de 1939 Una nueva notación para la mecánica cuántica . La notación se introdujo como una forma más sencilla de escribir expresiones de la mecánica cuántica. ^[1] El nombre proviene de la palabra inglesa "Bracket".

Mecánica cuántica

En mecánica cuántica , la notación bra-ket se utiliza de manera ubicua para denotar estados cuánticos . La notación utiliza corchetes angulares , y , y una barra vertical , para construir "sujetadores" y "kets". ${\displaystyle \langle }$ ${\displaystyle \rangle }$ ${\displaystyle |}$

Un ket tiene la forma . Matemáticamente denota un vector , , en un espacio vectorial abstracto (complejo) , y físicamente representa un estado de algún sistema cuántico. ${\displaystyle |v\rangle }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$ ${\displaystyle V}$

Un sujetador es de la forma . Matemáticamente denota una forma lineal , es decir, una aplicación lineal que asigna cada vector a un número en el plano complejo . Dejar que el funcional lineal actúe sobre un vector se escribe como . ${\displaystyle \langle f|}$ ${\displaystyle f:V\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \langle f|}$ ${\displaystyle |v\rangle }$ ${\displaystyle \langle f|v\rangle \in \mathbb {C} }$

Supongamos que existe un producto interno con un primer argumento antilineal , lo que crea un espacio de producto interno . Luego con este producto interno cada vector se puede identificar con una forma lineal correspondiente, colocando el vector en la primera ranura antilineal del producto interno: . La correspondencia entre estas notaciones es entonces . La forma lineal es un covector para , y el conjunto de todos los covectores forma un subespacio del espacio vectorial dual , para el espacio vectorial inicial . El propósito de esta forma lineal ahora puede entenderse en términos de hacer proyecciones sobre el estado para encontrar cuán linealmente dependientes son dos estados, etc. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\phi }}\equiv |\phi \rangle }$ ${\displaystyle ({\boldsymbol {\phi }},\cdot )\equiv \langle \phi |}$ ${\displaystyle ({\boldsymbol {\phi }},{\boldsymbol {\psi }})\equiv \langle \phi |\psi \rangle }$ ${\displaystyle \langle \phi |}$ ${\displaystyle |\phi \rangle }$ ${\displaystyle V^{\vee }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \langle \phi |}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\phi }},}$

Para el espacio vectorial , los kets se pueden identificar con vectores de columna y los bras con vectores de fila. Las combinaciones de bras, kets y operadores lineales se interpretan mediante la multiplicación de matrices . Si tiene el producto interno hermitiano estándar , bajo esta identificación, la identificación de kets y bras y viceversa proporcionada por el producto interno toma el conjugado hermitiano (denotado ). ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle ({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}})=v^{\dagger }w}$ ${\displaystyle \dagger }$

Es común suprimir la forma vectorial o lineal de la notación bra–ket y solo usar una etiqueta dentro de la tipografía para bra o ket. Por ejemplo, el operador de espín en un espacio bidimensional de espinores tiene valores propios con propiosespinores . En notación de corchetes, esto normalmente se denota como , y . Como se indicó anteriormente, los kets y bras con la misma etiqueta se interpretan como kets y bras que se corresponden entre sí utilizando el producto interior. En particular, cuando también se identifican con vectores de fila y columna, los kets y bras con la misma etiqueta se identifican con vectores de fila y columna conjugados hermitianos . ${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{z}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\textstyle \pm {\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}_{+},{\boldsymbol {\psi }}_{-}\in \Delta }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}_{+}=|+\rangle }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}_{-}=|-\rangle }$

La notación Bra-ket fue establecida efectivamente en 1939 por Paul Dirac ; ^{[2] [3]} Por lo tanto, también se la conoce como notación de Dirac, a pesar de que la notación tuvo un precursor en el uso de Hermann Grassmann para productos internos casi 100 años antes. ^{[4] [5]} ${\displaystyle [\phi {\mid }\psi ]}$

Espacios vectoriales

Vectores vs kets

En matemáticas, el término "vector" se utiliza para un elemento de cualquier espacio vectorial. En física, sin embargo, el término "vector" tiende a referirse casi exclusivamente a cantidades como el desplazamiento o la velocidad , que tienen componentes que se relacionan directamente con las tres dimensiones del espacio , o de manera relativista, con las cuatro del espacio-tiempo . Estos vectores normalmente se indican con flechas ( ), negrita ( ) o índices ( ). ${\displaystyle {\vec {r}}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle v^{\mu }}$

En mecánica cuántica, un estado cuántico generalmente se representa como un elemento de un espacio de Hilbert complejo, por ejemplo, el espacio vectorial de dimensión infinita de todas las funciones de onda posibles (funciones cuadradas integrables que asignan cada punto del espacio 3D a un número complejo) o algunas más. Espacio abstracto de Hilbert construido de forma más algebraica. Para distinguir este tipo de vector de los descritos anteriormente, es común y útil en física denotar un elemento de un espacio vectorial complejo abstracto como ket , referirse a él como "ket" en lugar de vector, y pronunciar es "ket- " o "ket-A" para | A ⟩ . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle |\phi \rangle }$ ${\displaystyle \phi }$

Se pueden utilizar símbolos, letras, números o incluso palabras (cualquier cosa que sirva como etiqueta conveniente) como etiqueta dentro de un ket, dejando claro que la etiqueta indica un vector en el espacio vectorial. En otras palabras, el símbolo " | A ⟩ " tiene un significado matemático reconocible en cuanto al tipo de variable que se representa, mientras que la " A " por sí sola no lo tiene. Por ejemplo, |1⟩ + |2⟩ no es necesariamente igual a |3⟩ . Sin embargo, por conveniencia, suele haber algún esquema lógico detrás de las etiquetas dentro de los kets, como la práctica común de etiquetar los eigenkets de energía en mecánica cuántica mediante una lista de sus números cuánticos . En su forma más simple, la etiqueta dentro del ket es el valor propio de un operador físico, como , , etc. ${\displaystyle |\ \rangle }$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle {\hat {p}}}$ ${\displaystyle {\hat {L}}_{z}}$

Notación

Dado que los kets son simplemente vectores en un espacio vectorial hermitiano, pueden manipularse utilizando las reglas habituales del álgebra lineal. Por ejemplo:

${\displaystyle {\begin{aligned}|A\rangle &=|B\rangle +|C\rangle \\|C\rangle &=(-1+2i)|D\rangle \\|D\rangle &=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}|x\rangle \,\mathrm {d} x\,.\end{aligned}}}$

Observe cómo la última línea anterior involucra infinitos kets diferentes, uno para cada número real x .

Dado que ket es un elemento de un espacio vectorial, bra es un elemento de su espacio dual , es decir, bra es un funcional lineal que es un mapa lineal desde el espacio vectorial hasta los números complejos. Por lo tanto, es útil pensar en kets y bras como elementos de diferentes espacios vectoriales (ver más abajo), siendo ambos conceptos útiles diferentes. ${\displaystyle \langle A|}$

Un sujetador y un ket (es decir, un funcional y un vector) se pueden combinar para obtener un operador de rango uno con producto exterior. ${\displaystyle \langle \phi |}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle \langle \phi |}$

${\displaystyle |\psi \rangle \langle \phi |\colon |\xi \rangle \mapsto |\psi \rangle \langle \phi |\xi \rangle ~.}$

Identificación del producto interior y del soporte en el espacio de Hilbert

La notación bra-ket es particularmente útil en espacios de Hilbert que tienen un producto interno ^[6] que permite la conjugación hermitiana e identificar un vector con un funcional lineal continuo, es decir, un ket con un bra, y viceversa (ver teorema de representación de Riesz ). El producto interno en el espacio de Hilbert (con el primer argumento anti lineal como lo prefieren los físicos) es totalmente equivalente a una identificación (antilineal) entre el espacio de kets y el de bras en la notación bra ket: para un vector ket defina un funcional (es decir, sujetador) por ${\displaystyle (\ ,\ )}$ ${\displaystyle \phi =|\phi \rangle }$ ${\displaystyle f_{\phi }=\langle \phi |}$

${\displaystyle (\phi ,\psi )=(|\phi \rangle ,|\psi \rangle )=:f_{\phi }(\psi )=\langle \phi |\,{\bigl (}|\psi \rangle {\bigr )}=:\langle \phi {\mid }\psi \rangle }$

Bras y kets como vectores de fila y columna.

En el caso simple en el que consideramos el espacio vectorial , un ket se puede identificar con un vector columna y un bra como un vector fila . Si además utilizamos el producto interior hermitiano estándar en , el sujetador correspondiente a un ket, en particular un sujetador ⟨ m | y un ket | m ⟩ con la misma etiqueta son transpuestas conjugadas . Además, las convenciones están establecidas de tal manera que escribir bras, kets y operadores lineales uno al lado del otro simplemente implica una multiplicación de matrices . ^[7] En particular, el producto exterior de una columna y un vector de fila ket y bra se puede identificar con la multiplicación de matrices (el vector de columna multiplicado por el vector de fila es igual a la matriz). ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle \langle \phi |}$

Para un espacio vectorial de dimensión finita, utilizando una base ortonormal fija , el producto interno se puede escribir como una multiplicación matricial de un vector fila por un vector columna:

$${\displaystyle \langle A|B\rangle \doteq A_{1}^{*}B_{1}+A_{2}^{*}B_{2}+\cdots +A_{N}^{*}B_{N}={\begin{pmatrix}A_{1}^{*}&A_{2}^{*}&\cdots &A_{N}^{*}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B_{1}\\B_{2}\\\vdots \\B_{N}\end{pmatrix}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle A|&\doteq {\begin{pmatrix}A_{1}^{*}&A_{2}^{*}&\cdots &A_{N}^{*}\end{pmatrix}}\\|B\rangle &\doteq {\begin{pmatrix}B_{1}\\B_{2}\\\vdots \\B_{N}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$$

La transpuesta conjugada (también llamada conjugada hermitiana ) de un sujetador es el ket correspondiente y viceversa:

$${\displaystyle \langle A|^{\dagger }=|A\rangle ,\quad |A\rangle ^{\dagger }=\langle A|}$$

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{1}^{*}&A_{2}^{*}&\cdots &A_{N}^{*}\end{pmatrix}}\,,}$$

conjugación complejatransposición matricial

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{1}\\A_{2}\\\vdots \\A_{N}\end{pmatrix}}}$$

Escribir elementos de un espacio vectorial de dimensión finita (o mutatis mutandis , contablemente infinito) como un vector columna de números requiere elegir una base . Elegir una base no siempre es útil porque los cálculos de la mecánica cuántica implican cambiar frecuentemente entre diferentes bases (por ejemplo, base de posición, base de momento, base propia de energía), y uno puede escribir algo como " | m ⟩ " sin comprometerse con ninguna base en particular. En situaciones que involucran dos vectores de base importantes diferentes, los vectores de base se pueden tomar en la notación explícitamente y aquí se denominarán simplemente " | − ⟩ " y " | + ⟩ ".

Estados no normalizables y espacios no Hilbert

La notación Bra-ket se puede utilizar incluso si el espacio vectorial no es un espacio de Hilbert .

En mecánica cuántica, es una práctica común escribir kets que tienen norma infinita , es decir, funciones de onda no normalizables . Los ejemplos incluyen estados cuyas funciones de onda son funciones delta de Dirac u ondas planas infinitas . Estos, técnicamente, no pertenecen al espacio de Hilbert en sí. Sin embargo, la definición de "espacio de Hilbert" se puede ampliar para dar cabida a estos estados (ver la construcción Gelfand-Naimark-Segal o espacios de Hilbert amañados ). La notación bracket sigue funcionando de manera análoga en este contexto más amplio.

Los espacios de Banach son una generalización diferente de los espacios de Hilbert. En un espacio de Banach B , los vectores pueden indicarse mediante kets y los funcionales lineales continuos mediante bras. Sobre cualquier espacio vectorial sin topología , también podemos anotar los vectores mediante kets y los funcionales lineales mediante bras. En estos contextos más generales, el paréntesis no tiene el significado de producto interno, porque el teorema de representación de Riesz no se aplica.

Uso en mecánica cuántica

La estructura matemática de la mecánica cuántica se basa en gran parte en el álgebra lineal :

• Las funciones de onda y otros estados cuánticos se pueden representar como vectores en un espacio de Hilbert complejo. (La estructura exacta de este espacio de Hilbert depende de la situación). En la notación de soporte, por ejemplo, un electrón podría estar en el "estado" | ψ⟩ . _ (Técnicamente, los estados cuánticos son rayos de vectores en el espacio de Hilbert, ya que c | ψ ⟩ corresponde al mismo estado para cualquier número complejo c distinto de cero ).
• Las superposiciones cuánticas pueden describirse como sumas vectoriales de los estados constituyentes. Por ejemplo, un electrón en el estado1/√2|1⟩ +i/√2|2⟩ está en una superposición cuántica de los estados |1⟩ y |2⟩ .
• Las mediciones están asociadas con operadores lineales (llamados observables ) en el espacio de estados cuánticos de Hilbert.
• La dinámica también se describe mediante operadores lineales en el espacio de Hilbert. Por ejemplo, en la imagen de Schrödinger , hay un operador de evolución temporal lineal U con la propiedad de que si un electrón está en estado | ψ ⟩ ahora mismo, más adelante estará en el estado U | ψ ⟩ , la misma U para todos los posibles | ψ⟩ . _
• La normalización de la función de onda consiste en escalar una función de onda para que su norma sea 1.

Dado que prácticamente todos los cálculos en mecánica cuántica involucran vectores y operadores lineales, pueden involucrar, y a menudo involucran, notación de soporte. A continuación se muestran algunos ejemplos:

Posición sin giro: función de onda espacial

Componentes de vectores complejos trazados contra el número índice; discreto k y continuo x . Se destacan dos componentes particulares entre infinitos.

El espacio de Hilbert de una partícula de punto de espín -0 está abarcado por una " base de posición " { | r ⟩ } , donde la etiqueta r se extiende sobre el conjunto de todos los puntos en el espacio de posiciones . Esta etiqueta es el valor propio del operador de posición que actúa sobre dicho estado base . Dado que hay un número incontablemente infinito de componentes vectoriales en la base, este es un espacio de Hilbert de dimensión incontablemente infinita. Las dimensiones del espacio de Hilbert (normalmente infinito) y el espacio de posiciones (normalmente 1, 2 o 3) no deben combinarse. ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}|\mathbf {r} \rangle =\mathbf {r} |\mathbf {r} \rangle }$

A partir de cualquier ket |Ψ⟩ en este espacio de Hilbert, se puede definir una función escalar compleja de r , conocida como función de onda , ^[8]

$${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \langle \mathbf {r} |\Psi \rangle \,.}$$

En el lado izquierdo, Ψ( r ) es una función que asigna cualquier punto en el espacio a un número complejo; al lado derecho,

$${\displaystyle \left|\Psi \right\rangle =\int d^{3}\mathbf {r} \,\Psi (\mathbf {r} )\left|\mathbf {r} \right\rangle }$$

Entonces es habitual definir operadores lineales que actúan sobre funciones de onda en términos de operadores lineales que actúan sobre kets, por

$${\displaystyle {\hat {A}}(\mathbf {r} )~\Psi (\mathbf {r} )\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \langle \mathbf {r} |{\hat {A}}|\Psi \rangle \,.}$$

Por ejemplo, el operador de impulso tiene la siguiente representación de coordenadas, ^[9] ${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}}$

$${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}(\mathbf {r} )~\Psi (\mathbf {r} )\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \langle \mathbf {r} |{\hat {\mathbf {p} }}|\Psi \rangle =-i\hbar \nabla \Psi (\mathbf {r} )\,.}$$

De vez en cuando incluso nos encontramos con una expresión como , aunque esto es una especie de abuso de notación . El operador diferencial debe entenderse como un operador abstracto, que actúa sobre kets, que tiene el efecto de diferenciar funciones de onda una vez que la expresión se proyecta sobre la base de posición, aunque, en la base de momento, este operador equivale a un mero operador de multiplicación ( por iħ p ). Es decir, ${\displaystyle \nabla |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle \nabla \langle \mathbf {r} |\Psi \rangle \,,}$

$${\displaystyle \langle \mathbf {r} |{\hat {\mathbf {p} }}=-i\hbar \nabla \langle \mathbf {r} |~,}$$

$${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}=\int d^{3}\mathbf {r} ~|\mathbf {r} \rangle (-i\hbar \nabla )\langle \mathbf {r} |~.}$$

Superposición de estados

En mecánica cuántica la expresión ⟨ φ | ψ ⟩ normalmente se interpreta como la amplitud de probabilidad de que el estado ψ colapse en el estado φ . Matemáticamente, esto significa el coeficiente para la proyección de ψ sobre φ . También se describe como la proyección del estado ψ sobre el estado φ .

Cambio de base para una partícula de espín 1/2

Una partícula estacionaria de espín 1 ⁄ 2 tiene un espacio de Hilbert bidimensional. Una base ortonormal es:

$${\displaystyle |{\uparrow }_{z}\rangle \,,\;|{\downarrow }_{z}\rangle }$$

| ↑ _z ⟩operador de giro S _z1 ⁄ 2|↓ _z ⟩operador de giro S z1 ⁄ 2

Dado que estos son una base, cualquier estado cuántico de la partícula se puede expresar como una combinación lineal (es decir, superposición cuántica ) de estos dos estados:

$${\displaystyle |\psi \rangle =a_{\psi }|{\uparrow }_{z}\rangle +b_{\psi }|{\downarrow }_{z}\rangle }$$

a _ψb _ψ

Una base diferente para el mismo espacio de Hilbert es:

$${\displaystyle |{\uparrow }_{x}\rangle \,,\;|{\downarrow }_{x}\rangle }$$

S _xS _z

Nuevamente, cualquier estado de la partícula se puede expresar como una combinación lineal de estos dos:

$${\displaystyle |\psi \rangle =c_{\psi }|{\uparrow }_{x}\rangle +d_{\psi }|{\downarrow }_{x}\rangle }$$

En forma vectorial, podrías escribir

$${\displaystyle |\psi \rangle \doteq {\begin{pmatrix}a_{\psi }\\b_{\psi }\end{pmatrix}}\quad {\text{or}}\quad |\psi \rangle \doteq {\begin{pmatrix}c_{\psi }\\d_{\psi }\end{pmatrix}}}$$

Existe una relación matemática entre , y ; ver cambio de base . ${\displaystyle a_{\psi }}$ ${\displaystyle b_{\psi }}$ ${\displaystyle c_{\psi }}$ ${\displaystyle d_{\psi }}$

Errores y usos ambiguos

Existen algunas convenciones y usos de la notación que pueden resultar confusos o ambiguos para el estudiante no iniciado o principiante.

Separación de producto interno y vectores.

Un motivo de confusión es que la notación no separa la operación del producto interno de la notación para un vector (bra). Si un vector sujetador (de espacio dual) se construye como una combinación lineal de otros vectores sujetador (por ejemplo, cuando se expresa en alguna base), la notación crea cierta ambigüedad y oculta detalles matemáticos. Podemos comparar la notación bra-ket con el uso de negrita para vectores, como y para el producto interior. Considere el siguiente vector sujetador de espacio dual en la base : ${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}}$ ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle \{|e_{n}\rangle \}}$

$${\displaystyle \langle \psi |=\sum _{n}\langle e_{n}|\psi _{n}}$$

Tiene que determinarse por convención si los números complejos están dentro o fuera del producto interno, y cada convención da resultados diferentes. ${\displaystyle \{\psi _{n}\}}$

$${\displaystyle \langle \psi |\equiv ({\boldsymbol {\psi }},\cdot )=\sum _{n}({\boldsymbol {e}}_{n},\cdot )\,\psi _{n}}$$

$${\displaystyle \langle \psi |\equiv ({\boldsymbol {\psi }},\cdot )=\sum _{n}({\boldsymbol {e}}_{n}\psi _{n},\cdot )=\sum _{n}({\boldsymbol {e}}_{n},\cdot )\,\psi _{n}^{*}}$$

Reutilización de símbolos

Es común utilizar el mismo símbolo para etiquetas y constantes . Por ejemplo, donde el símbolo se usa simultáneamente como el nombre del operador , su vector propio y el valor propio asociado . A veces también se deja caer el sombrero para los operadores, y se pueden ver notaciones como . ^[10] ${\displaystyle {\hat {\alpha }}|\alpha \rangle =\alpha |\alpha \rangle }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$ ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle A|a\rangle =a|a\rangle }$

Conjugado hermitiano de kets

Es común ver el uso , donde el puñal ( ) corresponde al conjugado hermitiano. Sin embargo, esto no es correcto en un sentido técnico, ya que ket, representa un vector en un espacio de Hilbert complejo , y bra, es un funcional lineal en vectores en . En otras palabras, es solo un vector, mientras que es la combinación de un vector y un producto interno. ${\displaystyle |\psi \rangle ^{\dagger }=\langle \psi |}$ ${\displaystyle \dagger }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \langle \psi |}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle \langle \psi |}$

Operaciones dentro de sujetadores y kets.

Esto se hace para una notación rápida de vectores de escala. Por ejemplo, si el vector tiene una escala de , se puede indicar . Esto puede resultar ambiguo ya que es simplemente una etiqueta para un estado y no un objeto matemático sobre el que se pueden realizar operaciones. Este uso es más común cuando se denotan vectores como productos tensoriales, donde parte de las etiquetas se mueven fuera de la ranura diseñada, por ejemplo . ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ ${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle |\alpha /{\sqrt {2}}\rangle }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle |\alpha \rangle =|\alpha /{\sqrt {2}}\rangle _{1}\otimes |\alpha /{\sqrt {2}}\rangle _{2}}$

Operadores lineales

Operadores lineales que actúan sobre kets.

Un operador lineal es un mapa que ingresa un ket y genera un ket. (Para ser llamado "lineal", se requiere tener ciertas propiedades ). En otras palabras, si es un operador lineal y es un vector ket, entonces es otro vector ket. ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle {\hat {A}}|\psi \rangle }$

En un espacio de Hilbert adimensional, podemos imponer una base al espacio y representarlo en términos de sus coordenadas como un vector columna . Utilizando la misma base para , se representa mediante una matriz compleja. El vector ket ahora se puede calcular mediante multiplicación de matrices. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle N\times 1}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle N\times N}$ ${\displaystyle {\hat {A}}|\psi \rangle }$

Los operadores lineales son omnipresentes en la teoría de la mecánica cuántica. Por ejemplo, las cantidades físicas observables se representan mediante operadores autoadjuntos , como la energía o el momento , mientras que los procesos transformativos se representan mediante operadores lineales unitarios , como la rotación o la progresión del tiempo.

Operadores lineales que actúan sobre sujetadores.

También se puede considerar que los operadores actúan sobre los sujetadores desde el lado derecho . Específicamente, si A es un operador lineal y ⟨ φ | es un sostén, entonces ⟨ φ | A es otro sujetador definido por la regla.

$${\displaystyle {\bigl (}\langle \phi |{\boldsymbol {A}}{\bigr )}|\psi \rangle =\langle \phi |{\bigl (}{\boldsymbol {A}}|\psi \rangle {\bigr )}\,,}$$

composición de funcionesproducto interno de energía

$${\displaystyle \langle \phi |{\boldsymbol {A}}|\psi \rangle \,.}$$

En un espacio de Hilbert N -dimensional, ⟨ φ | se puede escribir como un vector fila de 1 × N , y A (como en la sección anterior) es una matriz N × N. Entonces el sujetador ⟨ φ | A se puede calcular mediante multiplicación de matrices normal.

Si aparece el mismo vector de estado tanto en el lado del sujetador como en el del ket,

$${\displaystyle \langle \psi |{\boldsymbol {A}}|\psi \rangle \,,}$$

valor esperadoA| ψ⟩_

Productos exteriores

Una forma conveniente de definir operadores lineales en un espacio de Hilbert H viene dada por el producto exterior : si ⟨ ϕ | es un sujetador y | ψ ⟩ es un ket, el producto exterior

$${\displaystyle |\phi \rangle \,\langle \psi |}$$

operador de rango uno

$${\displaystyle {\bigl (}|\phi \rangle \langle \psi |{\bigr )}(x)=\langle \psi |x\rangle |\phi \rangle .}$$

Para un espacio vectorial de dimensión finita, el producto exterior puede entenderse como una simple multiplicación de matrices:

$${\displaystyle |\phi \rangle \,\langle \psi |\doteq {\begin{pmatrix}\phi _{1}\\\phi _{2}\\\vdots \\\phi _{N}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{1}^{*}&\psi _{2}^{*}&\cdots &\psi _{N}^{*}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\phi _{1}\psi _{1}^{*}&\phi _{1}\psi _{2}^{*}&\cdots &\phi _{1}\psi _{N}^{*}\\\phi _{2}\psi _{1}^{*}&\phi _{2}\psi _{2}^{*}&\cdots &\phi _{2}\psi _{N}^{*}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\phi _{N}\psi _{1}^{*}&\phi _{N}\psi _{2}^{*}&\cdots &\phi _{N}\psi _{N}^{*}\end{pmatrix}}}$$

N × N

Uno de los usos del producto exterior es construir operadores de proyección . Dado un ket | ψ ⟩ de la norma 1, la proyección ortogonal sobre el subespacio abarcado por | ψ ⟩ es

$${\displaystyle |\psi \rangle \,\langle \psi |\,.}$$

idempotente

Operador conjugado hermitiano

Así como kets y bras se pueden transformar entre sí (haciendo | ψ ⟩ en ⟨ ψ | ), el elemento del espacio dual correspondiente a A | ψ ⟩ es ⟨ ψ | A ^† , donde A ^† denota el conjugado (o adjunto) hermitiano del operador A . En otras palabras,

$${\displaystyle |\phi \rangle =A|\psi \rangle \quad {\text{if and only if}}\quad \langle \phi |=\langle \psi |A^{\dagger }\,.}$$

Si A se expresa como una matriz N × N , entonces A ^† es su transpuesta conjugada.

Los operadores autoadjuntos , donde A = A ^† , juegan un papel importante en la mecánica cuántica; por ejemplo, un observable siempre se describe mediante un operador autoadjunto. Si A es un operador autoadjunto, entonces ⟨ ψ | Un | ψ ⟩ es siempre un número real (no complejo). Esto implica que los valores esperados de los observables son reales.

Propiedades

La notación Bra-ket fue diseñada para facilitar la manipulación formal de expresiones algebraicas lineales. Algunas de las propiedades que permiten esta manipulación se enumeran aquí. En lo que sigue, c ₁ y c ₂ denotan números complejos arbitrarios , c * denota el conjugado complejo de c , A y B denotan operadores lineales arbitrarios, y estas propiedades son válidas para cualquier elección de bras y kets.

Linealidad

• Dado que los sujetadores son funcionales lineales,
  $${\displaystyle \langle \phi |{\bigl (}c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle {\bigr )}=c_{1}\langle \phi |\psi _{1}\rangle +c_{2}\langle \phi |\psi _{2}\rangle \,.}$$
• Por la definición de suma y multiplicación escalar de funcionales lineales en el espacio dual, ^[11]
  $${\displaystyle {\bigl (}c_{1}\langle \phi _{1}|+c_{2}\langle \phi _{2}|{\bigr )}|\psi \rangle =c_{1}\langle \phi _{1}|\psi \rangle +c_{2}\langle \phi _{2}|\psi \rangle \,.}$$

asociatividad

Dada cualquier expresión que incluya números complejos, bras, kets, productos internos, productos externos y/u operadores lineales (pero no sumas), escrita en notación bra-ket, las agrupaciones entre paréntesis no importan (es decir, se cumple la propiedad asociativa ) . Por ejemplo:

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \psi |{\bigl (}A|\phi \rangle {\bigr )}={\bigl (}\langle \psi |A{\bigr )}|\phi \rangle \,&{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\langle \psi |A|\phi \rangle \\{\bigl (}A|\psi \rangle {\bigr )}\langle \phi |=A{\bigl (}|\psi \rangle \langle \phi |{\bigr )}\,&{\stackrel {\text{def}}{=}}\,A|\psi \rangle \langle \phi |\end{aligned}}}$

Etcétera. Las expresiones de la derecha (sin ningún paréntesis) pueden escribirse sin ambigüedades debido a las igualdades de la izquierda. Tenga en cuenta que la propiedad asociativa no se cumple para expresiones que incluyen operadores no lineales, como el operador de inversión de tiempo antilineal en física.

Conjugación hermitiana

La notación Bra-ket hace que sea particularmente fácil calcular el conjugado hermitiano (también llamado daga y denotado † ) de expresiones. Las reglas formales son:

• El conjugado hermitiano de un sujetador es el ket correspondiente, y viceversa.
• El conjugado hermitiano de un número complejo es su conjugado complejo.
• El conjugado hermitiano del conjugado hermitiano de cualquier cosa (operadores lineales, bras, kets, números) es en sí mismo, es decir,
  $${\displaystyle \left(x^{\dagger }\right)^{\dagger }=x\,.}$$
• Dada cualquier combinación de números complejos, bras, kets, productos internos, productos externos y/u operadores lineales, escritos en notación bra-ket, su conjugado hermitiano se puede calcular invirtiendo el orden de los componentes y tomando el conjugado hermitiano de cada.

Estas reglas son suficientes para escribir formalmente el conjugado hermitiano de cualquier expresión de este tipo; algunos ejemplos son los siguientes:

• Kets:
  $${\displaystyle {\bigl (}c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle {\bigr )}^{\dagger }=c_{1}^{*}\langle \psi _{1}|+c_{2}^{*}\langle \psi _{2}|\,.}$$
• Productos internos:
  $${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle ^{*}=\langle \psi |\phi \rangle \,.}$$
  Tenga en cuenta que ⟨ φ | ψ ⟩ es un escalar, por lo que el conjugado hermitiano es solo el conjugado complejo, es decir,
  $${\displaystyle {\bigl (}\langle \phi |\psi \rangle {\bigr )}^{\dagger }=\langle \phi |\psi \rangle ^{*}}$$
• Elementos de la matriz:
  $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \phi |A|\psi \rangle ^{\dagger }&=\left\langle \psi \left|A^{\dagger }\right|\phi \right\rangle \\\left\langle \phi \left|A^{\dagger }B^{\dagger }\right|\psi \right\rangle ^{\dagger }&=\langle \psi |BA|\phi \rangle \,.\end{aligned}}}$$
• Productos exteriores:
  $${\displaystyle {\Big (}{\bigl (}c_{1}|\phi _{1}\rangle \langle \psi _{1}|{\bigr )}+{\bigl (}c_{2}|\phi _{2}\rangle \langle \psi _{2}|{\bigr )}{\Big )}^{\dagger }={\bigl (}c_{1}^{*}|\psi _{1}\rangle \langle \phi _{1}|{\bigr )}+{\bigl (}c_{2}^{*}|\psi _{2}\rangle \langle \phi _{2}|{\bigr )}\,.}$$

Sujetadores y kets compuestos

Dos espacios de Hilbert V y W pueden formar un tercer espacio V ⊗ W mediante un producto tensorial . En mecánica cuántica, esto se utiliza para describir sistemas compuestos. Si un sistema está compuesto por dos subsistemas descritos en V y W respectivamente, entonces el espacio de Hilbert de todo el sistema es el producto tensorial de los dos espacios. (La excepción a esto es si los subsistemas son en realidad partículas idénticas . En ese caso, la situación es un poco más complicada).

Si | ψ ⟩ es un ket en V y | φ ⟩ es un ket en W , el producto tensorial de los dos kets es un ket en V ⊗ W . Esto está escrito en varias notaciones:

${\displaystyle |\psi \rangle |\phi \rangle \,,\quad |\psi \rangle \otimes |\phi \rangle \,,\quad |\psi \phi \rangle \,,\quad |\psi ,\phi \rangle \,.}$

Consulte entrelazamiento cuántico y la paradoja EPR para conocer las aplicaciones de este producto.

El operador de la unidad.

Considere un sistema ortonormal completo ( base ),

$${\displaystyle \{e_{i}\ |\ i\in \mathbb {N} \}\,,}$$

H⟨·,·⟩

A partir del análisis funcional básico , se sabe que cualquier ket también se puede escribir como ${\displaystyle |\psi \rangle }$

$${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i\in \mathbb {N} }\langle e_{i}|\psi \rangle |e_{i}\rangle ,}$$

⟨·|·⟩

De la conmutatividad de kets con escalares (complejos), se deduce que

$${\displaystyle \sum _{i\in \mathbb {N} }|e_{i}\rangle \langle e_{i}|=\mathbb {I} }$$

operador de identidad

Esto, entonces, puede insertarse en cualquier expresión sin afectar su valor; Por ejemplo

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle v|w\rangle &=\langle v|\left(\sum _{i\in \mathbb {N} }|e_{i}\rangle \langle e_{i}|\right)|w\rangle \\&=\langle v|\left(\sum _{i\in \mathbb {N} }|e_{i}\rangle \langle e_{i}|\right)\left(\sum _{j\in \mathbb {N} }|e_{j}\rangle \langle e_{j}|\right)|w\rangle \\&=\langle v|e_{i}\rangle \langle e_{i}|e_{j}\rangle \langle e_{j}|w\rangle \,,\end{aligned}}}$$

convención de suma de Einstein para evitar el desorden.

En mecánica cuántica ocurre a menudo que hay poca o ninguna información sobre el producto interno ⟨ ψ | φ ⟩ de dos kets (de estado) arbitrarios está presente, mientras que todavía es posible decir algo sobre los coeficientes de expansión ⟨ ψ | mi _yo ⟩ = ⟨ mi _yo | ψ ⟩ * y ⟨ e _i | φ ⟩ de esos vectores con respecto a una base específica (ortonormalizada). En este caso, resulta particularmente útil insertar el operador unitario en el soporte una o más veces.

Para más información, ver Resolución de la identidad , ^[12]

$${\displaystyle {\mathbb {I} }=\int \!dx~|x\rangle \langle x|=\int \!dp~|p\rangle \langle p|,}$$

$${\displaystyle |p\rangle =\int dx{\frac {e^{ixp/\hbar }|x\rangle }{\sqrt {2\pi \hbar }}}.}$$

Desde ⟨ x ′ | x ⟩ = δ ( x − x ′ ) , siguen ondas planas,

$${\displaystyle \langle x|p\rangle ={\frac {e^{ixp/\hbar }}{\sqrt {2\pi \hbar }}}.}$$

En su libro (1958), cap. III.20, Dirac define el ket estándar que, hasta una normalización, es el estado propio del momento invariante traslacionalmente en la representación del momento, es decir, . En consecuencia, la función de onda correspondiente es una constante, y ${\textstyle |\varpi \rangle =\lim _{p\to 0}|p\rangle }$ ${\displaystyle {\hat {p}}|\varpi \rangle =0}$ ${\displaystyle \langle x|\varpi \rangle {\sqrt {2\pi \hbar }}=1}$

$${\displaystyle |x\rangle =\delta ({\hat {x}}-x)|\varpi \rangle {\sqrt {2\pi \hbar }},}$$

$${\displaystyle |p\rangle =\exp(ip{\hat {x}}/\hbar )|\varpi \rangle .}$$

Normalmente, cuando todos los elementos de la matriz de un operador como

$${\displaystyle \langle x|A|y\rangle }$$

$${\displaystyle \int dx\,dy\,|x\rangle \langle x|A|y\rangle \langle y|=A\,.}$$

Notación utilizada por los matemáticos.

El objeto que los físicos están considerando cuando usan la notación de soporte es un espacio de Hilbert (un espacio producto interno completo ).

Sea un espacio de Hilbert y h ∈ H un vector en H . Lo que los físicos denotarían por | h ⟩ es el vector mismo. Eso es, ${\displaystyle ({\mathcal {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$

$${\displaystyle |h\rangle \in {\mathcal {H}}.}$$

Sea H * el espacio dual de H . Este es el espacio de funcionales lineales en H . La incrustación se define por , donde para cada h ∈ H el funcional lineal satisface para cada g ∈ H la ecuación funcional . La confusión notacional surge al identificar φ _h y g con ⟨ h | y | gramo ⟩ respectivamente. Esto se debe a sustituciones simbólicas literales. Sea y sea g = G = | gramo ⟩ . Esto da ${\displaystyle \Phi :{\mathcal {H}}\hookrightarrow {\mathcal {H}}^{*}}$ ${\displaystyle \Phi (h)=\varphi _{h}}$ ${\displaystyle \varphi _{h}:{\mathcal {H}}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \varphi _{h}(g)=\langle h,g\rangle =\langle h\mid g\rangle }$ ${\displaystyle \varphi _{h}=H=\langle h\mid }$

$${\displaystyle \varphi _{h}(g)=H(g)=H(G)=\langle h|(G)=\langle h|{\bigl (}|g\rangle {\bigr )}\,.}$$

Se ignoran los paréntesis y se eliminan las barras dobles.

Además, los matemáticos normalmente escriben la entidad dual no en el primer lugar, como hacen los físicos, sino en el segundo, y normalmente no utilizan un asterisco sino una línea superpuesta (que los físicos reservan para los promedios y el espinor de Dirac adjunto ) para denotar números conjugados complejos ; es decir, para productos escalares los matemáticos suelen escribir

$${\displaystyle \langle \phi ,\psi \rangle =\int \phi (x)\cdot {\overline {\psi (x)}}\,\mathrm {d} x\,,}$$

$${\displaystyle \langle \psi |\phi \rangle =\int dx\,\psi ^{*}(x)\phi (x)~.}$$

Ver también

• Portal de matemáticas
• Portal de física

• Diagramas de momento angular (mecánica cuántica)
• n -ecuación interferométrica de rendija
• Estado cuántico
• Espacio interior del producto

Notas

1. PAM Dirac (1939). Una nueva notación para la mecánica cuántica. Actas matemáticas de la Sociedad Filosófica de Cambridge, 35, págs. 416-418 doi:10.1017/S0305004100021162
2. Dirac 1939
3. Shankar 1994, Capítulo 1
4. Grassmann 1862
5. Conferencia 2 | Enredos cuánticos, parte 1 (Stanford), Leonard Susskind sobre números complejos, conjugados complejos, bra, ket. 2006-10-02.
6. Conferencia 2 | Enredos cuánticos, parte 1 (Stanford), Leonard Susskind sobre el producto interno, 2 de octubre de 2006.
7. "Gidney, Craig (2017). La notación Bra-Ket trivializa la multiplicación de matrices".
8. Sakurai y Napolitano 2021 Seg. 1.2, 1.3
9. Sakurai y Napolitano 2021 Sección 1.3
10. Sakurai y Napolitano 2021 Seg. 1.2, 1.3
11. Apuntes de conferencias de Robert Littlejohn Archivado el 17 de junio de 2012 en Wayback Machine , ecuaciones 12 y 13
12. Sakurai y Napolitano 2021 Seg. 1.2, 1.3

Referencias

• Dirac, PAM (1939). "Una nueva notación para la mecánica cuántica". Actas matemáticas de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 35 (3): 416–418. Código Bib : 1939PCPS...35..416D. doi :10.1017/S0305004100021162. S2CID  121466183.. Véase también su texto estándar, The Principles of Quantum Mechanics , IV edición, Clarendon Press (1958), ISBN 978-0198520115. 
• Grassmann, H. (1862). Teoría de la extensión . Historia de las fuentes matemáticas. Traducción de 2000 de Lloyd C. Kannenberg. Sociedad Matemática Estadounidense, Sociedad Matemática de Londres.
• Cajori, Florián (1929). Una historia de las notaciones matemáticas Volumen II. Publicaciones de corte abierta . pag. 134.ISBN _ 978-0-486-67766-8.
• Shankar, R. (1994). Principios de la mecánica cuántica (2ª ed.). ISBN 0-306-44790-8.
• Feynman, Richard P.; Leighton, Robert B.; Arenas, Mateo (1965). Las conferencias Feynman sobre física. vol. III. Lectura, MA: Addison-Wesley. ISBN 0-201-02118-8.
• Sakurai, JJ; Napolitano, J (2021). Mecánica cuántica moderna (3ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-1-108-42241-3.

enlaces externos

• Richard Fitzpatrick, "Mecánica cuántica: un curso de posgrado", Universidad de Texas en Austin. Incluye:
  • 1. Espacio Ket
  • 2. Espacio del sujetador
  • 3. Operadores
  • 4. El producto exterior
  • 5. Valores propios y vectores propios
• Robert Littlejohn, Apuntes de conferencias sobre "El formalismo matemático de la mecánica cuántica", incluida la notación bra-ket. Universidad de California, Berkeley.
• Gières, F. (2000). "Sorpresas matemáticas y formalismo de Dirac en mecánica cuántica". Prog. Rep. Física . 63 (12): 1893-1931. arXiv : quant-ph/9907069 . Código Bib : 2000RPPh...63.1893G. doi :10.1088/0034-4885/63/12/201. S2CID  10854218.