Cálculo funcional de Borel

Rama del análisis funcional

En el análisis funcional , una rama de las matemáticas , el cálculo funcional de Borel es un cálculo funcional (es decir, una asignación de operadores de álgebras conmutativas a funciones definidas en sus espectros ), que tiene un alcance particularmente amplio. ^{[1] [2]} Así, por ejemplo, si T es un operador, al aplicar la función de elevación al cuadrado s → s ² a T se obtiene el operador T ² . Utilizando el cálculo funcional para clases más grandes de funciones, podemos, por ejemplo, definir rigurosamente la "raíz cuadrada" del operador laplaciano (negativo) −Δ o la exponencial ${\displaystyle e^{it\Delta }.}$

El "alcance" aquí se refiere al tipo de función de un operador que está permitido. El cálculo funcional de Borel es más general que el cálculo funcional continuo y su enfoque es diferente al del cálculo funcional holomorfo .

Más precisamente, el cálculo funcional de Borel permite aplicar una función de Borel arbitraria a un operador autoadjunto , de manera que generaliza la aplicación de una función polinomial .

Motivación

Si T es un operador autoadjunto en un espacio de producto interno de dimensión finita H , entonces H tiene una base ortonormal { e ₁ , ..., e _ℓ } que consiste en vectores propios de T , es decir $${\displaystyle Te_{k}=\lambda _{k}e_{k},\qquad 1\leq k\leq \ell .}$$

Por lo tanto, para cualquier entero positivo n , $${\displaystyle T^{n}e_{k}=\lambda _{k}^{n}e_{k}.}$$

Si sólo se consideran polinomios en T , entonces se obtiene el cálculo funcional holomorfo . La relación también se cumple para funciones más generales de T. Dada una función de Borel h , se puede definir un operador h ( T ) especificando su comportamiento sobre la base: $${\displaystyle h(T)e_{k}=h(\lambda _{k})e_{k}.}$$

En general, cualquier operador autoadjunto T es unitariamente equivalente a un operador de multiplicación; esto significa que para muchos propósitos, T puede considerarse como un operador que actúa sobre L ² de algún espacio de medida . El dominio de T consiste en aquellas funciones cuya expresión anterior está en L ² . En tal caso, se puede definir análogamente $${\displaystyle [T\psi ](x)=f(x)\psi (x)}$$ $${\displaystyle [h(T)\psi ](x)=[h\circ f](x)\psi (x).}$$

Para muchos propósitos técnicos, la formulación anterior es suficiente. Sin embargo, es deseable formular el cálculo funcional de una manera que no dependa de la representación particular de T como operador de multiplicación. Eso es lo que haremos en la siguiente sección.

El cálculo funcional acotado

Formalmente, el cálculo funcional de Borel acotado de un operador autoadjunto T en el espacio de Hilbert H es una aplicación definida en el espacio de funciones de Borel complejas acotadas f en la línea real, tal que se cumplen las siguientes condiciones $${\displaystyle {\begin{cases}\pi _{T}:L^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {C} )\to {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})\\f\mapsto f(T)\end{cases}}}$$

• π _T es un homomorfismo que preserva la involución y la unidad del anillo de funciones medibles acotadas de valor complejo en R.
• Si ξ es un elemento de H , entonces es una medida aditiva contable en los conjuntos de Borel E de R . En la fórmula anterior 1 _E denota la función indicadora de E . Estas medidas ν _ξ se denominan medidas espectrales de T . $${\displaystyle \nu _{\xi }:E\mapsto \langle \pi _{T}(\mathbf {1} _{E})\xi ,\xi \rangle }$$
• Si η denota la función z → z en C , entonces: $${\displaystyle \pi _{T}\left([\eta +i]^{-1}\right)=[T+i]^{-1}.}$$

Teorema  :  Cualquier operador autoadjunto T tiene un cálculo funcional de Borel único.

Esto define el cálculo funcional para funciones acotadas aplicadas a operadores autoadjuntos posiblemente no acotados . Utilizando el cálculo funcional acotado, se puede demostrar parte del teorema de Stone sobre grupos unitarios de un parámetro :

Teorema  —  Si A es un operador autoadjunto, entonces es un grupo unitario fuertemente continuo de 1 parámetro cuyo generador infinitesimal es iA . $${\displaystyle U_{t}=e^{itA},\qquad t\in \mathbb {R} }$$

Como aplicación, consideramos la ecuación de Schrödinger o, equivalentemente, la dinámica de un sistema mecánico cuántico. En la mecánica cuántica no relativista , el operador hamiltoniano H modela la energía total observable de un sistema mecánico cuántico S. El grupo unitario generado por iH corresponde a la evolución temporal de S.

También podemos utilizar el cálculo funcional de Borel para resolver de forma abstracta algunos problemas de valor inicial lineal , como la ecuación del calor o las ecuaciones de Maxwell.

Existencia de un cálculo funcional

La existencia de una aplicación con las propiedades de un cálculo funcional requiere demostración. Para el caso de un operador autoadjunto acotado T , la existencia de un cálculo funcional de Borel se puede demostrar de manera elemental de la siguiente manera:

Primer paso del cálculo polinómico al cálculo funcional continuo utilizando el teorema de Stone-Weierstrass . El hecho crucial aquí es que, para un operador autoadjunto acotado T y un polinomio p , $${\displaystyle \|p(T)\|=\sup _{\lambda \in \sigma (T)}|p(\lambda )|.}$$

En consecuencia, la aplicación es una isometría y un homomorfismo densamente definido en el anillo de funciones polinómicas. La extensión por continuidad define f ( T ) para una función continua f en el espectro de T . El teorema de Riesz-Markov nos permite entonces pasar de la integración en funciones continuas a medidas espectrales , y este es el cálculo funcional de Borel. $${\displaystyle p\mapsto p(T)}$$

Alternativamente, el cálculo continuo se puede obtener mediante la transformada de Gelfand , en el contexto de las álgebras de Banach conmutativas. La extensión a funciones mensurables se logra aplicando Riesz-Markov, como se indicó anteriormente. En esta formulación, T puede ser un operador normal .

Dado un operador T , el rango del cálculo funcional continuo h → h ( T ) es la C*-álgebra (abeliana) C ( T ) generada por T . El cálculo funcional de Borel tiene un rango mayor, que es la clausura de C ( T ) en la topología del operador débil , un álgebra de von Neumann (aún abeliana) .

El cálculo funcional general

También podemos definir el cálculo funcional para funciones de Borel h no necesariamente acotadas ; el resultado es un operador que en general no está acotado. Utilizando el modelo de multiplicación por una función f de un operador autoadjunto dado por el teorema espectral, esta es la multiplicación por la composición de h con f .

Teorema  —  Sea T un operador autoadjunto en H , h una función de Borel de valor real en R . Existe un único operador S tal que $${\displaystyle \operatorname {dom} S=\left\{\xi \in H:h\in L_{\nu _{\xi }}^{2}(\mathbb {R} )\right\}}$$ $${\displaystyle \langle S\xi ,\xi \rangle =\int _{\mathbb {R} }h(t)\ d\nu _{\xi }(t),\quad {\text{for}}\quad \xi \in \operatorname {dom} S}$$

El operador S del teorema anterior se denota h ( T ).

De manera más general, también existe un cálculo funcional de Borel para operadores normales (acotados).

Resolución de la identidad

Sea un operador autoadjunto. Si es un subconjunto de Borel de R , y es la función indicadora de E , entonces es una proyección autoadjunta sobre H . Entonces la función de mapeo es una medida con valor de proyección . La medida de R con respecto a es el operador identidad sobre H . En otras palabras, el operador identidad puede expresarse como la integral espectral ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{E}}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{E}(T)}$ $${\displaystyle \Omega _{T}:E\mapsto \mathbf {1} _{E}(T)}$$ ${\textstyle \Omega _{T}}$

${\displaystyle I=\Omega _{T}([-\infty ,\infty ])=\int _{-\infty }^{\infty }d\Omega _{T}}$.

La fórmula de Stone ^[3] expresa la medida espectral en términos del resolvente : ${\displaystyle \Omega _{T}}$ ${\displaystyle R_{T}(\lambda )\equiv \left(T-\lambda I\right)^{-1}}$

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\int _{a}^{b}\left[R_{T}(\lambda +i\epsilon ))-R_{T}(\lambda -i\epsilon )\right]\,d\lambda =\Omega _{T}((a,b))+{\frac {1}{2}}\left[\Omega _{T}(\{a\})+\Omega _{T}(\{b\})\right].}$

Dependiendo de la fuente, la resolución de la identidad se define, ya sea como una medida con valor de proyección , ^[4] o como una familia de un parámetro de medidas con valor de proyección con . ^[5] ${\displaystyle \Omega _{T}}$ ${\displaystyle \{\Sigma _{\lambda }\}}$ ${\displaystyle -\infty <\lambda <\infty }$

En el caso de una medida discreta (en particular, cuando H es de dimensión finita), se puede escribir como en la notación de Dirac, donde cada uno es un vector propio normalizado de T . El conjunto es una base ortonormal de H . ${\textstyle I=\int 1\,d\Omega _{T}}$ $${\displaystyle I=\sum _{i}\left|i\right\rangle \left\langle i\right|}$$ ${\displaystyle |i\rangle }$ ${\displaystyle \{|i\rangle \}}$

En la literatura de física, utilizando lo anterior como heurística, se pasa al caso cuando la medida espectral ya no es discreta y se escribe la resolución de identidad como y se habla de una "base continua", o "continuo de estados base". Matemáticamente, a menos que se den justificaciones rigurosas, esta expresión es puramente formal. $${\displaystyle I=\int \!\!di~|i\rangle \langle i|}$$ ${\displaystyle \{|i\rangle \}}$

Referencias

1. Kadison, Richard V.; Ringrose, John R. (1997). Fundamentos de la teoría de las álgebras de operadores: vol . 1. Sociedad Matemática Americana. ISBN 0-8218-0819-2.
2. Reed, Michael; Simon, Barry (1981). Métodos de física matemática moderna . Academic Press. ISBN 0-12-585050-6.
3. Takhtajan, Leon A. (2020). "Estudios de lo resolutivo". Encuestas matemáticas rusas . 75 (1): 147–186. arXiv : 2004.11950 . doi :10.1070/RM9917.
4. Rudin, Walter (1991). Análisis funcional . Boston, Mass.: McGraw-Hill Science, Engineering & Mathematics. págs. 316-317. ISBN. 978-0-07-054236-5.
5. Akhiezer, Naum Ilʹich (1981). Teoría de operadores lineales en el espacio de Hilbert . Boston: Pitman. pág. 213. ISBN 0-273-08496-8.