Producto exterior

Operación vectorial

En álgebra lineal , el producto externo de dos vectores de coordenadas es la matriz cuyas entradas son todas productos de un elemento en el primer vector con un elemento en el segundo vector. Si los dos vectores de coordenadas tienen dimensiones n y m , entonces su producto exterior es una matriz n × m . De manera más general, dados dos tensores (matrices multidimensionales de números), su producto exterior es un tensor. El producto externo de los tensores también se conoce como su producto tensorial y puede usarse para definir el álgebra tensorial .

El producto exterior contrasta con:

• El producto escalar (un caso especial de " producto interno "), que toma un par de vectores de coordenadas como entrada y produce un escalar.
• El producto de Kronecker , que toma un par de matrices como entrada y produce una matriz de bloques
• Multiplicación de matrices estándar

Definición

Dados dos vectores de tamaño y respectivamente ${\displaystyle m\times 1}$ ${\displaystyle n\times 1}$

$${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\\vdots \\u_{m}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}}$$

su producto exterior, denotado, se define como la matriz obtenida multiplicando cada elemento de por cada elemento de : ^[1] ${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} ,}$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

$${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} =\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}u_{1}v_{1}&u_{1}v_{2}&\dots &u_{1}v_{n}\\u_{2}v_{1}&u_{2}v_{2}&\dots &u_{2}v_{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\u_{m}v_{1}&u_{m}v_{2}&\dots &u_{m}v_{n}\end{bmatrix}}}$$

O, en notación de índice:

$${\displaystyle (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )_{ij}=u_{i}v_{j}}$$

Denotar el producto escalar por si se le da un vector , entonces Si se le da un vector , entonces ${\displaystyle \,\cdot ,\,}$ ${\displaystyle n\times 1}$ ${\displaystyle \mathbf {w} ,}$ ${\displaystyle (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )\mathbf {w} =(\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {u} .}$ ${\displaystyle 1\times m}$ ${\displaystyle \mathbf {x} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {x} (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )=(\mathbf {x} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {v} ^{\operatorname {T} }.}$

Si y son vectores de la misma dimensión mayores que 1, entonces . ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \det(\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )=0}$

El producto exterior es equivalente a una multiplicación de matrices siempre que se represente como un vector columna y como un vector columna (lo que forma un vector fila). ^{[2] [3]} Por ejemplo, si y entonces ^[4] ${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} \mathbf {v} ^{\operatorname {T} },}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle m\times 1}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle n\times 1}$ ${\displaystyle \mathbf {v} ^{\operatorname {T} }}$ ${\displaystyle m=4}$ ${\displaystyle n=3,}$

$${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} =\mathbf {u} \mathbf {v} ^{\textsf {T}}={\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\\u_{4}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u_{1}v_{1}&u_{1}v_{2}&u_{1}v_{3}\\u_{2}v_{1}&u_{2}v_{2}&u_{2}v_{3}\\u_{3}v_{1}&u_{3}v_{2}&u_{3}v_{3}\\u_{4}v_{1}&u_{4}v_{2}&u_{4}v_{3}\end{bmatrix}}.}$$

Para vectores complejos , suele ser útil tomar la transpuesta conjugada de denotado o : ${\displaystyle \mathbf {v} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {v} ^{\dagger }}$ ${\displaystyle \left(\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\right)^{*}}$

$${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} =\mathbf {u} \mathbf {v} ^{\dagger }=\mathbf {u} \left(\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\right)^{*}.}$$

Contraste con el producto interno euclidiano

Si entonces se puede tomar el producto matricial al revés, obteniendo un escalar (o matriz): ${\displaystyle m=n,}$ ${\displaystyle 1\times 1}$

$${\displaystyle \left\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \right\rangle =\mathbf {u} ^{\textsf {T}}\mathbf {v} }$$

que es el producto interno estándar para los espacios vectoriales euclidianos , ^[3] más conocido como producto escalar . El producto escalar es la traza del producto exterior. ^[5] A diferencia del producto escalar, el producto exterior no es conmutativo.

La multiplicación de un vector por la matriz se puede escribir en términos del producto interno, usando la relación . ${\displaystyle \mathbf {w} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \left(\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} \right)\mathbf {w} =\mathbf {u} \left\langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \right\rangle }$

El producto exterior de los tensores.

Dados dos tensores con dimensiones y , su producto exterior es un tensor con dimensiones y entradas ${\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} }$ ${\displaystyle (k_{1},k_{2},\dots ,k_{m})}$ ${\displaystyle (l_{1},l_{2},\dots ,l_{n})}$ ${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} }$ ${\displaystyle (k_{1},k_{2},\dots ,k_{m},l_{1},l_{2},\dots ,l_{n})}$

$${\displaystyle (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )_{i_{1},i_{2},\dots i_{m},j_{1},j_{2},\dots ,j_{n}}=u_{i_{1},i_{2},\dots ,i_{m}}v_{j_{1},j_{2},\dots ,j_{n}}}$$

Por ejemplo, si es de orden 3 con dimensiones y es de orden 2 con dimensiones, entonces su producto exterior es de orden 5 con dimensiones. Si tiene un componente A _{[2, 2, 4]} = 11 y tiene un componente B _{[8, 88 ]} = 13 , entonces el componente formado por el producto exterior es C _{[2, 2, 4, 8, 88]} = 143 . ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle (3,5,7)}$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle (10,100),}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle (3,5,7,10,100).}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

Conexión con el producto Kronecker

El producto exterior y el producto Kronecker están estrechamente relacionados; de hecho, se utiliza habitualmente el mismo símbolo para indicar ambas operaciones.

Si y , tenemos: ${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}1&2&3\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}4&5\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} \otimes _{\text{Kron}}\mathbf {v} &={\begin{bmatrix}4\\5\\8\\10\\12\\15\end{bmatrix}},&\mathbf {u} \otimes _{\text{outer}}\mathbf {v} &={\begin{bmatrix}4&5\\8&10\\12&15\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$$

En el caso de los vectores de columna, el producto de Kronecker puede verse como una forma de vectorización (o aplanamiento) del producto exterior. En particular, para dos vectores de columna y , podemos escribir: ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

$${\displaystyle \mathbf {u} \otimes _{\text{Kron}}\mathbf {v} =\operatorname {vec} (\mathbf {v} \otimes _{\text{outer}}\mathbf {u} )}$$

(El orden de los vectores se invierte en el lado derecho de la ecuación).

Otra identidad similar que resalta aún más la similitud entre las operaciones es

$${\displaystyle \mathbf {u} \otimes _{\text{Kron}}\mathbf {v} ^{\textsf {T}}=\mathbf {u} \mathbf {v} ^{\textsf {T}}=\mathbf {u} \otimes _{\text{outer}}\mathbf {v} }$$

donde no es necesario invertir el orden de los vectores. La expresión del medio utiliza la multiplicación de matrices, donde los vectores se consideran matrices de columna/fila.

Conexión con el producto matricial.

Dado un par de matrices de tamaño y de tamaño , considere el producto matricial definido como de costumbre como una matriz de tamaño . ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle m\times p}$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle p\times n}$ ${\displaystyle \mathbf {C} =\mathbf {A} \,\mathbf {B} }$ ${\displaystyle m\times n}$

Ahora sea el vector de la -ésima columna de y sea el vector de la -ésima fila de . Entonces se puede expresar como una suma de productos externos columna por fila: ${\displaystyle \mathbf {a} _{k}^{\text{col}}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} _{k}^{\text{row}}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

$${\displaystyle \mathbf {C} =\mathbf {A} \,\mathbf {B} =\left(\sum _{k=1}^{p}{A}_{ik}\,{B}_{kj}\right)_{\begin{matrix}1\leq i\leq m\\[-20pt]1\leq j\leq n\end{matrix}}={\begin{bmatrix}&&\\\mathbf {a} _{1}^{\text{col}}&\cdots &\mathbf {a} _{p}^{\text{col}}\\&&\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}&\mathbf {b} _{1}^{\text{row}}&\\&\vdots &\\&\mathbf {b} _{p}^{\text{row}}&\end{bmatrix}}=\sum _{k=1}^{p}\mathbf {a} _{k}^{\text{col}}\otimes \mathbf {b} _{k}^{\text{row}}}$$

Esta expresión tiene dualidad con la más común como una matriz construida con entradas de producto interno fila por columna (o producto escalar ): ${\displaystyle C_{ij}=\langle {\mathbf {a} _{i}^{\text{row}},\,\mathbf {b} _{j}^{\text{col}}}\rangle }$

Esta relación es relevante ^[6] en la aplicación de la Descomposición de Valores Singulares (SVD) (y la Descomposición Espectral como caso especial). En particular, la descomposición se puede interpretar como la suma de los productos externos de cada vector singular izquierdo ( ) y derecho ( ), escalada por el correspondiente valor singular distinto de cero : ${\displaystyle \mathbf {u} _{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{k}}$ ${\displaystyle \sigma _{k}}$

$${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {U\Sigma V^{T}} =\sum _{k=1}^{\operatorname {rank} (A)}(\mathbf {u} _{k}\otimes \mathbf {v} _{k})\,\sigma _{k}}$$

Este resultado implica que puede expresarse como una suma de matrices de rango 1 con norma espectral en orden decreciente. Esto explica que, en general, los últimos términos contribuyan menos, lo que motiva el uso de la SVD truncada como aproximación. El primer término es el ajuste de mínimos cuadrados de una matriz a un producto externo de vectores. ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \sigma _{k}}$

Propiedades

El producto exterior de vectores satisface las siguientes propiedades:

$${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )^{\textsf {T}}&=(\mathbf {v} \otimes \mathbf {u} )\\(\mathbf {v} +\mathbf {w} )\otimes \mathbf {u} &=\mathbf {v} \otimes \mathbf {u} +\mathbf {w} \otimes \mathbf {u} \\\mathbf {u} \otimes (\mathbf {v} +\mathbf {w} )&=\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} +\mathbf {u} \otimes \mathbf {w} \\c(\mathbf {v} \otimes \mathbf {u} )&=(c\mathbf {v} )\otimes \mathbf {u} =\mathbf {v} \otimes (c\mathbf {u} )\end{aligned}}}$$

El producto exterior de los tensores satisface la propiedad de asociatividad adicional:

$${\displaystyle (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )\otimes \mathbf {w} =\mathbf {u} \otimes (\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} )}$$

Rango de un producto exterior

Si u y v son ambos distintos de cero, entonces la matriz del producto externo uv ^T siempre tiene rango de matriz 1. De hecho, las columnas del producto externo son todas proporcionales a la primera columna. Por lo tanto, todos dependen linealmente de esa columna, por lo que la matriz es de rango uno.

("Rango de matriz" no debe confundirse con " orden tensorial " o "grado tensor", que a veces se denomina "rango").

Definición (abstracta)

Sean V y W dos espacios vectoriales . El producto exterior de y es el elemento . ${\displaystyle \mathbf {v} \in V}$ ${\displaystyle \mathbf {w} \in W}$ ${\displaystyle \mathbf {v} \otimes \mathbf {w} \in V\otimes W}$

Si V es un espacio producto interno , entonces es posible definir el producto externo como un mapa lineal V → W. En este caso, el mapa lineal es un elemento del espacio dual de V , ya que este mapea linealmente un vector en su campo subyacente, del cual es un elemento. El producto exterior V → W viene dado por ${\displaystyle \mathbf {x} \mapsto \langle \mathbf {v} ,\mathbf {x} \rangle }$ ${\displaystyle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {x} \rangle }$

$${\displaystyle (\mathbf {w} \otimes \mathbf {v} )(\mathbf {x} )=\left\langle \mathbf {v} ,\mathbf {x} \right\rangle \mathbf {w} .}$$

Esto muestra por qué comúnmente se toma una transpuesta conjugada de v en el caso complejo.

En lenguajes de programación

En algunos lenguajes de programación, dada una función de dos argumentos f(o un operador binario), el producto externo, fde dos matrices unidimensionales, Ay B, es una matriz bidimensional Ctal que C[i, j] = f(A[i], B[j]). Esto se representa sintácticamente de varias maneras: en APL , como operador binario infijo ; en J , como adverbio sufijo ; en R , como la función o el especial ; ^[7] en Mathematica , como . En MATLAB, la función se utiliza para este producto. Estos a menudo se generalizan a argumentos multidimensionales y a más de dos argumentos.∘.ff/outer(A, B, f)%o%Outer[f, A, B]kron(A, B)

En la biblioteca de Python NumPy , el producto externo se puede calcular con la función np.outer(). ^[8] Por el contrario, np.kronda como resultado una matriz plana. El producto exterior de matrices multidimensionales se puede calcular usando np.multiply.outer.

Aplicaciones

Como el producto exterior está estrechamente relacionado con el producto Kronecker , algunas de las aplicaciones del producto Kronecker utilizan productos exteriores. Estas aplicaciones se encuentran en la teoría cuántica, el procesamiento de señales y la compresión de imágenes . ^[9]

Espinores

Supongamos que s , t , w , z ∈ C de modo que ( s , t ) y ( w , z ) están en C ² . Entonces, el producto externo de estos 2 vectores complejos es un elemento de M(2, C ) , las matrices complejas de 2 × 2:

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}sw&tw\\sz&tz\end{pmatrix}}.}$$

El determinante de esta matriz es swtz − sztw = 0 debido a la propiedad conmutativa de C.

En la teoría de espinores en tres dimensiones , estas matrices están asociadas a vectores isotrópicos debido a esta propiedad nula. Élie Cartan describió esta construcción en 1937, ^[10] pero fue introducida por Wolfgang Pauli en 1927 ^[11] de modo que M(2, C ) pasó a denominarse álgebra de Pauli .

Conceptos

La forma de bloque de los productos exteriores es útil en la clasificación. El análisis de conceptos es un estudio que depende de ciertos productos externos:

Cuando un vector tiene solo ceros y unos como entradas, se le llama vector lógico , un caso especial de matriz lógica . La operación lógica y ocupa el lugar de la multiplicación. El producto exterior de dos vectores lógicos ( u _i ) y ( v _j ) viene dado por la matriz lógica . Este tipo de matriz se utiliza en el estudio de las relaciones binarias , y se denomina relación rectangular o vector cruzado . ^[12] ${\displaystyle \left(a_{ij}\right)=\left(u_{i}\land v_{j}\right)}$

Ver también

• diádica
• Transformación del jefe de familia
• Norma (matemáticas)
• cálculo de ricci
• matriz de dispersión

Productos

• producto cartesiano
• Producto cruzado
• Producto exterior
• Producto Hadamard (matrices)

Dualidad

• Notación bra-ket para producto exterior
• Complejo conjugado
• transposición conjugada
• Transponer

Referencias

1. Lerner, RG ; Trigg, GL (1991). Enciclopedia de Física (2ª ed.). VHC. ISBN 0-89573-752-3.
2. Lipschutz, S.; Lipson, M. (2009). Álgebra lineal . Esquemas de Schaum (4ª ed.). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-154352-1.
3. Keller, Frank (23 de febrero de 2020). "Propiedades algebraicas de matrices; transposición; producto interior y exterior" (PDF) . inf.ed.ac.uk. ​Archivado (PDF) desde el original el 15 de diciembre de 2017 . Consultado el 6 de septiembre de 2020 .
4. James M. Ortega (1987) Teoría de matrices: un segundo curso , página 7, Plenum Press ISBN 0-306-42433-9 
5. Stengel, Robert F. (1994). Control y Estimación Óptima. Nueva York: Publicaciones de Dover. pag. 26.ISBN​ 0-486-68200-5.
6. Trefethen, Lloyd N .; BauIII, David (1997). Álgebra lineal numérica . Filadelfia: Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas. ISBN 978-0-89871-361-9.
7. "función externa | Documentación R". rdocumentation.org . Consultado el 7 de septiembre de 2020 .
8. "numpy.outer - Manual de NumPy v1.19". numpy.org . Consultado el 7 de septiembre de 2020 .
9. Steeb, Willi-Hans; Hardy, Yorick (2011). "Aplicaciones (Capítulo 3)". Cálculo matricial y producto de Kronecker: un enfoque práctico del álgebra lineal y multilineal (2 ed.). Científico mundial. ISBN 978-981-4335-31-7.
10. Élie Cartan (1937) Lecons sur la theorie des spineurs , traducido 1966: La teoría de Spinors , Hermann, París
11. Pertti Lounesto (1997) Clifford Algebras and Spinors , página 51, Cambridge University Press ISBN 0-521-59916-4 
12. Ki Hang Kim (1982) Teoría y aplicaciones de la matriz booleana , página 37, Marcel Dekker ISBN 0-8247-1788-0 

Otras lecturas

• Carlén, Eric; Canceicao Carvalho, María (2006). "Productos exteriores y proyecciones ortogonales". Álgebra lineal: desde el principio . Macmillan. págs. 217-218. ISBN 9780716748946.