Modelo cuántico de Heisenberg

Modelo estadístico en mecánica cuántica de materiales magnéticos

El modelo cuántico de Heisenberg , desarrollado por Werner Heisenberg , es un modelo mecánico estadístico utilizado en el estudio de puntos críticos y transiciones de fase de sistemas magnéticos, en el que los espines de los sistemas magnéticos son tratados de manera mecano-cuántica . Está relacionado con el modelo prototípico de Ising , donde en cada sitio de una red, un espín representa un dipolo magnético microscópico al que el momento magnético es hacia arriba o hacia abajo. Aparte del acoplamiento entre momentos dipolares magnéticos, también existe una versión multipolar del modelo de Heisenberg llamada interacción de intercambio multipolar . ${\displaystyle \sigma _{i}\in \{\pm 1\}}$

Descripción general

Por razones de mecánica cuántica (véase interacción de intercambio o Magnetismo § Origen mecánico cuántico del magnetismo ), el acoplamiento dominante entre dos dipolos puede provocar que los vecinos más próximos tengan la energía más baja cuando están alineados . Bajo este supuesto (de modo que las interacciones magnéticas solo ocurren entre dipolos adyacentes) y en una red periódica unidimensional, el hamiltoniano se puede escribir en la forma

${\displaystyle {\hat {H}}=-J\sum _{j=1}^{N}\sigma _{j}\sigma _{j+1}-h\sum _{j=1}^{N}\sigma _{j}}$,

donde es la constante de acoplamiento y los dipolos están representados por vectores clásicos (o "spines") σ _j , sujetos a la condición de contorno periódica . El modelo de Heisenberg es un modelo más realista en el sentido de que trata los espines de manera cuántica-mecánica, reemplazando el espín por un operador cuántico que actúa sobre el producto tensorial , de dimensión . Para definirlo, recordemos las matrices de espín 1/2 de Pauli ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \sigma _{N+1}=\sigma _{1}}$ ${\displaystyle (\mathbb {C} ^{2})^{\otimes N}}$ ${\displaystyle 2^{N}}$

${\displaystyle \sigma ^{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}$,

${\displaystyle \sigma ^{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}}$,

${\displaystyle \sigma ^{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$,

y para y denotamos , donde es la matriz identidad. Dada una elección de constantes de acoplamiento de valor real y , el hamiltoniano viene dado por ${\displaystyle 1\leq j\leq N}$ ${\displaystyle a\in \{x,y,z\}}$ ${\displaystyle \sigma _{j}^{a}=I^{\otimes j-1}\otimes \sigma ^{a}\otimes I^{\otimes N-j}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle J_{x},J_{y},}$ ${\displaystyle J_{z}}$

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{N}(J_{x}\sigma _{j}^{x}\sigma _{j+1}^{x}+J_{y}\sigma _{j}^{y}\sigma _{j+1}^{y}+J_{z}\sigma _{j}^{z}\sigma _{j+1}^{z}+h\sigma _{j}^{z})}$

donde en el lado derecho se indica el campo magnético externo , con condiciones de contorno periódicas . El objetivo es determinar el espectro del hamiltoniano, a partir del cual se puede calcular la función de partición y estudiar la termodinámica del sistema. ${\displaystyle h}$

Es común nombrar el modelo dependiendo de los valores de , y : si , el modelo se llama modelo Heisenberg XYZ; en el caso de , es el modelo Heisenberg XXZ; si , es el modelo Heisenberg XXX. El modelo de Heisenberg de espín 1/2 en una dimensión se puede resolver exactamente usando el ansatz de Bethe . ^{[1] En la formulación algebraica, estos están relacionados con} álgebras afines cuánticas particulares y grupos cuánticos elípticos en los casos XXZ y XYZ respectivamente. ^[2] Otros enfoques lo hacen sin el ansatz de Bethe. ^[3] ${\displaystyle J_{x}}$ ${\displaystyle J_{y}}$ ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle J_{x}\neq J_{y}\neq J_{z}}$ ${\displaystyle J=J_{x}=J_{y}\neq J_{z}=\Delta }$ ${\displaystyle J_{x}=J_{y}=J_{z}=J}$

Modelo XXX

La física del modelo Heisenberg XXX depende en gran medida del signo de la constante de acoplamiento y de la dimensión del espacio. Para positivo el estado fundamental es siempre ferromagnético . Para negativo el estado fundamental es antiferromagnético en dos y tres dimensiones. ^[4] En una dimensión la naturaleza de las correlaciones en el modelo antiferromagnético de Heisenberg depende del espín de los dipolos magnéticos. Si el espín es entero entonces solo está presente el orden de corto alcance . Un sistema de espines semienteros exhibe un orden de cuasi-largo alcance. ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J}$

Una versión simplificada del modelo de Heisenberg es el modelo unidimensional de Ising, donde el campo magnético transversal está en la dirección x y la interacción solo está en la dirección z :

${\displaystyle {\hat {H}}=-J\sum _{j=1}^{N}\sigma _{j}^{z}\sigma _{j+1}^{z}-gJ\sum _{j=1}^{N}\sigma _{j}^{x}}$.

En g pequeño y g grande , la degeneración del estado fundamental es diferente, lo que implica que debe haber una transición de fase cuántica entre ellos. Se puede resolver exactamente para el punto crítico utilizando el análisis de dualidad. ^[5] La transición de dualidad de las matrices de Pauli es y , donde y también son matrices de Pauli que obedecen al álgebra de matrices de Pauli. En condiciones de contorno periódicas, se puede demostrar que el hamiltoniano transformado tiene una forma muy similar: ${\textstyle \sigma _{i}^{z}=\prod _{j\leq i}S_{j}^{x}}$ ${\displaystyle \sigma _{i}^{x}=S_{i}^{z}S_{i+1}^{z}}$ ${\displaystyle S^{x}}$ ${\displaystyle S^{z}}$

${\displaystyle {\hat {H}}=-gJ\sum _{j=1}^{N}S_{j}^{z}S_{j+1}^{z}-J\sum _{j=1}^{N}S_{j}^{x}}$

pero para el término de interacción de espín adjunto. Suponiendo que solo hay un punto crítico, podemos concluir que la transición de fase ocurre en . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g=1}$

Solución de Bethe Ansatz

XXX1/2modelo

Siguiendo el enfoque de Ludwig Faddeev  (1996), el espectro del hamiltoniano para el modelo XXX se puede determinar mediante el ansatz de Bethe. En este contexto, para una familia de operadores adecuadamente definida que depende de un parámetro espectral que actúa sobre el espacio de Hilbert total con cada , un vector de Bethe es un vector de la forma donde . Si satisfacen la ecuación de Bethe , entonces el vector de Bethe es un vector propio de con valor propio . $${\displaystyle H={\frac {1}{4}}\sum _{\alpha ,n}(\sigma _{n}^{\alpha }\sigma _{n+1}^{\alpha }-1)}$$ ${\displaystyle B(\lambda )}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}=\bigotimes _{n=1}^{N}h_{n}}$ ${\displaystyle h_{n}\cong \mathbb {C} ^{2}}$ $${\displaystyle \Phi (\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{m})=B(\lambda _{1})\cdots B(\lambda _{m})v_{0}}$$ ${\displaystyle v_{0}=\bigotimes _{n=1}^{N}|\uparrow \,\rangle }$ ${\displaystyle \lambda _{k}}$ $${\displaystyle \left({\frac {\lambda _{k}+i/2}{\lambda _{k}-i/2}}\right)^{N}=\prod _{j\neq k}{\frac {\lambda _{k}-\lambda _{j}+i}{\lambda _{k}-\lambda _{j}-i}},}$$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle -\sum _{k}{\frac {1}{2}}{\frac {1}{\lambda _{k}^{2}+1/4}}}$

La familia, así como otras tres familias, provienen de una matriz de transferencia (a su vez definida utilizando una matriz Lax ), que actúa sobre junto con un espacio auxiliar , y puede escribirse como una matriz de bloques con entradas en , que satisface relaciones de conmutación fundamentales (FCR) similares en forma a la ecuación de Yang-Baxter utilizada para derivar las ecuaciones de Bethe. Las FCR también muestran que hay una gran subálgebra conmutativa dada por la función generadora , como , por lo que cuando se escribe como un polinomio en , todos los coeficientes conmutan, abarcando una subálgebra conmutativa que es un elemento de . Los vectores de Bethe son, de hecho, vectores propios simultáneos para toda la subálgebra. ${\displaystyle B(\lambda )}$ ${\displaystyle T(\lambda )}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle h_{a}\cong \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle \mathrm {End} ({\mathcal {H}})}$ $${\displaystyle T(\lambda )={\begin{pmatrix}A(\lambda )&B(\lambda )\\C(\lambda )&D(\lambda )\end{pmatrix}},}$$ ${\displaystyle F(\lambda )=\mathrm {tr} _{a}(T(\lambda ))=A(\lambda )+D(\lambda )}$ ${\displaystyle [F(\lambda ),F(\mu )]=0}$ ${\displaystyle F(\lambda )}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle H}$

XXXsmodelo

Para espines más altos, digamos espín , reemplace con proveniente de la representación del álgebra de Lie del álgebra de Lie , de dimensión . El hamiltoniano _XXX se puede resolver mediante el ansatz de Bethe con ecuaciones de Bethe ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \sigma ^{\alpha }}$ ${\displaystyle S^{\alpha }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle 2s+1}$ $${\displaystyle H=\sum _{\alpha ,n}(S_{n}^{\alpha }S_{n+1}^{\alpha }-(S_{n}^{\alpha }S_{n+1}^{\alpha })^{2})}$$ $${\displaystyle \left({\frac {\lambda _{k}+is}{\lambda _{k}-is}}\right)^{N}=\prod _{j\neq k}{\frac {\lambda _{k}-\lambda _{j}+i}{\lambda _{k}-\lambda _{j}-i}}.}$$

XXZsmodelo

Para el giro y un parámetro para la deformación del modelo XXX, la BAE (ecuación de ansatz de Bethe) es Notablemente, porque estos son precisamente los BAE para el modelo de seis vértices , después de identificar , donde es el parámetro de anisotropía del modelo de seis vértices. ^{[6] [7]} Originalmente se pensó que esto era una coincidencia hasta que Baxter demostró que el hamiltoniano XXZ estaba contenido en el álgebra generada por la matriz de transferencia , ^[8] dada exactamente por ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \gamma }$ $${\displaystyle \left({\frac {\sinh(\lambda _{k}+is\gamma )}{\sinh(\lambda _{k}-is\gamma )}}\right)^{N}=\prod _{j\neq k}{\frac {\sinh(\lambda _{k}-\lambda _{j}+i\gamma )}{\sinh(\lambda _{k}-\lambda _{j}-i\gamma )}}.}$$ ${\displaystyle s={\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle \gamma =2\eta }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle T(\nu )}$ $${\displaystyle H_{XXZ_{1/2}}=-i\sin 2\eta {\frac {d}{d\nu }}\log T(\nu ){\Big |}_{\nu =-i\eta }-{\frac {1}{2}}\cos 2\eta 1^{\otimes N}.}$$

Aplicaciones

• Otro objeto importante es la entropía de entrelazamiento . Una forma de describirla es subdividir el estado fundamental único en un bloque (varios giros secuenciales) y el entorno (el resto del estado fundamental). La entropía del bloque puede considerarse como entropía de entrelazamiento. A temperatura cero en la región crítica (límite termodinámico) escala logarítmicamente con el tamaño del bloque. A medida que aumenta la temperatura, la dependencia logarítmica cambia a una función lineal. ^[9] Para temperaturas grandes, la dependencia lineal se deduce de la segunda ley de la termodinámica .
• El modelo de Heisenberg proporciona un ejemplo teórico importante y práctico para aplicar la renormalización de la matriz de densidad .
• El modelo de seis vértices se puede resolver utilizando el ansatz algebraico de Bethe para la cadena de espín de Heisenberg (Baxter 1982).
• El modelo de Hubbard medio lleno en el límite de fuertes interacciones repulsivas se puede mapear en un modelo de Heisenberg que representa la fuerza de la interacción de superintercambio . ${\displaystyle J<0}$
• Los límites del modelo a medida que el espaciado de la red se envía a cero (y se toman varios límites para las variables que aparecen en la teoría) describen teorías de campos integrables, tanto no relativistas como la ecuación de Schrödinger no lineal , como relativistas, como el modelo sigma , el modelo sigma (que también es un modelo quiral principal ) y el modelo seno-Gordon . ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle S^{3}}$
• Cálculo de ciertas funciones de correlación en el límite planar o grande de la teoría supersimétrica de Yang-Mills N = 4 ^[10] ${\displaystyle N}$

Simetría extendida

La integrabilidad se sustenta en la existencia de grandes álgebras de simetría para los diferentes modelos. Para el caso XXX, esta es la Yangiana , mientras que en el caso XXZ es el grupo cuántico , la q-deformación del álgebra de Lie afín de , como se explica en las notas de Faddeev (1996). ${\displaystyle Y({\mathfrak {sl}}_{2})}$ ${\displaystyle {\hat {{\mathfrak {sl}}_{q}(2)}}}$ ${\displaystyle {\hat {{\mathfrak {sl}}_{2}}}}$

Estos aparecen a través de la matriz de transferencia, y la condición de que los vectores de Bethe se generen a partir de un estado que satisface corresponde a que las soluciones sean parte de una representación de mayor peso de las álgebras de simetría extendidas. ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle C(\lambda )\cdot \Omega =0}$

Véase también

• Modelo clásico de Heisenberg
• DMRG del modelo de Heisenberg
• Modelo de rotor cuántico
• modelo tJ
• Modelo J1 J2
• Modelo Majumdar-Ghosh
• Modelo AKLT
• Interacción de intercambio multipolar

Referencias

• RJ Baxter, Modelos resueltos con exactitud en mecánica estadística , Londres, Academic Press, 1982
• Heisenberg, W. (1 de septiembre de 1928). "Zur Theorie des Ferromagnetismus" [Sobre la teoría del ferromagnetismo]. Zeitschrift für Physik (en alemán). 49 (9): 619–636. Código Bib : 1928ZPhy...49..619H. doi :10.1007/BF01328601. S2CID  122524239.
• Bethe, H. (1 de marzo de 1931). "Zur Theorie der Metalle" [Sobre la teoría de los metales]. Zeitschrift für Physik (en alemán). 71 (3): 205–226. Código bibliográfico : 1931ZPhy...71..205B. doi :10.1007/BF01341708. S2CID  124225487.

Notas

1. Bonechi, F; Celeghini, E; Giachetti, R; Sorace, E; Tarlini, M (7 de agosto de 1992). "Modelo Heisenberg XXZ y grupo cuántico Galilei". Revista de Física A: Matemática y General . 25 (15): L939–L943. arXiv : hep-th/9204054 . Código Bib : 1992JPhA...25L.939B. doi :10.1088/0305-4470/25/15/007. S2CID  119046025.
2. Faddeev, LD (26 de mayo de 1996). "Cómo funciona el Ansatz Bethe algebraico para un modelo integrable". arXiv : hep-th/9605187v1 .
3. Rojas, Onofre; Souza, SM de; Corrêa Silva, EV; Thomaz, MT (diciembre de 2001). "Termodinámica de los casos límite del modelo XXZ sin ansatz de Bethe". Revista Brasileña de Física . 31 (4): 577–582. Bibcode :2001BrJPh..31..577R. doi : 10.1590/s0103-97332001000400008 .
4. Tom Kennedy; Bruno Nachtergaele. "El modelo de Heisenberg: una bibliografía" . Consultado el 6 de junio de 2019 .
5. Fisher, Matthew PA (2004). "Dualidad en teorías cuánticas de campos de baja dimensión". Interacciones fuertes en bajas dimensiones . Física y química de materiales de baja dimensión. Vol. 25. págs. 419–438. doi :10.1007/978-1-4020-3463-3_13. ISBN 978-1-4020-1798-8.
6. Lieb, Elliott H. (24 de abril de 1967). "Solución exacta del problema de la entropía del hielo bidimensional". Physical Review Letters . 18 (17): 692–694. Código Bibliográfico :1967PhRvL..18..692L. doi :10.1103/PhysRevLett.18.692.
7. Dorey, Patrick; Dunning, Clare; Tateo, Roberto (10 de agosto de 2007). "La correspondencia ODE/IM". Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical . 40 (32): R205–R283. doi :10.1088/1751-8113/40/32/R01. ISSN  1751-8113. S2CID  14281617.
8. Baxter, Rodney J (1 de abril de 1972). "Cadena de Heisenberg anisotrópica unidimensional". Anales de Física . 70 (2): 323–337. Código Bibliográfico :1972AnPhy..70..323B. doi :10.1016/0003-4916(72)90270-9. ISSN  0003-4916.
9. Korepin, VE (5 de marzo de 2004). "Universalidad del escalamiento de entropía en modelos unidimensionales sin brechas". Physical Review Letters . 92 (9): 096402. arXiv : cond-mat/0311056 . Código Bibliográfico :2004PhRvL..92i6402K. doi :10.1103/PhysRevLett.92.096402. PMID  15089496. S2CID  20620724.
10. Beisert, Niklas (1 de diciembre de 2004). "El operador de dilatación de la teoría de super Yang–Mills N=4 y su integrabilidad". Physics Reports . 405 (1): 1–202. arXiv : hep-th/0407277 . Bibcode :2004PhR...405....1B. doi :10.1016/j.physrep.2004.09.007. S2CID  118949332.