Matriz de dispersión

Concepto en la teoría de la probabilidad

Para el concepto de mecánica cuántica, véase matriz de dispersión .

En estadística multivariada y teoría de probabilidad , la matriz de dispersión es una estadística que se utiliza para realizar estimaciones de la matriz de covarianza , por ejemplo de la distribución normal multivariada .

Definición

Dadas n muestras de datos m -dimensionales, representadas como la matriz m por n, la media de la muestra es ${\displaystyle X=[\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots ,\mathbf {x} _{n}]}$

${\displaystyle {\overline {\mathbf {x} }}={\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}\mathbf {x} _{j}}$

donde es la j -ésima columna de . ^[1] ${\displaystyle \mathbf {x} _{j}}$ ${\displaystyle X}$

La matriz de dispersión es la matriz semidefinida positiva de m por m

${\displaystyle S=\sum _{j=1}^{n}(\mathbf {x} _{j}-{\overline {\mathbf {x} }})(\mathbf {x} _{j}-{\overline {\mathbf {x} }})^{T}=\sum _{j=1}^{n}(\mathbf {x} _{j}-{\overline {\mathbf {x} }})\otimes (\mathbf {x} _{j}-{\overline {\mathbf {x} }})=\left(\sum _{j=1}^{n}\mathbf {x} _{j}\mathbf {x} _{j}^{T}\right)-n{\overline {\mathbf {x} }}{\overline {\mathbf {x} }}^{T}}$

donde denota la matriz transpuesta , ^[2] y la multiplicación es con respecto al producto externo . La matriz de dispersión se puede expresar de manera más sucinta como ${\displaystyle (\cdot )^{T}}$

${\displaystyle S=X\,C_{n}\,X^{T}}$

donde es la matriz de centrado n por n . ${\displaystyle \,C_{n}}$

Solicitud

La estimación de máxima verosimilitud , dadas n muestras, para la matriz de covarianza de una distribución normal multivariada se puede expresar como la matriz de dispersión normalizada

${\displaystyle C_{ML}={\frac {1}{n}}S.}$^[3]

Cuando las columnas de se muestrean independientemente de una distribución normal multivariada, entonces tiene una distribución Wishart . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$

Véase también

• Estimación de matrices de covarianza
• Matriz de covarianza de muestra
• Distribución de Wishart
• Producto externo — o X⊗X es el producto externo de X consigo mismo. ${\displaystyle XX^{\top }}$
• Matriz de Gram

Referencias

1. Raghavan (16 de agosto de 2018). "Matriz de dispersión, covarianza y correlación explicadas". Medium . Consultado el 28 de diciembre de 2022 .
2. Raghavan (16 de agosto de 2018). "Matriz de dispersión, covarianza y correlación explicadas". Medium . Consultado el 28 de diciembre de 2022 .
3. Liu, Zhedong (abril de 2019). Estimación robusta de la matriz de dispersión, teoría de matrices aleatorias y una aplicación a la detección de espectro (PDF) (Maestría en Ciencias). Universidad de Ciencia y Tecnología Rey Abdullah.