Geometría no euclidiana

Comportamiento de las rectas con una perpendicular común en cada uno de los tres tipos de geometría

En matemáticas , la geometría no euclidiana consta de dos geometrías basadas en axiomas estrechamente relacionados con los que especifican la geometría euclidiana . Como la geometría euclidiana se encuentra en la intersección de la geometría métrica y la geometría afín , la geometría no euclidiana surge ya sea reemplazando el postulado de las paralelas por una alternativa o relajando el requisito métrico. En el primer caso, se obtiene la geometría hiperbólica y la geometría elíptica , las geometrías no euclidianas tradicionales. Cuando se relaja el requisito métrico, entonces hay planos afines asociados con las álgebras planares, que dan lugar a geometrías cinemáticas que también se han llamado geometría no euclidiana.

Principios

La diferencia esencial entre las geometrías métricas es la naturaleza de las líneas paralelas . El quinto postulado de Euclides , el postulado de las paralelas , es equivalente al postulado de Playfair , que establece que, dentro de un plano bidimensional, para cualquier línea dada $l$ y un punto A , que no está en $l$ , hay exactamente una línea que pasa por A y no interseca $a l$ . En la geometría hiperbólica, por el contrario, hay infinitas líneas que pasan por A y no intersecan $a l$ , mientras que en la geometría elíptica, cualquier línea que pasa por A interseca $a l$ .

Otra forma de describir las diferencias entre estas geometrías es considerar dos líneas rectas extendidas indefinidamente en un plano bidimensional que son ambas perpendiculares a una tercera línea (en el mismo plano):

En la geometría euclidiana, las líneas permanecen a una distancia constante entre sí (lo que significa que una línea dibujada perpendicular a una línea en cualquier punto intersectará la otra línea y la longitud del segmento de línea que une los puntos de intersección permanece constante) y se conocen como paralelas.
En geometría hiperbólica, se "curvan" una respecto de otra, aumentando la distancia a medida que uno se aleja de los puntos de intersección con la perpendicular común; estas líneas a menudo se denominan ultraparalelas .
En geometría elíptica, las líneas "se curvan" una hacia la otra y se intersecan.

Historia

Fondo

La geometría euclidiana , llamada así en honor al matemático griego Euclides , incluye algunas de las matemáticas más antiguas conocidas, y las geometrías que se desviaban de ésta no fueron ampliamente aceptadas como legítimas hasta el siglo XIX.

El debate que finalmente condujo al descubrimiento de las geometrías no euclidianas comenzó casi tan pronto como Euclides escribió Elementos . En los Elementos , Euclides comienza con un número limitado de suposiciones (23 definiciones, cinco nociones comunes y cinco postulados) y busca probar todos los demás resultados ( proposiciones ) en la obra. El más notorio de los postulados se conoce a menudo como "el quinto postulado de Euclides", o simplemente el postulado de las paralelas , que en la formulación original de Euclides es:

Si una recta cae sobre dos rectas de tal manera que los ángulos interiores del mismo lado son juntos menores que dos ángulos rectos, entonces las rectas, si se prolongan indefinidamente, se encuentran en aquel lado en el que los ángulos son menores que los dos ángulos rectos.

Otros matemáticos han ideado formas más sencillas de esta propiedad. Sin embargo, independientemente de la forma del postulado, parece consistentemente más complicado que los otros postulados de Euclides :

Trazar una línea recta desde cualquier punto a cualquier punto.
Producir [extender] una línea recta finita de forma continua en una línea recta.
Para describir un círculo con cualquier centro y distancia [radio].
Que todos los ángulos rectos son iguales entre sí.

Durante al menos mil años, los geómetras se sintieron preocupados por la dispar complejidad del quinto postulado, y creyeron que podía demostrarse como un teorema a partir de los otros cuatro. Muchos intentaron encontrar una prueba por contradicción , entre ellos Ibn al-Haytham (Alhazen, siglo XI), ^[1] Omar Khayyám (siglo XII), Nasīr al-Dīn al-Tūsī (siglo XIII) y Giovanni Girolamo Saccheri (siglo XVIII).

Los teoremas de Ibn al-Haytham, Khayyam y al-Tusi sobre cuadriláteros , incluyendo el cuadrilátero de Lambert y el cuadrilátero de Saccheri , fueron "los primeros teoremas de las geometrías hiperbólica y elíptica ". Estos teoremas junto con sus postulados alternativos, como el axioma de Playfair , desempeñaron un papel importante en el desarrollo posterior de la geometría no euclidiana. Estos primeros intentos de desafiar el quinto postulado tuvieron una influencia considerable en su desarrollo entre los geómetras europeos posteriores, incluyendo a Witelo , Levi ben Gerson , Alfonso , John Wallis y Saccheri. ^[2] Sin embargo, todos estos primeros intentos realizados para tratar de formular la geometría no euclidiana proporcionaron pruebas defectuosas del postulado de las paralelas, dependiendo de suposiciones que ahora se reconocen como esencialmente equivalentes al postulado de las paralelas. Sin embargo, estos primeros intentos proporcionaron algunas propiedades tempranas de las geometrías hiperbólica y elíptica.

Khayyam, por ejemplo, intentó derivarlo de un postulado equivalente que formuló a partir de "los principios del Filósofo" ( Aristóteles ): "Dos líneas rectas convergentes se cortan y es imposible que dos líneas rectas convergentes diverjan en la dirección en la que convergen". ^[3] Khayyam consideró entonces los tres casos rectos, obtusos y agudos que pueden adoptar los ángulos de la cima de un cuadrilátero de Saccheri y después de demostrar una serie de teoremas sobre ellos, refutó correctamente los casos obtusos y agudos basándose en su postulado y, por lo tanto, derivó el postulado clásico de Euclides, que no se dio cuenta de que era equivalente a su propio postulado. Otro ejemplo es el hijo de al-Tusi, Sadr al-Din (a veces conocido como "Pseudo-Tusi"), que escribió un libro sobre el tema en 1298, basado en los pensamientos posteriores de al-Tusi, que presentó otra hipótesis equivalente al postulado de las paralelas. "Revisó esencialmente tanto el sistema euclidiano de axiomas y postulados como las pruebas de muchas proposiciones de los Elementos ". ^[4]^[5] Su obra fue publicada en Roma en 1594 y fue estudiada por geómetras europeos, incluido Saccheri ^[4] quien criticó este trabajo así como el de Wallis. ^[6]

Giordano Vitale , en su libro Euclide restituo (1680, 1686), utilizó el cuadrilátero de Saccheri para demostrar que si tres puntos son equidistantes en la base AB y la cima CD, entonces AB y CD son equidistantes en todas partes.

En una obra titulada Euclides ab Omni Naevo Vindicatus ( Euclides liberado de todos los defectos ), publicada en 1733, Saccheri descartó rápidamente la geometría elíptica como posibilidad (algunos otros axiomas de Euclides deben modificarse para que la geometría elíptica funcione) y se puso a trabajar para demostrar una gran cantidad de resultados en geometría hiperbólica.

Finalmente llegó a un punto en el que creyó que sus resultados demostraban la imposibilidad de la geometría hiperbólica. Su afirmación parece haberse basado en presuposiciones euclidianas, porque no existía ninguna contradicción lógica . En este intento de demostrar la geometría euclidiana, descubrió sin querer una nueva geometría viable, pero no se dio cuenta.

En 1766, Johann Lambert escribió, pero no publicó, Theorie der Parallellinien en la que intentó, como lo hizo Saccheri, demostrar el quinto postulado. Trabajó con una figura que ahora se conoce como cuadrilátero de Lambert , un cuadrilátero con tres ángulos rectos (puede considerarse la mitad de un cuadrilátero de Saccheri). Rápidamente eliminó la posibilidad de que el cuarto ángulo sea obtuso, como lo habían hecho Saccheri y Khayyam, y luego procedió a demostrar muchos teoremas bajo el supuesto de un ángulo agudo. A diferencia de Saccheri, nunca sintió que había llegado a una contradicción con este supuesto. Había demostrado el resultado no euclidiano de que la suma de los ángulos en un triángulo aumenta a medida que el área del triángulo disminuye, y esto lo llevó a especular sobre la posibilidad de un modelo del caso agudo en una esfera de radio imaginario. No llevó esta idea más allá. ^[7]

En esa época se creía ampliamente que el universo funcionaba según los principios de la geometría euclidiana. ^[8]

Descubrimiento de la geometría no euclidiana

A principios del siglo XIX se darían finalmente pasos decisivos en la creación de la geometría no euclidiana. Hacia 1813, Carl Friedrich Gauss y, de forma independiente, hacia 1818, el profesor de derecho alemán Ferdinand Karl Schweikart ^[9] habían elaborado las ideas germinales de la geometría no euclidiana, pero ninguno de ellos publicó ningún resultado. El sobrino de Schweikart, Franz Taurinus , publicó importantes resultados de trigonometría hiperbólica en dos artículos en 1825 y 1826, pero, aunque admitía la consistencia interna de la geometría hiperbólica, seguía creyendo en el papel especial de la geometría euclidiana. ^[10]

Luego, en 1829-1830, el matemático ruso Nikolai Ivanovich Lobachevsky y en 1832 el matemático húngaro János Bolyai publicaron por separado e independientemente tratados sobre geometría hiperbólica. En consecuencia, la geometría hiperbólica se llama geometría lobachevskiana o bolyai-lobachevskiana, ya que ambos matemáticos, independientemente uno del otro, son los autores básicos de la geometría no euclidiana. Gauss le mencionó al padre de Bolyai, cuando le mostraron el trabajo del joven Bolyai, que había desarrollado dicha geometría varios años antes, ^[11] aunque no lo publicó. Mientras que Lobachevsky creó una geometría no euclidiana negando el postulado de las paralelas, Bolyai elaboró una geometría donde tanto la geometría euclidiana como la hiperbólica son posibles dependiendo de un parámetro k . Bolyai termina su trabajo mencionando que no es posible decidir a través del razonamiento matemático solo si la geometría del universo físico es euclidiana o no euclidiana; Esta es una tarea para las ciencias físicas.

Bernhard Riemann , en una famosa conferencia en 1854, fundó el campo de la geometría de Riemann , discutiendo en particular las ideas ahora llamadas variedades , métrica de Riemann y curvatura . Construyó una familia infinita de geometrías no euclidianas al dar una fórmula para una familia de métricas de Riemann en la bola unitaria en el espacio euclidiano . La más simple de estas se llama geometría elíptica y se considera una geometría no euclidiana debido a su falta de líneas paralelas. ^[12]

Al formular la geometría en términos de un tensor de curvatura , Riemann permitió que la geometría no euclidiana se aplicara a dimensiones superiores. Beltrami (1868) fue el primero en aplicar la geometría de Riemann a espacios de curvatura negativa.

Terminología

Fue Gauss quien acuñó el término "geometría no euclidiana". ^[13] Se refería a su propio trabajo, que hoy llamamos geometría hiperbólica o geometría lobachevskiana . Varios autores modernos todavía utilizan el término genérico geometría no euclidiana para referirse a la geometría hiperbólica . ^[14]

Arthur Cayley observó que la distancia entre puntos dentro de una cónica podía definirse en términos de logaritmo y de la función proyectiva de razón cruzada . El método se ha denominado métrica de Cayley-Klein porque Felix Klein lo explotó para describir las geometrías no euclidianas en artículos ^[15] en 1871 y 1873 y más tarde en forma de libro. Las métricas de Cayley-Klein proporcionaron modelos de trabajo de geometrías métricas hiperbólicas y elípticas, así como de geometría euclidiana.

Klein es responsable de los términos "hiperbólico" y "elíptico" (en su sistema llamó a la geometría euclidiana "parabólica" , un término que generalmente cayó en desuso ^[16] ). Su influencia ha llevado al uso actual del término "geometría no euclidiana" para significar geometría "hiperbólica" o "elíptica".

Hay algunos matemáticos que ampliarían la lista de geometrías que deberían llamarse "no euclidianas" de diversas maneras. ^[17]

Hay muchos tipos de geometría que son bastante diferentes de la geometría euclidiana pero que tampoco están necesariamente incluidos en el significado convencional de "geometría no euclidiana", como los casos más generales de la geometría de Riemann .

Base axiomática de la geometría no euclidiana

La geometría euclidiana puede describirse axiomáticamente de varias maneras. Sin embargo, el sistema original de cinco postulados (axiomas) de Euclides no es una de ellas, ya que sus pruebas se basaban en varias suposiciones no enunciadas que también deberían haberse tomado como axiomas. El sistema de Hilbert, que consta de 20 axiomas ^[18], es el que más se ajusta al planteamiento de Euclides y proporciona la justificación de todas las pruebas de Euclides. Otros sistemas, que utilizan conjuntos diferentes de términos no definidos, obtienen la misma geometría por caminos diferentes. Sin embargo, todos los planteamientos tienen un axioma que es lógicamente equivalente al quinto postulado de Euclides, el postulado de las paralelas. Hilbert utiliza la forma del axioma de Playfair, mientras que Birkhoff , por ejemplo, utiliza el axioma que dice que "existe un par de triángulos similares pero no congruentes". En cualquiera de estos sistemas, la eliminación del único axioma equivalente al postulado de las paralelas, en cualquier forma que adopte, y el mantenimiento de todos los demás axiomas intactos, produce la geometría absoluta . Como las primeras 28 proposiciones de Euclides (en Los Elementos ) no requieren el uso del postulado de las paralelas ni nada equivalente a él, todas son afirmaciones verdaderas en geometría absoluta. ^[19]

Para obtener una geometría no euclidiana, el postulado de las paralelas (o su equivalente) debe ser reemplazado por su negación . La negación de la forma del axioma de Playfair , dado que es un enunciado compuesto (... existe uno y sólo uno...), puede hacerse de dos maneras:

O bien existirá más de una línea a través del punto paralelo a la línea dada o no existirá ninguna línea a través del punto paralelo a la línea dada. En el primer caso, reemplazando el postulado de las paralelas (o su equivalente) por el enunciado "En un plano, dado un punto P y una línea $l$ que no pasa por P, existen dos líneas a través de P, que no cortan $a l$ " y manteniendo todos los demás axiomas, se obtiene la geometría hiperbólica . ^[20]
El segundo caso no es tan fácil de resolver. Simplemente reemplazando el postulado de las paralelas por la afirmación "En un plano, dado un punto P y una línea $l$ que no pasa por P, todas las líneas que pasan por P se cortan con $l$ ", no se obtiene un conjunto consistente de axiomas. Esto se deduce de que existen líneas paralelas en geometría absoluta ^[21] , pero esta afirmación dice que no hay líneas paralelas. Este problema era conocido (con una forma diferente) por Khayyam, Saccheri y Lambert y fue la base para que rechazaran lo que se conocía como el "caso del ángulo obtuso". Para obtener un conjunto consistente de axiomas que incluya este axioma sobre la inexistencia de líneas paralelas, se deben ajustar algunos otros axiomas. Estos ajustes dependen del sistema axiomático utilizado. Entre otros, estos ajustes tienen el efecto de modificar el segundo postulado de Euclides desde la afirmación de que los segmentos de línea pueden extenderse indefinidamente hasta la afirmación de que las líneas son ilimitadas. La geometría elíptica de Riemann surge como la geometría más natural que satisface este axioma.

Modelos

Los modelos de geometría no euclidiana son modelos matemáticos de geometrías que no son euclidianas en el sentido de que no es posible trazar exactamente una línea paralela a una línea dada l a través de un punto que no está en l . En los modelos geométricos hiperbólicos, por el contrario, hay infinitas líneas que pasan por A paralelas a l , y en los modelos geométricos elípticos, no existen líneas paralelas. (Véase las entradas sobre geometría hiperbólica y geometría elíptica para obtener más información.)

La geometría euclidiana se modela según nuestra noción de " plano ". El modelo más simple para la geometría elíptica es una esfera, donde las líneas son " círculos máximos " (como el ecuador o los meridianos de un globo terráqueo ) y se identifican los puntos opuestos entre sí (se consideran iguales). La pseudoesfera tiene la curvatura adecuada para modelar la geometría hiperbólica.

Geometría elíptica

El modelo más simple de geometría elíptica es una esfera, donde las líneas son " círculos máximos " (como el ecuador o los meridianos de un globo terráqueo ), y se identifican (consideran iguales) los puntos opuestos entre sí (llamados puntos antípodas ). Este es también uno de los modelos estándar del plano proyectivo real . La diferencia es que como modelo de geometría elíptica se introduce una métrica que permite la medición de longitudes y ángulos, mientras que como modelo del plano proyectivo no existe tal métrica.

En el modelo elíptico, para cualquier línea dada $l$ y un punto A , que no está en $l$ , todas las líneas que pasan por A intersectarán $a l$ .

Geometría hiperbólica

Incluso después del trabajo de Lobachevsky, Gauss y Bolyai, la pregunta seguía siendo: "¿Existe tal modelo para la geometría hiperbólica ?". El modelo para la geometría hiperbólica fue respondido por Eugenio Beltrami , en 1868, quien primero demostró que una superficie llamada pseudoesfera tiene la curvatura apropiada para modelar una porción del espacio hiperbólico y en un segundo artículo en el mismo año, definió el modelo de Klein , que modela la totalidad del espacio hiperbólico, y lo utilizó para demostrar que la geometría euclidiana y la geometría hiperbólica eran equiconsistentes de modo que la geometría hiperbólica era lógicamente consistente si y solo si la geometría euclidiana lo era. (La implicación inversa se sigue del modelo de horosfera de la geometría euclidiana).

En el modelo hiperbólico, dentro de un plano bidimensional, para cualquier línea dada $l$ y un punto A , que no está en $l$ , hay infinitas líneas que pasan por A que no intersecan $a l$ .

En estos modelos, los conceptos de geometrías no euclidianas se representan mediante objetos euclidianos en un entorno euclidiano. Esto introduce una distorsión perceptual en la que las líneas rectas de la geometría no euclidiana se representan mediante curvas euclidianas que se curvan visualmente. Esta "curvatura" no es una propiedad de las líneas no euclidianas, sino solo un artificio de la forma en que se representan.

Geometría tridimensional no euclidiana

En tres dimensiones, hay ocho modelos de geometrías. ^[22] Hay geometrías euclidianas, elípticas e hiperbólicas, como en el caso bidimensional; geometrías mixtas que son parcialmente euclidianas y parcialmente hiperbólicas o esféricas; versiones retorcidas de las geometrías mixtas; y una geometría inusual que es completamente anisotrópica (es decir, cada dirección se comporta de manera diferente).

Propiedades poco comunes

Las geometrías euclidianas y no euclidianas tienen, naturalmente, muchas propiedades similares, es decir, aquellas que no dependen de la naturaleza del paralelismo. Esta característica común es el tema de la geometría absoluta (también llamada geometría neutra ). Sin embargo, las propiedades que distinguen a una geometría de otras han recibido históricamente la mayor atención.

Además del comportamiento de las rectas respecto de una perpendicular común, mencionado en la introducción, también tenemos lo siguiente:

Un cuadrilátero de Lambert es un cuadrilátero con tres ángulos rectos. El cuarto ángulo de un cuadrilátero de Lambert es agudo si la geometría es hiperbólica, recto si la geometría es euclidiana u obtuso si la geometría es elíptica. En consecuencia, los rectángulos existen (una afirmación equivalente al postulado de las paralelas) solo en la geometría euclidiana.
Un cuadrilátero de Saccheri es un cuadrilátero con dos lados de igual longitud, ambos perpendiculares a un lado llamado base . Los otros dos ángulos de un cuadrilátero de Saccheri se llaman ángulos de vértice y tienen la misma medida. Los ángulos de vértice de un cuadrilátero de Saccheri son agudos si la geometría es hiperbólica, rectos si la geometría es euclidiana y obtusos si la geometría es elíptica.
La suma de las medidas de los ángulos de cualquier triángulo es menor que 180° si la geometría es hiperbólica, igual a 180° si la geometría es euclidiana y mayor que 180° si la geometría es elíptica. El defecto de un triángulo es el valor numérico (180° − suma de las medidas de los ángulos del triángulo). Este resultado también puede expresarse como: el defecto de los triángulos en la geometría hiperbólica es positivo, el defecto de los triángulos en la geometría euclidiana es cero y el defecto de los triángulos en la geometría elíptica es negativo.

Importancia

Antes de que Beltrami, Klein y Poincaré presentaran los modelos de un plano no euclidiano, la geometría euclidiana se mantenía indiscutible como modelo matemático del espacio . Además, puesto que la sustancia del tema en la geometría sintética era una manifestación principal de la racionalidad, el punto de vista euclidiano representaba una autoridad absoluta.

El descubrimiento de las geometrías no euclidianas tuvo un efecto dominó que trascendió mucho más allá de los límites de las matemáticas y la ciencia. El tratamiento que el filósofo Immanuel Kant dio al conocimiento humano tuvo un papel especial para la geometría. Fue su principal ejemplo de conocimiento sintético a priori; no derivado de los sentidos ni deducido a través de la lógica: nuestro conocimiento del espacio era una verdad con la que nacimos. Desafortunadamente para Kant, su concepto de esta geometría inalterable era euclidiano. La teología también se vio afectada por el cambio de la verdad absoluta a la verdad relativa en la forma en que las matemáticas se relacionan con el mundo que las rodea, que fue resultado de este cambio de paradigma. ^[23]

La geometría no euclidiana es un ejemplo de una revolución científica en la historia de la ciencia , en la que los matemáticos y los científicos cambiaron la forma en que veían sus temas. ^[24] Algunos geómetras llamaron a Lobachevsky el " Copérnico de la geometría" debido al carácter revolucionario de su trabajo. ^[25]^[26]

La existencia de geometrías no euclidianas impactó la vida intelectual de la Inglaterra victoriana de muchas maneras ^[27] y en particular fue uno de los factores principales que provocaron una reevaluación de la enseñanza de la geometría basada en los Elementos de Euclides . Esta cuestión curricular fue muy debatida en su momento e incluso fue el tema de un libro, Euclides y sus rivales modernos , escrito por Charles Lutwidge Dodgson (1832–1898), más conocido como Lewis Carroll , el autor de Alicia en el país de las maravillas .

Álgebras planares

En geometría analítica un plano se describe con coordenadas cartesianas :

C=\{(x,y):x,y\in \mathbb {R} \}

Los puntos a veces se identifican con números complejos generalizados $z = x + y ε$ donde ε ² ∈ { –1, 0, 1}.

El plano euclidiano corresponde al caso $ε 2 = -1$ , una unidad imaginaria . Puesto que el módulo de $z$ está dado por

zz^{\ast }=(x+y\epsilon )(x-y\epsilon )=x^{2}+y^{2},

Esta cantidad es el cuadrado de la distancia euclidiana entre

z

y el origen.

Por ejemplo, ${z | zz * = 1}$ es el círculo unitario .

Para el álgebra plana, la geometría no euclidiana surge en los otros casos. Cuando $ε 2 = +1$ , una unidad hiperbólica . Entonces $z$ es un número complejo dividido y convencionalmente $j$ reemplaza a épsilon. Entonces

zz^{\ast }=(x+y\mathbf {j} )(x-y\mathbf {j} )=x^{2}-y^{2}\!

y ${z | zz * = 1}$ es la hipérbola unitaria .

Cuando $ε 2 = 0$ , entonces $z$ es un número dual . ^[28]

Este enfoque de la geometría no euclidiana explica los ángulos no euclidianos: los parámetros de la pendiente en el plano de los números duales y el ángulo hiperbólico en el plano complejo dividido corresponden al ángulo en la geometría euclidiana. De hecho, cada uno de ellos surge en la descomposición polar de un número complejo $z$ . ^[29]

Geometrías cinemáticas

La geometría hiperbólica encontró una aplicación en la cinemática con la cosmología física introducida por Hermann Minkowski en 1908. Minkowski introdujo términos como línea de mundo y tiempo propio en la física matemática . Se dio cuenta de que la subvariedad , de eventos un momento de tiempo propio en el futuro, podría considerarse un espacio hiperbólico de tres dimensiones. ^[30]^[31] Ya en la década de 1890, Alexander Macfarlane estaba trazando esta subvariedad a través de su Álgebra de la Física y los cuaterniones hiperbólicos , aunque Macfarlane no utilizó el lenguaje cosmológico como lo hizo Minkowski en 1908. La estructura relevante ahora se llama modelo hiperboloide de geometría hiperbólica.

Las álgebras planares no euclidianas admiten geometrías cinemáticas en el plano. Por ejemplo, el número complejo desdoblado z = e ^{a j} puede representar un evento espaciotemporal que se produce un momento en el futuro de un marco de referencia de rapidez a . Además, la multiplicación por z equivale a un aumento de Lorentz que mapea el marco con rapidez cero a aquel con rapidez a .

El estudio cinemático hace uso de números duales para representar la descripción clásica del movimiento en tiempo y espacio absolutos : Las ecuaciones son equivalentes a una aplicación de corte en álgebra lineal: $z=x+y\epsilon ,\quad \epsilon ^{2}=0,$ $x^{\prime }=x+vt,\quad t^{\prime }=t$

{\begin{pmatrix}x'\\t'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\t\end{pmatrix}}.

Con números duales la aplicación es ^[32] $t^{\prime }+x^{\prime }\epsilon =(1+v\epsilon )(t+x\epsilon )=t+(x+vt)\epsilon .$

En Proceedings of the American Academy of Arts and Sciences en 1912, EB Wilson y Gilbert Lewis propusieron otra visión de la relatividad especial como una geometría no euclidiana . Reformaron la geometría analítica implícita en el álgebra de números complejos divididos y la transformaron en geometría sintética de premisas y deducciones. ^[33]^[34]

Ficción

La geometría no euclidiana aparece a menudo en obras de ciencia ficción y fantasía .

En 1895, HG Wells publicó el cuento "El notable caso de los ojos de Davidson". Para apreciar esta historia, uno debe saber cómo se identifican los puntos antípodas de una esfera en un modelo del plano elíptico. En el cuento, en medio de una tormenta, Sidney Davidson ve "olas y una goleta extraordinariamente pulcra" mientras trabaja en un laboratorio eléctrico en el Harlow Technical College. Al final del cuento, Davidson demuestra haber presenciado el HMS Fulmar frente a la isla Antípodas .
La geometría no euclidiana se relaciona a veces con la influencia del escritor de ficción de terror del siglo XX HP Lovecraft . En sus obras, muchas cosas antinaturales siguen sus propias leyes únicas de geometría: en el Mito de Cthulhu de Lovecraft , la ciudad hundida de R'lyeh se caracteriza por su geometría no euclidiana. Se da a entender en gran medida que esto se logra como un efecto secundario de no seguir las leyes naturales de este universo en lugar de simplemente usar un modelo geométrico alternativo, ya que se dice que su absoluta incorrección innata es capaz de volver locos a quienes lo observan. ^[35]
El personaje principal de Zen y el arte del mantenimiento de la motocicleta de Robert Pirsig mencionó la geometría de Riemann en múltiples ocasiones.
En Los hermanos Karamazov , Dostoievski analiza la geometría no euclidiana a través de su personaje Iván.
La novela Mundo Invertido de Christopher Priest describe la lucha de vivir en un planeta con forma de pseudoesfera giratoria .
El número de la bestia, de Robert Heinlein, utiliza geometría no euclidiana para explicar el transporte instantáneo a través del espacio y el tiempo y entre universos paralelos y ficticios.
HyperRogue de Zeno Rogue es un juego roguelike ambientado en el plano hiperbólico , que permite al jugador experimentar muchas propiedades de esta geometría. Muchas mecánicas, misiones y ubicaciones dependen en gran medida de las características de la geometría hiperbólica. ^[36]
En el escenario de ciencia ficción de la Legión Renegada para el juego de guerra , juego de rol y ficción de FASA , los viajes y las comunicaciones más rápidos que la luz son posibles mediante el uso de la Geometría Polidimensional No Euclidiana de Hsieh Ho, publicada en algún momento a mediados del siglo XXII.
En Flatterland de Ian Stewart, la protagonista Victoria Line visita todo tipo de mundos no euclidianos.

Véase también

Notas

^ Eder, Michelle (2000), Visiones del postulado paralelo de Euclides en la antigua Grecia y en el Islam medieval, Universidad Rutgers , consultado el 23 de enero de 2008
^ Boris A. Rosenfeld y Adolf P. Youschkevitch, "Geometría", pág. 470, en Roshdi Rashed y Régis Morelon (1996), Enciclopedia de la historia de la ciencia árabe , vol. 2, págs. 447–494, Routledge , Londres y Nueva York:
"Tres científicos, Ibn al-Haytham, Khayyam y al-Tusi, habían hecho la contribución más considerable a esta rama de la geometría, cuya importancia fue completamente reconocida sólo en el siglo XIX. En esencia, sus proposiciones sobre las propiedades de los cuadrángulos -que ellos consideraron suponiendo que algunos de los ángulos de estas figuras eran agudos u obtusos- incorporaron los primeros teoremas de las geometrías hiperbólica y elíptica. Sus otras propuestas mostraron que varias afirmaciones geométricas eran equivalentes al postulado euclidiano V. Es extremadamente importante que estos eruditos establecieran la conexión mutua entre este postulado y la suma de los ángulos de un triángulo y un cuadrángulo. Con sus trabajos sobre la teoría de líneas paralelas, los matemáticos árabes influyeron directamente en las investigaciones pertinentes de sus homólogos europeos. El primer intento europeo de demostrar el postulado sobre líneas paralelas lo hizo Witelo , el científico polaco del siglo XIII, mientras revisaba el Libro de Óptica de Ibn al-Haytham ( Kitab al-Manazir ). – sin duda se basó en fuentes árabes. Las pruebas presentadas en el siglo XIV por el erudito judío Levi ben Gerson , que vivió en el sur de Francia, y por el mencionado Alfonso de España, lindan directamente con la demostración de Ibn al-Haytham. Más arriba, hemos demostrado que la Exposición de Euclides de Pseudo-Tusi había estimulado los estudios de la teoría de las líneas paralelas tanto de J. Wallis como de G. Saccheri .
^ Boris A. Rosenfeld y Adolf P. Youschkevitch (1996), "Geometría", pág. 467, en Roshdi Rashed y Régis Morelon (1996), Enciclopedia de la historia de la ciencia árabe , vol. 2, págs. 447-494, Routledge , ISBN 0-415-12411-5
^ de Victor J. Katz (1998), Historia de las matemáticas: una introducción , págs. 270-271, Addison–Wesley , ISBN 0-321-01618-1 :
"Pero en un manuscrito escrito probablemente por su hijo Sadr al-Din en 1298, basado en las reflexiones posteriores de Nasir al-Din sobre el tema, hay un nuevo argumento basado en otra hipótesis, también equivalente a la de Euclides, [...] La importancia de esta última obra es que se publicó en Roma en 1594 y fue estudiada por los geómetras europeos. En particular, se convirtió en el punto de partida de los trabajos de Saccheri y, en última instancia, del descubrimiento de la geometría no euclidiana".
^ Boris A. Rosenfeld y Adolf P. Youschkevitch (1996), "Geometría", en Roshdi Rashed, ed., Enciclopedia de la historia de la ciencia árabe , vol. 2, págs. 447–494 [469], Routledge , Londres y Nueva York:
"En la Exposición de Euclides de Pseudo-Tusi , [...] se utiliza otro enunciado en lugar de un postulado. Era independiente del postulado euclidiano V y fácil de demostrar. [...] En esencia, revisó tanto el sistema euclidiano de axiomas y postulados como las pruebas de muchas proposiciones de los Elementos ".
^ Giovanni Girolamo Saccheri de MacTutor
^ O'Connor, JJ; Robertson, EF "Johann Heinrich Lambert" . Consultado el 16 de septiembre de 2011 .
^ Una notable excepción es David Hume, quien ya en 1739 consideró seriamente la posibilidad de que nuestro universo no fuera euclidiano; véase David Hume (1739/1978) A Treatise of Human Nature , LA Selby-Bigge, ed. (Oxford: Oxford University Press), págs. 51-52.
^
En una carta de diciembre de 1818, Ferdinand Karl Schweikart (1780-1859) esbozó algunas ideas sobre geometría no euclidiana. La carta fue enviada a Gauss en 1819 por Gerling, un antiguo alumno de Gauss. En su respuesta a Gerling, Gauss elogió a Schweikart y mencionó sus propias investigaciones anteriores sobre geometría no euclidiana. Véase:
- Carl Friedrich Gauss, Werke (Leipzig, Alemania: BG Teubner, 1900), vol. 8, págs. 180-182.
- Las traducciones al inglés de la carta de Schweikart y de la respuesta de Gauss a Gerling aparecen en: Notas del curso: "Gauss y la geometría no euclidiana", Universidad de Waterloo, Ontario, Canadá; véanse especialmente las páginas 10 y 11.
- Las cartas de Schweikart y los escritos de su sobrino Franz Adolph Taurinus , que también se interesó por la geometría no euclidiana y que en 1825 publicó un breve libro sobre el axioma de las paralelas, aparecen en: Paul Stäckel y Friedrich Engel, Die theorie der Parallellinien von Euklid. bis auf Gauss, eine Urkundensammlung der nichteuklidischen Geometrie (La teoría de la Líneas paralelas de Euclides a Gauss, un archivo de geometría no euclidiana), (Leipzig, Alemania: BG Teubner, 1895), páginas 243 y siguientes.
^ Bonola, R. (1912). Geometría no euclidiana: un estudio crítico e histórico de su desarrollo. Chicago: Open Court.
^ En la carta a Wolfgang (Farkas) Bolyai del 6 de marzo de 1832, Gauss afirma haber trabajado en el problema durante treinta o treinta y cinco años (Faber 1983, p. 162). En su carta de 1824 a Taurinus (Faber 1983, p. 158) afirma que había estado trabajando en el problema durante más de 30 años y proporcionó suficientes detalles para demostrar que realmente había resuelto los detalles. Según Faber (1983, p. 156), no fue hasta alrededor de 1813 que Gauss llegó a aceptar la existencia de una nueva geometría.
^ Sin embargo, se deben cambiar otros axiomas además del postulado paralelo para que ésta sea una geometría factible.
^ Felix Klein, Matemáticas elementales desde un punto de vista avanzado: geometría , Dover, 1948 (reimpresión de la traducción al inglés de la 3.ª edición, 1940. Primera edición en alemán, 1908.) pág. 176.
^ Por ejemplo: Kulczycki, Stefan (1961). Geometría no euclidiana . Pergamon. pág. 53.
Iwasawa, Kenkichi (1993). Funciones algebraicas . Sociedad Matemática Americana. p. 140. ISBN. 9780821845950.
^ F. Klein, Über die sogenannte nichteuklidische Geometrie, Mathematische Annalen , 4 (1871).
^ El plano euclidiano todavía se denomina parabólico en el contexto de la geometría conforme : véase Teorema de uniformización .
^ por ejemplo, Manning 1963 y Yaglom 1968
^ Un axioma número 21 apareció en la traducción francesa de los Grundlagen der Geometrie de Hilbert según Smart 1997, p. 416
^ (Smart 1997, pág. 366)
^ aunque sólo se postulan dos líneas, se demuestra fácilmente que debe haber un número infinito de dichas líneas.
^ Libro I Proposición 27 de los Elementos de Euclides
^ * William Thurston . Geometría y topología tridimensional. Vol. 1. Editado por Silvio Levy. Princeton Mathematical Series, 35. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1997. x+311 pp. ISBN 0-691-08304-5 (explicación detallada de las ocho geometrías y la prueba de que sólo hay ocho)
^ Imre Toth, "Gott und Geometrie: Eine viktorianische Kontroverse", Evolutionstheorie und ihre Evolution , Dieter Henrich, ed. (Schriftenreihe der Universität Regensburg, banda 7, 1982) págs.
^ ver Trudeau 1987, págs. vii-viii
^ Bell, ET (1986). Hombres de matemáticas . Touchstone Books. pág. 294. ISBN. 978-0-671-62818-5.El autor atribuye esta cita a otro matemático, William Kingdon Clifford .
^ Esta es una cita del prefacio del traductor de GB Halsted a su traducción de 1914 de La teoría de los paralelos : "Lo que Vesalio fue para Galeno , lo que Copérnico fue para Ptolomeo , eso fue Lobachevsky para Euclides ". — WK Clifford
^ (Richards 1988)
^ Isaak Yaglom (1968) Números complejos en geometría , traducido por E. Primrose del original ruso de 1963, apéndice "Geometrías no euclidianas en el plano y números complejos", pp. 195-219, Academic Press , NY
^ Richard C. Tolman (2004) Teoría de la relatividad del movimiento , página 194, §180 Ángulo no euclidiano, §181 Interpretación cinemática del ángulo en términos de velocidad
↑ Hermann Minkowski (1908-1909). «Espacio y tiempo» (Wikisource).
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^ "Sitio web de HyperRogue".

Referencias

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Enlaces externos

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Wikiquote tiene citas relacionadas con Geometría no euclidiana .

Roberto Bonola (1912) Geometría no euclidiana, Open Court, Chicago.
Artículo del Archivo MacTutor sobre geometría no euclidiana
Geometría no euclidiana en PlanetMath .
Geometrías no euclidianas de la Enciclopedia de Matemáticas de la European Mathematical Society y Springer Science+Business Media
Espacio-tiempo sintético, un compendio de los axiomas utilizados y los teoremas demostrados por Wilson y Lewis. Archivado por WebCite .