Cardinalidad

Definición del número de elementos de un conjunto.

El conjunto de todos los sólidos platónicos tiene 5 elementos. Por tanto, la cardinalidad de es 5 o, en símbolos, . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle |S|=5}$

En matemáticas , la cardinalidad de un conjunto es una medida del número de elementos del conjunto. Por ejemplo, el conjunto contiene 3 elementos, y por tanto tiene una cardinalidad de 3. A partir de finales del siglo XIX, este concepto se generalizó a conjuntos infinitos , lo que permite distinguir entre diferentes tipos de infinito, y realizar aritmética sobre ellos. Hay dos enfoques de la cardinalidad: uno que compara conjuntos directamente mediante biyecciones e inyecciones , y otro que utiliza números cardinales . ^[1] La cardinalidad de un conjunto también puede denominarse tamaño , cuando no es posible confusión con otras nociones de tamaño ^[2] . ${\displaystyle A=\{2,4,6\}}$ ${\displaystyle A}$

Se suele denotar la cardinalidad de un conjunto , con una barra vertical a cada lado; ^[3] esta es la misma notación que el valor absoluto y el significado depende del contexto. La cardinalidad de un conjunto también puede denotarse por , , o . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle |A|}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {card} (A)}$ ${\displaystyle \#A}$

Historia

En una variedad de especies animales actuales se observa un crudo sentido de cardinalidad, una conciencia de que grupos de cosas o eventos se comparan con otros grupos al contener más, menos o el mismo número de instancias, lo que sugiere un origen hace millones de años. . ^[4] La expresión humana de la cardinalidad se ve ya enHace 40.000 años , se equiparaba el tamaño de un grupo con un grupo de muescas registradas, o una colección representativa de otras cosas, como palos y conchas. ^[5] La abstracción de la cardinalidad como número es evidente hacia el año 3000 a. C., en las matemáticas sumerias y la manipulación de números sin referencia a un grupo específico de cosas o eventos. ^[6]

Desde el siglo VI a. C., los escritos de los filósofos griegos muestran indicios de la cardinalidad de conjuntos infinitos. Si bien consideraban la noción de infinito como una serie interminable de acciones, como sumar 1 a un número repetidamente, no consideraban que el tamaño de un conjunto infinito de números fuera una cosa. ^[7] La ​​antigua noción griega de infinito también consideraba la división de las cosas en partes repetidas sin límite. En los Elementos de Euclides , la conmensurabilidad se describía como la capacidad de comparar la longitud de dos segmentos de línea, a y b , como una relación, siempre que hubiera un tercer segmento, por pequeño que fuera, que pudiera colocarse de un extremo a otro. un número entero de veces tanto en a como en b . Pero con el descubrimiento de los números irracionales , se vio que incluso el conjunto infinito de todos los números racionales no era suficiente para describir la longitud de cada segmento de línea posible. ^[8] Aún así, no existía el concepto de conjuntos infinitos como algo que tuviera cardinalidad.

Para comprender mejor los conjuntos infinitos, Georg Cantor , el creador de la teoría de conjuntos , formuló alrededor de 1880 una noción de cardinalidad . Examinó el proceso de equiparar dos conjuntos con la biyección , una correspondencia uno a uno entre los elementos de dos conjuntos basada en una relación única. En 1891, con la publicación del argumento de la diagonal de Cantor , demostró que hay conjuntos de números que no pueden ponerse en correspondencia uno a uno con el conjunto de los números naturales, es decir, conjuntos incontables que contienen más elementos de los que hay en el infinito. conjunto de números naturales. ^[9]

Comparando conjuntos

Función biyectiva de N al conjunto E de números pares . Aunque E es un subconjunto propio de N , ambos conjuntos tienen la misma cardinalidad.

N no tiene la misma cardinalidad que su conjunto potencia P ( N ): Para cada función f de N a P ( N ), el conjunto T = { n ∈ N : n ∉ f ( n )} no está de acuerdo con cada conjunto en el rango de f , por lo tanto f no puede ser sobreyectivo. La imagen muestra un ejemplo f y la T correspondiente ; rojo : n ∈ f ( n )\ T , azul : n ∈ T \ f ( n ).

Si bien la cardinalidad de un conjunto finito es simplemente el número de sus elementos, extender la noción a conjuntos infinitos generalmente comienza con la definición de la noción de comparación de conjuntos arbitrarios (algunos de los cuales posiblemente sean infinitos).

Definición 1: | Un | = | B |

Dos conjuntos A y B tienen la misma cardinalidad si existe una biyección (también conocida como correspondencia uno a uno) de A a B , ^[10] es decir, una función de A a B que es a la vez inyectiva y sobreyectiva . Se dice que tales conjuntos son equipotentes , equipotentes o equinumeros . Esta relación también se puede denotar A ≈ B o A ~ B .

Por ejemplo, el conjunto E = {0, 2, 4, 6, ...} de números pares no negativos tiene la misma cardinalidad que el conjunto N = {0, 1, 2, 3, ...} de números naturales números , ya que la función f ( n ) = 2 n es una biyección de N a E (ver imagen).

Para conjuntos finitos A y B , si existe alguna biyección de A a B , entonces cada función inyectiva o sobreyectiva de A a B es una biyección. Esto ya no es cierto para los infinitos A y B. Por ejemplo, la función g de N a E , definida por g ( n ) = 4 n es inyectiva, pero no sobreyectiva, y h de N a E , definida por h ( n ) = n - ( n mod 2) es sobreyectiva. , pero no inyectivo. Ni g ni h pueden desafiar | mi | = | N |, que fue establecido por la existencia de f .

Definición 2: | Un | ≤ | B |

A tiene cardinalidad menor o igual a la cardinalidad de B , si existe una función inyectiva de A en B.

Definición 3: | Un | < | B |

A tiene una cardinalidad estrictamente menor que la cardinalidad de B , si hay una función inyectiva, pero no una función biyectiva, de A a B.

Por ejemplo, el conjunto N de todos los números naturales tiene cardinalidad estrictamente menor que su conjunto potencia P ( N ), porque g ( n ) = { n } es una función inyectiva de N a P ( N ), y se puede demostrar que ninguna función de N a P ( N ) puede ser biyectiva (ver imagen). Por un argumento similar, N tiene cardinalidad estrictamente menor que la cardinalidad del conjunto R de todos los números reales . Para pruebas, consulte el argumento diagonal de Cantor o la primera prueba de incontabilidad de Cantor .

Si | Un | ≤ | B | y | B | ≤ | A |, entonces | Un | = | B | (un hecho conocido como teorema de Schröder-Bernstein ). El axioma de elección es equivalente a la afirmación de que | Un | ≤ | B | o | B | ≤ | Un | por cada A , B. ^{[11] [12]}

Numeros cardinales

En la sección anterior, la "cardinalidad" de un conjunto se definió funcionalmente. En otras palabras, no se definió como un objeto específico en sí mismo. Sin embargo, dicho objeto se puede definir de la siguiente manera.

La relación de tener la misma cardinalidad se llama equinumerosidad , y esta es una relación de equivalencia en la clase de todos los conjuntos. La clase de equivalencia de un conjunto A bajo esta relación, entonces, consta de todos aquellos conjuntos que tienen la misma cardinalidad que A. Hay dos formas de definir la "cardinalidad de un conjunto":

1. La cardinalidad de un conjunto A se define como su clase de equivalencia bajo equinumerosidad.
2. Se designa un conjunto representativo para cada clase de equivalencia. La elección más común es el ordinal inicial de esa clase . Esto suele tomarse como la definición de número cardinal en la teoría de conjuntos axiomática .

Asumiendo el axioma de elección , se denotan las cardinalidades de los conjuntos infinitos

${\displaystyle \aleph _{0}<\aleph _{1}<\aleph _{2}<\ldots .}$

Para cada ordinal , es el menor número cardinal mayor que . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \aleph _{\alpha +1}}$ ${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$

La cardinalidad de los números naturales se denota con aleph-nulo ( ), mientras que la cardinalidad de los números reales se denota con " " (una escritura fraktur minúscula "c"), y también se la conoce como cardinalidad del continuo . Cantor demostró, utilizando el argumento diagonal , que . Podemos demostrar que , siendo esta también la cardinalidad del conjunto de todos los subconjuntos de los números naturales. ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}>\aleph _{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}}$

La hipótesis del continuo dice que , es decir, es el número cardinal más pequeño mayor que , es decir, no existe ningún conjunto cuya cardinalidad esté estrictamente entre la de los números enteros y la de los números reales. La hipótesis del continuo es independiente de ZFC , una axiomatización estándar de la teoría de conjuntos; es decir, es imposible probar la hipótesis del continuo o su negación a partir de ZFC, siempre que ZFC sea consistente. Para obtener más detalles, consulte § Cardinalidad del continuo a continuación. ^{[13] [14] [15]} ${\displaystyle \aleph _{1}=2^{\aleph _{0}}}$ ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$

Conjuntos finitos, contables e incontables.

Si se cumple el axioma de elección , la ley de tricotomía se cumple para la cardinalidad. Así podemos hacer las siguientes definiciones:

• Cualquier conjunto X con cardinalidad menor que la de los números naturales , o | X  | < | N  |, se dice que es un conjunto finito .
• Cualquier conjunto X que tenga la misma cardinalidad que el conjunto de los números naturales, o | X  | = | norte  | = , se dice que es un conjunto infinito numerable . ^[10] ${\displaystyle \aleph _{0}}$
• Cualquier conjunto X con cardinalidad mayor que la de los números naturales, o | X  | > | norte  |, por ejemplo | R  | = > | N  |, se dice que es incontable . ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

Conjuntos infinitos

Nuestra intuición adquirida a partir de conjuntos finitos se desmorona cuando se trata de conjuntos infinitos . A finales del siglo XIX , Georg Cantor , Gottlob Frege , Richard Dedekind y otros rechazaron la opinión de que el todo no puede tener el mismo tamaño que la parte. ^{[16] [ cita necesaria ]} Un ejemplo de esto es la paradoja del Gran Hotel de Hilbert . De hecho, Dedekind definió un conjunto infinito como aquel que puede colocarse en una correspondencia uno a uno con un subconjunto estricto (es decir, que tiene el mismo tamaño en el sentido de Cantor); Esta noción de infinito se llama infinito de Dedekind . Cantor introdujo los números cardinales y demostró, según su definición de tamaño basada en la biyección, que algunos conjuntos infinitos son mayores que otros. La cardinalidad infinita más pequeña es la de los números naturales ( ). ${\displaystyle \aleph _{0}}$

Cardinalidad del continuo

Uno de los resultados más importantes de Cantor fue que la cardinalidad del continuo ( ) es mayor que la de los números naturales ( ); es decir, hay más números reales R que números naturales N. Es decir, Cantor demostró que (ver Beth one ) satisface: ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}=\beth _{1}}$

${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}>\aleph _{0}}$

(ver el argumento diagonal de Cantor o la primera prueba de incontabilidad de Cantor ).

La hipótesis del continuo afirma que no existe un número cardinal entre la cardinalidad de los reales y la cardinalidad de los números naturales, es decir,

${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}}$

Sin embargo, esta hipótesis no puede ser probada ni refutada dentro de la teoría axiomática de conjuntos ZFC ampliamente aceptada , si ZFC es consistente.

La aritmética cardinal se puede utilizar para mostrar no sólo que el número de puntos en una recta numérica real es igual al número de puntos en cualquier segmento de esa recta, sino que esto es igual al número de puntos en un plano y, de hecho, en cualquier espacio de dimensión finita. Estos resultados son altamente contrarios a la intuición, porque implican que existen subconjuntos propios y superconjuntos propios de un conjunto infinito S que tienen el mismo tamaño que S , aunque S contiene elementos que no pertenecen a sus subconjuntos, y los superconjuntos de S contienen elementos que no están incluidos en el mismo.

El primero de estos resultados es evidente al considerar, por ejemplo, la función tangente , que proporciona una correspondencia uno a uno entre el intervalo (−½π, ½π) y R (ver también la paradoja del Gran Hotel de Hilbert ).

El segundo resultado fue demostrado por primera vez por Cantor en 1878, pero se hizo más evidente en 1890, cuando Giuseppe Peano introdujo las curvas que llenan el espacio , líneas curvas que se tuercen y giran lo suficiente como para llenar la totalidad de cualquier cuadrado, cubo o hipercubo . o espacio de dimensión finita. Estas curvas no son una prueba directa de que una línea tenga el mismo número de puntos que un espacio de dimensión finita, pero pueden usarse para obtener dicha prueba .

Cantor también demostró que existen conjuntos con cardinalidad estrictamente mayor que (ver su argumento y teorema de la diagonal generalizada ). Incluyen, por ejemplo: ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

• el conjunto de todos los subconjuntos de R , es decir, el conjunto potencia de R , escrito P ( R ) o 2 ^R
• el conjunto R ^R de todas las funciones de R a R

Ambos tienen cardinalidad

${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}=\beth _{2}>{\mathfrak {c}}}$

(ver Bet dos ).

Las igualdades cardinales y se pueden demostrar usando aritmética cardinal : ${\displaystyle {\mathfrak {c}}^{2}={\mathfrak {c}},}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}},}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}^{\mathfrak {c}}=2^{\mathfrak {c}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {c}}^{2}=\left(2^{\aleph _{0}}\right)^{2}=2^{2\times {\aleph _{0}}}=2^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}},}$

${\displaystyle {\mathfrak {c}}^{\aleph _{0}}=\left(2^{\aleph _{0}}\right)^{\aleph _{0}}=2^{{\aleph _{0}}\times {\aleph _{0}}}=2^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}},}$

${\displaystyle {\mathfrak {c}}^{\mathfrak {c}}=\left(2^{\aleph _{0}}\right)^{\mathfrak {c}}=2^{{\mathfrak {c}}\times \aleph _{0}}=2^{\mathfrak {c}}.}$

Ejemplos y propiedades

• Si X = { a , b , c } e Y = {manzanas, naranjas, melocotones}, donde a , b y c son distintos, entonces | X  | = | Y  | porque { ( a , manzanas), ( b , naranjas), ( c , melocotones)} es una biyección entre los conjuntos X e Y . La cardinalidad de cada uno de X e Y es 3.
• Si | X  | ≤ | Y  |, entonces existe Z tal que | X  | = | Z  | y Z ⊆ Y .
• Si | X  | ≤ | Y  | y | Y  | ≤ | X  |, entonces | X  | = | Y  |. Esto es válido incluso para infinitos cardinales y se conoce como teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder .
• Los conjuntos con cardinalidad del continuo incluyen el conjunto de todos los números reales, el conjunto de todos los números irracionales y el intervalo . ${\displaystyle [0,1]}$

Unión e intersección

Si A y B son conjuntos disjuntos , entonces

${\displaystyle \left\vert A\cup B\right\vert =\left\vert A\right\vert +\left\vert B\right\vert .}$

A partir de esto, se puede demostrar que, en general, las cardinalidades de uniones e intersecciones están relacionadas mediante la siguiente ecuación: ^[17]

${\displaystyle \left\vert C\cup D\right\vert +\left\vert C\cap D\right\vert =\left\vert C\right\vert +\left\vert D\right\vert .}$

Ver también

• número alef
• número de beth
• La paradoja de Cantor
• teorema de cantor
• conjunto contable
• Contando
• Ordinalidad
• Principio de casillero

Referencias

1. Weisstein, Eric W. "Número cardinal". MundoMatemático .
2. Como longitud y área en geometría . – Una recta de longitud finita es un conjunto de puntos que tiene cardinalidad infinita.
3. "Cardenalidad | Wiki brillante de matemáticas y ciencias". brillante.org . Consultado el 23 de agosto de 2020 .
4. Cepelewicz, Jordana Los animales cuentan y usan cero. ¿Hasta dónde llega su sentido numérico? , Quanta , 9 de agosto de 2021
5. "Herramientas de conteo humano temprano". Línea de tiempo de matemáticas . Consultado el 26 de abril de 2018 .
6. Duncan J. Melville (2003). Cronología del Tercer Milenio Archivado el 7 de julio de 2018 en Wayback Machine , Matemáticas del Tercer Milenio . Universidad de San Lorenzo .
7. Allen, Donald (2003). «La Historia del Infinito» (PDF) . Matemáticas de Texas A&M . Archivado desde el original (PDF) el 1 de agosto de 2020 . Consultado el 15 de noviembre de 2019 .
8. Kurt Von Fritz (1945). "El descubrimiento de la inconmensurabilidad por Hipasus de Metapontum". Los Anales de las Matemáticas .
9. Georg Cantor (1891). "Ueber eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre" (PDF) . Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . 1 : 75–78.
10. "Conjuntos infinitos y cardinalidad". Matemáticas LibreTexts . 2019-12-05 . Consultado el 23 de agosto de 2020 .
11. Friedrich M. Hartogs (1915), Félix Klein ; Walther von Dyck ; David Hilbert ; Otto Blumenthal (eds.), "Über das Problem der Wohlordnung", Mathematische Annalen , Leipzig: B. G. Teubner, 76 (4): 438–443, doi :10.1007/bf01458215, ISSN  0025-5831, S2CID  121598654
12. Félix Hausdorff (2002), Egbert Brieskorn ; Srishti D. Chatterji; et al. (eds.), Grundzüge der Mengenlehre (1. ed.), Berlín/Heidelberg: Springer, pág. 587, ISBN 3-540-42224-2- Edición original (1914)
13. Cohen, Paul J. (15 de diciembre de 1963). "La independencia de la hipótesis del continuo". Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América . 50 (6): 1143–1148. Código bibliográfico : 1963PNAS...50.1143C. doi : 10.1073/pnas.50.6.1143 . JSTOR  71858. PMC 221287 . PMID  16578557. 
14. Cohen, Paul J. (15 de enero de 1964). "La hipótesis de la independencia del continuo, II". Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América . 51 (1): 105-110. Código bibliográfico : 1964PNAS...51..105C. doi : 10.1073/pnas.51.1.105 . JSTOR  72252. PMC 300611 . PMID  16591132. 
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16. Georg Cantor (1887), "Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten", Zeitschrift für Philosophie und philosophische Kritik , 91 : 81-125
    Reimpreso en: Georg Cantor (1932), Adolf Fraenkel (Lebenslauf); Ernst Zermelo (eds.), Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts, Berlín: Springer, págs. 378–439Aquí: p.413 abajo
17. Álgebra abstracta aplicada, KH Kim, FW Roush, Ellis Horwood Series, 1983, ISBN 0-85312-612-7 (edición para estudiantes), ISBN 0-85312-563-5 (edición de biblioteca)