Número de Beth

Número cardinal infinito

En matemáticas , particularmente en la teoría de conjuntos , los números beth son una cierta secuencia de números cardinales infinitos (también conocidos como números transfinitos ), convencionalmente escritos , donde es la letra hebrea beth . Los números beth están relacionados con los números aleph ( ), pero a menos que la hipótesis del continuo generalizado sea verdadera, hay números indexados por que no están indexados por . ${\displaystyle \beth _{0},\beth _{1},\beth _{2},\beth _{3},\dots }$ ${\displaystyle \beth }$ ${\displaystyle \aleph _{0},\aleph _{1},\dots }$ ${\displaystyle \aleph }$ ${\displaystyle \beth }$

Definición

Los números Beth se definen mediante recursión transfinita :

• ${\displaystyle \beth _{0}=\aleph _{0},}$
• ${\displaystyle \beth _{\alpha +1}=2^{\beth _{\alpha }},}$
• ${\displaystyle \beth _{\lambda }=\sup {\Bigl \{}\beth _{\alpha }:\alpha <\lambda {\Bigr \}},}$

donde es un ordinal y es un ordinal límite . ^[1] ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \lambda }$

El cardinal es la cardinalidad de cualquier conjunto infinito contable tal como el conjunto de números naturales , de modo que . ${\displaystyle \beth _{0}=\aleph _{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \beth _{0}=|\mathbb {N} |}$

Sea un ordinal y un conjunto con cardinalidad . Entonces, ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle A_{\alpha }}$ ${\displaystyle \beth _{\alpha }=|A_{\alpha }|}$

• ${\displaystyle {\mathcal {P}}(A_{\alpha })}$denota el conjunto potencia de (es decir, el conjunto de todos los subconjuntos de ), ${\displaystyle A_{\alpha }}$ ${\displaystyle A_{\alpha }}$

• El conjunto denota el conjunto de todas las funciones desde hasta , ${\displaystyle 2^{A_{\alpha }}\subset {\mathcal {P}}(A_{\alpha }\times 2)}$ ${\displaystyle A_{\alpha }}$ ${\displaystyle \{0,1\}}$

• El cardinal es el resultado de la exponenciación cardinal , y ${\displaystyle 2^{\beth _{\alpha }}}$

• ${\displaystyle \beth _{\alpha +1}=2^{\beth _{\alpha }}=\left|2^{A_{\alpha }}\right|=|{\mathcal {P}}(A_{\alpha })|}$es la cardinalidad del conjunto potencia de . ${\displaystyle A_{\alpha }}$

Dada esta definición,

${\displaystyle \beth _{0},\beth _{1},\beth _{2},\beth _{3},\dots }$

son respectivamente las cardinalidades de

${\displaystyle \mathbb {N} ,{\mathcal {P}}(\mathbb {N} ),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\mathbb {N} )),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\mathbb {N} ))),\dots }$

de modo que el segundo número beth es igual a , la cardinalidad del continuo (la cardinalidad del conjunto de los números reales ), y el tercer número beth es la cardinalidad del conjunto potencia del continuo. ${\displaystyle \beth _{1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle \beth _{2}}$

Debido al teorema de Cantor , cada conjunto de la secuencia precedente tiene cardinalidad estrictamente mayor que la del conjunto que lo precede. Para ordinales límite infinitos , el número beth correspondiente se define como el supremo de los números beth para todos los ordinales estrictamente menores que : ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \beth _{\lambda }=\sup {\Bigl \{}\beth _{\alpha }:\alpha <\lambda {\Bigr \}}.}$

Se puede demostrar que esta definición es equivalente a

${\displaystyle \beth _{\lambda }=|\bigcup {\Bigl \{}A_{\alpha }:\alpha <\lambda {\Bigr \}}|.}$

Por ejemplo:

• ${\displaystyle \beth _{\omega }}$es la cardinalidad de . ${\displaystyle \bigcup {\Bigl \{}\mathbb {N} ,{\mathcal {P}}(\mathbb {N} ),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\mathbb {N} )),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\mathbb {N} ))),\dots {\Bigr \}}}$
• ${\displaystyle \beth _{2\omega }}$es la cardinalidad de . ${\displaystyle \bigcup {\Bigl \{}\mathbb {N} ,{\mathcal {P}}(\mathbb {N} ),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\mathbb {N} )),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\mathbb {N} ))),\dots ,{A_{\omega }},{\mathcal {P}}({A_{\omega }}),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}({A_{\omega }})),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}({\mathcal {P}}({A_{\omega }}))),\dots {\Bigr \}}}$
• ${\displaystyle \beth _{\omega ^{2}}}$es la cardinalidad de . ${\displaystyle \bigcup {\Bigl \{}\mathbb {N} ,{\mathcal {P}}(\mathbb {N} ),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\mathbb {N} )),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\mathbb {N} ))),\dots ,{A_{\omega }},{\mathcal {P}}({A_{\omega }}),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}({A_{\omega }})),\dots ,{A_{2\omega }},{\mathcal {P}}({A_{2\omega }}),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}({A_{2\omega }})),\dots ,}$ ${\displaystyle {A_{3\omega }},{\mathcal {P}}({A_{3\omega }}),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}({A_{3\omega }})),\dots ,\dots {\Bigr \}}}$

Esta equivalencia se puede demostrar viendo que:

• para cualquier conjunto , el conjunto de unión de todos sus miembros no puede ser mayor que el supremo de las cardinalidades de sus miembros multiplicado por su propia cardinalidad, ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle |\bigcup \mathbb {S} |\leq {\Bigl (}|\mathbb {S} |\times \sup {\Bigl \{}|s|:s\in \mathbb {S} {\Bigr \}}{\Bigr )}}$
• para dos cardinalidades distintas de cero , si al menos una de ellas es una cardinalidad infinita, entonces el producto será el mayor de los dos, ${\displaystyle \kappa _{a},\kappa _{b}}$ ${\displaystyle \kappa _{a}\times \kappa _{b}=\max\{\kappa _{a},\kappa _{b}\}}$
• El conjunto será más pequeño que la mayoría o todos sus subconjuntos para cualquier ordinal límite. ${\displaystyle {\Bigl \{}A_{\alpha }:\alpha <\lambda {\Bigr \}}}$ ${\displaystyle \lambda }$
• Por lo tanto, para cualquier ordinal límite ${\displaystyle |\bigcup {\Bigl \{}A_{\alpha }:\alpha <\lambda {\Bigr \}}|=\sup {\Bigl \{}\beth _{\alpha }:\alpha <\lambda {\Bigr \}}}$ ${\displaystyle \lambda }$

Obsérvese que este comportamiento es diferente al de los ordinales sucesores. Las cardinalidades menores que pero mayores que cualquiera pueden existir cuando es un ordinal sucesor (en ese caso, la existencia es indecidible en ZFC y está controlada por la Hipótesis del Continuo Generalizado ); pero no pueden existir cuando es un ordinal límite, incluso bajo la segunda definición presentada. ${\displaystyle \beth _{\beta }}$ ${\displaystyle \beth _{\alpha }:\alpha <\beta }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta }$

También se puede demostrar que los universos de von Neumann tienen cardinalidad . ${\displaystyle V_{\omega +\alpha }}$ ${\displaystyle \beth _{\alpha }}$

Relación con los números aleph

Suponiendo el axioma de elección , las cardinalidades infinitas están ordenadas linealmente ; no hay dos cardinalidades que no sean comparables. Por lo tanto, dado que por definición no hay cardinalidades infinitas entre y , se sigue que ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$

${\displaystyle \beth _{1}\geq \aleph _{1}.}$

Repitiendo este argumento (ver inducción transfinita ) obtenemos para todos los ordinales . ${\displaystyle \beth _{\alpha }\geq \aleph _{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$

La hipótesis del continuo es equivalente a

${\displaystyle \beth _{1}=\aleph _{1}.}$

La hipótesis del continuo generalizado dice que la secuencia de números beth así definida es la misma que la secuencia de números aleph , es decir, para todos los ordinales . ${\displaystyle \beth _{\alpha }=\aleph _{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$

Cardenales específicos

Beth nula

Dado que esto se define como , o aleph null , los conjuntos con cardinalidad incluyen: ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \beth _{0}}$

• Los números naturales ${\displaystyle \mathbb {N} }$
• Los números racionales ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• los números algebraicos ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$
• los números computables y los conjuntos computables
• el conjunto de conjuntos finitos de números enteros o racionales o de números algebraicos
• el conjunto de multiconjuntos finitos de números enteros
• el conjunto de secuencias finitas de números enteros .

Beth uno

Los conjuntos con cardinalidad incluyen: ${\displaystyle \beth _{1}}$

• los números trascendentales
• Los números irracionales
• Los números reales ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Los números complejos ${\displaystyle \mathbb {C} }$
• los números reales incomputables
• Espacio euclidiano ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• el conjunto potencia de los números naturales (el conjunto de todos los subconjuntos de los números naturales) ${\displaystyle 2^{\mathbb {N} }}$
• el conjunto de secuencias de números enteros (es decir, , que incluye todas las funciones desde hasta ) ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• el conjunto de secuencias de números reales, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$
• el conjunto de todas las funciones analíticas reales desde hasta ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• el conjunto de todas las funciones continuas desde hasta ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• el conjunto de todas las funciones desde hasta con discontinuidades contables como máximo ^[2] ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• el conjunto de subconjuntos finitos de números reales
• el conjunto de todas las funciones analíticas desde hasta (las funciones holomorfas ) ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$
• el conjunto de todas las funciones desde los números naturales hasta los números naturales ( ). ${\displaystyle \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }}$

Beth dos

${\displaystyle \beth _{2}}$(pronunciado beth dos ) también se conoce como (pronunciado dos elevado a ). ${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

Los conjuntos con cardinalidad incluyen: ${\displaystyle \beth _{2}}$

• el conjunto potencia del conjunto de números reales , por lo que es el número de subconjuntos de la recta real , o el número de conjuntos de números reales
• el conjunto potencia del conjunto potencia del conjunto de números naturales
• el conjunto de todas las funciones desde hasta ( ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}$
• el conjunto de todas las funciones desde hasta ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• el conjunto de todas las funciones desde hasta con un número incontable de discontinuidades ^[2] ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• el conjunto potencia del conjunto de todas las funciones desde el conjunto de números naturales hasta sí mismo, o el número de conjuntos de secuencias de números naturales
• Las compactificaciones de Stone-Čech de , , y ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$
• el conjunto de fractales deterministas en ^[3] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• el conjunto de fractales aleatorios en . ^[4] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Beta omega

${\displaystyle \beth _{\omega }}$(pronunciado beth omega ) es el cardenal límite fuerte incontable más pequeño .

Generalización

En ocasiones se utiliza el símbolo más general , para ordinales y cardinales . Se define por: ${\displaystyle \beth _{\alpha }(\kappa )}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \kappa }$

${\displaystyle \beth _{0}(\kappa )=\kappa ,}$

${\displaystyle \beth _{\alpha +1}(\kappa )=2^{\beth _{\alpha }(\kappa )},}$

${\displaystyle \beth _{\lambda }(\kappa )=\sup\{\beth _{\alpha }(\kappa ):\alpha <\lambda \}}$si λ es un ordinal límite.

Entonces

${\displaystyle \beth _{\alpha }=\beth _{\alpha }(\aleph _{0}).}$

En la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF), para cualquier cardinal y , existe un ordinal tal que: ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \kappa \leq \beth _{\alpha }(\mu ).}$

Y en ZF, para cualquier cardinal y ordinal y : ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \beth _{\beta }(\beth _{\alpha }(\kappa ))=\beth _{\alpha +\beta }(\kappa ).}$

En consecuencia, en ausencia de ur-elementos ZF , con o sin el axioma de elección , para cualesquiera cardinales y , la igualdad ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \beth _{\beta }(\kappa )=\beth _{\beta }(\mu )}$

se cumple para todos los ordinales suficientemente grandes . Es decir, existe un ordinal tal que la igualdad se cumple para cada ordinal . ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta \geq \alpha }$

Esto también es válido en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con elementos ur (con o sin el axioma de elección), siempre que los elementos ur formen un conjunto que sea equinumeroso con un conjunto puro (un conjunto cuya clausura transitiva no contenga elementos ur). Si se cumple el axioma de elección, entonces cualquier conjunto de elementos ur es equinumeroso con un conjunto puro.

Determinación de Borel

La determinación de Borel está implícita en la existencia de todos los beths de índice contable. ^[5]

Véase también

• Número transfinito
• Conjunto incontable

Referencias

1. Jech, Thomas (2002). Teoría de conjuntos (3.ª ed.). Springer. pág. 55. ISBN 978-3-540-44085-7. Edición Millennium, rev. y ampliada. 4.ª edición corregida, 2006.
2. Soltanifar, Mohsen (2023). "Una clasificación de elementos del espacio de funciones F(R,R)". Matemáticas . 11 (17): 3715. arXiv : 2308.06297 . doi : 10.3390/math11173715 .
3. Soltanifar, Mohsen (2021). "Una generalización del teorema de dimensión de Hausdorff para fractales deterministas". Matemáticas . 9 (13): 1546. arXiv : 2007.07991 . doi : 10.3390/math9131546 .
4. Soltanifar, Mohsen (2022). "La segunda generalización del teorema de dimensión de Hausdorff para fractales aleatorios". Matemáticas . 10 (5): 706. doi : 10.3390/math10050706 . hdl : 1807/110291 .
5. Leinster, Tom (23 de julio de 2021). "La determinación de borel no requiere reemplazo". The n-Category Café . The University of Texas at Austin . Consultado el 25 de agosto de 2021 .

Bibliografía

• TE Forster , Teoría de conjuntos con un conjunto universal: exploración de un universo sin tipo , Oxford University Press , 1995. El número Beth se define en la página 5.
• Bell, John Lane ; Slomson, Alan B. (2006) [1969]. Modelos y ultraproductos: una introducción (reimpresión de la edición de 1974). Dover Publications . ISBN 0-486-44979-3.Consulte las páginas 6 y 204-205 para conocer los números de Beth.
• Roitman, Judith (2011). Introducción a la teoría de conjuntos moderna . Universidad Commonwealth de Virginia . ISBN 978-0-9824062-4-3.Consulte la página 109 para ver los números de Beth.