Integración por partes

Método matemático en cálculo.

En cálculo , y más generalmente en análisis matemático , la integración por partes o integración parcial es un proceso que encuentra la integral de un producto de funciones en términos de la integral del producto de su derivada y antiderivada . Se utiliza con frecuencia para transformar la antiderivada de un producto de funciones en una antiderivada para la que se puede encontrar más fácilmente una solución. La regla puede considerarse como una versión integral de la regla de diferenciación del producto ; de hecho, se deriva utilizando la regla del producto.

La fórmula de integración por partes establece:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}u(x)v'(x)\,dx&={\Big [}u(x)v(x){\Big ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx\\&=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx.\end{aligned}}}$$

O bien, dejando y mientras y la fórmula se pueden escribir de manera más compacta: ${\displaystyle u=u(x)}$ ${\displaystyle du=u'(x)\,dx}$ ${\displaystyle v=v(x)}$ ${\displaystyle dv=v'(x)\,dx,}$

$${\displaystyle \int u\,dv\ =\ uv-\int v\,du.}$$

Es importante señalar que la primera expresión se escribe como integral definida y la segunda como integral indefinida. La aplicación de los límites apropiados a la última expresión debería dar como resultado la primera, pero la segunda no es necesariamente equivalente a la primera.

El matemático Brook Taylor descubrió la integración por partes y publicó la idea por primera vez en 1715. ^{[1] [2]} Existen formulaciones más generales de integración por partes para las integrales de Riemann-Stieltjes y Lebesgue-Stieltjes . El análogo discreto de las secuencias se llama suma por partes .

Teorema

Producto de dos funciones

El teorema se puede derivar de la siguiente manera. Para dos funciones continuamente diferenciables y , la regla del producto establece: ${\displaystyle u(x)}$ ${\displaystyle v(x)}$

$${\displaystyle {\Big (}u(x)v(x){\Big )}'=v(x)u'(x)+u(x)v'(x).}$$

Integrar ambas partes con respecto a , ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle \int {\Big (}u(x)v(x){\Big )}'\,dx=\int u'(x)v(x)\,dx+\int u(x)v'(x)\,dx,}$$

y observar que una integral indefinida es una antiderivada da

$${\displaystyle u(x)v(x)=\int u'(x)v(x)\,dx+\int u(x)v'(x)\,dx,}$$

donde descuidamos escribir la constante de integración . Esto produce la fórmula de integración por partes :

$${\displaystyle \int u(x)v'(x)\,dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\,dx,}$$

o en términos de los diferenciales , ${\displaystyle du=u'(x)\,dx}$ ${\displaystyle dv=v'(x)\,dx,\quad }$

$${\displaystyle \int u(x)\,dv=u(x)v(x)-\int v(x)\,du.}$$

Esto debe entenderse como una igualdad de funciones con una constante no especificada agregada a cada lado. Tomando la diferencia de cada lado entre dos valores y aplicando el teorema fundamental del cálculo se obtiene la versión integral definida: ${\displaystyle x=a}$ ${\displaystyle x=b}$

$${\displaystyle \int _{a}^{b}u(x)v'(x)\,dx=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx.}$$

derivada v'vantiderivadav' ${\displaystyle \int uv'\,dx}$ ${\displaystyle \int vu'\,dx.}$

Validez para funciones menos fluidas

No es necesario ni ser continuamente diferenciable. La integración por partes funciona si es absolutamente continua y la función designada es integrable de Lebesgue (pero no necesariamente continua). ^[3] (Si tiene un punto de discontinuidad, entonces su antiderivada puede no tener una derivada en ese punto). ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v'}$ ${\displaystyle v'}$ ${\displaystyle v}$

Si el intervalo de integración no es compacto , entonces no es necesario que sea absolutamente continuo en todo el intervalo o que sea integrable de Lebesgue en el intervalo, como lo mostrarán un par de ejemplos (en los que y son continuos y continuamente diferenciables). . Por ejemplo, si ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v'}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$

$${\displaystyle u(x)=e^{x}/x^{2},\,v'(x)=e^{-x}}$$

${\displaystyle u}$no es absolutamente continua en el intervalo [1, ∞) , pero sin embargo

$${\displaystyle \int _{1}^{\infty }u(x)v'(x)\,dx={\Big [}u(x)v(x){\Big ]}_{1}^{\infty }-\int _{1}^{\infty }u'(x)v(x)\,dx}$$

siempre que se considere que significa el límite de as y siempre que los dos términos del lado derecho sean finitos. Esto sólo es cierto si elegimos De manera similar, si ${\displaystyle \left[u(x)v(x)\right]_{1}^{\infty }}$ ${\displaystyle u(L)v(L)-u(1)v(1)}$ ${\displaystyle L\to \infty }$ ${\displaystyle v(x)=-e^{-x}.}$

$${\displaystyle u(x)=e^{-x},\,v'(x)=x^{-1}\sin(x)}$$

${\displaystyle v'}$no es integrable de Lebesgue en el intervalo [1, ∞) , pero sin embargo

$${\displaystyle \int _{1}^{\infty }u(x)v'(x)\,dx={\Big [}u(x)v(x){\Big ]}_{1}^{\infty }-\int _{1}^{\infty }u'(x)v(x)\,dx}$$

También se pueden encontrar fácilmente ejemplos similares en los que y no sean continuamente diferenciables. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$

Además, si es una función de variación acotada en el segmento y es diferenciable en entonces ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle [a,b],}$ ${\displaystyle \varphi (x)}$ ${\displaystyle [a,b],}$

$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\varphi '(x)\,dx=-\int _{-\infty }^{\infty }{\widetilde {\varphi }}(x)\,d({\widetilde {\chi }}_{[a,b]}(x){\widetilde {f}}(x)),}$$

donde denota la medida con signo correspondiente a la función de variación acotada , y las funciones son extensiones de las cuales son respectivamente de variación acotada y diferenciables. ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle d(\chi _{[a,b]}(x){\widetilde {f}}(x))}$ ${\displaystyle \chi _{[a,b]}(x)f(x)}$ ${\displaystyle {\widetilde {f}},{\widetilde {\varphi }}}$ ${\displaystyle f,\varphi }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$

Producto de muchas funciones.

Integrando la regla del producto para tres funciones multiplicadas, , , , se obtiene un resultado similar: ${\displaystyle u(x)}$ ${\displaystyle v(x)}$ ${\displaystyle w(x)}$

$${\displaystyle \int _{a}^{b}uv\,dw\ =\ {\Big [}uvw{\Big ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}uw\,dv-\int _{a}^{b}vw\,du.}$$

En general, por factores ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{n}u_{i}(x)\right)'\ =\ \sum _{j=1}^{n}u_{j}'(x)\prod _{i\neq j}^{n}u_{i}(x),}$$

lo que lleva a

$${\displaystyle \left[\prod _{i=1}^{n}u_{i}(x)\right]_{a}^{b}\ =\ \sum _{j=1}^{n}\int _{a}^{b}u_{j}'(x)\prod _{i\neq j}^{n}u_{i}(x).}$$

Visualización

Interpretación gráfica del teorema. La curva que se muestra está parametrizada por la variable t.

Considere una curva paramétrica por ( x , y ) = ( f ( t ), g ( t )). Suponiendo que la curva es localmente uno a uno e integrable , podemos definir

$${\displaystyle {\begin{aligned}x(y)&=f(g^{-1}(y))\\y(x)&=g(f^{-1}(x))\end{aligned}}}$$

El área de la región azul es

$${\displaystyle A_{1}=\int _{y_{1}}^{y_{2}}x(y)\,dy}$$

De manera similar, el área de la región roja es

$${\displaystyle A_{2}=\int _{x_{1}}^{x_{2}}y(x)\,dx}$$

El área total A ₁ + A ₂ es igual al área del rectángulo más grande, x ₂ y ₂ , menos el área del más pequeño, x ₁ y ₁ :

$${\displaystyle \overbrace {\int _{y_{1}}^{y_{2}}x(y)\,dy} ^{A_{1}}+\overbrace {\int _{x_{1}}^{x_{2}}y(x)\,dx} ^{A_{2}}\ =\ {\biggl .}x\cdot y(x){\biggl |}_{x_{1}}^{x_{2}}\ =\ {\biggl .}y\cdot x(y){\biggl |}_{y_{1}}^{y_{2}}}$$

t

$${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}x(t)\,dy(t)+\int _{t_{1}}^{t_{2}}y(t)\,dx(t)\ =\ {\biggl .}x(t)y(t){\biggl |}_{t_{1}}^{t_{2}}}$$

$${\displaystyle \int x\,dy+\int y\,dx\ =\ xy}$$

$${\displaystyle \int x\,dy\ =\ xy-\int y\,dx}$$

Esta visualización también explica por qué la integración por partes puede ayudar a encontrar la integral de una función inversa f ⁻¹ ( x ) cuando se conoce la integral de la función f ( x ). De hecho, las funciones x ( y ) e y ( x ) son inversas, y la integral ∫ x  dy se puede calcular como se indicó anteriormente conociendo la integral ∫ y  dx . En particular, esto explica el uso de la integración por partes para integrar logaritmos y funciones trigonométricas inversas . De hecho, si es una función diferenciable uno a uno en un intervalo, entonces la integración por partes se puede utilizar para derivar una fórmula para la integral de en términos de la integral de . Esto se demuestra en el artículo Integral de funciones inversas . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f}$

Aplicaciones

Encontrar antiderivadas

La integración por partes es un proceso heurístico más que puramente mecánico para resolver integrales; dada una sola función para integrar, la estrategia típica es separar cuidadosamente esta función única en un producto de dos funciones u ( x ) v ( x ) de modo que la integral residual de la fórmula de integración por partes sea más fácil de evaluar que la función única . El siguiente formulario es útil para ilustrar la mejor estrategia a seguir:

$${\displaystyle \int uv\,dx=u\int v\,dx-\int \left(u'\int v\,dx\right)\,dx.}$$

En el lado derecho, u está diferenciado y v está integrado; en consecuencia, es útil elegir u como una función que se simplifica cuando se diferencia, o elegir v como una función que se simplifica cuando se integra. Como ejemplo simple, considere:

$${\displaystyle \int {\frac {\ln(x)}{x^{2}}}\,dx\,.}$$

Dado que la derivada de ln( x ) es1/X, se hace (ln( x )) parte u ; desde la antiderivada de1/x2 ^_es -1/X, uno hace1/x2 ^_parte v . La fórmula ahora produce:

$${\displaystyle \int {\frac {\ln(x)}{x^{2}}}\,dx=-{\frac {\ln(x)}{x}}-\int {\biggl (}{\frac {1}{x}}{\biggr )}{\biggl (}-{\frac {1}{x}}{\biggr )}\,dx\,.}$$

La antiderivada de -1/x2 ^_se puede encontrar con la regla de la potencia y es1/X.

Alternativamente, se pueden elegir u y v tales que el producto u ′ (∫ v  dx ) se simplifique debido a la cancelación. Por ejemplo, supongamos que uno desea integrar:

$${\displaystyle \int \sec ^{2}(x)\cdot \ln {\Big (}{\bigl |}\sin(x){\bigr |}{\Big )}\,dx.}$$

Si elegimos u ( x ) = ln(|sin( x )|) y v ( x ) = sec ² x, entonces u se diferencia a 1/ tan x usando la regla de la cadena y v se integra a tan x ; entonces la fórmula da:

$${\displaystyle \int \sec ^{2}(x)\cdot \ln {\Big (}{\bigl |}\sin(x){\bigr |}{\Big )}\,dx=\tan(x)\cdot \ln {\Big (}{\bigl |}\sin(x){\bigr |}{\Big )}-\int \tan(x)\cdot {\frac {1}{\tan(x)}}\,dx\ .}$$

El integrando se simplifica a 1, por lo que la antiderivada es x . Encontrar una combinación simplificadora frecuentemente implica experimentación.

En algunas aplicaciones, puede no ser necesario asegurar que la integral producida por la integración por partes tenga una forma simple; por ejemplo, en el análisis numérico , puede ser suficiente que tenga una magnitud pequeña y, por lo tanto, contribuya sólo con un pequeño término de error. Algunas otras técnicas especiales se demuestran en los ejemplos siguientes.

Polinomios y funciones trigonométricas.

Para calcular

$${\displaystyle I=\int x\cos(x)\,dx\,,}$$

dejar:

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}u&=x\ &\Rightarrow \ &&du&=dx\\dv&=\cos(x)\,dx\ &\Rightarrow \ &&v&=\int \cos(x)\,dx=\sin(x)\end{alignedat}}}$$

entonces:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int x\cos(x)\,dx&=\int u\ dv\\&=u\cdot v-\int v\,du\\&=x\sin(x)-\int \sin(x)\,dx\\&=x\sin(x)+\cos(x)+C,\end{aligned}}}$$

donde C es una constante de integración .

Para poderes superiores de en la forma ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle \int x^{n}e^{x}\,dx,\ \int x^{n}\sin(x)\,dx,\ \int x^{n}\cos(x)\,dx\,,}$$

el uso repetido de la integración por partes puede evaluar integrales como éstas; cada aplicación del teorema reduce la potencia de en uno. ${\displaystyle x}$

Exponenciales y funciones trigonométricas.

Un ejemplo comúnmente utilizado para examinar el funcionamiento de la integración por partes es

$${\displaystyle I=\int e^{x}\cos(x)\,dx.}$$

Aquí, la integración por partes se realiza dos veces. primero deja

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}u&=\cos(x)\ &\Rightarrow \ &&du&=-\sin(x)\,dx\\dv&=e^{x}\,dx\ &\Rightarrow \ &&v&=\int e^{x}\,dx=e^{x}\end{alignedat}}}$$

entonces:

$${\displaystyle \int e^{x}\cos(x)\,dx=e^{x}\cos(x)+\int e^{x}\sin(x)\,dx.}$$

Ahora, para evaluar la integral restante, usamos nuevamente la integración por partes, con:

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}u&=\sin(x)\ &\Rightarrow \ &&du&=\cos(x)\,dx\\dv&=e^{x}\,dx\,&\Rightarrow \ &&v&=\int e^{x}\,dx=e^{x}.\end{alignedat}}}$$

Entonces:

$${\displaystyle \int e^{x}\sin(x)\,dx=e^{x}\sin(x)-\int e^{x}\cos(x)\,dx.}$$

Poniéndolos juntos,

$${\displaystyle \int e^{x}\cos(x)\,dx=e^{x}\cos(x)+e^{x}\sin(x)-\int e^{x}\cos(x)\,dx.}$$

La misma integral aparece en ambos lados de esta ecuación. La integral simplemente se puede sumar a ambos lados para obtener

$${\displaystyle 2\int e^{x}\cos(x)\,dx=e^{x}{\bigl [}\sin(x)+\cos(x){\bigr ]}+C,}$$

que se reorganiza para

$${\displaystyle \int e^{x}\cos(x)\,dx={\frac {1}{2}}e^{x}{\bigl [}\sin(x)+\cos(x){\bigr ]}+C'}$$

donde nuevamente (y ) es una constante de integración . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C'=C/2}$

Se utiliza un método similar para encontrar la integral de la secante al cubo .

Funciones multiplicadas por la unidad

Otros dos ejemplos bien conocidos son cuando la integración por partes se aplica a una función expresada como producto de 1 por sí misma. Esto funciona si se conoce la derivada de la función y también se conoce la integral de esta derivada . ${\displaystyle x}$

El primer ejemplo es . Escribimos esto como: ${\displaystyle \int \ln(x)dx}$

$${\displaystyle I=\int \ln(x)\cdot 1\,dx\,.}$$

Dejar:

$${\displaystyle u=\ln(x)\ \Rightarrow \ du={\frac {dx}{x}}}$$

$${\displaystyle dv=dx\ \Rightarrow \ v=x}$$

entonces:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int \ln(x)\,dx&=x\ln(x)-\int {\frac {x}{x}}\,dx\\&=x\ln(x)-\int 1\,dx\\&=x\ln(x)-x+C\end{aligned}}}$$

¿ Dónde está la constante de integración ? ${\displaystyle C}$

El segundo ejemplo es la función tangente inversa : ${\displaystyle \arctan(x)}$

$${\displaystyle I=\int \arctan(x)\,dx.}$$

Reescribe esto como

$${\displaystyle \int \arctan(x)\cdot 1\,dx.}$$

Ahora deja:

$${\displaystyle u=\arctan(x)\ \Rightarrow \ du={\frac {dx}{1+x^{2}}}}$$

$${\displaystyle dv=dx\ \Rightarrow \ v=x}$$

entonces

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int \arctan(x)\,dx&=x\arctan(x)-\int {\frac {x}{1+x^{2}}}\,dx\\[8pt]&=x\arctan(x)-{\frac {\ln(1+x^{2})}{2}}+C\end{aligned}}}$$

utilizando una combinación del método de la regla de la cadena inversa y la condición integral del logaritmo natural .

regla LIATE

Se ha propuesto una regla general que consiste en elegir como u la función que aparece en primer lugar en la siguiente lista: ^[4]

• L – funciones logarítmicas : etc. ${\displaystyle \ln(x),\ \log _{b}(x),}$
• I – funciones trigonométricas inversas (incluidos los análogos hiperbólicos ): etc. ${\displaystyle \arctan(x),\ \operatorname {arcsec}(x),\ \operatorname {arsinh} (x),}$
• A – funciones algebraicas (como polinomios ): etc. ${\displaystyle x^{2},\ 3x^{50},}$
• T – funciones trigonométricas (incluidos sus análogos hiperbólicos ): etc. ${\displaystyle \sin(x),\ \tan(x),\ \operatorname {sech} (x),}$
• E – funciones exponenciales : etc. ${\displaystyle e^{x},\ 19^{x},}$

La función que será dv es la que aparezca al final de la lista. La razón es que las funciones inferiores en la lista generalmente tienen antiderivadas más fáciles que las funciones superiores. La regla a veces se escribe como "DETALLE", donde D significa dv y la parte superior de la lista es la función elegida como dv .

Para demostrar la regla LIATE, considere la integral

$${\displaystyle \int x\cdot \cos(x)\,dx.}$$

Siguiendo la regla LIATE, u = x y dv = cos( x )  dx , por lo tanto du = dx y v = sin( x ), lo que hace que la integral se convierta en

$${\displaystyle x\cdot \sin(x)-\int 1\sin(x)\,dx,}$$

$${\displaystyle x\cdot \sin(x)+\cos(x)+C.}$$

En general, se intenta elegir u y dv de modo que du sea más simple que u y dv sea fácil de integrar. Si en cambio se eligiera cos( x ) como u , y x dx como dv , tendríamos la integral

$${\displaystyle {\frac {x^{2}}{2}}\cos(x)+\int {\frac {x^{2}}{2}}\sin(x)\,dx,}$$

lo cual, después de la aplicación recursiva de la fórmula de integración por partes, claramente resultaría en una recursividad infinita y no conduciría a ninguna parte.

Aunque es una regla general útil, existen excepciones a la regla LIATE. Una alternativa común es considerar las reglas en el orden "ILATE". Además, en algunos casos, los términos polinomiales deben dividirse de formas no triviales. Por ejemplo, para integrar

$${\displaystyle \int x^{3}e^{x^{2}}\,dx,}$$

uno establecería

$${\displaystyle u=x^{2},\quad dv=x\cdot e^{x^{2}}\,dx,}$$

de modo que

$${\displaystyle du=2x\,dx,\quad v={\frac {e^{x^{2}}}{2}}.}$$

Entonces

$${\displaystyle \int x^{3}e^{x^{2}}\,dx=\int \left(x^{2}\right)\left(xe^{x^{2}}\right)\,dx=\int u\,dv=uv-\int v\,du={\frac {x^{2}e^{x^{2}}}{2}}-\int xe^{x^{2}}\,dx.}$$

Finalmente, esto resulta en

$${\displaystyle \int x^{3}e^{x^{2}}\,dx={\frac {e^{x^{2}}\left(x^{2}-1\right)}{2}}+C.}$$

La integración por partes se utiliza a menudo como herramienta para demostrar teoremas en el análisis matemático .

Producto Wallis

El producto infinito de Wallis para ${\displaystyle \pi }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{2}}&=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right)\\[6pt]&={\Big (}{\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}{\Big )}\cdot \;\cdots \end{aligned}}}$$

puede derivarse mediante integración por partes .

Identidad de la función gamma

La función gamma es un ejemplo de función especial , definida como una integral impropia para . La integración por partes ilustra que es una extensión de la función factorial: ${\displaystyle z>0}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z)&=\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{z-1}dx\\[6pt]&=-\int _{0}^{\infty }x^{z-1}\,d\left(e^{-x}\right)\\[6pt]&=-{\Biggl [}e^{-x}x^{z-1}{\Biggl ]}_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }e^{-x}d\left(x^{z-1}\right)\\[6pt]&=0+\int _{0}^{\infty }\left(z-1\right)x^{z-2}e^{-x}dx\\[6pt]&=(z-1)\Gamma (z-1).\end{aligned}}}$$

Desde

$${\displaystyle \Gamma (1)=\int _{0}^{\infty }e^{-x}\,dx=1,}$$

cuando es un número natural, es decir, aplicando esta fórmula repetidamente da el factorial : ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z=n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \Gamma (n+1)=n!}$

Uso en análisis armónicos.

La integración por partes se utiliza a menudo en el análisis armónico , particularmente en el análisis de Fourier , para mostrar que las integrales que oscilan rápidamente con integrandos suficientemente suaves decaen rápidamente . El ejemplo más común de esto es su uso para mostrar que la caída de la transformada de Fourier de una función depende de la suavidad de esa función, como se describe a continuación.

Transformada de Fourier de derivada

Si es una función continuamente diferenciable y todas las derivadas hasta la enésima decaen a cero en el infinito, entonces su transformada de Fourier satisface ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

$${\displaystyle ({\mathcal {F}}f^{(k)})(\xi )=(2\pi i\xi )^{k}{\mathcal {F}}f(\xi ),}$$

¿ Dónde está la derivada enésima de ? (La constante exacta de la derecha depende de la convención de la transformada de Fourier utilizada ). Esto se demuestra observando que ${\displaystyle f^{(k)}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle {\frac {d}{dy}}e^{-2\pi iy\xi }=-2\pi i\xi e^{-2\pi iy\xi },}$$

entonces usando la integración por partes en la transformada de Fourier de la derivada obtenemos

$${\displaystyle {\begin{aligned}({\mathcal {F}}f')(\xi )&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-2\pi iy\xi }f'(y)\,dy\\&=\left[e^{-2\pi iy\xi }f(y)\right]_{-\infty }^{\infty }-\int _{-\infty }^{\infty }(-2\pi i\xi e^{-2\pi iy\xi })f(y)\,dy\\[5pt]&=2\pi i\xi \int _{-\infty }^{\infty }e^{-2\pi iy\xi }f(y)\,dy\\[5pt]&=2\pi i\xi {\mathcal {F}}f(\xi ).\end{aligned}}}$$

Aplicando esto inductivamente se obtiene el resultado general . Se puede utilizar un método similar para encontrar la transformada de Laplace de una derivada de una función. ${\displaystyle k}$

Decaimiento de la transformada de Fourier

El resultado anterior nos habla de la desintegración de la transformada de Fourier, ya que se deduce que si y son integrables entonces ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{(k)}}$

$${\displaystyle \vert {\mathcal {F}}f(\xi )\vert \leq {\frac {I(f)}{1+\vert 2\pi \xi \vert ^{k}}},{\text{ where }}I(f)=\int _{-\infty }^{\infty }{\Bigl (}\vert f(y)\vert +\vert f^{(k)}(y)\vert {\Bigr )}\,dy.}$$

En otras palabras, si satisface estas condiciones, entonces su transformada de Fourier decae en el infinito al menos tan rápido como 1/| ξ | ^k . En particular, si entonces la transformada de Fourier es integrable. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k\geq 2}$

La prueba utiliza el hecho, que es inmediato de la definición de la transformada de Fourier , de que

$${\displaystyle \vert {\mathcal {F}}f(\xi )\vert \leq \int _{-\infty }^{\infty }\vert f(y)\vert \,dy.}$$

Usando la misma idea sobre la igualdad establecida al comienzo de esta subsección se obtiene

$${\displaystyle \vert (2\pi i\xi )^{k}{\mathcal {F}}f(\xi )\vert \leq \int _{-\infty }^{\infty }\vert f^{(k)}(y)\vert \,dy.}$$

Sumando estas dos desigualdades y luego dividiendo por 1 + |2 π ξ ^k | da la desigualdad indicada.

Uso en teoría del operador

Un uso de la integración por partes en la teoría de operadores es que muestra que −∆ (donde ∆ es el operador de Laplace ) es un operador positivo en (ver L p espacio ). Si es fluido y compacto, entonces, usando la integración por partes, tenemos ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle -\Delta f,f\rangle _{L^{2}}&=-\int _{-\infty }^{\infty }f''(x){\overline {f(x)}}\,dx\\[5pt]&=-\left[f'(x){\overline {f(x)}}\right]_{-\infty }^{\infty }+\int _{-\infty }^{\infty }f'(x){\overline {f'(x)}}\,dx\\[5pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }\vert f'(x)\vert ^{2}\,dx\geq 0.\end{aligned}}}$$

Otras aplicaciones

• Determinación de las condiciones de contorno en la teoría de Sturm-Liouville
• Derivar la ecuación de Euler-Lagrange en el cálculo de variaciones

Integración repetida por partes

Considerar una segunda derivada de en la integral en el lado izquierdo de la fórmula para la integración parcial sugiere una aplicación repetida a la integral en el lado derecho: ${\displaystyle v}$

$${\displaystyle \int uv''\,dx=uv'-\int u'v'\,dx=uv'-\left(u'v-\int u''v\,dx\right).}$$

Extender este concepto de integración parcial repetida a derivadas de grado n conduce a

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int u^{(0)}v^{(n)}\,dx&=u^{(0)}v^{(n-1)}-u^{(1)}v^{(n-2)}+u^{(2)}v^{(n-3)}-\cdots +(-1)^{n-1}u^{(n-1)}v^{(0)}+(-1)^{n}\int u^{(n)}v^{(0)}\,dx.\\[5pt]&=\sum _{k=0}^{n-1}(-1)^{k}u^{(k)}v^{(n-1-k)}+(-1)^{n}\int u^{(n)}v^{(0)}\,dx.\end{aligned}}}$$

Este concepto puede ser útil cuando las integrales sucesivas de están fácilmente disponibles (por ejemplo, exponenciales simples o seno y coseno, como en las transformadas de Laplace o Fourier ), y cuando la enésima derivada de desaparece (por ejemplo, como una función polinómica con grado ). La última condición detiene la repetición de la integración parcial, porque la integral RHS desaparece. ${\displaystyle v^{(n)}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle (n-1)}$

En el curso de la repetición anterior de integraciones parciales, las integrales

$${\displaystyle \int u^{(0)}v^{(n)}\,dx\quad }$$

fórmula de Rodrigues ${\displaystyle \quad \int u^{(\ell )}v^{(n-\ell )}\,dx\quad }$ ${\displaystyle \quad \int u^{(m)}v^{(n-m)}\,dx\quad {\text{ for }}1\leq m,\ell \leq n}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u}$

Integración tabular por partes

El proceso esencial de la fórmula anterior se puede resumir en una tabla; El método resultante se llama "integración tabular" ^[5] y apareció en la película Stand and Deliver (1988). ^[6]

Por ejemplo, considere la integral

$${\displaystyle \int x^{3}\cos x\,dx\quad }$$

${\displaystyle \quad u^{(0)}=x^{3},\quad v^{(n)}=\cos x.}$

Comience a enumerar en la columna A la función y sus derivadas posteriores hasta llegar a cero. Luego enumere en la columna B la función y sus integrales posteriores hasta que el tamaño de la columna B sea el mismo que el de la columna A. El resultado es el siguiente: ${\displaystyle u^{(0)}=x^{3}}$ ${\displaystyle u^{(i)}}$ ${\displaystyle v^{(n)}=\cos x}$ ${\displaystyle v^{(n-i)}}$

El producto de las entradas en la fila i de las columnas A y B junto con el signo respectivo dan las integrales relevantes en el paso i en el curso de la integración repetida por partes. El paso i = 0 produce la integral original. Para obtener el resultado completo en el paso i > 0, la i -ésima integral debe sumarse a todos los productos anteriores ( 0 ≤ j < i ) de la j -ésima entrada de la columna A y la ( j + 1) primera entrada de la columna B (es decir , multiplique la primera entrada de la columna A con la segunda entrada de la columna B, la segunda entrada de la columna A con la tercera entrada de la columna B, etc. ...) con el signo j dado. Este proceso se detiene naturalmente cuando el producto que produce la integral es cero ( i = 4 en el ejemplo). El resultado completo es el siguiente (con los signos alternos en cada término):

$${\displaystyle \underbrace {(+1)(x^{3})(\sin x)} _{j=0}+\underbrace {(-1)(3x^{2})(-\cos x)} _{j=1}+\underbrace {(+1)(6x)(-\sin x)} _{j=2}+\underbrace {(-1)(6)(\cos x)} _{j=3}+\underbrace {\int (+1)(0)(\cos x)\,dx} _{i=4:\;\to \;C}.}$$

Esto produce

$${\displaystyle \underbrace {\int x^{3}\cos x\,dx} _{\text{step 0}}=x^{3}\sin x+3x^{2}\cos x-6x\sin x-6\cos x+C.}$$

La integración parcial repetida también resulta útil cuando al diferenciar e integrar respectivamente las funciones y su producto se obtiene un múltiplo del integrando original. En este caso la repetición también podrá terminar con este índice i. Esto puede suceder, como es de esperar, con exponenciales y funciones trigonométricas. Como ejemplo considere ${\displaystyle u^{(i)}}$ ${\displaystyle v^{(n-i)}}$

$${\displaystyle \int e^{x}\cos x\,dx.}$$

En este caso, el producto de los términos de las columnas A y B con el signo apropiado para el índice i = 2 produce el negativo del integrando original (compare las filas i = 0 y i = 2 ).

$${\displaystyle \underbrace {\int e^{x}\cos x\,dx} _{\text{step 0}}=\underbrace {(+1)(e^{x})(\sin x)} _{j=0}+\underbrace {(-1)(e^{x})(-\cos x)} _{j=1}+\underbrace {\int (+1)(e^{x})(-\cos x)\,dx} _{i=2}.}$$

Observando que la integral en el lado derecho puede tener su propia constante de integración y llevando la integral abstracta al otro lado, se obtiene ${\displaystyle C'}$

$${\displaystyle 2\int e^{x}\cos x\,dx=e^{x}\sin x+e^{x}\cos x+C',}$$

y finalmente:

$${\displaystyle \int e^{x}\cos x\,dx={\frac {1}{2}}\left(e^{x}(\sin x+\cos x)\right)+C,}$$

dónde . ${\displaystyle C=C'/2}$

Dimensiones más altas

La integración por partes se puede extender a funciones de varias variables aplicando una versión del teorema fundamental del cálculo a una regla de producto apropiada. Hay varios pares de este tipo posibles en el cálculo multivariado, que involucran una función escalar u y una función vectorial (campo vectorial) V. ^[7]

La regla del producto para la divergencia establece:

$${\displaystyle \nabla \cdot (u\mathbf {V} )\ =\ u\,\nabla \cdot \mathbf {V} \ +\ \nabla u\cdot \mathbf {V} .}$$

Supongamos que es un subconjunto acotado abierto con un límite suave por partes . Integrando con respecto a la forma de volumen estándar y aplicando el teorema de divergencia se obtiene: ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \Gamma =\partial \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle d\Omega }$

$${\displaystyle \int _{\Gamma }u\mathbf {V} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,d\Gamma \ =\ \int _{\Omega }\nabla \cdot (u\mathbf {V} )\,d\Omega \ =\ \int _{\Omega }u\,\nabla \cdot \mathbf {V} \,d\Omega \ +\ \int _{\Omega }\nabla u\cdot \mathbf {V} \,d\Omega ,}$$

donde es el vector normal unitario de salida al límite, integrado con respecto a su forma de volumen riemanniano estándar . Reorganizar da: ${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$ ${\displaystyle d\Gamma }$

$${\displaystyle \int _{\Omega }u\,\nabla \cdot \mathbf {V} \,d\Omega \ =\ \int _{\Gamma }u\mathbf {V} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,d\Gamma -\int _{\Omega }\nabla u\cdot \mathbf {V} \,d\Omega ,}$$

o en otras palabras

$${\displaystyle \int _{\Omega }u\,\operatorname {div} (\mathbf {V} )\,d\Omega \ =\ \int _{\Gamma }u\mathbf {V} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,d\Gamma -\int _{\Omega }\operatorname {grad} (u)\cdot \mathbf {V} \,d\Omega .}$$

de regularidadcontinua de Lipschitzuvespacio de Sobolev ${\displaystyle \Gamma =\partial \Omega }$ ${\displaystyle H^{1}(\Omega )}$

La primera identidad de Green

Considere los campos vectoriales continuamente diferenciables y , ¿dónde está el i -ésimo vector de base estándar para ? Ahora aplique la integración anterior por partes a cada vez el campo vectorial : ${\displaystyle \mathbf {U} =u_{1}\mathbf {e} _{1}+\cdots +u_{n}\mathbf {e} _{n}}$ ${\displaystyle v\mathbf {e} _{1},\ldots ,v\mathbf {e} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$ ${\displaystyle u_{i}}$ ${\displaystyle v\mathbf {e} _{i}}$

$${\displaystyle \int _{\Omega }u_{i}{\frac {\partial v}{\partial x_{i}}}\,d\Omega \ =\ \int _{\Gamma }u_{i}v\,\mathbf {e} _{i}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,d\Gamma -\int _{\Omega }{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{i}}}v\,d\Omega .}$$

Sumar i da una nueva fórmula de integración por partes:

$${\displaystyle \int _{\Omega }\mathbf {U} \cdot \nabla v\,d\Omega \ =\ \int _{\Gamma }v\mathbf {U} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,d\Gamma -\int _{\Omega }v\,\nabla \cdot \mathbf {U} \,d\Omega .}$$

El caso donde se conoce como la primera de las identidades de Green : ${\displaystyle \mathbf {U} =\nabla u}$ ${\displaystyle u\in C^{2}({\bar {\Omega }})}$

$${\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\,d\Omega \ =\ \int _{\Gamma }v\,\nabla u\cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,d\Gamma -\int _{\Omega }v\,\nabla ^{2}u\,d\Omega .}$$

Ver también

• Integración por partes para la integral de Lebesgue-Stieltjes
• Integración por partes para semimartingalas , implicando su covariación cuadrática.
• Integración por sustitución
• Transformación de Legendre

Notas

1. "Brook Taylor". Historia.MCS.St-Andrews.ac.uk . Consultado el 25 de mayo de 2018 .
2. "Brook Taylor". Stetson.edu . Archivado desde el original el 3 de enero de 2018 . Consultado el 25 de mayo de 2018 .
3. "Integración por partes". Enciclopedia de Matemáticas .
4. Kasube, Herbert E. (1983). "Una técnica de integración por partes". El Mensual Matemático Estadounidense . 90 (3): 210–211. doi :10.2307/2975556. JSTOR  2975556.
5. Thomas, GB ; Finney, RL (1988). Cálculo y geometría analítica (7ª ed.). Lectura, MA: Addison-Wesley. ISBN 0-201-17069-8.
6. Horowitz, David (1990). «Integración Tabular por Partes» (PDF) . La revista universitaria de matemáticas . 21 (4): 307–311. doi :10.2307/2686368. JSTOR  2686368.
7. Rogers, Robert C. (29 de septiembre de 2011). "El cálculo de varias variables" (PDF) .

Otras lecturas

• Louis Brand (10 de octubre de 2013). Cálculo avanzado: una introducción al análisis clásico. Corporación de mensajería. págs. 267–. ISBN 978-0-486-15799-3.
• Hoffmann, Laurence D.; Bradley, Gerald L. (2004). Cálculo para negocios, economía y ciencias sociales y biológicas (8ª ed.). págs. 450–464. ISBN 0-07-242432-X.
• Willard, Stephen (1976). Cálculo y sus aplicaciones . Boston: Prindle, Weber y Schmidt. págs. 193-214. ISBN 0-87150-203-8.
• Washington, Allyn J. (1966). Cálculo Técnico con Geometría Analítica . Lectura: Addison-Wesley. págs. 218-245. ISBN 0-8465-8603-7.

enlaces externos

• "Integración por partes", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Integración por partes: de MathWorld