Teoremas de Sylow

En matemáticas, específicamente en el campo de la teoría de grupos finitos , los teoremas de Sylow son una colección de teoremas que llevan el nombre del matemático noruego Peter Ludwig Sylow ^[1] y que brindan información detallada sobre el número de subgrupos de orden fijo que contiene un grupo finito determinado . Los teoremas de Sylow forman parte fundamental de la teoría de grupos finitos y tienen aplicaciones muy importantes en la clasificación de grupos finitos simples .

Para un número primo , un subgrupo p de Sylow (a veces subgrupo p -Sylow ) de un grupo es un subgrupo máximo de , es decir, un subgrupo de eso es un grupo p (lo que significa que su cardinalidad es una potencia de o equivalentemente, el El orden de cada elemento del grupo es una potencia de ) que no es un subgrupo propio de ningún otro subgrupo de . A veces se escribe el conjunto de todos los subgrupos de Sylow para un primo dado . $p$ $G$ $p$ $G$ $G$ $p,$ $p$ $p$ $G$ $p$ $p$ ${\text{Syl}}_{p}(G)$

Los teoremas de Sylow afirman una inversa parcial del teorema de Lagrange . El teorema de Lagrange establece que para cualquier grupo finito el orden (número de elementos) de cada subgrupo de divide el orden de . Los teoremas de Sylow establecen que para cada factor primo del orden de un grupo finito , existe un subgrupo de Sylow de orden , la potencia más alta de que divide el orden de . Además, cada subgrupo de orden es un subgrupo de Sylow de , y los subgrupos de Sylow de un grupo (para un primo dado ) están conjugados entre sí. Además, el número de subgrupos de Sylow de un grupo para un primo dado es congruente con 1 (mod ). $G$ $G$ $G$ $p$ $G$ $p$ $G$ $p^{n}$ $p$ $G$ $p^{n}$ $p$ $G$ $p$ $p$ $p$ $p$ $p$

Teoremas

Motivación

Los teoremas de Sylow son una declaración poderosa sobre la estructura de los grupos en general, pero también son poderosas en aplicaciones de la teoría de grupos finitos. Esto se debe a que brindan un método para utilizar la descomposición prima de la cardinalidad de un grupo finito para dar afirmaciones sobre la estructura de sus subgrupos: esencialmente, brindan una técnica para transportar información básica de la teoría de números sobre un grupo a su estructura de grupo. A partir de esta observación, clasificar grupos finitos se convierte en un juego de encontrar qué combinaciones/construcciones de grupos de orden menor se pueden aplicar para construir un grupo. Por ejemplo, una aplicación típica de estos teoremas es la clasificación de grupos finitos de alguna cardinalidad fija, por ejemplo . ^[2] $G$ $|G|=60$

Declaración

Las colecciones de subgrupos que son máximos en un sentido u otro son comunes en la teoría de grupos. El resultado sorprendente aquí es que en el caso de , todos los miembros son en realidad isomorfos entre sí y tienen el mayor orden posible: si con donde $p$ no divide $a m$ , entonces cada $p$ -subgrupo $P$ de Sylow tiene orden . Es decir, $P$ es un grupo $p$ y . Estas propiedades pueden explotarse para analizar más a fondo la estructura de $G.$ $\operatorname {Syl} _{p}(G)$ $|G|=p^{n}m$ $n>0$ $|P|=p^{n}$ ${\text{gcd}}(|G:P|,p)=1$

Los siguientes teoremas fueron propuestos y demostrados por primera vez por Ludwig Sylow en 1872 y publicados en Mathematische Annalen .

Teorema (1) : para cada factor primo $p$ con multiplicidad $n$ del orden de un grupo finito $G$ , existe un subgrupo p de Sylow de $G$ , de orden . $p^{n}$

La siguiente versión más débil del teorema 1 fue demostrada por primera vez por Augustin-Louis Cauchy y se conoce como teorema de Cauchy .

Corolario : dado un grupo finito $G$ y un número primo $p$ que divide el orden de $G$ , entonces existe un elemento (y por lo tanto un subgrupo cíclico generado por este elemento) de orden $p$ en $G.$ ^[3]

Teorema (2) : dado un grupo finito $G$ y un número primo $p$ , todos $los p$ -subgrupos de Sylow de $G$ son conjugados entre sí. Es decir, si $H$ y $K$ son $p$ -subgrupos de Sylow de $G$ , entonces existe un elemento con . $g\in G$ $g^{-1}Hg=K$

Teorema (3) : Sea $p$ un factor primo con multiplicidad $n$ del orden de un grupo finito $G$ , de modo que el orden de $G$ pueda escribirse como , donde y $p$ no divide $a m$ . Sea el número de $p$ -subgrupos de Sylow de $G$ . Entonces se mantiene lo siguiente: $p^{n}m$ $n>0$ $n_{p}$

$n_{p}$ divide $m$ , que es el índice del subgrupo $p$ de Sylow en $G$ .
$n_{p}\equiv 1{\bmod {p}}$
$n_{p}=|G:N_{G}(P)|$ , donde $P$ es cualquier $p$ -subgrupo de Sylow de $G$ y denota el normalizador . $N_{G}$

Consecuencias

Los teoremas de Sylow implican que para un número primo cada subgrupo de Sylow es del mismo orden . Por el contrario, si un subgrupo tiene orden , entonces es un subgrupo de Sylow y, por lo tanto, está conjugado con todos los demás subgrupos de Sylow. Debido a la condición de maximalidad, si hay algún subgrupo de , entonces es un subgrupo de un subgrupo de orden . $p$ $p$ $p^{n}$ $p^{n}$ $p$ $p$ $H$ $p$ $G$ $H$ $p$ $p^{n}$

Una consecuencia muy importante del teorema 2 es que la condición es equivalente a la condición de que el subgrupo de Sylow sea un subgrupo normal . Sin embargo, hay grupos que tienen subgrupos normales pero no subgrupos normales de Sylow, como . $n_{p}=1$ $p$ $G$ $S_{4}$

Teoremas de Sylow para grupos infinitos

Existe un análogo de los teoremas de Sylow para grupos infinitos. Se define un $p$ -subgrupo de Sylow en un grupo infinito como un p -subgrupo (es decir, cada elemento en él tiene $p$ -orden de potencia) que es máximo para su inclusión entre todos $los p$ -subgrupos del grupo. Denotemos el conjunto de conjugados de un subgrupo . $\operatorname {Cl} (K)$ $K\subset G$

Teorema : si $K$ es un subgrupo $p de Sylow de$ $G$ y es finito, entonces cada subgrupo $p$ de Sylow es conjugado con $K$ y . $n_{p}=|\operatorname {Cl} (K)|$ $n_{p}\equiv 1{\bmod {p}}$

Ejemplos

Una ilustración sencilla de los subgrupos de Sylow y los teoremas de Sylow es el grupo diédrico del n -gon, D _{2 n} . Para n impar, 2 = 2 ¹ es la potencia más alta de 2 que divide el orden y, por tanto, los subgrupos de orden 2 son subgrupos de Sylow. Estos son los grupos generados por una reflexión, de los cuales hay n , y todos son conjugados bajo rotaciones; geométricamente los ejes de simetría pasan por un vértice y un lado.

Por el contrario, si n es par, entonces 4 divide el orden del grupo, y los subgrupos de orden 2 ya no son subgrupos de Sylow, y de hecho caen en dos clases de conjugación, geométricamente según pasen por dos vértices o por dos. caras. Estos están relacionados por un automorfismo externo , que puede representarse mediante una rotación a través de π/ n , la mitad de la rotación mínima en el grupo diédrico.

Otro ejemplo son los p-subgrupos de Sylow de GL ₂ ( F _q ), donde p y q son primos ≥ 3 y $p \equiv 1 (mod q)$ , que son todos abelianos . El orden de GL ₂ ( F _q ) es $(q 2 - 1)(q 2 - q) = (q)(q + 1)(q - 1) 2$ . Dado que $q = p n m + 1$ , el orden de $GL 2 (F q) = p 2 n m'$ . Así, según el teorema 1, el orden de los p -subgrupos de Sylow es p ^{2 n} .

Uno de esos subgrupos P es el conjunto de matrices diagonales , x es cualquier raíz primitiva de F _q . Dado que el orden de F _q es $q$ $- 1$ , sus raíces primitivas tienen orden q − 1, lo que implica que $x$ $($ $q$ $- 1)/$ $p$ $n$ o x ^m y todas sus potencias tienen un orden que es una potencia de p . Entonces, P es un subgrupo donde todos sus elementos tienen órdenes que son potencias de p . Hay p ⁿ opciones tanto para a como para b , lo que hace $|$ $P$ $| =$ $pag$ $2$ $norte$ . Esto significa que P es un subgrupo p de Sylow , que es abeliano, ya que todas las matrices diagonales conmutan, y debido a que el Teorema 2 establece que todos los subgrupos p de Sylow son conjugados entre sí, los subgrupos p de Sylow de GL ₂ ( F _q ) son todo abeliano. ${\begin{bmatrix}x^{im}&0\\0&x^{jm}\end{bmatrix}}$

Aplicaciones de ejemplo

Dado que el teorema de Sylow garantiza la existencia de p-subgrupos de un grupo finito, vale la pena estudiar más de cerca los grupos de orden de potencias primarias. La mayoría de los ejemplos utilizan el teorema de Sylow para demostrar que un grupo de un orden particular no es simple . Para grupos de orden pequeño, la condición de congruencia del teorema de Sylow suele ser suficiente para forzar la existencia de un subgrupo normal .

Ejemplo 1: Grupos de orden pq , p y q primos con p < q .
Ejemplo-2: Grupo de orden 30, grupos de orden 20, grupos de orden p ²q , p y q primos distintos son algunas de las aplicaciones.
Ejemplo-3: (Grupos de orden 60): Si el pedido | GRAMO | = 60 y G tiene más de un subgrupo 5 de Sylow, entonces G es simple.

Órdenes de grupo cíclicas

Algunos números no primos n son tales que todo grupo de orden n es cíclico. Se puede demostrar que n = 15 es tal número usando los teoremas de Sylow: Sea G un grupo de orden 15 = 3 · 5 y n ₃ sea el número de 3 subgrupos de Sylow. Entonces n ₃ 5 yn 3 _≡ 1 (mod 3). El único valor que satisface estas restricciones es 1; por lo tanto, solo hay un subgrupo de orden 3 y debe ser normal (ya que no tiene conjugados distintos). De manera similar, n ₅ debe dividir a 3 y n ₅ debe ser igual a 1 (mod 5); por lo tanto, también debe tener un único subgrupo normal de orden 5. Dado que 3 y 5 son coprimos , la intersección de estos dos subgrupos es trivial, por lo que G debe ser el producto directo interno de los grupos de orden 3 y 5, es decir, el cíclico . grupo de orden 15. Por tanto, solo hay un grupo de orden 15 ( hasta isomorfismo). $\mid$

Los grupos pequeños no son simples

Un ejemplo más complejo involucra el orden del grupo simple más pequeño que no es cíclico . El teorema p a q b de Burnside establece que si el orden de un grupo es el producto de una o dos potencias primas , entonces es resoluble , por lo que el grupo no es simple, o es de orden primo y es cíclico. Esto descarta todos los grupos hasta el orden 30 (= 2 · 3 · 5) .

Si G es simple y | GRAMO | = 30, entonces n ₃ debe dividir 10 ( = 2 · 5), y n ₃ debe ser igual a 1 (mod 3). Por lo tanto, n ₃ = 10, ya que ni 4 ni 7 dividen a 10, y si n ₃ = 1 entonces, como arriba, G tendría un subgrupo normal de orden 3 y no podría ser simple. G entonces tiene 10 subgrupos cíclicos distintos de orden 3, cada uno de los cuales tiene 2 elementos de orden 3 (más la identidad). Esto significa que G tiene al menos 20 elementos distintos de orden 3.

Además, n ₅ = 6, ya que n ₅ debe dividir a 6 ( = 2 · 3), y n ₅ debe ser igual a 1 (mod 5). Entonces G también tiene 24 elementos distintos de orden 5. Pero el orden de G es sólo 30, por lo que no puede existir un grupo simple de orden 30.

A continuación, supongamos | GRAMO | = 42 = 2 · 3 · 7. Aquí n ₇ debe dividir a 6 ( = 2 · 3) y n ₇ debe ser igual a 1 (mod 7), por lo que n ₇ = 1. Entonces, como antes, G no puede ser simple.

Por otro lado, para | GRAMO | = 60 = 2 ² · 3 · 5, entonces n ₃ = 10 y n ₅ = 6 es perfectamente posible. Y, de hecho, el grupo no cíclico simple más pequeño es A ₅ , el grupo alterno de 5 elementos. Tiene orden 60 y tiene 24 permutaciones cíclicas de orden 5 y 20 de orden 3.

teorema de wilson

Parte del teorema de Wilson establece que

(p-1)!\equiv -1{\pmod {p}}

para cada primo p . Se puede demostrar fácilmente este teorema mediante el tercer teorema de Sylow. De hecho, observe que el número n _p de p -subgrupos de Sylow en el grupo simétrico S _p es1/pag -1veces el número de p-ciclos en S _p , es decir. $(pags - 2)!$ . Por otro lado, $n p \equiv 1 (mod p)$ . Por lo tanto, $(p - 2)! \equiv 1 (mod p)$ . Entonces, $(pags - 1)! \equiv -1 (mod p)$ .

Resultados de la fusión

El argumento de Frattini muestra que un subgrupo de Sylow de un subgrupo normal proporciona una factorización de un grupo finito. Una ligera generalización conocida como teorema de fusión de Burnside establece que si G es un grupo finito con p -subgrupo P de Sylow y dos subconjuntos A y B normalizados por P , entonces A y B son G -conjugados si y sólo si son N _G ( P )-conjugado. La prueba es una aplicación simple del teorema de Sylow: si B = Ag , entonces el normalizador de ^B contiene no sólo P sino también ^Pg ( ya que ^Pg está contenido en el normalizador de ^Ag ) . Según el teorema de Sylow, ^{P y Pg} están conjugados no sólo en G , sino también en el normalizador de B. Por lo tanto, gh ⁻¹ normaliza P para alguna h que normaliza B , y luego A ^{gh ⁻¹} = B ^{h ⁻¹} = B , de modo que A y B son conjugados N _G ( P ). El teorema de fusión de Burnside se puede utilizar para dar una factorización más poderosa llamada producto semidirecto : si G es un grupo finito cuyo p -subgrupo P de Sylow está contenido en el centro de su normalizador, entonces G tiene un subgrupo normal K de orden coprimo a P. , G = PK y P ∩ K = {1}, es decir, G es p -nilpotente .

Aplicaciones menos triviales de los teoremas de Sylow incluyen el teorema del subgrupo focal , que estudia el control que tiene un subgrupo p de Sylow del subgrupo derivado sobre la estructura de todo el grupo. Este control se explota en varias etapas de la clasificación de grupos finitos simples y, por ejemplo, define las divisiones de casos utilizadas en el teorema de Alperin-Brauer-Gorenstein que clasifica grupos finitos simples cuyo subgrupo Sylow 2 es un grupo cuasi diédrico . Estos se basan en el fortalecimiento de JL Alperin de la parte de conjugación del teorema de Sylow para controlar qué tipos de elementos se utilizan en la conjugación.

Prueba de los teoremas de Sylow

Los teoremas de Sylow se han demostrado de diversas maneras, y la historia de las demostraciones mismas es el tema de muchos artículos, incluidos Waterhouse, ^[4] Scharlau, ^[5] Casadio y Zappa, ^[6] Gow, ^[7] y hasta cierto punto Meo. ^[8]

Una prueba de los teoremas de Sylow explota la noción de acción grupal de diversas formas creativas. El grupo $G$ actúa sobre sí mismo o sobre el conjunto de sus p -subgrupos de diversas maneras, y cada una de esas acciones puede aprovecharse para demostrar uno de los teoremas de Sylow. Las siguientes pruebas se basan en argumentos combinatorios de Wielandt. ^[9] A continuación, utilizamos la notación para "a divide a b" y para la negación de esta afirmación. $a\mid b$ $a\nmid b$

Teorema (1) : un grupo finito G cuyo orden es divisible por una potencia prima p ^k tiene un subgrupo de orden p ^k . $|G|$

Prueba

Deja $| GRAMO | = p k m = p k + r u$ tal que , y sea Ω el conjunto de subconjuntos de $G$ de tamaño p ^k . $G$ actúa sobre Ω mediante multiplicación por la izquierda: para $g$ $\in$ $G$ y $ω$ $\in Ω$ , $g$ $\cdot$ $ω$ $= {$ $g$ $x$ $|$ $x$ $\in$ $ω$ $}$ . Para un conjunto dado $ω$ $\in Ω$ , escriba G _ω para su subgrupo estabilizador ${$ $g$ $\in$ $G$ $|$ $g$ $\cdot$ $ω$ $=$ $ω$ $}$ y G ω para su órbita ${$ $g$ $\cdot$ $ω$ $|$ $g$ $\in$ $G$ $}$ en Ω. $p\nmid u$

La prueba mostrará la existencia de algunos $ω \in Ω$ para los cuales $G$ _$ω$ tiene p ^k elementos, proporcionando el subgrupo deseado. Este es el tamaño máximo posible de un subgrupo estabilizador $G$ _$ω$ , ya que para cualquier elemento fijo $α \in ω \subseteq G$ , la clase lateral derecha $G$ _$ω$ $α$ está contenida en $ω$ ; por lo tanto, $| GRAMO ω | = | GRAMO ω α | \leq | ω | = pag k$ .

|\Omega |={p^{k}m \choose p^{k}}=\prod _{j=0}^{p^{k}-1}{\frac {p^{k}m-j}{p^{k}-j}}=m\prod _{j=1}^{p^{k}-1}{\frac {p^{k-\nu _{p}(j)}m-j/p^{\nu _{p}(j)}}{p^{k-\nu _{p}(j)}-j/p^{\nu _{p}(j)}}}

y no queda ninguna potencia de p en ninguno de los factores dentro del producto de la derecha. Por lo tanto $ν p (| Ω |) = ν p (m) = r$ , completando la prueba.

Cabe señalar que, a la inversa, cada subgrupo H de orden p ^k da lugar a conjuntos $ω \in Ω$ para los cuales G _ω = H , es decir, cualquiera de las m clases laterales distintas Hg .

Lema : Sea $H$ un grupo $p$ finito , sea Ω un conjunto finito sobre el que actúa $H$ y sea Ω ₀ el conjunto de puntos de Ω que se fijan bajo la acción de $H.$ Entonces $| Ω | \equiv | Ω 0 | (mod p)$ .

Prueba

Teorema (2) : si H es un subgrupo p de $G$ y P es un subgrupo p de Sylow de $G$ , entonces existe un elemento g en $G$ tal que g ⁻¹Hg ≤ P. En particular, todos los p -subgrupos de Sylow de $G$ son conjugados entre sí (y por lo tanto isomórficos ), es decir, si H y K son p -subgrupos de Sylow de $G$ , entonces existe un elemento g en $G$ con g ⁻¹Hg = K.

Prueba

Sea Ω el conjunto de clases laterales izquierdas de P en $G$ y deje que H actúe sobre Ω mediante multiplicación por la izquierda. Aplicando el Lema a H sobre Ω, vemos que $| Ω 0 | \equiv | Ω | = [GRAMO : P] (mod p)$ . Ahora bien, por definición es así , por lo tanto, en particular $|$ $Ω$ $0$ $| \neq 0$ entonces existe algo de $gP$ $\in Ω$ $0$ . Con este gP , tenemos hgP = gP para todo $h$ $\in$ $H$ , entonces g ⁻¹HgP = P y por lo tanto g ⁻¹Hg ≤ P. Además, si H es un subgrupo p de Sylow , entonces $|$ $gramo$ $-1$ $Hg$ $| = |$ $H$ $| = |$ $P$ $|$ de modo que g ⁻¹Hg = P . $p\nmid [G:P]$ $p\nmid |\Omega _{0}|$

Teorema (3) : Sea q el orden de cualquier p -subgrupo P de Sylow de un grupo finito G. Sea n _p el número de subgrupos p de Sylow de G . Entonces (a) $n p = [G : N G (P)]$ (donde NG ( _P ) es el normalizador de P ), (b) $n p$ divide $| G |/ q$ , y (c) $n p \equiv 1 (mod p)$ .

Prueba

Sea Ω el conjunto de todos los p -subgrupos de Sylow de $G$ y dejemos que $G$ actúe sobre Ω por conjugación. Sea $P \in Ω$ un subgrupo p de Sylow . Según el teorema 2, la órbita de P tiene un tamaño n _p , por lo que según el teorema del estabilizador de órbita $n p = [G : G P]$ . Para esta acción grupal, el estabilizador $G$ _P viene dado por ${g \in G | gPg -1 = P} = N G (P)$ , el normalizador de P en G . Así, $n p = [G : N G (P)]$ , y se deduce que este número es divisor de $[G : P] = | G |/ q$ .

Ahora dejemos que P actúe sobre Ω por conjugación, y nuevamente denotemos por Ω ₀ el conjunto de puntos fijos de esta acción. Sea $Q \in Ω 0$ y observe que entonces $Q = xQx -1$ para todo $x \in P$ de modo que P ≤ N _G ( Q ). Según el teorema 2, P y Q son conjugados en N _G ( Q ) en particular, y Q es normal en N _G ( Q ), entonces P = Q . Se deduce que Ω ₀ = { P } de modo que, según el Lema, $| Ω | \equiv | Ω 0 | = 1 (mod p)$ .

Algoritmos

El problema de encontrar un subgrupo de Sylow de un grupo dado es un problema importante en la teoría computacional de grupos .

Una prueba de la existencia de p -subgrupos de Sylow es constructiva: si H es un p -subgrupo de G y el índice [ G : H ] es divisible por p , entonces el normalizador N = N _G ( H ) de H en G es también tal que [ N : H ] es divisible por p . En otras palabras, se puede encontrar un sistema generador policíclico de un subgrupo p de Sylow partiendo de cualquier subgrupo H ( incluida la identidad) y tomando elementos de orden de potencia p contenidos en el normalizador de H pero no en H mismo. La versión algorítmica de esto (y muchas mejoras) se describe en forma de libro de texto en Butler, ^[10], incluido el algoritmo descrito en Cannon. ^[11] Estas versiones todavía se utilizan en el sistema de álgebra informática GAP .

En grupos de permutación , se ha demostrado, en Kantor ^[12]^[13]^[14] y Kantor y Taylor, ^[15] que un subgrupo p de Sylow y su normalizador se pueden encontrar en el tiempo polinomial de la entrada (el grado de el grupo multiplica el número de generadores). Estos algoritmos se describen en forma de libro de texto en Seress, ^[16] y ahora se están volviendo prácticos a medida que el reconocimiento constructivo de grupos finitos simples se hace realidad. En particular, se utilizan versiones de este algoritmo en el sistema de álgebra informática Magma .

Ver también

Notas

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^ Yo 2004.
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^ Kantor 1985a.
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^ Kantor 1990.
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Referencias

Pruebas

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Algoritmos

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enlaces externos

"Teoremas de Sylow", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
Álgebra abstracta / Teoría de grupos / Los teoremas de Sylow en Wikilibros
Weisstein, Eric W. "Subgrupo p de Sylow". MundoMatemático .
Weisstein, Eric W. "Teoremas de Sylow". MundoMatemático .