Reciprocidad (electromagnetismo)

Teorema del electromagnetismo clásico.

En el electromagnetismo clásico , la reciprocidad se refiere a una variedad de teoremas relacionados que involucran el intercambio de densidades (fuentes) de corriente eléctrica armónicas en el tiempo y los campos electromagnéticos resultantes en las ecuaciones de Maxwell para medios lineales invariantes en el tiempo bajo ciertas restricciones. La reciprocidad está estrechamente relacionada con el concepto de operadores simétricos procedente del álgebra lineal , aplicado al electromagnetismo.

Quizás el teorema más común y general es la reciprocidad de Lorentz (y sus diversos casos especiales, como la reciprocidad de Rayleigh-Carson ), que lleva el nombre del trabajo de Hendrik Lorentz en 1896 tras resultados análogos sobre el sonido de Lord Rayleigh y la luz de Helmholtz (Potton, 2004). . En términos generales, establece que la relación entre una corriente oscilante y el campo eléctrico resultante no cambia si se intercambian los puntos donde se coloca la corriente y donde se mide el campo. Para el caso específico de una red eléctrica , a veces se expresa como la afirmación de que se pueden intercambiar voltajes y corrientes en diferentes puntos de la red. Más técnicamente, se deduce que la impedancia mutua de un primer circuito debida a un segundo es la misma que la impedancia mutua del segundo circuito debida al primero.

La reciprocidad es útil en óptica , que (aparte de los efectos cuánticos) puede expresarse en términos de electromagnetismo clásico, pero también en términos de radiometría .

También existe un teorema análogo en electrostática , conocido como reciprocidad de Green , que relaciona el intercambio de potencial eléctrico y densidad de carga eléctrica .

Las formas de los teoremas de reciprocidad se utilizan en muchas aplicaciones electromagnéticas, como el análisis de redes eléctricas y sistemas de antenas . ^[1] Por ejemplo, la reciprocidad implica que las antenas funcionan igualmente bien como transmisores o receptores, y específicamente que los patrones de radiación y recepción de una antena son idénticos. La reciprocidad también es un lema básico que se utiliza para probar otros teoremas sobre sistemas electromagnéticos, como la simetría de la matriz de impedancia y la matriz de dispersión , las simetrías de las funciones de Green para su uso en métodos computacionales de elementos límite y matrices de transferencia, así como la ortogonalidad. Propiedades de los modos armónicos en sistemas de guías de ondas (como una alternativa a probar esas propiedades directamente a partir de las simetrías de los operadores propios ).

Reciprocidad de Lorentz

Específicamente, supongamos que uno tiene una densidad de corriente que produce un campo eléctrico y un campo magnético donde los tres son funciones periódicas del tiempo con frecuencia angular ω y, en particular, dependen del tiempo. Supongamos que de manera similar tenemos una segunda corriente al mismo tiempo. frecuencia ω que (por sí sola) produce campos y El teorema de reciprocidad de Lorentz establece, bajo ciertas condiciones simples en los materiales del medio descrito a continuación, que para una superficie arbitraria S que encierra un volumen V : ${\displaystyle \mathbf {J} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {H} _{1}\,,}$ ${\displaystyle \exp(-i\omega t)\,.}$ ${\displaystyle \mathbf {J} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {H} _{2}\,.}$

${\displaystyle \int _{V}\left[\mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}-\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}\right]\mathrm {d} V=\oint _{S}\left[\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}-\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1}\right]\cdot \mathbf {\mathrm {d} S} \ .}$

De manera equivalente, en forma diferencial (según el teorema de la divergencia ):

${\displaystyle \mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}-\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}=\nabla \cdot \left[\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}-\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1}\right]\ .}$

Esta forma general suele simplificarse para una serie de casos especiales. En particular, normalmente se supone que y están localizados (es decir, tienen un soporte compacto ) y que no llegan ondas desde una distancia infinitamente lejana. En este caso, si se integra en todo el espacio, entonces los términos integrales de superficie se cancelan (ver más abajo) y se obtiene: ${\displaystyle \ \mathbf {J} _{1}\ }$ ${\displaystyle \mathbf {J} _{2}}$

${\displaystyle \int \mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}\,\mathrm {d} V=\int \mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}\,\mathrm {d} V\ .}$

Este resultado (junto con las siguientes simplificaciones) a veces se denomina teorema de reciprocidad de Rayleigh-Carson , en honor al trabajo de Lord Rayleigh sobre las ondas sonoras y una extensión de Carson (1924; 1930) a las aplicaciones de antenas de radiofrecuencia . A menudo, se simplifica aún más esta relación considerando fuentes dipolares puntuales , en cuyo caso las integrales desaparecen y simplemente se tiene el producto del campo eléctrico con los correspondientes momentos dipolares de las corrientes. O, para cables de espesor insignificante, se obtiene la corriente aplicada en un cable multiplicada por el voltaje resultante en otro y viceversa; ver también a continuación.

Otro caso especial del teorema de reciprocidad de Lorentz se aplica cuando el volumen V contiene por completo ambas fuentes localizadas (o, alternativamente, si V no corta a ninguna de las fuentes). En este caso:

${\displaystyle \ \oint _{S}(\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2})\cdot \mathbf {\mathrm {d} S} =\oint _{S}(\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1})\cdot \mathbf {\mathrm {d} S} \ .}$

En problemas prácticos, existen otras formas más generalizadas de Lorentz y otras relaciones de reciprocidad, en las que, además de la densidad de corriente eléctrica , también se utiliza la densidad de corriente magnética . Estos tipos de relaciones de reciprocidad suelen analizarse en la literatura de ingeniería eléctrica . ^{[2] [3] [4] [5] [6] [7]} ${\displaystyle \ \mathbf {J} \ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {M} \ }$

Reciprocidad para redes eléctricas.

Arriba, la reciprocidad de Lorentz fue expresada en términos de una fuente de corriente aplicada externamente y el campo resultante. A menudo, especialmente en el caso de las redes eléctricas, se prefiere pensar en una tensión aplicada externamente y en las corrientes resultantes. El teorema de reciprocidad de Lorentz también describe este caso, asumiendo materiales óhmicos (es decir, corrientes que responden linealmente al campo aplicado) con una matriz de conductividad σ de 3 × 3 que debe ser simétrica , lo que implica las otras condiciones siguientes. Para describir adecuadamente esta situación, se debe distinguir cuidadosamente entre los campos aplicados externamente (de los voltajes impulsores) y los campos totales resultantes (King, 1963).

Más específicamente, lo anterior sólo consistía en términos "fuentes" externos introducidos en las ecuaciones de Maxwell. Ahora denotamos esto por para distinguirlo de la corriente total producida tanto por la fuente externa como por los campos eléctricos resultantes en los materiales. Si esta corriente externa está en un material con una conductividad σ , entonces corresponde a un campo eléctrico aplicado externamente donde, por definición de σ : ${\displaystyle \ \mathbf {J} \ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {J} ^{(e)}\ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {E} ^{(e)}\ }$

${\displaystyle \ \mathbf {J} ^{(e)}=\sigma \mathbf {E} ^{(e)}\ .}$

Además, el campo eléctrico anterior sólo consistía en la respuesta a esta corriente y no incluía el campo "externo". Por lo tanto, ahora denotamos el campo anterior como donde el campo total está dado por ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \ \mathbf {E} ^{(e)}\ .}$ ${\displaystyle \ \mathbf {E} ^{(r)}\ ,}$ ${\displaystyle \ \mathbf {E} =\mathbf {E} ^{(e)}+\mathbf {E} ^{(r)}\ .}$

Ahora, la ecuación en el lado izquierdo del teorema de reciprocidad de Lorentz se puede reescribir moviendo σ del término de corriente externa a los términos del campo de respuesta y también sumando y restando un término, para obtener el campo externo multiplicado por la corriente total . ${\displaystyle \mathbf {J} ^{(e)}}$ ${\displaystyle \ \mathbf {E} ^{(r)}\ ,}$ ${\displaystyle \ \sigma \mathbf {E} _{1}^{(e)}\mathbf {E} _{2}^{(e)}\ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {J} =\sigma \mathbf {E} \ :}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{V}\left[\mathbf {J} _{1}^{(e)}\cdot \mathbf {E} _{2}^{(r)}-\mathbf {E} _{1}^{(r)}\cdot \mathbf {J} _{2}^{(e)}\right]\operatorname {d} V\\={}&\int _{V}\left[\sigma \mathbf {E} _{1}^{(e)}\cdot \left(\mathbf {E} _{2}^{(r)}+\mathbf {E} _{2}^{(e)}\right)-\left(\mathbf {E} _{1}^{(r)}+\mathbf {E} _{1}^{(e)}\right)\cdot \sigma \mathbf {E} _{2}^{(e)}\right]\operatorname {d} V\\={}&\int _{V}\left[\mathbf {E} _{1}^{(e)}\cdot \mathbf {J} _{2}-\mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}^{(e)}\right]\operatorname {d} V\ .\end{aligned}}}$

Para el límite de cables delgados, esto da el producto del voltaje aplicado externamente (1) multiplicado por la corriente total resultante (2) y viceversa. En particular, el teorema de reciprocidad de Rayleigh-Carson se convierte en una simple suma:

${\displaystyle \ \sum _{n}{\mathcal {V}}_{1}^{(n)}I_{2}^{(n)}=\sum _{n}{\mathcal {V}}_{2}^{(n)}I_{1}^{(n)}}$

donde y I denotan las amplitudes complejas de los voltajes aplicados de CA y las corrientes resultantes, respectivamente, en un conjunto de elementos del circuito (indexados por n ) para dos posibles conjuntos de voltajes y ${\displaystyle \ {\mathcal {V}}\ }$ ${\displaystyle \ {\mathcal {V}}_{1}\ }$ ${\displaystyle \ {\mathcal {V}}_{2}\ .}$

Por lo general, esto se simplifica aún más al caso en el que cada sistema tiene una única fuente de voltaje en y Entonces el teorema se convierte en simplemente ${\displaystyle \ {\mathcal {V}}_{\text{s}}\ ,}$ ${\displaystyle \ {\mathcal {V}}_{1}^{(1)}={\mathcal {V}}_{\text{s}}\ }$ ${\displaystyle \ {\mathcal {V}}_{2}^{(2)}={\mathcal {V}}_{\text{s}}\ .}$

${\displaystyle I_{1}^{(2)}=I_{2}^{(1)}}$

o en palabras:

La corriente en la posición (1) procedente de un voltaje en (2) es idéntica a la corriente en (2) procedente del mismo voltaje en (1).

Condiciones y prueba de la reciprocidad de Lorentz

El teorema de reciprocidad de Lorentz es simplemente un reflejo del hecho de que el operador lineal que relaciona y a una frecuencia fija (en medios lineales): ${\displaystyle \operatorname {\hat {O}} }$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \omega }$

$${\displaystyle \mathbf {J} =\operatorname {\hat {O}} \mathbf {E} }$$

$${\displaystyle \operatorname {\hat {O}} \mathbf {E} \equiv {\frac {1}{i\omega }}\left[{\frac {1}{\mu }}\left(\nabla \times \nabla \times \right)-\;\omega ^{2}\varepsilon \right]\mathbf {E} }$$

operador simétricoproducto internocampos vectoriales^[8]no conjugadapermitividad εpermeabilidad magnética μωsimétricasescalaresNoσεrequierede inversión del tiempoεμ ${\textstyle (\mathbf {F} ,\mathbf {G} )=\int \mathbf {F} \cdot \mathbf {G} \,\mathrm {d} V}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbf {G} \ .}$ ${\displaystyle \varepsilon \rightarrow \varepsilon +i\sigma /\omega \ }$

Para cualquier operador hermitiano bajo un producto interno , tenemos por definición, y el teorema de reciprocidad de Rayleigh-Carson es simplemente la versión vectorial de esta afirmación para este operador en particular , es decir, la propiedad hermitiana del operador aquí se puede derivar mediante integración por partes. . Para un volumen de integración finito, los términos de superficie de esta integración por partes producen el teorema de integral de superficie más general anterior. En particular, el hecho clave es que, para campos vectoriales y la integración por partes (o el teorema de divergencia ) sobre un volumen V encerrado por una superficie S da la identidad: ${\displaystyle \operatorname {\hat {O}} }$ ${\displaystyle (f,g)\!}$ ${\displaystyle (f,\operatorname {\hat {O}} g)=(\operatorname {\hat {O}} f,g)}$ ${\displaystyle \mathbf {J} =\operatorname {\hat {O}} \mathbf {E} \ :}$ ${\displaystyle (\mathbf {E} _{1},\operatorname {\hat {O}} \mathbf {E} _{2})=(\operatorname {\hat {O}} \mathbf {E} _{1},\mathbf {E} _{2})\ .}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbf {G} \ ,}$

$${\displaystyle \int _{V}\mathbf {F} \cdot (\nabla \times \mathbf {G} )\,\mathrm {d} V\equiv \int _{V}(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \mathbf {G} \,\mathrm {d} V-\oint _{S}(\mathbf {F} \times \mathbf {G} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} \ .}$$

Luego, esta identidad se aplica dos veces para obtener más el término de superficie, lo que da la relación de reciprocidad de Lorentz. ${\displaystyle (\mathbf {E} _{1},\operatorname {\hat {O}} \mathbf {E} _{2})}$ ${\displaystyle (\operatorname {\hat {O}} \mathbf {E} _{1},\mathbf {E} _{2})}$

Condiciones y prueba de la reciprocidad de Lorenz utilizando las ecuaciones y operaciones vectoriales de Maxwell ^[9]

Demostraremos una forma general del teorema de reciprocidad electromagnética debido a Lorenz que establece que los campos generados por dos densidades de corriente sinusoidales diferentes respectivamente y de la misma frecuencia, satisfacen la condición ${\displaystyle \mathbf {E} _{1},\mathbf {H} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} _{2},\mathbf {H} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {J} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {J} _{2}}$

$${\displaystyle \int _{V}\left[\mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}-\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}\right]\mathrm {d} V=\oint _{S}\left[\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}-\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1}\right]\cdot \mathbf {\mathrm {d} S} .}$$

Tomemos una región en la que la constante dieléctrica y la permeabilidad pueden ser funciones de la posición pero no del tiempo. Las ecuaciones de Maxwell, escritas en términos de campos, corrientes y cargas totales de la región, describen el comportamiento electromagnético de la región. Las dos ecuaciones de curl son:

$${\displaystyle {\begin{array}{ccc}\nabla \times \mathbf {E} &=&-{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {B} \ ,\\\nabla \times \mathbf {H} &=&\mathbf {J} +{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {D} \ .\end{array}}}$$

En condiciones de frecuencia constante y estable, a partir de las dos ecuaciones de rizo obtenemos las ecuaciones de Maxwell para el caso periódico de tiempo:

$${\displaystyle {\begin{array}{ccc}\nabla \times \mathbf {E} &=&-j\omega \mathbf {B} \ ,\\\nabla \times \mathbf {H} &=&\mathbf {J} +j\omega \mathbf {D} \ .\end{array}}}$$

Hay que reconocer que los símbolos en las ecuaciones de este artículo representan los multiplicadores complejos de , dando las partes en fase y desfasadas respecto a la referencia elegida. Los multiplicadores vectoriales complejos de pueden denominarse fasores vectoriales por analogía con las cantidades escalares complejas que comúnmente se denominan fasores . ${\displaystyle e^{j\omega t}}$ ${\displaystyle e^{j\omega t}}$

Una equivalencia de operaciones vectoriales muestra que

$${\displaystyle \mathbf {H} \cdot (\nabla \times \mathbf {E} )-\mathbf {E} \cdot (\nabla \times \mathbf {H} )=\nabla \cdot (\mathbf {E} \times \mathbf {H} )}$$

${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {H} \ .}$

Si aplicamos esta equivalencia a y obtenemos: ${\displaystyle \mathbf {E} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {H} _{2}}$

$${\displaystyle \mathbf {H} _{2}\cdot (\nabla \times \mathbf {E} _{1})-\mathbf {E} _{1}\cdot (\nabla \times \mathbf {H} _{2})=\nabla \cdot (\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2})\ .}$$

Si los productos en las ecuaciones periódicas de tiempo se toman como lo indica esta última equivalencia y se suman,

$${\displaystyle -\mathbf {H} _{2}\cdot j\omega \mathbf {B} _{1}-\mathbf {E} _{1}\cdot j\omega \mathbf {D} _{2}-\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}=\nabla \cdot (\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2})\ .}$$

Esto ahora puede integrarse al volumen de preocupación,

$${\displaystyle \int _{V}\left(\mathbf {H} _{2}\cdot j\omega \mathbf {B} _{1}+\mathbf {E} _{1}\cdot j\omega \mathbf {D} _{2}+\mathbf {E} _{1}\mathbf {J} _{2}\right)\mathrm {d} V=-\int _{V}\nabla \cdot (\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2})\mathrm {d} V\ .}$$

Según el teorema de la divergencia, la integral de volumen de es igual a la integral de superficie de sobre el límite. ${\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2})}$ ${\displaystyle \mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}}$

$${\displaystyle \int _{V}\left(\mathbf {H} _{2}\cdot j\omega \mathbf {B} _{1}+\mathbf {E} _{1}\cdot j\omega \mathbf {D} _{2}+\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}\right)\mathrm {d} V=-\oint _{S}(\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2})\cdot {\widehat {\mathrm {d} S}}\ .}$$

Esta forma es válida para medios generales, pero en el caso común de materiales lineales, isotrópicos e invariantes en el tiempo, ε es un escalar independiente del tiempo. Entonces generalmente como magnitudes físicas y ${\displaystyle \mathbf {D} =\epsilon \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} =\mu \mathbf {H} \ .}$

La última ecuación entonces se convierte en

$${\displaystyle \int _{V}\left(\mathbf {H} _{2}\cdot j\omega \mu \mathbf {H} _{1}+\mathbf {E} _{1}\cdot j\omega \epsilon \mathbf {E} _{2}+\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}\right)\mathrm {d} V=-\oint _{S}(\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2})\cdot {\widehat {\mathrm {d} S}}\ .}$$

De forma exactamente análoga obtenemos para los vectores la siguiente expresión: ${\displaystyle \mathbf {E} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {H} _{1}}$

$${\displaystyle \int _{V}\left(\mathbf {H} _{1}\cdot j\omega \mu \mathbf {H} _{2}+\mathbf {E} _{2}\cdot j\omega \epsilon \mathbf {E} _{1}+\mathbf {E} _{2}\cdot \mathbf {J} _{1}\right)\operatorname {d} V=-\oint _{S}(\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1})\cdot {\widehat {\mathrm {d} S}}\ .}$$

Restando las dos últimas ecuaciones por miembros obtenemos

$${\displaystyle \int _{V}\left[\mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}-\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}\right]\operatorname {d} V=\oint _{S}\left[\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}-\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1}\right]\cdot \mathbf {\mathrm {d} S} \ .}$$

$${\displaystyle \ \mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}-\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}=\nabla \cdot \left[\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}-\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1}\right]\ }$$

QED

Cancelación de término superficial

La cancelación de los términos de superficie en el lado derecho del teorema de reciprocidad de Lorentz, para una integración en todo el espacio, no es del todo obvia, pero puede derivarse de varias maneras. Un tratamiento riguroso de la integral de superficie tiene en cuenta la causalidad de los estados del campo de ondas que interactúan: la contribución de la integral de superficie en el infinito desaparece sólo para la interacción tiempo-convolución de dos campos de ondas causales (la interacción de correlación temporal conduce a un valor distinto de cero). contribución). ^[10]

Otro argumento simple sería que los campos llegan a cero en el infinito para una fuente localizada, pero este argumento falla en el caso de medios sin pérdidas: en ausencia de absorción, los campos radiados decaen inversamente con la distancia, pero el área de superficie de la integral aumenta. con el cuadrado de la distancia, por lo que las dos tasas se equilibran en la integral.

En cambio, es común (por ejemplo, King, 1963) suponer que el medio es homogéneo e isotrópico lo suficientemente alejado. En este caso, el campo radiado toma asintóticamente la forma de ondas planas que se propagan radialmente hacia afuera (en la dirección) con y donde Z es la impedancia escalar del medio circundante. Luego se sigue lo que por identidad vectorial simple es igual a Análogamente, y los dos términos se anulan entre sí. ${\displaystyle \operatorname {\hat {O}} {\mathbf {r} }}$ ${\displaystyle \operatorname {\hat {O}} {\mathbf {r} }\cdot \mathbf {E} =0}$ ${\displaystyle \mathbf {H} ={\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {E} /Z}$ ${\textstyle {\sqrt {\mu /\epsilon }}}$ ${\displaystyle \ \mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}={\frac {\mathbf {E} _{1}\times {\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {E} _{2}}{Z}}\ ,}$ ${\displaystyle {\frac {\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}}{Z}}\ {\hat {\mathbf {r} }}\ .}$ ${\displaystyle \mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1}={\frac {\mathbf {E} _{2}\cdot \mathbf {E} _{1}}{Z}}\ {\hat {\mathbf {r} }}}$

El argumento anterior muestra explícitamente por qué los términos superficiales pueden cancelarse, pero carece de generalidad. Alternativamente, se puede tratar el caso de medios circundantes sin pérdidas con condiciones de frontera de radiación impuestas mediante el principio de absorción límite (LAP): tomando el límite cuando las pérdidas (la parte imaginaria de ε ) llegan a cero. Para cualquier pérdida distinta de cero, los campos decaen exponencialmente con la distancia y la integral de superficie desaparece, independientemente de si el medio es homogéneo. Dado que el lado izquierdo del teorema de reciprocidad de Lorentz desaparece para la integración en todo el espacio con pérdidas distintas de cero, también debe desaparecer en el límite cuando las pérdidas llegan a cero. (Tenga en cuenta que el LAP impone implícitamente la condición de radiación de Sommerfeld de cero ondas entrantes desde el infinito, porque de lo contrario incluso una pérdida arbitrariamente pequeña eliminaría las ondas entrantes y el límite no daría la solución sin pérdidas).

Reciprocidad y función de Green

El inverso del operador , es decir, in (que requiere una especificación de las condiciones de contorno en el infinito en un sistema sin pérdidas), tiene la misma simetría que y es esencialmente una función de convolución de Green . Entonces, otra perspectiva sobre la reciprocidad de Lorentz es que refleja el hecho de que la convolución con la función electromagnética de Green es una operación lineal simétrica compleja (o antihermitiana, más abajo) bajo las condiciones apropiadas en ε y μ . Más específicamente, la función de Green se puede escribir dando la n -ésima componente de at desde un punto de corriente dipolar en la m -ésima dirección at (esencialmente, da los elementos de la matriz de ), y la reciprocidad de Rayleigh-Carson es equivalente a la afirmación A diferencia de eso, generalmente no es posible dar una fórmula explícita para la función de Green (excepto en casos especiales como medios homogéneos), pero se calcula de forma rutinaria mediante métodos numéricos. ${\displaystyle \operatorname {\hat {O}} \ ,}$ ${\displaystyle \mathbf {E} =\operatorname {\hat {O}} ^{-1}\mathbf {J} }$ ${\displaystyle \operatorname {\hat {O}} }$ ${\displaystyle G_{nm}(\mathbf {x} ',\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} '}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \operatorname {\hat {O}} ^{-1}}$ ${\displaystyle G_{nm}(\mathbf {x} ',\mathbf {x} )=G_{mn}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\ .}$ ${\displaystyle \operatorname {\hat {O}} \ ,}$

Materiales magnetoópticos sin pérdidas

Un caso en el que ε no es una matriz simétrica es el de los materiales magnetoópticos , en cuyo caso la afirmación habitual de la reciprocidad de Lorentz no se cumple (sin embargo, consulte a continuación una generalización). Si permitimos materiales magnetoópticos, pero nos limitamos a la situación en la que la absorción del material es insignificante , entonces ε y μ son en general matrices hermitianas complejas de 3×3 . En este caso, el operador es hermitiano bajo el producto interno conjugado y una variante del teorema de reciprocidad ^{[ cita necesaria ]} todavía se cumple: ${\textstyle \ {\frac {1}{\mu }}\left(\nabla \times \nabla \times \right)-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\varepsilon }$ ${\textstyle (\mathbf {F} ,\mathbf {G} )=\int \mathbf {F} ^{*}\cdot \mathbf {G} \,\mathrm {d} V\ ,}$

$${\displaystyle -\int _{V}\left[\mathbf {J} _{1}^{*}\cdot \mathbf {E} _{2}+\mathbf {E} _{1}^{*}\cdot \mathbf {J} _{2}\right]\mathrm {d} V=\oint _{S}\left[\mathbf {E} _{1}^{*}\times \mathbf {H} _{2}+\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1}^{*}\right]\cdot \mathbf {\mathrm {d} A} }$$

antihermitianoconservación de la energíael teorema de Poyntingvector de Poynting ${\displaystyle {\frac {1}{i\omega }}}$ ${\displaystyle \operatorname {\hat {O}} }$ ${\displaystyle \mathbf {J} _{1}=\mathbf {J} _{2}\ ,}$ ${\displaystyle -\mathbf {J} ^{*}\cdot \mathbf {E} }$

El hecho de que los materiales magnetoópticos rompan la reciprocidad de Rayleigh-Carson es la clave para dispositivos como los aisladores y circuladores de Faraday . Una corriente en un lado de un aislador de Faraday produce un campo en el otro lado, pero no al revés.

Generalización a materiales no simétricos.

Para una combinación de materiales magnetoópticos y con pérdida, y en general cuando los tensores ε y μ no son matrices simétricas ni hermitianas, aún se puede obtener una versión generalizada de la reciprocidad de Lorentz considerando y existir en diferentes sistemas . ${\displaystyle (\mathbf {J} _{1},\mathbf {E} _{1})}$ ${\displaystyle (\mathbf {J} _{2},\mathbf {E} _{2})}$

En particular, si se satisfacen las ecuaciones de Maxwell en ω para un sistema con materiales y se satisfacen las ecuaciones de Maxwell en ω para un sistema con materiales donde denota la transpuesta , entonces se cumple la ecuación de reciprocidad de Lorentz. Esto se puede generalizar aún más a materiales bianisotrópicos transponiendo el tensor de susceptibilidad completo de 6 × 6. ^[11] ${\displaystyle (\mathbf {J} _{1},\mathbf {E} _{1})}$ ${\displaystyle (\varepsilon _{1},\mu _{1})\ ,}$ ${\displaystyle (\mathbf {J} _{2},\mathbf {E} _{2})}$ ${\displaystyle \left(\varepsilon _{1}^{\mathsf {T}},\mu _{1}^{\mathsf {T}}\right)\ ,}$ ${\displaystyle {}^{\mathsf {T}}}$

Excepciones a la reciprocidad

Para medios no lineales , generalmente no se cumple ningún teorema de reciprocidad. La reciprocidad tampoco se aplica generalmente a los medios que varían en el tiempo ("activos"); por ejemplo, cuando ε es modulado en el tiempo por algún proceso externo. (En ambos casos, la frecuencia ω generalmente no es una cantidad conservada).

Reciprocidad Feld-Tai

^{En 1992, YA Feld [12]} y CT Tai, ^[13] articularon de forma independiente un teorema de reciprocidad estrechamente relacionado y se conoce como reciprocidad Feld-Tai o lema Feld-Tai . t relaciona dos fuentes de corriente localizadas armónicas en el tiempo y los campos magnéticos resultantes :

${\displaystyle \int \mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {H} _{2}\,\operatorname {d} V=\int \mathbf {H} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}\,\operatorname {d} V\ .}$

Sin embargo, el lema de Feld-Tai sólo es válido bajo condiciones mucho más restrictivas que la reciprocidad de Lorentz. Generalmente requiere medios lineales invariantes en el tiempo con una impedancia isotrópica homogénea, es decir, una relación escalar constante μ / ε , con la posible excepción de regiones de material perfectamente conductor.

Más precisamente, la reciprocidad Feld-Tai requiere la simetría hermitiana (o más bien, simétrica compleja) de los operadores electromagnéticos como se indicó anteriormente, pero también se basa en la suposición de que el operador que relaciona y es un múltiplo escalar constante del operador que relaciona y que es verdadero. cuando ε es un múltiplo escalar constante de μ (los dos operadores generalmente difieren por un intercambio de ε y μ ). Como se indicó anteriormente, también se puede construir una formulación más general para integrales en un volumen finito. ${\displaystyle \ \mathbf {E} \ }$ ${\displaystyle \ i\omega \mathbf {J} \ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {H} \ }$ ${\displaystyle \ \nabla \times (\mathbf {J} /\varepsilon )\ ,}$

Reciprocidad óptica en términos radiométricos.

Además de los efectos cuánticos, la teoría clásica cubre fenómenos eléctricos y magnéticos de campo cercano, medio y lejano con cursos de tiempo arbitrarios. La óptica se refiere a los efectos electromagnéticos oscilatorios casi sinusoidales de campo lejano. En lugar de variables eléctricas y magnéticas emparejadas, la óptica, incluida la reciprocidad óptica, se puede expresar en variables radiométricas emparejadas por polarización , como la radiancia espectral , tradicionalmente llamada intensidad específica .

En 1856, Hermann von Helmholtz escribió:

"Un rayo de luz procedente del punto A llega al punto B después de sufrir cualquier número de refracciones, reflexiones, etc. En el punto A , tomemos dos planos perpendiculares cualesquiera a ₁ , a ₂ en la dirección del rayo; y sean las vibraciones del rayo se divide en dos partes, una en cada uno de estos planos. Tome planos similares b ₁ , b ₂ en el rayo en el punto B , entonces se puede demostrar la siguiente proposición: Si cuando la cantidad de luz J polarizada en el plano a ₁ sale de A en la dirección del rayo dado, esa parte K de luz polarizada en b ₁ llega a B , entonces, a la inversa, si la cantidad de luz J polarizada en b ₁ proviene de B , la misma cantidad de luz K polarizado en un ₁ llegará a A. " ^[14]

A esto a veces se le llama principio de reciprocidad (o reversión) de Helmholtz . ^{[15] [16] [17] [18] [19] [20]} Cuando la onda se propaga a través de un material sobre el que actúa un campo magnético aplicado, la reciprocidad se puede romper, por lo que este principio no se aplicará. ^[14] De manera similar, cuando hay objetos en movimiento en la trayectoria del rayo, el principio puede ser completamente inaplicable. Históricamente, en 1849, Sir George Stokes estableció su principio de reversión óptica sin atender a la polarización. ^{[21] [22] [23]}

Al igual que los principios de la termodinámica, este principio es lo suficientemente fiable como para utilizarlo como control de la correcta realización de experimentos, en contraste con la situación habitual en la que los experimentos son pruebas de una ley propuesta. ^{[24] [25]}

La declaración más simple del principio es: si puedo verte, entonces tú puedes verme . El principio fue utilizado por Gustav Kirchhoff en su derivación de su ley de radiación térmica y por Max Planck en su análisis de su ley de radiación térmica .

Para los algoritmos de iluminación global de trazado de rayos , la luz entrante y saliente se pueden considerar como inversiones entre sí, sin afectar el resultado de la función de distribución de reflectancia bidireccional (BRDF). ^[25]

La reciprocidad de Green

Mientras que los teoremas de reciprocidad anteriores eran para campos oscilantes, la reciprocidad de Green es un teorema análogo para la electrostática con una distribución fija de carga eléctrica (Panofsky y Phillips, 1962).

En particular, denotemos el potencial eléctrico resultante de una densidad de carga total . El potencial eléctrico satisface la ecuación de Poisson , donde es la permitividad del vacío . De manera similar, denotemos el potencial eléctrico resultante de una densidad de carga total que satisface . En ambos casos, suponemos que las distribuciones de carga están localizadas, de modo que se puede elegir que los potenciales lleguen a cero en el infinito. Entonces, el teorema de reciprocidad de Green establece que, para integrales en todo el espacio: ${\displaystyle \phi _{1}}$ ${\displaystyle \rho _{1}}$ ${\displaystyle -\nabla ^{2}\phi _{1}=\rho _{1}/\varepsilon _{0}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ ${\displaystyle \phi _{2}}$ ${\displaystyle \rho _{2}}$ ${\displaystyle -\nabla ^{2}\phi _{2}=\rho _{2}/\varepsilon _{0}}$

${\displaystyle \int \rho _{1}\phi _{2}dV=\int \rho _{2}\phi _{1}\operatorname {d} V\ .}$

Este teorema se demuestra fácilmente a partir de la segunda identidad de Green . De manera equivalente, es la afirmación de que

${\displaystyle \int \phi _{2}(\nabla ^{2}\phi _{1})dV=\int \phi _{1}(\nabla ^{2}\phi _{2})\operatorname {d} V\ ,}$

es decir, que es un operador hermitiano (como sigue integrando por partes dos veces). ${\displaystyle \nabla ^{2}}$

Ver también

• Principio de equivalencia de superficies

Referencias

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