Densidad actual

Cantidad de carga que fluye a través de una unidad de área de sección transversal por unidad de tiempo

En electromagnetismo , la densidad de corriente es la cantidad de carga por unidad de tiempo que fluye a través de una unidad de área de una sección transversal elegida . ^[1] El vector de densidad de corriente se define como un vector cuya magnitud es la corriente eléctrica por área de sección transversal en un punto dado del espacio, siendo su dirección la del movimiento de las cargas positivas en ese punto. En unidades básicas del SI , la densidad de corriente eléctrica se mide en amperios por metro cuadrado . ^[2]

Definición

Supongamos que A (unidad SI: m ² ) es una pequeña superficie centrada en un punto dado M y ortogonal al movimiento de las cargas en M . Si IA (unidad SI: A ) es la corriente eléctrica que fluye a través de A , entonces la densidad _de corriente eléctrica j en M viene dada por el límite : ^[3]

$${\displaystyle j=\lim _{A\to 0}{\frac {I_{A}}{A}}=\left.{\frac {\partial I}{\partial A}}\right|_{A=0},}$$

con la superficie A permaneciendo centrada en M y ortogonal al movimiento de las cargas durante el proceso límite.

El vector de densidad de corriente j es el vector cuya magnitud es la densidad de corriente eléctrica y cuya dirección es la misma que el movimiento de las cargas positivas en M.

En un tiempo dado t , si v es la velocidad de las cargas en M , y dA es una superficie infinitesimal centrada en M y ortogonal a v , entonces durante un tiempo dt , sólo la carga contenida en el volumen formado por dA y fluirá a través de dA . Esta carga es igual a donde ρ es la densidad de carga en M. La corriente eléctrica es , se deduce que el vector densidad de corriente es el vector normal (es decir, paralelo a v ) y de magnitud ${\displaystyle v\,dt}$ ${\displaystyle dq=\rho \,v\,dt\,dA,}$ ${\displaystyle dI=dq/dt=\rho vdA}$ ${\displaystyle dA}$ ${\displaystyle dI/dA=\rho v}$

$${\displaystyle \mathbf {j} =\rho \mathbf {v} .}$$

La integral de superficie de j sobre una superficie S , seguida de una integral durante el tiempo t ₁ a t ₂ , da la cantidad total de carga que fluye a través de la superficie en ese tiempo ( t ₂ − t ₁ ):

$${\displaystyle q=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\iint _{S}\mathbf {j} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dA\,dt.}$$

Más concisamente, esta es la integral del flujo de j a través de S entre t ₁ y t ₂ .

El área requerida para calcular el flujo es real o imaginaria, plana o curva, ya sea como área de sección transversal o como superficie. Por ejemplo, para portadores de carga que pasan a través de un conductor eléctrico , el área es la sección transversal del conductor, en la sección considerada.

El área vectorial es una combinación de la magnitud del área por la que pasan los portadores de carga, A , y un vector unitario normal al área. La relación es ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} .}$ ${\displaystyle \mathbf {A} =A\mathbf {\hat {n}} .}$

El área del vector diferencial se deriva de manera similar de la definición dada anteriormente: ${\displaystyle d\mathbf {A} =dA\mathbf {\hat {n}} .}$

Si la densidad de corriente j pasa a través del área en un ángulo θ con respecto al área normal, entonces ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} ,}$

$${\displaystyle \mathbf {j} \cdot \mathbf {\hat {n}} =j\cos \theta }$$

donde ⋅ es el producto escalar de los vectores unitarios. Es decir, el componente de la densidad de corriente que pasa a través de la superficie (es decir, normal a ella) es j cos θ , mientras que el componente de la densidad de corriente que pasa tangencial al área es j sen θ , pero en realidad no hay densidad de corriente que pasa a través del área. en dirección tangencial. El único componente de la densidad de corriente que pasa normal al área es el componente coseno.

Importancia

La densidad de corriente es importante para el diseño de sistemas eléctricos y electrónicos .

El rendimiento del circuito depende en gran medida del nivel de corriente diseñado, y la densidad de corriente está determinada por las dimensiones de los elementos conductores. Por ejemplo, a medida que los circuitos integrados se reducen de tamaño, a pesar de la menor corriente demandada por dispositivos más pequeños , existe una tendencia hacia densidades de corriente más altas para lograr un mayor número de dispositivos en áreas de chip cada vez más pequeñas . Véase la ley de Moore .

A altas frecuencias, la región conductora de un cable queda confinada cerca de su superficie, lo que aumenta la densidad de corriente en esta región. Esto se conoce como efecto piel .

Las altas densidades de corriente tienen consecuencias indeseables. La mayoría de los conductores eléctricos tienen una resistencia positiva finita , lo que les hace disipar energía en forma de calor. La densidad de corriente debe mantenerse lo suficientemente baja para evitar que el conductor se funda o se queme, que falle el material aislante o que cambien las propiedades eléctricas deseadas. A altas densidades de corriente, el material que forma las interconexiones realmente se mueve, un fenómeno llamado electromigración . En los superconductores, una densidad de corriente excesiva puede generar un campo magnético lo suficientemente fuerte como para provocar la pérdida espontánea de la propiedad superconductora.

El análisis y la observación de la densidad de corriente también se utilizan para investigar la física subyacente a la naturaleza de los sólidos, incluidos no sólo los metales, sino también los semiconductores y aislantes. Se ha desarrollado un elaborado formalismo teórico para explicar muchas observaciones fundamentales. ^{[4] [5]}

La densidad de corriente es un parámetro importante en la ley de circuitos de Ampère (una de las ecuaciones de Maxwell ), que relaciona la densidad de corriente con el campo magnético .

En la teoría de la relatividad especial , la carga y la corriente se combinan en un 4 vectores .

Cálculo de densidades de corriente en la materia.

Corrientes libres

Los portadores de carga que pueden moverse libremente constituyen una densidad de corriente libre , que viene dada por expresiones como las de esta sección.

La corriente eléctrica es una cantidad media y gruesa que indica lo que sucede en un cable completo. En la posición r en el momento t , la distribución de la carga que fluye se describe mediante la densidad de corriente: ^[6]

$${\displaystyle \mathbf {j} (\mathbf {r} ,t)=\rho (\mathbf {r} ,t)\;\mathbf {v} _{\text{d}}(\mathbf {r} ,t)}$$

dónde

• j ( r , t ) es el vector de densidad de corriente;
• v _d ( r , t ) es la velocidad de deriva promedio de las partículas(unidad SI: m ∙ s ⁻¹ );
• ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ,t)=q\,n(\mathbf {r} ,t)}$es la densidad de carga (unidad SI: culombios por metro cúbico ), en la que
  • n ( r , t ) es el número de partículas por unidad de volumen ("densidad numérica") (unidad SI: m ⁻³ );
  • q es la carga de las partículas individuales con densidad n (unidad SI: culombios ).

Una aproximación común a la densidad de corriente supone que la corriente es simplemente proporcional al campo eléctrico, expresado por:

$${\displaystyle \mathbf {j} =\sigma \mathbf {E} }$$

donde E es el campo eléctrico y σ es la conductividad eléctrica .

La conductividad σ es el recíproco ( inverso ) de la resistividad eléctrica y tiene las unidades SI de siemens por metro (S⋅m ⁻¹ ), y E tiene las unidades SI de newtons por culombio (N⋅C ⁻¹ ) o, equivalentemente, voltios. por metro (V⋅m ⁻¹ ).

Un enfoque más fundamental para el cálculo de la densidad de corriente se basa en:

$${\displaystyle \mathbf {j} (\mathbf {r} ,t)=\int _{-\infty }^{t}\left[\int _{V}\sigma (\mathbf {r} -\mathbf {r} ',t-t')\;\mathbf {E} (\mathbf {r} ',t')\;{\text{d}}^{3}\mathbf {r} '\,\right]{\text{d}}t'}$$

indicando el retraso en la respuesta por la dependencia temporal de σ , y la naturaleza no local de la respuesta al campo por la dependencia espacial de σ , ambos calculados en principio a partir de un análisis microscópico subyacente, por ejemplo, en el caso de campos suficientemente pequeños , la función de respuesta lineal para el comportamiento conductor del material. Véase, por ejemplo, Giuliani & Vignale (2005) ^[7] o Rammer (2007). ^[8] La integral se extiende a lo largo de toda la historia pasada hasta el presente.

La conductividad anterior y su densidad de corriente asociada reflejan los mecanismos fundamentales que subyacen al transporte de carga en el medio, tanto en el tiempo como en la distancia.

Una transformada de Fourier en el espacio y el tiempo da como resultado:

$${\displaystyle \mathbf {j} (\mathbf {k} ,\omega )=\sigma (\mathbf {k} ,\omega )\;\mathbf {E} (\mathbf {k} ,\omega )}$$

donde σ ( k , ω ) es ahora una función compleja .

En muchos materiales, por ejemplo, en materiales cristalinos, la conductividad es un tensor y la corriente no necesariamente va en la misma dirección que el campo aplicado. Además de las propias propiedades del material, la aplicación de campos magnéticos puede alterar el comportamiento conductor.

Corrientes de polarización y magnetización.

Las corrientes surgen en los materiales cuando hay una distribución de carga no uniforme. ^[9]

En los materiales dieléctricos , existe una densidad de corriente correspondiente al movimiento neto de los momentos dipolares eléctricos por unidad de volumen, es decir, la polarización P :

$${\displaystyle \mathbf {j} _{\mathrm {P} }={\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}}$$

De manera similar con los materiales magnéticos , las circulaciones de los momentos dipolares magnéticos por unidad de volumen, es decir, la magnetización M , conducen a corrientes de magnetización : ^[10]

$${\displaystyle \mathbf {j} _{\mathrm {M} }=\nabla \times \mathbf {M} }$$

Juntos, estos términos se suman para formar la densidad de corriente ligada en el material (corriente resultante debido a los movimientos de los momentos dipolares eléctricos y magnéticos por unidad de volumen):

$${\displaystyle \mathbf {j} _{\mathrm {b} }=\mathbf {j} _{\mathrm {P} }+\mathbf {j} _{\mathrm {M} }}$$

Corriente total en materiales.

La corriente total es simplemente la suma de las corrientes libres y ligadas:

$${\displaystyle \mathbf {j} =\mathbf {j} _{\mathrm {f} }+\mathbf {j} _{\mathrm {b} }}$$

Corriente de desplazamiento

También existe una corriente de desplazamiento correspondiente al campo de desplazamiento eléctrico variable en el tiempo D : ^{[11] [12]}

$${\displaystyle \mathbf {j} _{\mathrm {D} }={\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}$$

que es un término importante en la ley de circuitos de Ampère , una de las ecuaciones de Maxwell, ya que la ausencia de este término no predeciría la propagación de las ondas electromagnéticas ni la evolución temporal de los campos eléctricos en general.

Ecuación de continuidad

Dado que la carga se conserva, la densidad de corriente debe satisfacer una ecuación de continuidad . He aquí una derivación de los primeros principios. ^[9]

El flujo neto que sale de un volumen V (que puede tener una forma arbitraria pero fija para el cálculo) debe ser igual al cambio neto en la carga contenida dentro del volumen:

$${\displaystyle \int _{S}{\mathbf {j} \cdot d\mathbf {A} }=-{\frac {d}{dt}}\int _{V}{\rho \;dV}=-\int _{V}{{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\;dV}}$$

donde ρ es la densidad de carga y d A es un elemento de superficie de la superficie S que encierra el volumen V. La integral de superficie de la izquierda expresa la salida de corriente del volumen, y la integral de volumen con signo negativo de la derecha expresa la disminución de la carga total dentro del volumen. Del teorema de la divergencia :

$${\displaystyle \oint _{S}{\mathbf {j} \cdot d\mathbf {A} }=\int _{V}{{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {j} \;dV}}$$

Por eso:

$${\displaystyle \int _{V}{{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {j} \;dV}\ =-\int _{V}{{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\;dV}}$$

Esta relación es válida para cualquier volumen, independientemente de su tamaño o ubicación, lo que implica que:

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {j} =-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}}$$

y esta relación se llama ecuación de continuidad . ^{[13] [14]}

En la práctica

En el cableado eléctrico , la densidad de corriente máxima (para una temperatura nominal determinada ) puede variar desde 4 A⋅mm ⁻² para un cable sin circulación de aire a su alrededor, hasta más de 6 A⋅mm ⁻² para un cable al aire libre. Las regulaciones para el cableado de edificios enumeran la corriente máxima permitida de cada tamaño de cable en diferentes condiciones. Para diseños compactos, como los devanados de transformadores SMPS , el valor podría ser tan bajo como 2 A⋅mm ⁻² . ^[15] Si el cable transporta corrientes alternas de alta frecuencia , el efecto piel puede afectar la distribución de la corriente a través de la sección al concentrar la corriente en la superficie del conductor . En transformadores diseñados para altas frecuencias, las pérdidas se reducen si se utiliza alambre Litz para los devanados. Está hecho de múltiples alambres aislados en paralelo con un diámetro dos veces la profundidad de la piel . Los hilos aislados se retuercen entre sí para aumentar el área total de la piel y reducir la resistencia debida a los efectos de la piel.

Para las capas superior e inferior de las placas de circuito impreso , la densidad de corriente máxima puede llegar a 35 A⋅mm ⁻² con un espesor de cobre de 35 μm. Las capas internas no pueden disipar tanto calor como las capas externas; Los diseñadores de placas de circuitos evitan dejar rastros de alta corriente en las capas internas.

En el campo de los semiconductores , las densidades de corriente máximas para diferentes elementos las proporciona el fabricante. Superar esos límites plantea los siguientes problemas:

• El efecto Joule que aumenta la temperatura del componente.
• El efecto de electromigración que erosionará la interconexión y eventualmente provocará un circuito abierto.
• El efecto de difusión lenta que, si se expone continuamente a altas temperaturas, alejará los iones metálicos y los dopantes de donde deberían estar. Este efecto también es sinónimo de envejecimiento.

La siguiente tabla da una idea de la densidad de corriente máxima para varios materiales.

Incluso si los fabricantes añaden algo de margen a sus cifras, se recomienda, al menos, duplicar la sección calculada para mejorar la fiabilidad, especialmente en el caso de productos electrónicos de alta calidad. También se puede notar la importancia de mantener fríos los dispositivos electrónicos para evitar exponerlos a la electromigración y la difusión lenta .

En los organismos biológicos , los canales iónicos regulan el flujo de iones (por ejemplo, sodio , calcio , potasio ) a través de la membrana en todas las células . Se supone que la membrana de una célula actúa como un condensador. ^[17] Las densidades de corriente generalmente se expresan en pA⋅pF ⁻¹ ( pico amperios por pico faradio ) (es decir, corriente dividida por capacitancia ). Existen técnicas para medir empíricamente la capacitancia y el área de superficie de las celdas, lo que permite calcular las densidades de corriente para diferentes celdas. Esto permite a los investigadores comparar corrientes iónicas en células de diferentes tamaños. ^[18]

En las lámparas de descarga de gas , como las lámparas de destello , la densidad de corriente juega un papel importante en el espectro de salida producido. Las densidades de corriente bajas producen emisión de líneas espectrales y tienden a favorecer longitudes de onda más largas . Las altas densidades de corriente producen emisiones continuas y tienden a favorecer longitudes de onda más cortas. ^[19] Las bajas densidades de corriente para las lámparas de destello son generalmente de alrededor de 10 A⋅mm ⁻² . Las densidades de corriente altas pueden ser superiores a 40 A⋅mm ⁻² .

Ver también

• efecto Hall
• Efecto Hall cuántico
• Superconductividad
• Movilidad electrónica
• Velocidad de deriva
• Masa efectiva
• Resistencia eléctrica
• Resistencia de la hoja
• velocidad de la electricidad
• Conduccion electrica
• Relaciones Verde-Kubo
• Función de Green (teoría de muchos cuerpos)

Referencias

1. Caminante, Jearl; Halliday, David; Resnick, Robert (2014). Fundamentos de física (10ª ed.). Hoboken, Nueva Jersey: Wiley. pag. 749.ISBN _ 9781118230732. OCLC  950235056.
2. Lerner, RG; Trigg, GL (1991). Enciclopedia de Física (2ª ed.). Editores VHC. ISBN 0895737523.
3. Whelan, primer ministro; Hodgeson, MJ (1978). Principios esenciales de la física (2ª ed.). ISBN 0719533821.
4. Richard P. Martín (2004). Estructura Electrónica: Teoría básica y métodos prácticos. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0521782856.
5. Altland, Alejandro; Simons, Ben (2006). Teoría del campo de la materia condensada. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 9780521845083.
6. Woan, G. (2010). El manual de fórmulas físicas de Cambridge . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 9780521575072.
7. Giuliani, Gabriele; Vignale, Giovanni (2005). Teoría cuántica del líquido electrónico. Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 111.ISBN _ 0521821126. Teoría de respuesta lineal capacitancia O conductancia.
8. Pisón, Jørgen (2007). Teoría cuántica de campos de estados de no equilibrio. Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 158.ISBN _ 9780521874991.
9. Grant, ES; Phillips, WR (2008). Electromagnetismo (2 ed.). John Wiley e hijos. ISBN 9780471927129.
10. Herczynski, Andrzej (2013). «Cargas y corrientes ligadas» (PDF) . Revista Estadounidense de Física . la Asociación Estadounidense de Profesores de Física. 81 (3): 202-205. Código Bib : 2013AmJPh..81..202H. doi :10.1119/1.4773441. Archivado desde el original (PDF) el 20 de septiembre de 2020 . Consultado el 23 de abril de 2017 .
11. Griffiths, DJ (2007). Introducción a la electrodinámica (3 ed.). Educación Pearson. ISBN 978-8177582932.
12. Tipler, Pensilvania; Mosca, G. (2008). Física para científicos e ingenieros: con física moderna (6 ed.). ISBN 978-0716789642.
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14. Griffiths, DJ (1999). Introducción a la electrodinámica (3ª ed.). Pearson/Addison-Wesley. pag. 213.ISBN _ 0-13-805326-X.
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