Espacio energético

En matemáticas , más precisamente en análisis funcional , un espacio energético es, intuitivamente, un subespacio de un espacio de Hilbert real dado, dotado de un nuevo producto interno "energético" . La motivación para el nombre proviene de la física , ya que en muchos problemas físicos la energía de un sistema se puede expresar en términos del producto interno energético. Más adelante en el artículo se dará un ejemplo de esto.

Espacio energético

Formalmente, considere un espacio de Hilbert real con el producto interno y la norma . Sea un subespacio lineal de y un operador lineal fuertemente monótono y simétrico , es decir, un operador lineal que satisface ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (\cdot |\cdot )}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B:Y\to X}$

• ${\displaystyle (Bu|v)=(u|Bv)\,}$para todos en ${\displaystyle u,v}$ ${\displaystyle Y}$
• ${\displaystyle (Bu|u)\geq c\|u\|^{2}}$por alguna constante y todo en ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle Y.}$

El producto interno energético se define como

${\displaystyle (u|v)_{E}=(Bu|v)\,}$para todos en ${\displaystyle u,v}$ ${\displaystyle Y}$

y la norma energéticaes

${\displaystyle \|u\|_{E}=(u|u)_{E}^{\frac {1}{2}}\,}$para todos en ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle Y.}$

El conjunto junto con el producto interno energético es un espacio pre-Hilbert . El espacio energético se define como la completitud de en la norma energética. puede considerarse un subconjunto del espacio de Hilbert original ya que cualquier sucesión de Cauchy en la norma energética es también Cauchy en la norma de (esto se desprende de la propiedad de monotonía fuerte de ). ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X_{E}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X_{E}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$

El producto interior energético se extiende de a por ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X_{E}}$

${\displaystyle (u|v)_{E}=\lim _{n\to \infty }(u_{n}|v_{n})_{E}}$

donde y son secuencias en Y que convergen a puntos en la norma energética. ${\displaystyle (u_{n})}$ ${\displaystyle (v_{n})}$ ${\displaystyle X_{E}}$

Extensión energética

El operador admite una extensión energética ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B_{E}}$

${\displaystyle B_{E}:X_{E}\to X_{E}^{*}}$

definido con valores en el espacio dual que viene dado por la fórmula ${\displaystyle X_{E}}$ ${\displaystyle X_{E}^{*}}$

${\displaystyle \langle B_{E}u|v\rangle _{E}=(u|v)_{E}}$para todos en ${\displaystyle u,v}$ ${\displaystyle X_{E}.}$

Aquí, denota el corchete de dualidad entre y por lo que en realidad denota ${\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle _{E}}$ ${\displaystyle X_{E}^{*}}$ ${\displaystyle X_{E},}$ ${\displaystyle \langle B_{E}u|v\rangle _{E}}$ ${\displaystyle (B_{E}u)(v).}$

Si y son elementos en el subespacio original entonces ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle Y,}$

${\displaystyle \langle B_{E}u|v\rangle _{E}=(u|v)_{E}=(Bu|v)=\langle u|B|v\rangle }$

por la definición del producto interno energético. Si se considera que es un elemento en como un elemento en el dual a través del teorema de representación de Riesz , entonces también estará en el dual (por la propiedad de monotonía fuerte de ). A través de estas identificaciones, se deduce de la fórmula anterior que En otras palabras, el operador original puede verse como un operador y entonces es simplemente la extensión de la función de de a ${\displaystyle Bu,}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle Bu}$ ${\displaystyle X_{E}^{*}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B_{E}u=Bu.}$ ${\displaystyle B:Y\to X}$ ${\displaystyle B:Y\to X_{E}^{*},}$ ${\displaystyle B_{E}:X_{E}\to X_{E}^{*}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X_{E}.}$

Un ejemplo de la física

Una cuerda con extremos fijos bajo la influencia de una fuerza que apunta hacia abajo.

Considere una cuerda cuyos extremos están fijados en dos puntos de la línea real (aquí vista como una línea horizontal). Sea la densidad de fuerza exterior vertical en cada punto de la cuerda , donde es un vector unitario que apunta verticalmente y Sea la desviación de la cuerda en el punto bajo la influencia de la fuerza. Suponiendo que la desviación es pequeña, la energía elástica de la cuerda es ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (a\leq x\leq b)}$ ${\displaystyle f(x)\mathbf {e} }$ ${\displaystyle \mathbf {e} }$ ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle u(x)}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\!u'(x)^{2}\,dx}$

y la energía potencial total de la cuerda es

${\displaystyle F(u)={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\!u'(x)^{2}\,dx-\int _{a}^{b}\!u(x)f(x)\,dx.}$

La desviación que minimiza la energía potencial satisfará la ecuación diferencial ${\displaystyle u(x)}$

${\displaystyle -u''=f\,}$

con condiciones de contorno

${\displaystyle u(a)=u(b)=0.\,}$

Para estudiar esta ecuación, considere el espacio , es decir, el espacio Lp de todas las funciones integrables al cuadrado con respecto a la medida de Lebesgue . Este espacio es de Hilbert con respecto al producto interno ${\displaystyle X=L^{2}(a,b),}$ ${\displaystyle u:[a,b]\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle (u|v)=\int _{a}^{b}\!u(x)v(x)\,dx,}$

con la norma dada por

${\displaystyle \|u\|={\sqrt {(u|u)}}.}$

Sea el conjunto de todas las funciones dos veces continuamente diferenciables con las condiciones de contorno. Entonces es un subespacio lineal de ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u:[a,b]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle u(a)=u(b)=0.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$

Consideremos el operador dado por la fórmula ${\displaystyle B:Y\to X}$

${\displaystyle Bu=-u'',\,}$

Por lo tanto, la desviación satisface la ecuación. Usando la integración por partes y las condiciones de contorno, se puede ver que ${\displaystyle Bu=f.}$

${\displaystyle (Bu|v)=-\int _{a}^{b}\!u''(x)v(x)\,dx=\int _{a}^{b}u'(x)v'(x)=(u|Bv)}$

para cualquier y en Por lo tanto, es un operador lineal simétrico. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle B}$también es fuertemente monótona, ya que, por la desigualdad de Friedrichs

${\displaystyle \|u\|^{2}=\int _{a}^{b}u^{2}(x)\,dx\leq C\int _{a}^{b}u'(x)^{2}\,dx=C\,(Bu|u)}$

Para algunos ${\displaystyle C>0.}$

El espacio energético respecto al operador es entonces el espacio de Sobolev Vemos que la energía elástica de la cuerda que motivó este estudio es ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle H_{0}^{1}(a,b).}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\!u'(x)^{2}\,dx={\frac {1}{2}}(u|u)_{E},}$

Por lo tanto, es la mitad del producto energético interno de sí mismo. ${\displaystyle u}$

Para calcular la desviación minimizando la energía potencial total de la cuerda, se escribe este problema en la forma ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle F(u)}$

${\displaystyle (u|v)_{E}=(f|v)\,}$para todos en . ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle X_{E}}$

A continuación, se suele aproximar mediante algún , una función en un subespacio de dimensión finita del verdadero espacio de solución. Por ejemplo, se podría dejar que sea una función lineal continua por partes en el espacio energético, lo que da el método de elementos finitos . La aproximación se puede calcular resolviendo un sistema de ecuaciones lineales . ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u_{h}}$ ${\displaystyle u_{h}}$ ${\displaystyle u_{h}}$

La norma energética resulta ser la norma natural para medir el error entre y , véase el lema de Céa . ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u_{h}}$

Véase también

• Espacio interior del producto
• Núcleo positivo definido

Referencias

• Zeidler, Eberhard (1995). Análisis funcional aplicado: aplicaciones a la física matemática. Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94442-7.

• Johnson, Claes (1987). Solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales por el método de elementos finitos . Cambridge University Press. ISBN 0-521-34514-6.