Constante de Davenport

En matemáticas , la constante de Davenport D ( G  ) es un invariante de un grupo estudiado en combinatoria aditiva , que cuantifica el tamaño de factorizaciones no únicas. Dado un grupo abeliano finito G , D ( G  ) se define como el número más pequeño tal que cada secuencia de elementos de esa longitud contiene una subsecuencia no vacía que suma 0. En símbolos, esto es ^[1]

${\displaystyle D(G)=\min \left\{N:\forall \left(\{g_{n}\}_{n=1}^{N}\in G^{N}\right)\left(\exists \{n_{k}\}_{k=1}^{K}:\sum _{k=1}^{K}{g_{n_{k}}}=0\right)\right\}.}$

Ejemplo

• La constante de Davenport para el grupo cíclico es n . Para comprobarlo, observe que la secuencia de un generador fijo , repetido n  − 1 veces, no contiene ninguna subsecuencia con suma 0 . Por lo tanto , D ( G  ) ≥ n . Por otra parte, si es una secuencia arbitraria, entonces dos de las sumas en la secuencia son iguales. La diferencia de estas dos sumas también da una subsecuencia con suma 0 . ^[2] ${\displaystyle G=\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \{g_{k}\}_{k=1}^{n}}$ ${\displaystyle \left\{\sum _{k=1}^{K}{g_{k}}\right\}_{K=0}^{n}}$

Propiedades

• Considérese un grupo abeliano finito G = ⊕ _i  C _{d i}  , donde d ₁ | d ₂ | ... | d _r son factores invariantes . Entonces

${\displaystyle D(G)\geq M(G)=1-r+\sum _{i}{d_{i}}.}$

El límite inferior se demuestra observando que la secuencia " d ₁  − 1 copias de (1, 0, ..., 0) , d ₂  − 1 copias de (0, 1, ..., 0) , etc." no contiene ninguna subsecuencia con suma 0 . ^[3]

• D = M para grupos p o para r   = 1, 2 .
• D = M para ciertos grupos incluyendo todos los grupos de la forma C ₂  ⊕  C _{2 n}  ⊕  C _{2 nm} y C ₃  ⊕  C _{3 n}  ⊕  C _{3 nm} .
• Hay infinitos ejemplos con r al menos 4 donde D no es igual a M ; no se sabe si hay alguno con r = 3. [ ^3]
• Sea el exponente de G . Entonces ^[4] ${\displaystyle \exp(G)}$

${\displaystyle {\frac {D(G)}{\exp(G)}}\leq 1+\log \left({\frac {|G|}{\exp(G)}}\right).}$

Aplicaciones

La motivación original para estudiar la constante de Davenport fue el problema de la factorización no única en cuerpos numéricos . Sea el anillo de números enteros en un cuerpo numérico, G su grupo de clases . Entonces cada elemento , que se factoriza en al menos D ( G  ) ideales no triviales , es propiamente divisible por un elemento de . Esta observación implica que la constante de Davenport determina en qué medida pueden diferir las longitudes de las diferentes factorizaciones de algún elemento en . ^{[5] [ cita requerida ]} ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

El límite superior mencionado anteriormente juega un papel importante en la prueba de Ahlford, Granville y Pomerance de la existencia de infinitos números de Carmichael . ^[4]

Variantes

La constante de Olson O ( G  ) utiliza la misma definición, pero requiere que los elementos de sean distintos. ^[6] ${\displaystyle \{g_{n}\}_{n=1}^{N}}$

• Balandraud demostró que O ( C _p  ) es igual al k más pequeño tal que . ${\displaystyle {\frac {k(k+1)}{2}}\geq p}$
• Para p > 6000 tenemos

${\displaystyle O(C_{p}\oplus C_{p})=p-1+O(C_{p})}$.

Por otra parte, si G = C^rp_​con r ≥ p , entonces la constante de Olson es igual a la constante de Davenport. ^[7]

Referencias

1. Geroldinger, Alfred (2009). "Teoría de grupos aditivos y factorizaciones no únicas". En Geroldinger, Alfred; Ruzsa, Imre Z. (eds.). Teoría combinatoria de números y teoría aditiva de grupos . Cursos Avanzados de Matemáticas CRM Barcelona. Elsholtz, C.; Freiman, G.; Hamidoune, YO; Hegyvári, N.; Károlyi, G.; Nathanson, M.; Sólymosi, J .; Stanchescu, Y. Con prólogo de Javier Cilleruelo, Marc Noy y Oriol Serra (Coordinadores del DocCourse). Basilea: Birkhäuser. pp. 1–86. doi :10.1007/978-3-7643-8962-8. ISBN 978-3-7643-8961-1.Zbl 1221.20045  .
2. Geroldinger 2009, pág. 24.
3. Bhowmik, Gautami; Schlage-Puchta, Jan-Christoph (2007). "Constante de Davenport para grupos de la forma z {\displaystyle \mathbb {z} } 3⊕ z {\displaystyle \mathbb {z} } 3⊕ z {\displaystyle \mathbb {z} } 3d" (PDF) . En Granville, Andrew ; Nathanson, Melvyn B.; Solymosi, József (eds.). Combinatoria aditiva . Actas y notas de conferencias de CRM. Vol. 43. Providence, RI: American Mathematical Society . págs. 307–326. ISBN 978-0-8218-4351-2.Zbl 1173.11012  .
4. WR Alford ; Andrew Granville ; Carl Pomerance (1994). "Hay infinitos números de Carmichael" (PDF) . Anales de Matemáticas . 139 (3): 703–722. doi :10.2307/2118576. JSTOR  2118576.
5. Olson, John E. (1 de enero de 1969). "Un problema combinatorio sobre grupos abelianos finitos, I". Journal of Number Theory . 1 (1): 8–10. Bibcode :1969JNT.....1....8O. doi : 10.1016/0022-314X(69)90021-3 . ISSN  0022-314X.
6. Nguyen, Hoi H.; Vu, Van H. (1 de enero de 2012). "Una caracterización de secuencias incompletas en espacios vectoriales". Journal of Combinatorial Theory, Serie A . 119 (1): 33–41. arXiv : 1112.0754 . doi :10.1016/j.jcta.2011.06.012. ISSN  0097-3165.
7. Ordaz, Óscar; Philipp, Andreas; Santos, Irene; Schmidt, Wolfgang A. (2011). "Sobre las constantes de Olson y Strong Davenport" (PDF) . Journal de Théorie des Nombres de Burdeos . 23 (3): 715–750. doi :10.5802/jtnb.784. S2CID  36303975 – vía NUMDAM.

• Nathanson, Melvyn B. (1996). Teoría de números aditivos: problemas inversos y geometría de conjuntos sumatorios . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 165. Springer-Verlag . ISBN. 978-0-387-94655-9.Zbl 0859.11003  .

Enlaces externos

• "Constante de Davenport", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Hutzler, Nick. "La constante de Davenport". MathWorld .