Clase de equivalencia

Concepto matemático

La congruencia es un ejemplo de relación de equivalencia. Los dos triángulos más a la izquierda son congruentes, mientras que el tercer y cuarto triángulos no son congruentes con ningún otro triángulo que se muestra aquí. Por lo tanto, los dos primeros triángulos están en la misma clase de equivalencia, mientras que el tercer y cuarto triángulos están cada uno en su propia clase de equivalencia.

En matemáticas , cuando los elementos de algún conjunto tienen una noción de equivalencia (formalizada como una relación de equivalencia ), entonces uno puede naturalmente dividir el conjunto en clases de equivalencia . Estas clases de equivalencia se construyen de modo que los elementos y pertenezcan a la misma clase de equivalencia si, y sólo si , son equivalentes. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Formalmente, dado un conjunto y una relación de equivalencia, se denota la clase de equivalencia de un elemento en o , de manera equivalente, para enfatizar su relación de equivalencia . La definición de relaciones de equivalencia implica que las clases de equivalencia forman una partición de significado, que cada elemento del conjunto pertenece exactamente a una clase de equivalencia. El conjunto de clases de equivalencia a veces se denomina conjunto cociente o espacio cociente de by y se denota por ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \,\sim \,}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle [a]}$ ${\displaystyle [a]_{\sim }}$ ${\displaystyle \sim .}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \,\sim \,,}$ ${\displaystyle S/{\sim }'.}$

Cuando el conjunto tiene alguna estructura (como una operación de grupo o una topología ) y la relación de equivalencia es compatible con esta estructura, el conjunto cociente a menudo hereda una estructura similar de su conjunto padre. Los ejemplos incluyen espacios cocientes en álgebra lineal , espacios cocientes en topología , grupos de cocientes , espacios homogéneos , anillos de cocientes , monoides cocientes y categorías de cocientes . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \,\sim \,}$

Definición y notación

Una relación de equivalencia en un conjunto es una relación binaria que satisface las tres propiedades: ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \,\sim \,}$ ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle a\sim a}$para todos ( reflexividad ), ${\displaystyle a\in X}$
• ${\displaystyle a\sim b}$implica para todos ( simetría ), ${\displaystyle b\sim a}$ ${\displaystyle a,b\in X}$
• si y entonces para todos ( transitividad ). ${\displaystyle a\sim b}$ ${\displaystyle b\sim c}$ ${\displaystyle a\sim c}$ ${\displaystyle a,b,c\in X}$

La clase de equivalencia de un elemento se define como ^[2] ${\displaystyle a}$

${\displaystyle [a]=\{x\in X:a\sim x\}.}$

La palabra "clase" en el término "clase de equivalencia" puede considerarse generalmente como sinónimo de " conjunto ", aunque algunas clases de equivalencia no son conjuntos sino clases propias . Por ejemplo, "ser isomorfismo " es una relación de equivalencia en grupos , y las clases de equivalencia, llamadas clases de isomorfismo , no son conjuntos.

El conjunto de todas las clases de equivalencia con respecto a una relación de equivalencia se denota como y se llama módulo (o el ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X/R,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$conjunto cociente deby). ^[3]Elmapa sobreyectivodesdecualse asigna cada elemento a su clase de equivalencia se llama ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle x\mapsto [x]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/R,}$la sobreyección canónica , o laproyección canónica.

Cada elemento de una clase de equivalencia caracteriza la clase y puede usarse para representarla . Cuando se elige tal elemento, se le llama representante de la clase. La elección de un representante en cada clase define una inyección de a X . Dado que su composición con la sobreyección canónica es la identidad de tal inyección se llama sección , cuando se usa la terminología de la teoría de categorías . ${\displaystyle X/R}$ ${\displaystyle X/R,}$

A veces, hay una sección que es más "natural" que las demás. En este caso, los representantes reciben el nombre de representantes canónicos . Por ejemplo, en aritmética modular , para cada entero m mayor que 1 , el módulo de congruencia m es una relación de equivalencia entre los números enteros, para la cual dos enteros a y b son equivalentes (en este caso, se dice congruentes ), si m divide esto es denotado Cada clase contiene un número entero único no negativo menor que y estos números enteros son los representantes canónicos. ${\displaystyle a-b;}$ ${\textstyle a\equiv b{\pmod {m}}.}$ ${\displaystyle m,}$

El uso de representantes para representar clases permite evitar considerar explícitamente las clases como conjuntos. En este caso, la sobreyección canónica que asigna un elemento a su clase se reemplaza por la función que asigna un elemento al representante de su clase. En el ejemplo anterior, esta función se denota y produce el resto de la división euclidiana de a por m . ${\displaystyle a{\bmod {m}},}$

Propiedades

Cada elemento de es miembro de la clase de equivalencia. Cada dos clases de equivalencia y son iguales o disjuntos . Por lo tanto, el conjunto de todas las clases de equivalencia de forma una partición de : cada elemento de pertenece a una y sólo una clase de equivalencia. ^[4] Por el contrario, toda partición de proviene de una relación de equivalencia de esta manera, según la cual si y sólo si y pertenecen al mismo conjunto de la partición. ^[5] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [x].}$ ${\displaystyle [x]}$ ${\displaystyle [y]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\sim y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

De las propiedades de la sección anterior se deduce que si es una relación de equivalencia en un conjunto y y son dos elementos de las siguientes declaraciones son equivalentes: ${\displaystyle \,\sim \,}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle X,}$

• ${\displaystyle x\sim y}$
• ${\displaystyle [x]=[y]}$
• ${\displaystyle [x]\cap [y]\neq \emptyset .}$

Ejemplos

• Sea el conjunto de todos los rectángulos en un plano, y la relación de equivalencia "tiene la misma área que", entonces para cada número real positivo habrá una clase de equivalencia de todos los rectángulos que tienen área ^[6] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \,\sim \,}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A.}$
• Considere la relación de equivalencia módulo 2 en el conjunto de números enteros , tal que si y sólo si su diferencia es un número par . Esta relación da lugar a exactamente dos clases de equivalencia: una clase consta de todos los números pares y la otra clase consta de todos los números impares. Usar corchetes alrededor de un miembro de la clase para indicar una clase de equivalencia bajo esta relación, y todos representan el mismo elemento de ^[2] ${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle x\sim y}$ ${\displaystyle x-y}$ ${\displaystyle [7],[9],}$ ${\displaystyle [1]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /{\sim }.}$
• Sea el conjunto de pares ordenados de números enteros distintos de cero y defina una relación de equivalencia tal que si y solo si entonces la clase de equivalencia del par se puede identificar con el número racional y se pueden usar esta relación de equivalencia y sus clases de equivalencia. para dar una definición formal del conjunto de los números racionales. ^[7] La ​​misma construcción se puede generalizar al campo de fracciones de cualquier dominio integral . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle \,\sim \,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (a,b)\sim (c,d)}$ ${\displaystyle ad=bc,}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle a/b,}$
• Si consta de todas las rectas en, digamos, el plano euclidiano , y significa que y son rectas paralelas , entonces el conjunto de rectas que son paralelas entre sí forman una clase de equivalencia, siempre y cuando una recta se considere paralela a sí misma . En esta situación, cada clase de equivalencia determina un punto en el infinito . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L\sim M}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle M}$

Representación grafica

Gráfico de un ejemplo de equivalencia con 7 clases.

Un grafo no dirigido puede estar asociado a cualquier relación simétrica en un conjunto donde los vértices son los elementos de y dos vértices y están unidos si y solo si Entre estos grafos están los grafos de relaciones de equivalencia. Estos gráficos, llamados gráficos de conglomerados , se caracterizan por ser gráficos tales que los componentes conectados son camarillas . ^[2] ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle s\sim t.}$

Invariantes

Si es una relación de equivalencia y es una propiedad de elementos de tal que siempre que sea verdadera si es verdadera, entonces se dice que la propiedad es invariante de la relación o está bien definida bajo ella. ${\displaystyle \,\sim \,}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\sim y,}$ ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle P(y)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \,\sim \,,}$ ${\displaystyle \,\sim .}$

Un caso particular frecuente se da cuando una función pertenece a otro conjunto ; si siempre entonces se dice que es invariante de clase bajo o simplemente invariante bajo. Esto ocurre, por ejemplo, en la teoría del carácter de grupos finitos. Algunos autores utilizan "compatible con " o simplemente "respeta " en lugar de "invariante bajo ". ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)}$ ${\displaystyle x_{1}\sim x_{2},}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \,\sim \,,}$ ${\displaystyle \,\sim .}$ ${\displaystyle \,\sim \,}$ ${\displaystyle \,\sim \,}$ ${\displaystyle \,\sim \,}$

Cualquier función es invariante de clase según la cual si y solo si La clase de equivalencia de es el conjunto de todos los elementos a los que se asignan , es decir, la clase es la imagen inversa de Esta relación de equivalencia se conoce como el núcleo de ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \,\sim \,,}$ ${\displaystyle x_{1}\sim x_{2}}$ ${\displaystyle f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right).}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(x),}$ ${\displaystyle [x]}$ ${\displaystyle f(x).}$ ${\displaystyle f.}$

De manera más general, una función puede asignar argumentos equivalentes (bajo una relación de equivalencia en ) a valores equivalentes (bajo una relación de equivalencia en ). Tal función es un morfismo de conjuntos equipados con una relación de equivalencia. ${\displaystyle \sim _{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sim _{Y}}$ ${\displaystyle Y}$

Espacio cociente en topología

En topología , un espacio cociente es un espacio topológico formado sobre el conjunto de clases de equivalencia de una relación de equivalencia en un espacio topológico, utilizando la topología del espacio original para crear la topología en el conjunto de clases de equivalencia.

En álgebra abstracta , las relaciones de congruencia en el conjunto subyacente de un álgebra permiten que el álgebra induzca un álgebra sobre las clases de equivalencia de la relación, llamada álgebra de cociente . En álgebra lineal , un espacio cociente es un espacio vectorial formado tomando un grupo cociente , donde el homomorfismo cociente es un mapa lineal . Por extensión, en álgebra abstracta, el término espacio cociente puede usarse para módulos cocientes , anillos cocientes , grupos cocientes o cualquier álgebra cociente. Sin embargo, el uso del término para los casos más generales puede ser a menudo por analogía con las órbitas de una acción grupal.

Las órbitas de una acción grupal en un conjunto pueden denominarse espacio cociente de la acción en el conjunto, particularmente cuando las órbitas de la acción grupal son las clases laterales derechas de un subgrupo de un grupo, que surgen de la acción del subgrupo en el grupo por traslaciones a la izquierda, o respectivamente las clases laterales izquierdas como órbitas bajo traslación a la derecha.

Un subgrupo normal de un grupo topológico, que actúa sobre el grupo mediante acción de traducción, es un espacio cociente en el sentido de topología, álgebra abstracta y acciones de grupo simultáneamente.

Aunque el término puede usarse para el conjunto de clases de equivalencia de cualquier relación de equivalencia, posiblemente con una estructura adicional, la intención de usar el término generalmente es comparar ese tipo de relación de equivalencia en un conjunto con una relación de equivalencia que induce alguna estructura en el conjunto. de clases de equivalencia de una estructura del mismo tipo en o hacia las órbitas de una acción grupal. Tanto el sentido de una estructura preservada por una relación de equivalencia como el estudio de invariantes bajo acciones grupales conducen a la definición de invariantes de relaciones de equivalencia dada anteriormente. ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X,}$

Ver también

• Partición de equivalencia , un método para diseñar conjuntos de pruebas en pruebas de software basado en dividir las posibles entradas del programa en clases de equivalencia de acuerdo con el comportamiento del programa en esas entradas.
• Espacio homogéneo , el espacio cociente de grupos de Lie.
• Relación de equivalencia parcial  : concepto matemático para comparar objetos
• Cociente por una relación de equivalencia  - Generalización de clases de equivalencia a la teoría de esquemas
• Setoide  : construcción matemática de un conjunto con una relación de equivalencia
• Transversal (combinatoria)  : conjunto que intersecta a cada uno de una familia de conjuntos.

Notas

1. Devlin 2004, pag. 122.
2. Devlin 2004, pag. 123.
3. Lobo 1998, pag. 178
4. Maddox 2002, pag. 74, Thm. 2.5.15
5. Avelsgaard 1989, pág. 132, Thm. 3.16
6. Avelsgaard 1989, pág. 127
7. Maddox 2002, págs. 77–78

Referencias

• Avelsgaard, Carol (1989), Fundamentos de las matemáticas avanzadas , Scott Foresman, ISBN 0-673-38152-8
• Devlin, Keith (2004), Conjuntos, funciones y lógica: una introducción a las matemáticas abstractas (3.ª ed.), Chapman & Hall/ CRC Press, ISBN 978-1-58488-449-1
• Maddox, Randall B. (2002), Pensamiento y escritura matemáticos , Harcourt/ Academic Press, ISBN 0-12-464976-9
• Wolf, Robert S. (1998), Prueba, lógica y conjetura: la caja de herramientas de un matemático , Freeman, ISBN 978-0-7167-3050-7

Otras lecturas

• Sundstrom (2003), Razonamiento matemático: redacción y prueba , Prentice-Hall
• Herrero; huevo; St.Andre (2006), Una transición a las matemáticas avanzadas (6ª ed.), Thomson (Brooks/Cole)
• Schumacher, Carol (1996), Capítulo cero: Nociones fundamentales de las matemáticas abstractas , Addison-Wesley, ISBN 0-201-82653-4
• O'Leary (2003), La estructura de la prueba: con lógica y teoría de conjuntos , Prentice-Hall
• Lay (2001), Análisis con una introducción a la prueba , Prentice Hall
• Morash, Ronald P. (1987), Puente hacia las matemáticas abstractas , Random House, ISBN 0-394-35429-X
• Gilberto; Vanstone (2005), Introducción al pensamiento matemático , Pearson Prentice-Hall
• Fletcher; Patty, Fundamentos de las matemáticas superiores , PWS-Kent
• Iglewicz; Stoyle, Introducción al razonamiento matemático , MacMillan
• D'Angelo; West (2000), Pensamiento matemático: resolución de problemas y pruebas , Prentice Hall
• Cupillari , Los aspectos prácticos de las pruebas , Wadsworth
• Bond, Introducción a las matemáticas abstractas , Brooks/Cole
• barnier; Feldman (2000), Introducción a las matemáticas avanzadas , Prentice Hall
• Ash, Introducción a las matemáticas abstractas , MAA

enlaces externos

• Medios relacionados con las clases de equivalencia en Wikimedia Commons