Modus ponens

Regla de inferencia lógica

En lógica proposicional , modus ponens ( / ˈ m oʊ d ə s ˈ p oʊ n ɛ n z / ; MP ), también conocido como modus ponendo ponens (del latín  'método de poner colocando'), ^[1] eliminación de implicaciones , o afirmando el antecedente , ^[2] es una forma de argumento deductivo y regla de inferencia . ^[3] Se puede resumir como " P implica Q. P es verdadero. Por lo tanto, Q también debe ser verdadero".

Modus ponens es un silogismo hipotético mixto y está estrechamente relacionado con otra forma válida de argumento, el modus tollens . Ambos tienen formas aparentemente similares pero inválidas: afirmar el consecuente y negar el antecedente . El dilema constructivo es la versión disyuntiva del modus ponens .

La historia del modus ponens se remonta a la antigüedad . ^[4] El primero en describir explícitamente la forma argumental modus ponens fue Teofrasto . ^[5] Este, junto con el modus tollens , es uno de los patrones estándar de inferencia que se puede aplicar para derivar cadenas de conclusiones que conducen al objetivo deseado.

Explicación

La forma de un argumento modus ponens es un silogismo hipotético mixto , con dos premisas y una conclusión:

1. Si P , entonces Q .
2. PAG .
3. Por tanto , Q.

La primera premisa es una afirmación condicional ("si-entonces"), es decir, que P implica Q. La segunda premisa es una afirmación de que P , el antecedente de la afirmación condicional, es el caso. A partir de estas dos premisas se puede concluir lógicamente que Q , el consecuente de la afirmación condicional, también debe ser el caso.

Un ejemplo de un argumento que se ajusta a la forma modus ponens :

1. Si hoy es martes, John irá a trabajar.
2. Hoy es martes.
3. Por tanto, John se pondrá a trabajar.

Este argumento es válido , pero no influye en si alguna de las afirmaciones del argumento es realmente cierta ; Para que modus ponens sea un argumento sólido , las premisas deben ser verdaderas para cualquier caso verdadero de la conclusión. Un argumento puede ser válido pero no obstante incorrecto si una o más premisas son falsas; Si un argumento es válido y todas las premisas son verdaderas, entonces el argumento es sólido. Por ejemplo, es posible que John vaya a trabajar el miércoles. En este caso, el razonamiento para que John vaya a trabajar (porque es miércoles) no es sólido. El argumento sólo es sólido los martes (cuando John va a trabajar), pero es válido todos los días de la semana. Un argumento proposicional que utiliza modus ponens se dice que es deductivo .

En los cálculos sucesivos de conclusión única , el modus ponens es la regla de corte. El teorema de eliminación de cortes para un cálculo dice que toda prueba que involucre Corte puede transformarse (generalmente, mediante un método constructivo) en una prueba sin Corte y, por lo tanto, que Corte es admisible .

La correspondencia Curry-Howard entre pruebas y programas relaciona el modus ponens con la aplicación de funciones : si f es una función de tipo P → Q y x es de tipo P , entonces fx es de tipo Q.

En inteligencia artificial , el modus ponens suele denominarse encadenamiento directo .

Notación formal

La regla del modus ponens se puede escribir en notación secuencial como

${\displaystyle P\to Q,\;P\;\;\vdash \;\;Q}$

donde P , Q y P → Q son declaraciones (o proposiciones) en un lenguaje formal y ⊢ es un símbolo metalógico , lo que significa que Q es una consecuencia sintáctica de P y P → Q en algún sistema lógico .

Justificación mediante tabla de verdad

La validez del modus ponens en la lógica clásica de dos valores se puede demostrar claramente mediante el uso de una tabla de verdad .

En casos de modus ponens asumimos como premisas que p → q es verdadero y p es verdadero. Sólo una línea de la tabla de verdad, la primera, satisface estas dos condiciones ( p y p → q ). En esta línea, q también es cierta. Por lo tanto, siempre que p → q sea verdadero y p sea verdadero, q también debe ser verdadero.

Estado

Si bien el modus ponens es una de las formas de argumento más utilizadas en lógica, no debe confundirse con una ley lógica; más bien, es uno de los mecanismos aceptados para la construcción de pruebas deductivas que incluye la "regla de definición" y la "regla de sustitución". ^[6] Modus ponens permite eliminar un enunciado condicional de una prueba o argumento lógico (los antecedentes) y, por lo tanto, no llevar estos antecedentes a una cadena de símbolos cada vez más larga; por esta razón, al modus ponens a veces se le llama regla de desapego ^[7] o ley de desapego . ^[8] Enderton, por ejemplo, observa que "el modus ponens puede producir fórmulas más cortas a partir de otras más largas", ^[9] y Russell observa que "el proceso de inferencia no puede reducirse a símbolos. Su único registro es la aparición de ⊦q [el consecuente]... una inferencia es el abandono de una premisa verdadera; es la disolución de una implicación". ^[10]

Una justificación para la "confianza en la inferencia es la creencia de que si las dos afirmaciones anteriores [los antecedentes] no son erróneas, la afirmación final [el consecuente] no es errónea". ^[10] En otras palabras: si un enunciado o proposición implica un segundo, y el primer enunciado o proposición es verdadero, entonces el segundo también es verdadero. Si P implica Q y P es verdadero, entonces Q es verdadero. ^[11]

Correspondencia con otros marcos matemáticos.

Semántica algebraica

En lógica matemática, la semántica algebraica trata cada oración como el nombre de un elemento en un conjunto ordenado. Normalmente, el conjunto se puede visualizar como una estructura enrejada con un solo elemento (el "siempre verdadero") en la parte superior y otro elemento único (el "siempre falso") en la parte inferior. La equivalencia lógica se convierte en identidad, de modo que cuando y , por ejemplo, son equivalentes (como es estándar), entonces . La implicación lógica se convierte en una cuestión de posición relativa: lógicamente implica por si acaso , es decir, cuando cualquiera de los dos se encuentra debajo y está conectado a él por un camino ascendente. ${\displaystyle \neg {(P\wedge Q)}}$ ${\displaystyle \neg {P}\vee \neg {Q}}$ ${\displaystyle \neg {(P\wedge Q)}=\neg {P}\vee \neg {Q}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P\leq Q}$ ${\displaystyle P=Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

En este contexto, decir que y juntos implican —es decir, afirmar que el modus ponens es válido— es decir que el punto más alto que se encuentra debajo de ambos y se encuentra debajo de , es decir, que . ^[a] En la semántica de la lógica proposicional básica, el álgebra es booleana , interpretada como el condicional material :. Confirmar eso es sencillo, porque y . Con otros tratamientos de , la semántica se vuelve más compleja, el álgebra puede ser no booleana y la validez del modus ponens no puede darse por sentada. ${\textstyle P}$ ${\displaystyle P\rightarrow Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P\rightarrow Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P\wedge (P\rightarrow Q)\leq Q}$ ${\displaystyle \rightarrow }$ ${\displaystyle P\rightarrow Q=\neg {P}\vee Q}$ ${\displaystyle P\wedge (P\rightarrow Q)\leq Q}$ ${\displaystyle P\wedge (P\rightarrow Q)=P\wedge Q}$ ${\displaystyle P\wedge Q\leq Q}$ ${\displaystyle \rightarrow }$

calculo de probabilidad

Si y , entonces debe estar en el intervalo . ^{[b] [12]} Para el caso especial , debe ser igual . ${\displaystyle \Pr(P\rightarrow Q)=x}$ ${\displaystyle \Pr(P)=y}$ ${\displaystyle \Pr(Q)}$ ${\displaystyle [x+y-1,x]}$ ${\displaystyle x=y=1}$ ${\displaystyle \Pr(Q)}$ ${\displaystyle 1}$

Lógica subjetiva

Modus ponens representa una instancia del operador de deducción binomial en lógica subjetiva expresada como:

$${\displaystyle \omega _{Q\|P}^{A}=(\omega _{Q|P}^{A},\omega _{Q|\lnot P}^{A})\circledcirc \omega _{P}^{A}\,,}$$

donde denota la opinión subjetiva sobre lo expresado por la fuente , y la opinión condicional generaliza la implicación lógica . La opinión marginal deducida sobre se denota por . El caso en el que hay una opinión absolutamente VERDADERA sobre es equivalente a que la fuente diga que es VERDADERO, y el caso en el que hay una opinión absolutamente FALSA sobre es equivalente a que la fuente diga que es FALSO. El operador de deducción de la lógica subjetiva produce una opinión deducida VERDADERA absoluta cuando la opinión condicional es VERDADERA absoluta y la opinión antecedente es VERDADERA absoluta. Por tanto, la deducción lógica subjetiva representa una generalización tanto del modus ponens como de la ley de probabilidad total . ^[13] ${\displaystyle \omega _{P}^{A}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \omega _{Q|P}^{A}}$ ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \omega _{Q\|P}^{A}}$ ${\displaystyle \omega _{P}^{A}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \omega _{P}^{A}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \circledcirc }$ ${\displaystyle \omega _{Q\|P}^{A}}$ ${\displaystyle \omega _{Q|P}^{A}}$ ${\displaystyle \omega _{P}^{A}}$

Presuntos casos de fracaso

Filósofos y lingüistas han identificado una variedad de casos en los que el modus ponens parece fallar. Vann McGee, por ejemplo, argumentó que el modus ponens puede fallar para condicionales cuyos consecuentes son en sí mismos condicionales. ^[14] El siguiente es un ejemplo:

1. O Shakespeare o Hobbes escribieron Hamlet .
2. Si Shakespeare o Hobbes escribieron Hamlet , entonces, si Shakespeare no lo hizo, lo hizo Hobbes.
3. Por tanto, si Shakespeare no escribió Hamlet , lo hizo Hobbes.

Dado que Shakespeare escribió Hamlet , la primera premisa es cierta. La segunda premisa también es cierta, ya que comenzar con un conjunto de posibles autores limitados solo a Shakespeare y Hobbes y eliminar uno de ellos deja solo al otro. Sin embargo, la conclusión es dudosa, ya que descartar a Shakespeare como autor de Hamlet dejaría numerosos candidatos posibles, muchos de ellos alternativos más plausibles que Hobbes (si los si-entonces de la inferencia se leen como condicionales materiales, la conclusión resulta verdadera) simplemente en virtud del antecedente falso (ésta es una de las paradojas de la implicación material ).

La forma general de los contraejemplos de tipo McGee del modus ponens es simplemente , por lo tanto, ; no es imprescindible que sea una disyunción, como en el ejemplo dado. Que este tipo de casos constituyen fallas del modus ponens sigue siendo una opinión controvertida entre los lógicos, pero las opiniones varían sobre cómo se deben resolver los casos. ^{[15] [16] [17]} ${\displaystyle P,P\rightarrow (Q\rightarrow R)}$ ${\displaystyle Q\rightarrow R}$ ${\displaystyle P}$

En lógica deóntica , algunos ejemplos de obligación condicional también plantean la posibilidad de fallo del modus ponens . Estos son casos en los que la premisa condicional describe una obligación basada en una acción inmoral o imprudente, por ejemplo, "Si Doe asesina a su madre, debería hacerlo con cuidado", para lo cual la conclusión incondicional dudosa sería "Doe debería asesinar con cuidado a su madre". madre." ^[18] Parecería deducirse que si Doe en realidad está asesinando gentilmente a su madre, entonces, por modus ponens, está haciendo exactamente lo que debería, incondicionalmente, estar haciendo. Una vez más, el fallo del modus ponens no es un diagnóstico popular, pero a veces se defiende. ^[19]

Posibles falacias

La falacia de afirmar el consecuente es una mala interpretación común del modus ponens . ^[20]

Ver también

• Destacamento condensado
• Importación-Exportación (lógica)  – Principio de la lógica clásicaPages displaying short descriptions of redirect targets
• frases latinas
• Modus tollens  – Regla de inferencia lógica
• Modus vivendi  : acuerdo que permite a las partes en conflicto coexistir en paz.
• Lógica estoica  : sistema de lógica proposicional desarrollado por los filósofos estoicos
• Lo que la tortuga le dijo a Aquiles  – Diálogo alegórico de Lewis Carroll

Notas

1. El punto más alto que se encuentra debajo de ambos y es el " encuentro " de y , denotado por . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X\wedge Y}$
2. Dado que implica , siempre debe ser mayor o igual que , y por lo tanto será mayor o igual que . Y como siempre debe ser menor o igual que , siempre debe ser menor o igual que . ${\displaystyle \neg P}$ ${\displaystyle P\rightarrow Q}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1-y}$ ${\displaystyle x+y-1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle x+y-1}$ ${\displaystyle x}$

Referencias

1. Piedra, Jon R. (1996). Latín para analfabetos: exorcizar los fantasmas de una lengua muerta . Londres: Routledge. pag. 60.ISBN _ 0-415-91775-1.
2. "Referencia de Oxford: afirmando el antecedente". Referencia de Oxford .
3. Enderton 2001:110
4. Susanne Bobzien (2002). "El desarrollo del Modus Ponens en la Antigüedad", Phronesis 47, No. 4, 2002.
5. "Lógica antigua: precursores de Modus Ponens y Modus Tollens". Enciclopedia de Filosofía de Stanford .
6. Alfred Tarski 1946:47. También Enderton 2001:110 y siguientes.
7. Tarski 1946:47
8. "Modus ponens - Enciclopedia de Matemáticas". encyclopediaofmath.org . Consultado el 5 de abril de 2018 .
9. Enderton 2001:111
10. Whitehead y Russell 1927: 9
11. Jago, Mark (2007). Lógica formal . Humanidades-Libros electrónicos LLP. ISBN 978-1-84760-041-7.
12. Granizo, Theodore (1996). Lógica de probabilidad sentencial: orígenes, desarrollo, estado actual y aplicaciones técnicas . Londres: Associated University Press. pag. 203.ISBN _ 0934223459.
13. Audun Jøsang 2016:92
14. Vann McGee (1985). "Un contraejemplo del Modus Ponens", The Journal of Philosophy 82, 462–471.
15. Sinnott-Armstrong, Moor y Fogelin (1986). "Una defensa del Modus Ponens", The Journal of Philosophy 83, 296–300.
16. DE más (1987). "Supuestos y supuestos contraejemplos del Modus Ponens", Análisis 47, 142-146.
17. Bledín (2015). "Modus Ponens defendido", The Journal of Philosophy 112, 462–471.
18. "Lógica Deóntica". 21 de abril de 2010 . Consultado el 30 de enero de 2020 . Enciclopedia de Filosofía de Stanford .
19. Por ejemplo, por Kolodny y MacFarlane (2010). "Si y deberías", The Journal of Philosophy 107, 115-143.
20. "Falacias | Enciclopedia de Filosofía de Internet". iep.utm.edu . Consultado el 6 de marzo de 2020 .

Fuentes

• Herbert B. Enderton, 2001, Introducción matemática a la lógica, segunda edición , Harcourt Academic Press, Burlington MA, ISBN 978-0-12-238452-3 . 
• Audun Jøsang, 2016, Lógica subjetiva; Un formalismo para el razonamiento bajo incertidumbre Springer, Cham, ISBN 978-3-319-42337-1 
• Alfred North Whitehead y Bertrand Russell 1927 Principia Mathematica to *56 (Segunda edición), edición de bolsillo de 1962, Cambridge en University Press, Londres, Reino Unido. Sin ISBN, sin LCCCN.
• Alfred Tarski 1946 Introducción a la lógica y a la metodología de las ciencias deductivas, segunda edición, reimpreso por Dover Publications, Mineola NY. ISBN 0-486-28462-X (pbk). 

enlaces externos

• "Modus ponens", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Modus ponens en PhilPapers
• Modus ponens en Wolfram MathWorld