Número de Pell

Número utilizado para aproximar la raíz cuadrada de 2

Los lados de los cuadrados utilizados para construir una espiral de plata son los números de Pell.

En matemáticas , los números de Pell son una secuencia infinita de números enteros , conocidos desde la antigüedad, que comprenden los denominadores de las aproximaciones racionales más cercanas a la raíz cuadrada de 2. Esta secuencia de aproximaciones comienza ⁠1/1⁠ , ⁠3/2⁠ , ⁠7/5⁠ , ⁠17/12⁠ , y ⁠41/29⁠ , entonces la secuencia de números de Pell comienza con 1, 2, 5, 12 y 29. Los numeradores de la misma secuencia de aproximaciones son la mitad de los números de Pell compañeros o números de Pell-Lucas ; estos números forman una segunda secuencia infinita que comienza con 2, 6, 14, 34 y 82.

Tanto los números de Pell como los números de Pell acompañantes pueden calcularse mediante una relación de recurrencia similar a la de los números de Fibonacci , y ambas secuencias de números crecen exponencialmente , proporcionalmente a potencias de la razón de plata 1 +  √ 2. Además de usarse para aproximar la raíz cuadrada de dos, los números de Pell pueden usarse para encontrar números triangulares cuadrados , para construir aproximaciones enteras al triángulo isósceles rectángulo y para resolver ciertos problemas de enumeración combinatoria . ^[1]

Al igual que la ecuación de Pell , el nombre de los números de Pell proviene de la atribución errónea de la ecuación y los números derivados de ella por parte de Leonhard Euler a John Pell . Los números de Pell-Lucas también reciben su nombre de Édouard Lucas , quien estudió sucesiones definidas por recurrencias de este tipo; los números de Pell y sus compañeros son sucesiones de Lucas .

Números de Pell

Los números de Pell se definen mediante la relación de recurrencia :

${\displaystyle P_{n}={\begin{cases}0&{\mbox{if }}n=0;\\1&{\mbox{if }}n=1;\\2P_{n-1}+P_{n-2}&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

En palabras, la secuencia de números de Pell comienza con 0 y 1, y luego cada número de Pell es la suma del doble del número de Pell anterior, más el número de Pell anterior. Los primeros términos de la secuencia son

0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, 13860, … (secuencia A000129 en la OEIS ).

De manera análoga a la fórmula de Binet , los números de Pell también pueden expresarse mediante la fórmula de forma cerrada

${\displaystyle P_{n}={\frac {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}-\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}}{2{\sqrt {2}}}}.}$Para valores grandes de n , el término (1 + √ 2 ) ⁿ domina esta expresión, por lo que los números de Pell son aproximadamente proporcionales a potencias de la proporción de plata 1 + √ 2 , análogo a la tasa de crecimiento de los números de Fibonacci como potencias de la proporción áurea .

Es posible una tercera definición, a partir de la fórmula matricial

${\displaystyle {\begin{pmatrix}P_{n+1}&P_{n}\\P_{n}&P_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}.}$

Se pueden derivar o probar muchas identidades a partir de estas definiciones; por ejemplo, una identidad análoga a la identidad de Cassini para los números de Fibonacci,

${\displaystyle P_{n+1}P_{n-1}-P_{n}^{2}=(-1)^{n},}$

es una consecuencia inmediata de la fórmula matricial (que se obtiene considerando los determinantes de las matrices en los lados izquierdo y derecho de la fórmula matricial). ^[2]

Aproximación a la raíz cuadrada de dos

Aproximaciones racionales a octógonos regulares , con coordenadas derivadas de los números de Pell.

Los números de Pell surgen históricamente y más notablemente en la aproximación racional a √ 2 . Si dos enteros grandes x e y forman una solución a la ecuación de Pell

${\displaystyle x^{2}-2y^{2}=\pm 1,}$

entonces su proporciónincógnita/y⁠ proporciona una aproximación cercana a √ 2 . La secuencia de aproximaciones de esta forma es

${\displaystyle {\frac {1}{1}},{\frac {3}{2}},{\frac {7}{5}},{\frac {17}{12}},{\frac {41}{29}},{\frac {99}{70}},\dots }$

donde el denominador de cada fracción es un número de Pell y el numerador es la suma de un número de Pell y su predecesor en la secuencia. Es decir, las soluciones tienen la forma

${\displaystyle {\frac {P_{n-1}+P_{n}}{P_{n}}}.}$

La aproximación

${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx {\frac {577}{408}}}$

Los matemáticos indios del siglo III o IV a. C. conocían este tipo de aproximaciones. ^[3] Los matemáticos griegos del siglo V a. C. también conocían esta secuencia de aproximaciones: ^[4] Platón se refiere a los numeradores como diámetros racionales . ^[5] En el siglo II d. C., Teón de Esmirna utilizó el término números de lado y diámetro para describir los denominadores y numeradores de esta secuencia. ^[6]

Estas aproximaciones se pueden derivar de la expansión de fracción continua de : ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

${\displaystyle {\sqrt {2}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots \,}}}}}}}}}}.}$

Truncando esta expansión a cualquier número de términos se produce una de las aproximaciones basadas en números de Pell en esta secuencia; por ejemplo,

${\displaystyle {\frac {577}{408}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2}}}}}}}}}}}}}}.}$

Como describe Knuth (1994), el hecho de que los números de Pell se aproximen a √ 2 permite utilizarlos para aproximaciones racionales precisas a un octógono regular con coordenadas de vértice (±  P _i , ±  P _{i  +1} ) y (±  P _{i  +1} , ±  P _i  ) . Todos los vértices están igualmente distantes del origen y forman ángulos casi uniformes alrededor del origen. Alternativamente, los puntos , y forman octógonos aproximados en los que los vértices están casi igualmente distantes del origen y forman ángulos uniformes. ${\displaystyle (\pm (P_{i}+P_{i-1}),0)}$ ${\displaystyle (0,\pm (P_{i}+P_{i-1}))}$ ${\displaystyle (\pm P_{i},\pm P_{i})}$

Primos y cuadrados

Un primo de Pell es un número de Pell que es primo . Los primeros primos de Pell son

2, 5, 29, 5741, 33461, 44560482149, 1746860020068409, 68480406462161287469, ... (secuencia A086383 en la OEIS ).

Los índices de estos primos dentro de la secuencia de todos los números de Pell son

2, 3, 5, 11, 13, 29, 41, 53, 59, 89, 97, 101, 167, 181, 191, 523, 929, 1217, 1301, 1361, 2087, 2273, 2393, 8093, ... (secuencia A096650 en la OEIS )

Estos índices son todos primos en sí mismos. Al igual que con los números de Fibonacci, un número de Pell P _n solo puede ser primo si n es primo, porque si d es divisor de n, entonces P _d es divisor de P _n .

Los únicos números de Pell que son cuadrados , cubos o cualquier potencia superior de un entero son 0, 1 y 169 = 13 ² . ^[7]

Sin embargo, a pesar de tener tan pocos cuadrados u otras potencias, los números de Pell tienen una estrecha conexión con los números triangulares cuadrados . ^[8] Específicamente, estos números surgen de la siguiente identidad de los números de Pell:

${\displaystyle {\bigl (}\left(P_{k-1}+P_{k}\right)\cdot P_{k}{\bigr )}^{2}={\frac {\left(P_{k-1}+P_{k}\right)^{2}\cdot \left(\left(P_{k-1}+P_{k}\right)^{2}-(-1)^{k}\right)}{2}}.}$

El lado izquierdo de esta identidad describe un número cuadrado, mientras que el lado derecho describe un número triangular , por lo que el resultado es un número triangular cuadrado.

Falcón y Díaz-Barrero (2006) demostraron otra identidad relacionando los números de Pell con los cuadrados y mostrando que la suma de los números de Pell hasta P _{4 n  +1} es siempre un cuadrado:

${\displaystyle \sum _{i=0}^{4n+1}P_{i}=\left(\sum _{r=0}^{n}2^{r}{2n+1 \choose 2r}\right)^{\!2}=\left(P_{2n}+P_{2n+1}\right)^{2}.}$

Por ejemplo, la suma de los números de Pell hasta P ₅ , 0 + 1 + 2 + 5 + 12 + 29 = 49 , es el cuadrado de P ₂ + P ₃ = 2 + 5 = 7 . Los números P _{2 n} + P _{2 n  +1} que forman las raíces cuadradas de estas sumas,

1, 7, 41, 239, 1393, 8119, 47321, … (secuencia A002315 en la OEIS ),

se conocen como números de Newman–Shanks–Williams (NSW) .

Ternas pitagóricas

Triángulos rectángulos enteros con catetos casi iguales, derivados de los números de Pell.

Si un triángulo rectángulo tiene lados enteros de longitud a , b , c (que necesariamente satisfacen el teorema de Pitágoras a ² + b ² = c ² ), entonces ( a , b , c ) se conoce como terna pitagórica . Como describe Martin (1875), los números de Pell se pueden utilizar para formar ternas pitagóricas en las que a y b están separados por una unidad, lo que corresponde a triángulos rectángulos que son casi isósceles. Cada una de estas ternas tiene la forma

${\displaystyle \left(2P_{n}P_{n+1},P_{n+1}^{2}-P_{n}^{2},P_{n+1}^{2}+P_{n}^{2}=P_{2n+1}\right).}$

La secuencia de ternas pitagóricas formada de esta manera es

(4,3,5), (20,21,29), (120.119.169), (696.697.985),…

Números de Pell-Lucas

Los números de Pell acompañantes o números de Pell-Lucas se definen por la relación de recurrencia

${\displaystyle Q_{n}={\begin{cases}2&{\mbox{if }}n=0;\\2&{\mbox{if }}n=1;\\2Q_{n-1}+Q_{n-2}&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

En palabras: los dos primeros números de la secuencia son ambos 2, y cada número sucesivo se forma sumando dos veces el número de Pell-Lucas anterior al número de Pell-Lucas anterior, o equivalentemente, sumando el siguiente número de Pell al número de Pell anterior: así, 82 es el compañero de 29, y 82 = 2 × 34 + 14 = 70 + 12. Los primeros términos de la secuencia son (secuencia A002203 en la OEIS ): 2 , 2, 6 , 14 , 34 , 82 , 198, 478 , …

Al igual que la relación entre los números de Fibonacci y los números de Lucas ,

${\displaystyle Q_{n}={\frac {P_{2n}}{P_{n}}}}$

para todos los números naturales n .

Los números de Pell acompañantes se pueden expresar mediante la fórmula de forma cerrada

${\displaystyle Q_{n}=\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}+\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}.}$

Estos números son todos pares ; cada uno de ellos es el doble del numerador en una de las aproximaciones racionales analizadas anteriormente. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Al igual que la secuencia de Lucas, si un número de Pell- Lucas1/2⁠ Para que _n sea primo, es necesario que n sea primo o una potencia de 2. Los primos de Pell-Lucas son

3, 7, 17, 41, 239, 577, … (secuencia A086395 en la OEIS ).

Para estos n son

2, 3, 4, 5, 7, 8, 16, 19, 29, 47, 59, 163, 257, 421, … (secuencia A099088 en la OEIS ).

Cálculos y conexiones

La siguiente tabla da las primeras potencias de la relación de plata δ = δ _S = 1 +  √ 2 y su conjugado δ = 1 −  √ 2 .

Los coeficientes son los números de Pell semicompañeros H _n y los números de Pell P _n que son las soluciones (no negativas) de H ² − 2 P ² = ±1 . Un número triangular cuadrado es un número

${\displaystyle N={\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2},}$

que es a la vez el t -ésimo número triangular y el s -ésimo número cuadrado. Una terna pitagórica casi isósceles es una solución entera de a ² + b ² = c ² donde a + 1 = b .

La siguiente tabla muestra que al dividir el número impar H _n en mitades casi iguales se obtiene un número triangular cuadrado cuando n es par y una terna pitagórica casi isósceles cuando n es impar. Todas las soluciones surgen de esta manera.

Definiciones

Los números de Pell semicompañeros H _n y los números de Pell P _n se pueden derivar de varias formas fácilmente equivalentes.

Elevación a potencias

${\displaystyle \left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}=H_{n}+P_{n}{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle \left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}=H_{n}-P_{n}{\sqrt {2}}.}$

De esto se deduce que hay formas cerradas :

${\displaystyle H_{n}={\frac {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}+\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}}{2}}.}$

y

${\displaystyle P_{n}{\sqrt {2}}={\frac {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}-\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}}{2}}.}$

Recurrencias pareadas

${\displaystyle H_{n}={\begin{cases}1&{\mbox{if }}n=0;\\H_{n-1}+2P_{n-1}&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

${\displaystyle P_{n}={\begin{cases}0&{\mbox{if }}n=0;\\H_{n-1}+P_{n-1}&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

Fórmulas de recurrencia recíproca

Sea n al menos 2.

${\displaystyle H_{n}=(3P_{n}-P_{n-2})/2=3P_{n-1}+P_{n-2};}$

${\displaystyle P_{n}=(3H_{n}-H_{n-2})/4=(3H_{n-1}+H_{n-2})/2.}$

Formulaciones matriciales

${\displaystyle {\begin{pmatrix}H_{n}\\P_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}H_{n-1}\\P_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}^{n}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}.}$

Entonces

${\displaystyle {\begin{pmatrix}H_{n}&2P_{n}\\P_{n}&H_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}^{n}.}$

Aproximaciones

La diferencia entre H _n y P _n √ 2 es

${\displaystyle \left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}\approx (-0.41421)^{n},}$

que va rápidamente a cero. Así que

${\displaystyle \left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}=H_{n}+P_{n}{\sqrt {2}}}$

está extremadamente cerca de 2 H _n .

De esta última observación se deduce que las razones de números enterosH- _n/Pn_​⁠ acercarse rápidamente a √ 2 ; y ⁠H- _n/H _{n  −1}⁠ y ⁠Pn_​/P _{n  −1}⁠ acercarse rápidamente a 1 +  √ 2 .

yo  2 − 2PAG  2 = ±1

Como √ 2 es irracional, no podemos tener ⁠yo/PAG⁠  =  √ 2 , es decir,

${\displaystyle {\frac {H^{2}}{P^{2}}}={\frac {2P^{2}}{P^{2}}}.}$

Lo mejor que podemos lograr es:

${\displaystyle {\frac {H^{2}}{P^{2}}}={\frac {2P^{2}-1}{P^{2}}}\quad {\mbox{or}}\quad {\frac {H^{2}}{P^{2}}}={\frac {2P^{2}+1}{P^{2}}}.}$

Las soluciones (no negativas) de H ² − 2 P ² = 1 son exactamente los pares ( H _n , P _n ) con n par, y las soluciones de H ² − 2 P ² = −1 son exactamente los pares ( H _n , P _n ) con n impar. Para ver esto, observe primero que

${\displaystyle H_{n+1}^{2}-2P_{n+1}^{2}=\left(H_{n}+2P_{n}\right)^{2}-2\left(H_{n}+P_{n}\right)^{2}=-\left(H_{n}^{2}-2P_{n}^{2}\right),}$

De manera que estas diferencias, empezando por H²
₀− 2 P²
₀= 1 , son alternativamente 1 y −1. Observe entonces que toda solución positiva proviene de esta manera de una solución con números enteros más pequeños, ya que

${\displaystyle (2P-H)^{2}-2(H-P)^{2}=-\left(H^{2}-2P^{2}\right).}$

La solución más pequeña también tiene números enteros positivos, con una excepción: H = P = 1 que proviene de H ₀  = 1 y P ₀  = 0.

Números triangulares cuadrados

La ecuación requerida

${\displaystyle {\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2}}$

es equivalente a que se convierte en H ² = 2 P ² + 1 con las sustituciones H  = 2 t  + 1 y P  = 2 s . Por lo tanto, la n -ésima solución es ${\displaystyle 4t^{2}+4t+1=8s^{2}+1,}$

${\displaystyle t_{n}={\frac {H_{2n}-1}{2}}\quad {\mbox{and}}\quad s_{n}={\frac {P_{2n}}{2}}.}$

Observe que t y t  + 1 son primos entre sí, de modo que ⁠t  ( t  +1)/2⁠  =  s ² sucede exactamente cuando son números enteros adyacentes, uno un cuadrado H ² y el otro dos veces un cuadrado 2 P ² . Como conocemos todas las soluciones de esa ecuación, también tenemos

${\displaystyle t_{n}={\begin{cases}2P_{n}^{2}&{\mbox{if }}n{\mbox{ is even}};\\H_{n}^{2}&{\mbox{if }}n{\mbox{ is odd.}}\end{cases}}}$

y ${\displaystyle s_{n}=H_{n}P_{n}.}$

Esta expresión alternativa se ve en la siguiente tabla.

Ternas pitagóricas

La igualdad c ² = a ² + ( a + 1) ² = 2 a ² + 2 a + 1 ocurre exactamente cuando 2 c ² = 4 a ² + 4 a + 2 que se convierte en 2 P ² = H ² + 1 con las sustituciones H = 2 a + 1 y P = c . Por lo tanto, la n -ésima solución es a _n = ⁠H2n _{+ 1 −} 1/2⁠ y c _n = P _{2 n  +1} .

La tabla anterior muestra que, en un orden u otro, a _n y b _n = a _n + 1 son H _n  H _{n  +1} y 2 P _n  P _{n  +1} mientras que c _n = H _{n  +1}  P _n + P _{n  +1}  H _n .

Notas

1. Por ejemplo, Sellers (2002) demuestra que el número de coincidencias perfectas en el producto cartesiano de un gráfico de trayectoria y el gráfico K ₄  −  e se puede calcular como el producto de un número de Pell con el número de Fibonacci correspondiente.
2. Para la fórmula matricial y sus consecuencias, véase Ercolano (1979) y Kilic y Tasci (2005). Horadam (1971) y Bicknell (1975) enumeran identidades adicionales para los números de Pell.
3. Como se registra en los Shulba Sutras ; véase, por ejemplo, Dutka (1986), quien cita a Thibaut (1875) para obtener esta información.
4. Véase Knorr (1976) para la fecha del siglo V, que coincide con la afirmación de Proclo de que los números de lado y diámetro fueron descubiertos por los pitagóricos . Para una exploración más detallada del conocimiento griego posterior de estos números, véase Thompson (1929), Vedova (1951), Ridenhour (1986), Knorr (1998) y Filep (1999).
5. Por ejemplo, como observan varias de las referencias de la nota anterior, en La República de Platón hay una referencia al "diámetro racional de 5", con lo que Platón quiere decir 7, el numerador de la aproximación .7/5⁠ de los cuales 5 es el denominador.
6. Heath, Sir Thomas Little (1921), Historia de las matemáticas griegas: desde Tales hasta Euclides, Courier Dover Publications, pág. 112, ISBN 9780486240732.
7. Pethő (1992); Cohn (1996). Aunque los números de Fibonacci se definen por una recurrencia muy similar a la de los números de Pell, Cohn escribe que un resultado análogo para los números de Fibonacci parece mucho más difícil de demostrar. (Sin embargo, esto fue demostrado en 2006 por Bugeaud et al.)
8. Sesskin (1962). Véase el artículo sobre números triangulares cuadrados para una derivación más detallada.

Referencias

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Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Número de Pell". MathWorld .
• Secuencia OEIS A001333 (Numeradores de fracciones continuas convergentes a sqrt(2))—Los numeradores de la misma secuencia de aproximaciones