Las identidades de Green

Fórmulas de cálculo vectorial que relacionan el volumen con el límite de una región.

En matemáticas , las identidades de Green son un conjunto de tres identidades en cálculo vectorial que relacionan la masa con el límite de una región sobre la que actúan los operadores diferenciales. Llevan el nombre del matemático George Green , quien descubrió el teorema de Green .

La primera identidad de Green

Esta identidad se deriva del teorema de divergencia aplicado al campo vectorial F = ψ ∇ φ mientras se usa una extensión de la regla del producto que ∇ ⋅ ( ψ X ) = ∇ ψ ⋅ X + ψ ∇⋅ X : Sean φ y ψ escalares funciones definidas en alguna región U ⊂ R ^d , y supongamos que φ es dos veces continuamente diferenciable y ψ una vez es continuamente diferenciable. Usando la regla del producto anterior, pero dejando X = ∇ φ , integra ∇⋅( ψ ∇ φ ) sobre U . Entonces ^[1]

$${\displaystyle \int _{U}\left(\psi \,\Delta \varphi +\nabla \psi \cdot \nabla \varphi \right)\,dV=\oint _{\partial U}\psi \left(\nabla \varphi \cdot \mathbf {n} \right)\,dS=\oint _{\partial U}\psi \,\nabla \varphi \cdot d\mathbf {S} }$$

∆ ≡ ∇ ²operador de Laplace∂ UUndSd S = n dS

Este teorema es un caso especial del teorema de la divergencia y es esencialmente el equivalente de mayor dimensión de la integración por partes con ψ y el gradiente de φ reemplazando a u y v .

Tenga en cuenta que la primera identidad de Green anterior es un caso especial de la identidad más general derivada del teorema de la divergencia sustituyendo F = ψ Γ ,

$${\displaystyle \int _{U}\left(\psi \,\nabla \cdot \mathbf {\Gamma } +\mathbf {\Gamma } \cdot \nabla \psi \right)\,dV=\oint _{\partial U}\psi \left(\mathbf {\Gamma } \cdot \mathbf {n} \right)\,dS=\oint _{\partial U}\psi \mathbf {\Gamma } \cdot d\mathbf {S} ~.}$$

La segunda identidad de Green

Si φ y ψ son ambos dos veces diferenciables continuamente en U ⊂ R ³ , y ε es una vez continuamente diferenciable, se puede elegir F = ψε ∇ φ − φε ∇ ψ para obtener

$${\displaystyle \int _{U}\left[\psi \,\nabla \cdot \left(\varepsilon \,\nabla \varphi \right)-\varphi \,\nabla \cdot \left(\varepsilon \,\nabla \psi \right)\right]\,dV=\oint _{\partial U}\varepsilon \left(\psi {\partial \varphi \over \partial \mathbf {n} }-\varphi {\partial \psi \over \partial \mathbf {n} }\right)\,dS.}$$

Para el caso especial de ε = 1 en todo U ⊂ R ³ , entonces,

$${\displaystyle \int _{U}\left(\psi \,\nabla ^{2}\varphi -\varphi \,\nabla ^{2}\psi \right)\,dV=\oint _{\partial U}\left(\psi {\partial \varphi \over \partial \mathbf {n} }-\varphi {\partial \psi \over \partial \mathbf {n} }\right)\,dS.}$$

En la ecuación anterior, ∂ φ /∂ n es la derivada direccional de φ en la dirección de la superficie normal n que apunta hacia afuera del elemento de superficie dS ,

$${\displaystyle {\partial \varphi \over \partial \mathbf {n} }=\nabla \varphi \cdot \mathbf {n} =\nabla _{\mathbf {n} }\varphi .}$$

Incorporar explícitamente esta definición en la segunda identidad de Green con ε = 1 da como resultado

$${\displaystyle \int _{U}\left(\psi \,\nabla ^{2}\varphi -\varphi \,\nabla ^{2}\psi \right)\,dV=\oint _{\partial U}\left(\psi \nabla \varphi -\varphi \nabla \psi \right)\cdot d\mathbf {S} .}$$

En particular, esto demuestra que el laplaciano es un operador autoadjunto en el producto interno L ² para funciones que desaparecen en la frontera, de modo que el lado derecho de la identidad anterior es cero.

La tercera identidad de Green

La tercera identidad de Green se deriva de la segunda identidad eligiendo φ = G , donde la función de Green G se considera una solución fundamental del operador de Laplace , ∆. Esto significa que:

$${\displaystyle \Delta G(\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\eta }})=\delta (\mathbf {x} -{\boldsymbol {\eta }})~.}$$

Por ejemplo, en R ³ , una solución tiene la forma

$${\displaystyle G(\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\eta }})={\frac {-1}{4\pi \|\mathbf {x} -{\boldsymbol {\eta }}\|}}~.}$$

La tercera identidad de Green establece que si ψ es una función que es dos veces diferenciable continuamente en U , entonces

$${\displaystyle \int _{U}\left[G(\mathbf {y} ,{\boldsymbol {\eta }})\,\Delta \psi (\mathbf {y} )\right]\,dV_{\mathbf {y} }-\psi ({\boldsymbol {\eta }})=\oint _{\partial U}\left[G(\mathbf {y} ,{\boldsymbol {\eta }}){\partial \psi \over \partial \mathbf {n} }(\mathbf {y} )-\psi (\mathbf {y} ){\partial G(\mathbf {y} ,{\boldsymbol {\eta }}) \over \partial \mathbf {n} }\right]\,dS_{\mathbf {y} }.}$$

Surge una simplificación si ψ es en sí misma una función armónica , es decir, una solución a la ecuación de Laplace . Entonces ∇ ² ψ = 0 y la identidad se simplifica a

$${\displaystyle \psi ({\boldsymbol {\eta }})=\oint _{\partial U}\left[\psi (\mathbf {y} ){\frac {\partial G(\mathbf {y} ,{\boldsymbol {\eta }})}{\partial \mathbf {n} }}-G(\mathbf {y} ,{\boldsymbol {\eta }}){\frac {\partial \psi }{\partial \mathbf {n} }}(\mathbf {y} )\right]\,dS_{\mathbf {y} }.}$$

El segundo término de la integral anterior se puede eliminar si se elige G como la función de Green que desaparece en el límite de U ( condición de límite de Dirichlet ),

$${\displaystyle \psi ({\boldsymbol {\eta }})=\oint _{\partial U}\psi (\mathbf {y} ){\frac {\partial G(\mathbf {y} ,{\boldsymbol {\eta }})}{\partial \mathbf {n} }}\,dS_{\mathbf {y} }~.}$$

Esta forma se utiliza para construir soluciones a problemas de condiciones de frontera de Dirichlet. Las soluciones para los problemas de condiciones de frontera de Neumann también se pueden simplificar, aunque el teorema de divergencia aplicado a la ecuación diferencial que define las funciones de Green muestra que la función de Green no puede integrarse a cero en la frontera y, por lo tanto, no puede desaparecer en la frontera. Consulte las funciones de Green para el laplaciano o ^[2] para obtener un argumento detallado, con una alternativa.

Se puede verificar además que la identidad anterior también se aplica cuando ψ es una solución de la ecuación de Helmholtz o ecuación de onda y G es la función de Green apropiada. En tal contexto, esta identidad es la expresión matemática del principio de Huygens y conduce a la fórmula de difracción de Kirchhoff y otras aproximaciones.

En colectores

Las identidades de Green se basan en una variedad de Riemann. En este contexto, los dos primeros son

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{M}u\,\Delta v\,dV+\int _{M}\langle \nabla u,\nabla v\rangle \,dV&=\int _{\partial M}uNv\,d{\widetilde {V}}\\\int _{M}\left(u\,\Delta v-v\,\Delta u\right)\,dV&=\int _{\partial M}(uNv-vNu)\,d{\widetilde {V}}\end{aligned}}}$$

uvMdVMNΔ u = div(grad u ) ${\displaystyle d{\widetilde {V}}}$

Identidad vectorial de Green

La segunda identidad de Green establece una relación entre las derivadas de segundo y (la divergencia de) primer orden de dos funciones escalares. En forma diferencial

$${\displaystyle p_{m}\,\Delta q_{m}-q_{m}\,\Delta p_{m}=\nabla \cdot \left(p_{m}\nabla q_{m}-q_{m}\,\nabla p_{m}\right),}$$

p _mq _m^[3]

En la teoría de la difracción vectorial, se introducen dos versiones de la segunda identidad de Green.

Una variante invoca la divergencia de un producto cruzado ^{[4] [5] [6]} y establece una relación en términos de la curvatura del campo.

$${\displaystyle \mathbf {P} \cdot \left(\nabla \times \nabla \times \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \cdot \left(\nabla \times \nabla \times \mathbf {P} \right)=\nabla \cdot \left(\mathbf {Q} \times \left(\nabla \times \mathbf {P} \right)-\mathbf {P} \times \left(\nabla \times \mathbf {Q} \right)\right).}$$

Esta ecuación se puede escribir en términos de los laplacianos,

$${\displaystyle \mathbf {P} \cdot \Delta \mathbf {Q} -\mathbf {Q} \cdot \Delta \mathbf {P} +\mathbf {Q} \cdot \left[\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {P} \right)\right]-\mathbf {P} \cdot \left[\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)\right]=\nabla \cdot \left(\mathbf {P} \times \left(\nabla \times \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \times \left(\nabla \times \mathbf {P} \right)\right).}$$

Sin embargo, los términos

$${\displaystyle \mathbf {Q} \cdot \left[\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {P} \right)\right]-\mathbf {P} \cdot \left[\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)\right],}$$

El otro enfoque introduce bivectores; esta formulación requiere una función de Green diádica. ^{[7] [8]} La derivación presentada aquí evita estos problemas. ^[9]

Considere que los campos escalares en la segunda identidad de Green son los componentes cartesianos de los campos vectoriales, es decir,

$${\displaystyle \mathbf {P} =\sum _{m}p_{m}{\hat {\mathbf {e} }}_{m},\qquad \mathbf {Q} =\sum _{m}q_{m}{\hat {\mathbf {e} }}_{m}.}$$

Resumiendo la ecuación para cada componente, obtenemos

$${\displaystyle \sum _{m}\left[p_{m}\Delta q_{m}-q_{m}\Delta p_{m}\right]=\sum _{m}\nabla \cdot \left(p_{m}\nabla q_{m}-q_{m}\nabla p_{m}\right).}$$

El LHS según la definición del producto escalar se puede escribir en forma vectorial como

$${\displaystyle \sum _{m}\left[p_{m}\,\Delta q_{m}-q_{m}\,\Delta p_{m}\right]=\mathbf {P} \cdot \Delta \mathbf {Q} -\mathbf {Q} \cdot \Delta \mathbf {P} .}$$

El RHS es un poco más complicado de expresar en términos de operadores vectoriales. Debido a la distributividad del operador de divergencia sobre la suma, la suma de la divergencia es igual a la divergencia de la suma, es decir,

$${\displaystyle \sum _{m}\nabla \cdot \left(p_{m}\nabla q_{m}-q_{m}\nabla p_{m}\right)=\nabla \cdot \left(\sum _{m}p_{m}\nabla q_{m}-\sum _{m}q_{m}\nabla p_{m}\right).}$$

Recuerde la identidad del vector para el gradiente de un producto escalar,

$${\displaystyle \nabla \left(\mathbf {P} \cdot \mathbf {Q} \right)=\left(\mathbf {P} \cdot \nabla \right)\mathbf {Q} +\left(\mathbf {Q} \cdot \nabla \right)\mathbf {P} +\mathbf {P} \times \left(\nabla \times \mathbf {Q} \right)+\mathbf {Q} \times \left(\nabla \times \mathbf {P} \right),}$$

$${\displaystyle \nabla \left(\mathbf {P} \cdot \mathbf {Q} \right)=\nabla \sum _{m}p_{m}q_{m}=\sum _{m}p_{m}\nabla q_{m}+\sum _{m}q_{m}\nabla p_{m}.}$$

Este resultado es similar a lo que deseamos evidenciar en términos vectoriales 'excepto' por el signo menos. Dado que los operadores diferenciales en cada término actúan sobre un vector (por ejemplo, 's) o sobre el otro ( 's), la contribución a cada término debe ser ${\displaystyle p_{m}}$ ${\displaystyle q_{m}}$

$${\displaystyle \sum _{m}p_{m}\nabla q_{m}=\left(\mathbf {P} \cdot \nabla \right)\mathbf {Q} +\mathbf {P} \times \left(\nabla \times \mathbf {Q} \right),}$$

$${\displaystyle \sum _{m}q_{m}\nabla p_{m}=\left(\mathbf {Q} \cdot \nabla \right)\mathbf {P} +\mathbf {Q} \times \left(\nabla \times \mathbf {P} \right).}$$

Se puede demostrar rigurosamente que estos resultados son correctos mediante la evaluación de los componentes del vector. Por lo tanto, el RHS se puede escribir en forma vectorial como

$${\displaystyle \sum _{m}p_{m}\nabla q_{m}-\sum _{m}q_{m}\nabla p_{m}=\left(\mathbf {P} \cdot \nabla \right)\mathbf {Q} +\mathbf {P} \times \left(\nabla \times \mathbf {Q} \right)-\left(\mathbf {Q} \cdot \nabla \right)\mathbf {P} -\mathbf {Q} \times \left(\nabla \times \mathbf {P} \right).}$$

Juntando estos dos resultados se obtiene un resultado análogo al teorema de Green para campos escalares,
Teorema para campos vectoriales:

$${\displaystyle \color {OliveGreen}\mathbf {P} \cdot \Delta \mathbf {Q} -\mathbf {Q} \cdot \Delta \mathbf {P} =\left[\left(\mathbf {P} \cdot \nabla \right)\mathbf {Q} +\mathbf {P} \times \left(\nabla \times \mathbf {Q} \right)-\left(\mathbf {Q} \cdot \nabla \right)\mathbf {P} -\mathbf {Q} \times \left(\nabla \times \mathbf {P} \right)\right].}$$

El rizo de un producto cruzado se puede escribir como

$${\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {P} \times \mathbf {Q} \right)=\left(\mathbf {Q} \cdot \nabla \right)\mathbf {P} -\left(\mathbf {P} \cdot \nabla \right)\mathbf {Q} +\mathbf {P} \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \left(\nabla \cdot \mathbf {P} \right);}$$

La identidad del vector de Green se puede reescribir como

$${\displaystyle \mathbf {P} \cdot \Delta \mathbf {Q} -\mathbf {Q} \cdot \Delta \mathbf {P} =\nabla \cdot \left[\mathbf {P} \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \left(\nabla \cdot \mathbf {P} \right)-\nabla \times \left(\mathbf {P} \times \mathbf {Q} \right)+\mathbf {P} \times \left(\nabla \times \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \times \left(\nabla \times \mathbf {P} \right)\right].}$$

Dado que la divergencia de un rizo es cero, el tercer término desaparece para producir la identidad vectorial de Green :

$${\displaystyle \color {OliveGreen}\mathbf {P} \cdot \Delta \mathbf {Q} -\mathbf {Q} \cdot \Delta \mathbf {P} =\nabla \cdot \left[\mathbf {P} \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \left(\nabla \cdot \mathbf {P} \right)+\mathbf {P} \times \left(\nabla \times \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \times \left(\nabla \times \mathbf {P} \right)\right].}$$

Con un procedimiento similar, el laplaciano del producto escalar se puede expresar en términos de los laplacianos de los factores

$${\displaystyle \Delta \left(\mathbf {P} \cdot \mathbf {Q} \right)=\mathbf {P} \cdot \Delta \mathbf {Q} -\mathbf {Q} \cdot \Delta \mathbf {P} +2\nabla \cdot \left[\left(\mathbf {Q} \cdot \nabla \right)\mathbf {P} +\mathbf {Q} \times \nabla \times \mathbf {P} \right].}$$

Como corolario, los términos incómodos ahora se pueden escribir en términos de una divergencia en comparación con la ecuación vectorial de Green,

$${\displaystyle \mathbf {P} \cdot \left[\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)\right]-\mathbf {Q} \cdot \left[\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {P} \right)\right]=\nabla \cdot \left[\mathbf {P} \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \left(\nabla \cdot \mathbf {P} \right)\right].}$$

Este resultado se puede verificar expandiendo la divergencia de un escalar multiplicada por un vector en el RHS.

Ver también

• La función del verde.
• Teorema integral de Kirchhoff
• Identidad de Lagrange (problema de valores límite)

Referencias

1. Strauss, Walter. Ecuaciones diferenciales parciales: una introducción . Wiley.
2. Jackson, John David (14 de agosto de 1998). Electrodinámica clásica . John Wiley e hijos. pag. 39.
3. Guasti, M Fernández (17 de marzo de 2004). "Ecuación de conservación de campos complementarios derivada de la ecuación de onda escalar". Revista de Física A: Matemática y General . 37 (13). Publicación del PIO: 4107–4121. Código Bib : 2004JPhA...37.4107F. doi :10.1088/0305-4470/37/13/013. ISSN  0305-4470.
4. Con amor, Augusto EH (1901). "I. La integración de las ecuaciones de propagación de ondas eléctricas". Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres. Serie A, que contiene artículos de carácter matemático o físico . 197 (287–299). La Sociedad de la Realeza: 1–45. doi : 10.1098/rsta.1901.0013 . ISSN  0264-3952.
5. Stratton, JA; Chu, LJ (1 de julio de 1939). "Teoría de la difracción de ondas electromagnéticas". Revisión física . 56 (1). Sociedad Estadounidense de Física (APS): 99–107. Código bibliográfico : 1939PhRv...56...99S. doi :10.1103/physrev.56.99. ISSN  0031-899X.
6. Bruce, Neil C (22 de julio de 2010). "La onda vectorial de doble dispersión Kirchhoff se dispersa desde superficies perfectamente conductoras con pendientes infinitas". Revista de Óptica . 12 (8). Publicación IOP: 085701. Bibcode : 2010JOpt...12h5701B. doi :10.1088/2040-8978/12/8/085701. ISSN  2040-8978. S2CID  120636008.
7. Franz, W (1 de septiembre de 1950). "Sobre la teoría de la difracción". Actas de la Sociedad de Física. Sección a . 63 (9). Publicación del PIO: 925–939. Código Bib : 1950PPSA...63..925F. doi :10.1088/0370-1298/63/9/301. ISSN  0370-1298.
8. Chen-To Tai (1972). "Teoría de Kirchhoff: ¿escalar, vectorial o diádica?". Transacciones IEEE sobre antenas y propagación . 20 (1). Instituto de Ingenieros Eléctricos y Electrónicos (IEEE): 114–115. Código Bib : 1972ITAP...20..114T. doi : 10.1109/tap.1972.1140146. ISSN  0096-1973.
9. Fernández-Guasti, M. (2012). "La segunda identidad de Green para campos vectoriales". Física Matemática ISRN . 2012 . Hindawi limitada: 1–7. doi : 10.5402/2012/973968 . ISSN  2090-4681.

enlaces externos

• "Fórmulas verdes", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• [1] Identidades de Green en Wolfram MathWorld