Principio de absorción limitante

En matemáticas, el principio de absorción límite (LAP) es un concepto de la teoría de operadores y la teoría de dispersión que consiste en elegir el resolvente "correcto" de un operador lineal en el espectro esencial basándose en el comportamiento del resolvente cerca del espectro esencial. El término se utiliza a menudo para indicar que el resolvente, cuando se considera no en el espacio original (que suele ser el espacio ${\displaystyle L^{2}}$ ), sino en ciertos espacios ponderados (normalmente , véase más adelante), tiene un límite a medida que el parámetro espectral se acerca al espectro esencial. Este concepto se desarrolló a partir de la idea de introducir un parámetro complejo en la ecuación de Helmholtz para seleccionar una solución particular. Esta idea se atribuye a Vladimir Ignatowski , que estaba considerando la propagación y absorción de las ondas electromagnéticas en un cable. ^[1] Está estrechamente relacionado con la condición de radiación de Sommerfeld y el principio de amplitud límite (1948). La terminología, tanto el principio de absorción límite como el principio de amplitud límite , fue introducida por Aleksei Sveshnikov . ^[2] ${\displaystyle L_{s}^{2}}$ ${\displaystyle (\Delta +k^{2})u(x)=-F(x)}$

Formulación

Para encontrar cuál solución a la ecuación de Helmholz con lado derecho distinto de cero

${\displaystyle \Delta v(x)+k^{2}v(x)=-F(x),\quad x\in \mathbb {R} ^{3},}$

con algunos fijos , corresponde a las ondas salientes, se considera el límite ^{[2] [3]} ${\displaystyle k>0}$

${\displaystyle v(x)=-\lim _{\epsilon \to +0}(\Delta +k^{2}-i\epsilon )^{-1}F(x).}$

La relación con la absorción se puede rastrear hasta la expresión para el campo eléctrico utilizada por Ignatowsky: la absorción corresponde a la parte imaginaria distinta de cero de , y la ecuación satisfecha por está dada por la ecuación de Helmholtz (o ecuación de onda reducida ) , con ${\displaystyle E(t,x)=Ae^{i(\omega t+\varkappa x)}}$ ${\displaystyle \varkappa }$ ${\displaystyle E(t,x)}$ ${\displaystyle (\Delta +\varkappa ^{2}/\omega ^{2})E(t,x)=0}$

${\displaystyle \varkappa ^{2}={\frac {\mu \varepsilon \omega ^{2}}{c^{2}}}-i4\pi \sigma \mu \omega }$

que tiene una parte imaginaria negativa (y por lo tanto ya no pertenece al espectro de ). Arriba, es la permeabilidad magnética , es la conductividad eléctrica , es la constante dieléctrica y es la velocidad de la luz en el vacío . ^[1] ${\displaystyle \varkappa ^{2}/\omega ^{2}}$ ${\displaystyle -\Delta }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle c}$

Ejemplo y relación con el principio de amplitud límite

Se puede considerar el operador de Laplace en una dimensión, que es un operador ilimitado que actúa en y está definido en el dominio , el espacio de Sobolev . Describamos su resolvente , . Dada la ecuación ${\displaystyle A=-\partial _{x}^{2},}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle D(A)=H^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle R(z)=(A-zI)^{-1}}$

${\displaystyle (-\partial _{x}^{2}-z)u(x)=F(x),\quad x\in \mathbb {R} ,\quad F\in L^{2}(\mathbb {R} )}$,

entonces, para el parámetro espectral del conjunto resolvente , la solución viene dada por donde es la convolución de F con la solución fundamental G : ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus [0,+\infty )}$ ${\displaystyle u\in L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle u(x)=(R(z)F)(x)=(G(\cdot ,z)*F)(x),}$ ${\displaystyle G(\cdot ,z)*F}$

${\displaystyle (G(\cdot ,z)*F)(x)=\int _{\mathbb {R} }G(x-y;z)F(y)\,dy,}$

donde la solución fundamental viene dada por

${\displaystyle G(x;z)={\frac {1}{2{\sqrt {-z}}}}e^{-|x|{\sqrt {-z}}},\quad z\in \mathbb {C} \setminus [0,+\infty ).}$

Para obtener un operador acotado en , es necesario utilizar la rama de la raíz cuadrada que tiene una parte real positiva (que decae para un valor absoluto grande de x ), de modo que la convolución de G con tenga sentido. ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle F\in L^{2}(\mathbb {R} )}$

También se puede considerar el límite de la solución fundamental cuando se aproxima al espectro de , dado por . Supongamos que se aproxima a , con algún . Dependiendo de si se aproxima en el plano complejo desde arriba ( ) o desde abajo ( ) del eje real, habrá dos expresiones límite diferentes: cuando se aproxima desde arriba y cuando se aproxima desde abajo. La resolvente (convolución con ) corresponde a las ondas salientes de la ecuación de Helmholtz no homogénea , mientras que corresponde a las ondas entrantes. Esto está directamente relacionado con el principio de amplitud límite : para encontrar qué solución corresponde a las ondas salientes, se considera la ecuación de onda no homogénea ${\displaystyle G(x;z)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle -\partial _{x}^{2}}$ ${\displaystyle \sigma (-\partial _{x}^{2})=[0,+\infty )}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle k^{2}}$ ${\displaystyle k>0}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle k^{2}}$ ${\displaystyle \Im (z)>0}$ ${\displaystyle \Im (z)<0}$ ${\displaystyle G_{+}(x;k^{2})=\lim _{\varepsilon \to 0+}G(x;k^{2}+i\varepsilon )=-{\frac {1}{2ik}}e^{i|x|k}}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle k^{2}\in (0,+\infty )}$ ${\displaystyle G_{-}(x;k^{2})=\lim _{\varepsilon \to 0+}G(x;k^{2}-i\varepsilon )={\frac {1}{2ik}}e^{-i|x|k}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle k^{2}\in (0,+\infty )}$ ${\displaystyle R_{+}(k^{2})}$ ${\displaystyle G_{+}(x;k^{2})}$ ${\displaystyle (-\partial _{x}^{2}-k^{2})u(x)=F(x)}$ ${\displaystyle R_{-}(k^{2})}$

${\displaystyle (\partial _{t}^{2}-\partial _{x}^{2})\psi (t,x)=F(x)e^{-ikt},\quad t\geq 0,\quad x\in \mathbb {R} ,}$

con datos iniciales cero . Se obtiene una solución particular de la ecuación de Helmholtz no homogénea correspondiente a las ondas salientes como el límite de para tiempos grandes. ^[3] ${\displaystyle \psi (0,x)=0,\,\partial _{t}\psi (t,x)|_{t=0}=0}$ ${\displaystyle \psi (t,x)e^{ikt}}$

Estimaciones en los espacios ponderados

Sea un operador lineal en un espacio de Banach , definido en el dominio . Para los valores del parámetro espectral del conjunto resolvente del operador, , el resolvente está acotado cuando se lo considera como un operador lineal que actúa desde hacia sí mismo, , pero su acotado depende del parámetro espectral y tiende a infinito a medida que se acerca al espectro del operador, . Más precisamente, existe la relación ${\displaystyle A:\,X\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D(A)\subset X}$ ${\displaystyle z\in \rho (A)\subset \mathbb {C} }$ ${\displaystyle R(z)=(A-zI)^{-1}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R(z):\,X\to X}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \sigma (A)=\mathbb {C} \setminus \rho (A)}$

${\displaystyle \Vert R(z)\Vert \geq {\frac {1}{\operatorname {dist} (z,\sigma (A))}},\qquad z\in \rho (A).}$

Muchos científicos se refieren al "principio de absorción limitante" cuando quieren decir que la resolvente de un operador particular , cuando se considera que actúa en ciertos espacios ponderados, tiene un límite (y/o permanece uniformemente acotado) a medida que el parámetro espectral se acerca al espectro esencial , . Por ejemplo, en el ejemplo anterior del operador de Laplace en una dimensión, , definido en el dominio , para , ambos operadores con los núcleos integrales no están acotados en (es decir, como operadores de a sí mismo), pero ambos estarán uniformemente acotados cuando se los considere como operadores ${\displaystyle R(z)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} }(A)}$ ${\displaystyle A=-\partial _{x}^{2}:\,L^{2}(\mathbb {R} )\to L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle D(A)=H^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle z>0}$ ${\displaystyle R_{\pm }(z)}$ ${\displaystyle G_{\pm }(x-y;z)}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle L^{2}}$

${\displaystyle R_{\pm }(z):\;L_{s}^{2}(\mathbb {R} )\to L_{-s}^{2}(\mathbb {R} ),\quad s>1/2,\quad z\in \mathbb {C} \setminus [0,+\infty ),\quad |z|\geq \delta ,}$

con fijo . Los espacios se definen como espacios de funciones localmente integrables tales que su -norma, ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle L_{s}^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L_{s}^{2}}$

${\displaystyle \Vert u\Vert _{L_{s}^{2}(\mathbb {R} )}^{2}=\int _{\mathbb {R} }(1+x^{2})^{s}|u(x)|^{2}\,dx,}$

es finito. ^{[4] [5]}

Véase también

• Condición de radiación de Sommerfeld
• Principio de amplitud límite

Referencias

1. W. contra Ignatowsky (1905). "Reflexión elektromagnetischer Wellen an einem Draft". Annalen der Physik . 18 (13): 495–522. Código bibliográfico : 1905AnP...323..495I. doi : 10.1002/andp.19053231305.
2. Sveshnikov, AG (1950). "Principio de radiación". Doklady Akademii Nauk SSSR . Nueva Seriya. 5 : 917–920.
3. Smirnov, VI (1974). Curso de matemáticas superiores. Vol. 4 (6.ª ed.). Moscú, Nauka.
4. Agmon, S (1975). "Propiedades espectrales de los operadores de Schrödinger y teoría de dispersión" (PDF) . Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4) . 2 : 151–218.
5. Reed, Michael C. ; Simon, Barry (1978). Métodos de la física matemática moderna. Análisis de operadores . Vol. 4. Academic Press. ISBN 0-12-585004-2.