Dominio Dedekind

Anillo con factorización única para ideales (matemáticas)

En álgebra abstracta , un dominio de Dedekind o anillo de Dedekind , llamado así por Richard Dedekind , es un dominio integral en el que cada ideal propio distinto de cero se factoriza en un producto de ideales primos . Se puede demostrar que dicha factorización es entonces necesariamente única hasta el orden de los factores. Hay al menos otras tres caracterizaciones de los dominios de Dedekind que a veces se toman como definición: véase a continuación.

Un cuerpo es un anillo conmutativo en el que no hay ideales propios no triviales, de modo que cualquier cuerpo es un dominio de Dedekind, aunque de una manera bastante vacua . Algunos autores añaden el requisito de que un dominio de Dedekind no sea un cuerpo. Muchos más autores enuncian teoremas para dominios de Dedekind con la condición implícita de que pueden requerir modificaciones triviales para el caso de cuerpos.

Una consecuencia inmediata de la definición es que todo dominio ideal principal (DIP) es un dominio de Dedekind. De hecho, un dominio de Dedekind es un dominio de factorización única (DFU) si y solo si es un DIP.

La prehistoria de los dominios de Dedekind

En el siglo XIX se convirtió en una técnica común obtener información sobre soluciones enteras de ecuaciones polinómicas utilizando anillos de números algebraicos de grado superior. Por ejemplo, fije un entero positivo . En el intento de determinar qué enteros están representados por la forma cuadrática , es natural factorizar la forma cuadrática en , teniendo lugar la factorización en el anillo de enteros del cuerpo cuadrático . De manera similar, para un entero positivo, el polinomio (que es relevante para resolver la ecuación de Fermat ) se puede factorizar sobre el anillo , donde es una raíz n -ésima primitiva de la unidad . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle x^{2}+my^{2}}$ ${\displaystyle (x+{\sqrt {-m}}y)(x-{\sqrt {-m}}y)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-m}})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle z^{n}-y^{n}}$ ${\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}]}$ ${\displaystyle \zeta _{n}}$

Para unos pocos valores pequeños de y estos anillos de números enteros algebraicos son PID, y esto puede verse como una explicación de los éxitos clásicos de Fermat ( ) y Euler ( ). En ese momento, los teóricos de la forma cuadrática conocían bien un procedimiento para determinar si el anillo de todos los números enteros algebraicos de un cuerpo cuadrático dado es un PID. Especialmente, Gauss había analizado el caso de cuerpos cuadráticos imaginarios: encontró exactamente nueve valores de para los cuales el anillo de números enteros es un PID y conjeturó que no había más valores. (La conjetura de Gauss fue demostrada más de cien años después por Kurt Heegner , Alan Baker y Harold Stark .) Sin embargo, esto se entendió (solo) en el lenguaje de las clases de equivalencia de formas cuadráticas, de modo que, en particular, la analogía entre las formas cuadráticas y la ecuación de Fermat parece no haber sido percibida. En 1847 Gabriel Lamé anunció una solución del Último Teorema de Fermat para todos ; es decir, que la ecuación de Fermat no tiene soluciones en números enteros distintos de cero, pero resultó que su solución dependía de la suposición de que el anillo ciclotómico es un dominio universal. Ernst Kummer había demostrado tres años antes que esto no era así ya para (la lista completa y finita de valores para los que es un dominio universal se conoce ahora). Al mismo tiempo, Kummer desarrolló nuevos y poderosos métodos para demostrar el Último Teorema de Fermat al menos para una gran clase de exponentes primos utilizando lo que ahora reconocemos como el hecho de que el anillo es un dominio de Dedekind. De hecho, Kummer no trabajaba con ideales sino con " números ideales ", y la definición moderna de un ideal fue dada por Dedekind. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m=1,n=4}$ ${\displaystyle m=2,3,n=3}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}$ ${\displaystyle D<0}$ ${\displaystyle n>2}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}]}$ ${\displaystyle n=23}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}]}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}]}$

En el siglo XX, los algebristas y los teóricos de números se dieron cuenta de que la condición de ser un PID es bastante delicada, mientras que la condición de ser un dominio de Dedekind es bastante robusta. Por ejemplo, el anillo de números enteros ordinarios es un PID, pero como se vio anteriormente, el anillo de números enteros algebraicos en un cuerpo numérico no necesita ser un PID. De hecho, aunque Gauss también conjeturó que hay infinitos primos tales que el anillo de números enteros de es un PID, aún no se sabe si hay infinitos cuerpos numéricos (de grado arbitrario) tales que es un PID. Por otro lado, el anillo de números enteros en un cuerpo numérico es siempre un dominio de Dedekind. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {p}})}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

Otra ilustración de la dicotomía delicada/robusta es el hecho de que ser un dominio de Dedekind es, entre los dominios noetherianos , una propiedad local : un dominio noetheriano es Dedekind si y solo si para cada ideal máximo de la localización es un anillo de Dedekind. Pero un dominio local es un anillo de Dedekind si y solo si es un PID si y solo si es un anillo de valoración discreto (DVR), por lo que la misma caracterización local no puede ser válida para los PID: más bien, se puede decir que el concepto de un anillo de Dedekind es la globalización del de un DVR. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R_{M}}$

Definiciones alternativas

Para un dominio integral que no es un cuerpo, todas las condiciones siguientes son equivalentes: ^[1] ${\displaystyle R}$

(DD1) Todo ideal propio distinto de cero se convierte en factores primos.

(DD2) es noetheriano y la localización en cada ideal máximo es un anillo de valoración discreto. ${\displaystyle R}$

(DD3) Todo ideal fraccionario distinto de cero de es invertible. ${\displaystyle R}$

(DD4) es un dominio noetheriano integralmente cerrado con dimensión de Krull uno (es decir, todo ideal primo distinto de cero es maximal). ${\displaystyle R}$

(DD5) Para dos ideales cualesquiera y en , está contenido en si y solo si divide como ideales. Es decir, existe un ideal tal que . Un anillo conmutativo (no necesariamente un dominio) con unidad que satisface esta condición se denomina anillo de contención-división (CDR). ^[2] ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle I=JH}$

Por lo tanto, un dominio de Dedekind es un dominio que es un cuerpo o satisface cualquiera de las condiciones (DD1) a (DD5) y, por lo tanto, las cinco. Por lo tanto, decidir cuál de estas condiciones se toma como definición es simplemente una cuestión de gustos. En la práctica, suele ser más fácil verificar (DD4).

Un dominio de Krull es un análogo de dimensión superior de un dominio de Dedekind: un dominio de Dedekind que no es un cuerpo es un dominio de Krull de dimensión 1. Esta noción se puede utilizar para estudiar las diversas caracterizaciones de un dominio de Dedekind. De hecho, esta es la definición de un dominio de Dedekind utilizada en el "Álgebra conmutativa" de Bourbaki .

Un dominio de Dedekind también puede caracterizarse en términos de álgebra homológica : un dominio integral es un dominio de Dedekind si y solo si es un anillo hereditario ; es decir, cada submódulo de un módulo proyectivo sobre él es proyectivo. De manera similar, un dominio integral es un dominio de Dedekind si y solo si cada módulo divisible sobre él es inyectivo . ^[3]

Algunos ejemplos de dominios Dedekind

Todos los dominios ideales principales y, por lo tanto, todos los anillos de valoración discretos son dominios de Dedekind.

El anillo de los enteros algebraicos en un cuerpo de números K es noetheriano, integralmente cerrado y de dimensión uno: para ver la última propiedad, observe que para cualquier ideal primo distinto de cero I de R , R / I es un conjunto finito, y recuerde que un dominio integral finito es un cuerpo; entonces por (DD4) R es un dominio de Dedekind. Como antes, esto incluye todos los ejemplos considerados por Kummer y Dedekind y fue el caso motivador para la definición general, y estos siguen estando entre los ejemplos más estudiados. ${\displaystyle R={\mathcal {O}}_{K}}$

La otra clase de anillos de Dedekind que podría decirse que es de igual importancia proviene de la geometría: sea C una curva algebraica afín geométricamente integral no singular sobre un cuerpo k . Entonces el anillo de coordenadas k [ C ] de funciones regulares en C es un dominio de Dedekind. Esto queda en gran medida claro simplemente traduciendo los términos geométricos al álgebra: el anillo de coordenadas de cualquier variedad afín es, por definición, un k -álgebra finitamente generada, por lo tanto noetheriana; además, curva significa dimensión uno y no singular implica (y, en dimensión uno, es equivalente a) normal , que por definición significa integralmente cerrado .

Ambas construcciones pueden considerarse como casos especiales del siguiente resultado básico:

Teorema : Sea R un dominio de Dedekind con un cuerpo fraccionario K. Sea L una extensión de K de grado finito y denotemos por S la clausura integral de R en L. Entonces S es en sí mismo un dominio de Dedekind. ^[4]

La aplicación de este teorema cuando R es en sí mismo un PID nos da una forma de construir dominios de Dedekind a partir de PID. Tomando R = Z , esta construcción dice precisamente que los anillos de números enteros de cuerpos numéricos son dominios de Dedekind. Tomando R = k [ t ], se obtiene el caso anterior de curvas afines no singulares como recubrimientos ramificados de la línea afín.

Zariski y Samuel quedaron tan impresionados con esta construcción que preguntaron si cada dominio de Dedekind surge de ella; es decir, comenzando con un PID y tomando el cierre integral en una extensión de campo de grado finito. ^[5] L. Claborn dio una respuesta negativa sorprendentemente simple. ^[6]

Si la situación es como la anterior pero la extensión L de K es algebraica de grado infinito, entonces todavía es posible que la clausura integral S de R en L sea un dominio de Dedekind, pero no está garantizado. Por ejemplo, tomemos de nuevo R = Z , K = Q y ahora tomemos L como el cuerpo de todos los números algebraicos. La clausura integral no es otra cosa que el anillo de todos los números enteros algebraicos. Dado que la raíz cuadrada de un número entero algebraico es de nuevo un número entero algebraico, no es posible factorizar ningún número entero algebraico no unitario distinto de cero en un producto finito de elementos irreducibles, lo que implica que ¡ ni siquiera es noetheriano! En general, la clausura integral de un dominio de Dedekind en una extensión algebraica infinita es un dominio de Prüfer ; resulta que el anillo de los números enteros algebraicos es ligeramente más especial que esto: es un dominio de Bézout . ${\displaystyle {\overline {\textbf {Q}}}}$ ${\displaystyle {\overline {\textbf {Z}}}}$ ${\displaystyle {\overline {\textbf {Z}}}}$

Los ideales fraccionarios y el grupo de clase

Sea R un dominio integral con cuerpo fraccionario K. Un ideal fraccionario es un R -submódulo I distinto de cero de K para el cual existe un x distinto de cero en K tal que ${\displaystyle xI\subset R.}$

Dados dos ideales fraccionarios I y J , se define su producto IJ como el conjunto de todas las sumas finitas : el producto IJ es nuevamente un ideal fraccionario. El conjunto Frac( R ) de todos los ideales fraccionarios dotados del producto anterior es un semigrupo conmutativo y, de hecho, un monoide : el elemento identidad es el ideal fraccionario R . ${\displaystyle \sum _{n}i_{n}j_{n},\,i_{n}\in I,\,j_{n}\in J}$

Para cualquier ideal fraccionario I , se puede definir el ideal fraccionario

${\displaystyle I^{*}=(R:I)=\{x\in K\mid xI\subset R\}.}$

Se tiene entonces tautológicamente . De hecho, se tiene igualdad si y solo si I , como elemento del monoide de Frac( R ), es invertible. En otras palabras, si I tiene cualquier inversa, entonces la inversa debe ser . ${\displaystyle I^{*}I\subset R}$ ${\displaystyle I^{*}}$

Un ideal fraccionario principal es uno de la forma para algún x distinto de cero en K . Nótese que cada ideal fraccionario principal es invertible, el inverso de es simplemente . Denotamos el subgrupo de ideales fraccionarios principales por Prin( R ). ${\displaystyle xR}$ ${\displaystyle xR}$ ${\displaystyle {\frac {1}{x}}R}$

Un dominio R es un PID si y solo si cada ideal fraccionario es principal. En este caso, tenemos Frac( R ) = Prin( R ) = , ya que dos ideales fraccionarios principales y son iguales si y solo si es una unidad en R . ${\displaystyle K^{\times }/R^{\times }}$ ${\displaystyle xR}$ ${\displaystyle yR}$ ${\displaystyle xy^{-1}}$

Para un dominio general R , tiene sentido tomar el cociente del monoide Frac( R ) de todos los ideales fraccionarios por el submonoide Prin( R ) de los ideales fraccionarios principales. Sin embargo, este cociente en sí mismo es generalmente solo un monoide. De hecho, es fácil ver que la clase de un ideal fraccionario I en Frac( R )/Prin( R ) es invertible si y solo si I mismo es invertible.

Ahora podemos apreciar (DD3): en un dominio de Dedekind (y solo en un dominio de Dedekind) cada ideal fraccionario es invertible. Por lo tanto, estas son precisamente las clases de dominios para los cuales Frac( R )/Prin( R ) forman un grupo , el grupo de clases ideales Cl( R ) de R . Este grupo es trivial si y solo si R es un PID, por lo que puede verse como cuantificador de la obstrucción a que un dominio de Dedekind general sea un PID.

Observamos que para un dominio arbitrario se puede definir el grupo de Picard Pic( R ) como el grupo de ideales fraccionarios invertibles Inv( R ) módulo el subgrupo de ideales fraccionarios principales. Para un dominio de Dedekind esto es por supuesto lo mismo que el grupo de clases ideales. Sin embargo, en una clase más general de dominios, incluyendo los dominios noetherianos y los dominios de Krull, el grupo de clases ideales se construye de una manera diferente, y hay un homomorfismo canónico.

Imagen( R ) → Cl( R )

que, sin embargo, no suele ser ni inyectiva ni sobreyectiva . Se trata de un análogo afín de la distinción entre divisores de Cartier y divisores de Weil en una variedad algebraica singular.

Un teorema notable de L. Claborn (Claborn 1966) afirma que para cualquier grupo abeliano G , existe un dominio de Dedekind R cuyo grupo de clase ideal es isomorfo a G . Más tarde, CR Leedham-Green demostró que dicho R puede construirse como el cierre integral de un PID en una extensión de campo cuadrático (Leedham-Green 1972). En 1976, M. Rosen mostró cómo realizar cualquier grupo abeliano numerable como el grupo de clase de un dominio de Dedekind que es un subanillo del campo de funciones racionales de una curva elíptica, y conjeturó que dicha construcción "elíptica" debería ser posible para un grupo abeliano general (Rosen 1976). La conjetura de Rosen fue demostrada en 2008 por PL Clark (Clark 2009).

Por el contrario, uno de los teoremas básicos de la teoría de números algebraicos afirma que el grupo de clases del anillo de números enteros de un cuerpo de números es finito; su cardinalidad se llama número de clase y es un invariante importante y bastante misterioso, a pesar del arduo trabajo de muchos matemáticos destacados desde Gauss hasta la actualidad.

Módulos generados de forma finita sobre un dominio de Dedekind

En vista del conocido y sumamente útil teorema de estructura para módulos generados finitamente sobre un dominio ideal principal (PID), es natural pedir una teoría correspondiente para módulos generados finitamente sobre un dominio de Dedekind.

Recordemos brevemente la teoría de la estructura en el caso de un módulo finitamente generado sobre un PID . Definimos el submódulo de torsión como el conjunto de elementos de tal que para algún valor distinto de cero en . Entonces: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle rm=0}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R}$

(M1) se puede descomponer en una suma directa de módulos de torsión cíclicos , cada uno de la forma para algún ideal distinto de cero de . Por el teorema del resto chino, cada uno se puede descomponer además en una suma directa de submódulos de la forma , donde es una potencia de un ideal primo. Esta descomposición no necesita ser única, pero dos descomposiciones cualesquiera ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle R/P^{i}}$ ${\displaystyle P^{i}}$

${\displaystyle T\cong R/P_{1}^{a_{1}}\oplus \cdots \oplus R/P_{r}^{a_{r}}\cong R/Q_{1}^{b_{1}}\oplus \cdots \oplus R/Q_{s}^{b_{s}}}$

difieren sólo en el orden de los factores.

(M2) El submódulo de torsión es un sumando directo, es decir, existe un submódulo complementario de tal que . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M=T\oplus P}$

(M3PID) isomorfo a para un entero no negativo determinado de forma única . En particular, es un módulo libre finitamente generado. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle R^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle P}$

Sea ahora un módulo finitamente generado sobre un dominio de Dedekind arbitrario . Entonces (M1) y (M2) se cumplen textualmente. Sin embargo, se sigue de (M3PID) que un módulo finitamente generado sin torsión sobre un PID es libre. En particular, afirma que todos los ideales fraccionarios son principales, una afirmación que es falsa siempre que no sea un PID. En otras palabras, la no trivialidad del grupo de clases hace que (M3PID) falle. Sorprendentemente, la estructura adicional en módulos finitamente generados sin torsión sobre un dominio de Dedekind arbitrario está controlada con precisión por el grupo de clases, como explicamos ahora. Sobre un dominio de Dedekind arbitrario se tiene ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle Cl(R)}$

(M3DD) es isomorfo a una suma directa de módulos proyectivos de rango uno: . Además, para cualquier módulo proyectivo de rango uno , se tiene ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P\cong I_{1}\oplus \cdots \oplus I_{r}}$ ${\displaystyle I_{1},\ldots ,I_{r},J_{1},\ldots ,J_{s}}$

${\displaystyle I_{1}\oplus \cdots \oplus I_{r}\cong J_{1}\oplus \cdots \oplus J_{s}}$

Si y sólo si

${\displaystyle r=s}$

y

${\displaystyle I_{1}\otimes \cdots \otimes I_{r}\cong J_{1}\otimes \cdots \otimes J_{s}.\,}$

Los módulos proyectivos de rango uno se pueden identificar con ideales fraccionarios, y la última condición se puede reformular como

${\displaystyle [I_{1}\cdots I_{r}]=[J_{1}\cdots J_{s}]\in Cl(R).}$

Por lo tanto, un módulo de rango sin torsión generado finitamente se puede expresar como , donde es un módulo proyectivo de rango uno. La clase de Steinitz para sobre es la clase de en : está determinada de forma única. ^[7] Una consecuencia de esto es: ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle R^{n-1}\oplus I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle [I]}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle Cl(R)}$

Teorema: Sea un dominio de Dedekind. Entonces , donde es el grupo de Grothendieck del monoide conmutativo de módulos proyectivos finitamente generados. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle K_{0}(R)\cong \mathbb {Z} \oplus Cl(R)}$ ${\displaystyle K_{0}(R)}$ ${\displaystyle R}$

Estos resultados fueron establecidos por Ernst Steinitz en 1912.

Una consecuencia adicional de esta estructura, que no está implícita en el teorema anterior, es que si los dos módulos proyectivos sobre un dominio de Dedekind tienen la misma clase en el grupo de Grothendieck, entonces son de hecho abstractamente isomorfos.

Anillos Dedekind locales

Existen dominios integrales que son localmente pero no globalmente Dedekind: la localización de en cada ideal máximo es un anillo de Dedekind (equivalentemente, un DVR) pero en sí mismo no es Dedekind. Como se mencionó anteriormente, un anillo de este tipo no puede ser noetheriano. Parece que los primeros ejemplos de tales anillos fueron construidos por N. Nakano en 1953. En la literatura, a estos anillos a veces se los llama "anillos casi Dedekind adecuados". ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

Véase también

• Constante de Davenport

Notas

1. Milne 2008, Observación 3.25
2. Krasula 2022, Teorema 12
3. Cohn 2003, 2.4. Ejercicio 9
4. El teorema se deriva, por ejemplo, del teorema de Krull-Akizuki .
5. Zariski y Samuel, pág. 284
6. Claborn 1965, Ejemplo 1-9
7. Fröhlich y Taylor (1991) p.95

Referencias

• Bourbaki, Nicolas (1972), Álgebra conmutativa , Addison-Wesley
• Claborn, Luther (1965), "Dominios de Dedekind y anillos de cocientes", Pacific J. Math. , 15 : 59–64, doi : 10.2140/pjm.1965.15.59
• Claborn, Luther (1966), "Todo grupo abeliano es un grupo de clases", Pacific J. Math. , 18 (2): 219–222, doi : 10.2140/pjm.1966.18.219
• Clark, Pete L. (2009), "Dominios elípticos de Dedekind revisados" (PDF) , L'Enseignement Mathématique , 55 (3): 213–225, arXiv : math/0612469 , doi :10.4171/lem/55-3-1 , S2CID  7461271
• Cohn, Paul M. (2003). Álgebra adicional y aplicaciones . Springer. ISBN 1-85233-667-6.
• Fröhlich, A. ; Taylor, MJ (1991), "II. Dominios de Dedekind", Teoría algebraica de números , Cambridge studies in advanced mathematics, vol. 27, Cambridge University Press , pp. 35–101, ISBN 0-521-36664-X, Zbl0744.11001 ​
• Gomez-Ramirez, Danny (2015), "La combinación conceptual como metagenerador creativo de conceptos matemáticos: ideales primos y dominios de Dedekind como combinación", En: TR Besold, KU Kühnberger, M. Schorlemmer, A. Smaill (Eds.) Actas del 4º Taller internacional sobre creatividad computacional, invención de conceptos e inteligencia general (C3GI) PICS , 2[1]
• Krasula, Dominik (2022), "Condición mínima restringida en anillos conmutativos reducidos", The Mediterranean Journal of Mathematics , 19 (6), arXiv : 2201.03921 , doi :10.1007/s00009-022-02190-4, S2CID  245853674[2]
• Leedham-Green, CR (1972), "El grupo de clases de los dominios de Dedekind", Trans. Amer. Math. Soc. , 163 : 493–500, doi : 10.2307/1995734 , JSTOR  1995734
• Milne, JS (2008), Teoría algebraica de números (v3.00)
• Nakano, Noburu (1953), "Idealtheorie in einem speziellen unendlichen algebraischen Zahlkörper", J. Sci. Universidad de Hiroshima. Ser. A , 16 : 425–439
• Rosen, Michael (1976), "Curvas elípticas y dominios de Dedekind", Proc. Amer. Math. Soc. , 57 (2): 197–201, doi : 10.2307/2041187 , JSTOR  2041187
• Steinitz, E. (1912), "Rechteckige Systeme und Moduln in algebraischen Zahlkörpern", Math. Ana. , 71 (3): 328–354, doi :10.1007/BF01456849, S2CID  179177736
• Zariski, Oscar ; Samuel, Pierre (1958), Álgebra conmutativa, Volumen I , D. Van Nostrand Company

Lectura adicional

• Edwards, Harold M. (1990), Teoría del divisor , Boston: Birkhäuser Verlag, ISBN 0-8176-3448-7, Zbl  0689.12001

Enlaces externos

• "Anillo de Dedekind", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]