En ciencia , una ley del cuadrado inverso es cualquier ley científica que establezca que la "intensidad" observada de una cantidad física específica es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia desde la fuente de esa cantidad física. La causa fundamental de esto puede entenderse como la dilución geométrica correspondiente a la radiación puntual en el espacio tridimensional.
La energía del radar se expande tanto durante la transmisión de la señal como durante el retorno reflejado , por lo que el cuadrado inverso para ambos caminos significa que el radar recibirá energía de acuerdo con la cuarta potencia inversa del rango.
Para evitar la dilución de energía mientras se propaga una señal, se pueden utilizar ciertos métodos, como una guía de ondas , que actúa como lo hace un canal para el agua, o cómo el cañón de una pistola restringe la expansión del gas caliente a una dimensión para evitar la pérdida de transferencia de energía a una bala .
En notación matemática, la ley del cuadrado inverso se puede expresar como una intensidad (I) que varía en función de la distancia (d) desde algún centro. La intensidad es proporcional (ver ∝ ) al recíproco del cuadrado de la distancia así:
También se puede expresar matemáticamente como:
o como la formulación de una cantidad constante:
La divergencia de un campo vectorial que es resultante de campos radiales de ley del cuadrado inverso con respecto a una o más fuentes es proporcional a la intensidad de las fuentes locales y, por tanto, cero fuentes externas. La ley de gravitación universal de Newton sigue una ley del cuadrado inverso, al igual que los efectos de los fenómenos eléctricos , luminosos , sonoros y de radiación .
La ley del cuadrado inverso generalmente se aplica cuando alguna fuerza, energía u otra cantidad conservada se irradia uniformemente hacia afuera desde una fuente puntual en un espacio tridimensional . Dado que el área de superficie de una esfera (que es 4π r 2 ) es proporcional al cuadrado del radio, a medida que la radiación emitida se aleja de la fuente, se distribuye sobre un área que aumenta en proporción al cuadrado del distancia de la fuente. Por lo tanto, la intensidad de la radiación que pasa a través de cualquier unidad de área (directamente orientada hacia la fuente puntual) es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia desde la fuente puntual. La ley de Gauss para la gravedad es aplicable de manera similar y puede usarse con cualquier cantidad física que actúe de acuerdo con la relación del cuadrado inverso.
La gravitación es la atracción entre objetos que tienen masa. La ley de Newton establece:
La fuerza de atracción gravitacional entre dos masas puntuales es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de su distancia de separación. La fuerza es siempre atractiva y actúa a lo largo de la línea que los une. [ cita necesaria ]
Si la distribución de la materia en cada cuerpo es esféricamente simétrica, entonces los objetos pueden tratarse como masas puntuales sin aproximación, como se muestra en el teorema de la capa . De lo contrario, si queremos calcular la atracción entre cuerpos masivos, necesitamos sumar todas las fuerzas de atracción punto a punto vectorialmente y la atracción neta podría no ser el cuadrado inverso exacto. Sin embargo, si la separación entre los cuerpos masivos es mucho mayor en comparación con sus tamaños, entonces, como buena aproximación, es razonable tratar las masas como una masa puntual ubicada en el centro de masa del objeto al calcular la fuerza gravitacional.
Como ley de la gravitación, esta ley fue sugerida en 1645 por Ismaël Bullialdus . Pero Bullialdus no aceptó la segunda y tercera leyes de Kepler , ni apreció la solución de Christiaan Huygens para el movimiento circular (movimiento en línea recta desviado por la fuerza central). De hecho, Bullialdus sostuvo que la fuerza del sol era atractiva en el afelio y repulsiva en el perihelio. Robert Hooke y Giovanni Alfonso Borelli expusieron la gravitación en 1666 como una fuerza de atracción. [1] La conferencia de Hooke "Sobre la gravedad" tuvo lugar en la Royal Society, en Londres, el 21 de marzo. [2] La "Teoría de los planetas" de Borelli se publicó más tarde en 1666. [3] La conferencia de Hooke en Gresham en 1670 explicó que la gravitación se aplicaba a "todos los cuerpos celestes" y añadió los principios de que el poder gravitatorio disminuye con la distancia y que en ausencia de Cualquiera de estos cuerpos de energía se mueve en línea recta. En 1679, Hooke pensaba que la gravitación tenía una dependencia del cuadrado inverso y se lo comunicó en una carta a Isaac Newton : [4] mi suposición es que la atracción siempre es en proporción duplicada a la distancia recíproca desde el centro . [5]
Hooke seguía amargado porque Newton afirmaba haber inventado este principio, a pesar de que los Principia de Newton de 1686 reconocían que Hooke, junto con Wren y Halley, habían apreciado por separado la ley del cuadrado inverso en el sistema solar, [6] además de darle cierto crédito a Bullialdus. . [7]
La fuerza de atracción o repulsión entre dos partículas cargadas eléctricamente, además de ser directamente proporcional al producto de las cargas eléctricas, es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas; esto se conoce como ley de Coulomb . La desviación del exponente de 2 es menor que una parte en 10 15 . [8]
La intensidad (o iluminancia o irradiancia ) de la luz u otras ondas lineales que irradian desde una fuente puntual (energía por unidad de área perpendicular a la fuente) es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia desde la fuente, por lo que un objeto (del mismo tamaño) dos veces más lejos recibe sólo una cuarta parte de la energía (en el mismo período de tiempo).
De manera más general, la irradiancia, es decir, la intensidad (o potencia por unidad de área en la dirección de propagación ), de un frente de onda esférico varía inversamente con el cuadrado de la distancia desde la fuente (suponiendo que no haya pérdidas causadas por absorción o dispersión ). .
Por ejemplo, la intensidad de la radiación del Sol es de 9126 vatios por metro cuadrado a la distancia de Mercurio (0,387 AU ); pero sólo 1367 vatios por metro cuadrado a la distancia de la Tierra (1 AU): un aumento aproximado de tres veces en la distancia da como resultado una disminución aproximada de nueve veces en la intensidad de la radiación.
Para radiadores no isotrópicos como antenas parabólicas , faros y láseres , el origen efectivo se encuentra muy detrás de la apertura del haz. Si estás cerca del origen, no tienes que ir muy lejos para duplicar el radio, por lo que la señal cae rápidamente. Cuando estás lejos del origen y todavía tienes una señal fuerte, como con un láser, tienes que viajar muy lejos para duplicar el radio y reducir la señal. Esto significa que tiene una señal más fuerte o una ganancia de antena en la dirección del haz estrecho en relación con un haz ancho en todas las direcciones de una antena isotrópica .
En fotografía e iluminación escénica , la ley del cuadrado inverso se utiliza para determinar la "caída" o la diferencia en la iluminación de un sujeto a medida que se acerca o se aleja de la fuente de luz. Para aproximaciones rápidas, basta recordar que duplicar la distancia reduce la iluminación a una cuarta parte; [9] o de manera similar, para reducir a la mitad la iluminación, aumente la distancia en un factor de 1,4 (la raíz cuadrada de 2 ), y para duplicar la iluminación, reduzca la distancia a 0,7 (la raíz cuadrada de 1/2). Cuando el iluminante no es una fuente puntual, la regla del cuadrado inverso sigue siendo a menudo una aproximación útil; cuando el tamaño de la fuente de luz es inferior a una quinta parte de la distancia al sujeto, el error de cálculo es inferior al 1%. [10]
La reducción fraccionaria de la fluencia electromagnética (Φ) para la radiación ionizante indirecta al aumentar la distancia desde una fuente puntual se puede calcular utilizando la ley del cuadrado inverso. Dado que las emisiones de una fuente puntual tienen direcciones radiales, se interceptan con una incidencia perpendicular. El área de dicha capa es 4π r 2 donde r es la distancia radial desde el centro. La ley es particularmente importante en la radiografía de diagnóstico y la planificación del tratamiento de radioterapia , aunque esta proporcionalidad no se cumple en situaciones prácticas a menos que las dimensiones de la fuente sean mucho más pequeñas que la distancia. Como dice la teoría del calor de Fourier “como la fuente puntual se magnifica por distancias, su radiación se diluye proporcionalmente al seno del ángulo, del arco de circunferencia creciente desde el punto de origen”.
Sea P la potencia total radiada desde una fuente puntual (por ejemplo, un radiador isotrópico omnidireccional ). A grandes distancias de la fuente (en comparación con el tamaño de la fuente), esta potencia se distribuye sobre superficies esféricas cada vez más grandes a medida que aumenta la distancia desde la fuente. Dado que el área de superficie de una esfera de radio r es A = 4 πr 2 , la intensidad I (potencia por unidad de área) de la radiación a una distancia r es
La energía o intensidad disminuye (dividida por 4) a medida que se duplica la distancia r ; si se mide en dB disminuiría en 6,02 dB por cada duplicación de la distancia. Cuando se hace referencia a mediciones de cantidades de potencia, una relación se puede expresar como un nivel en decibeles evaluando diez veces el logaritmo de base 10 de la relación entre la cantidad medida y el valor de referencia.
En acústica , la presión sonora de un frente de onda esférico que irradia desde una fuente puntual disminuye en un 50% a medida que se duplica la distancia r ; medida en dB , la disminución sigue siendo de 6,02 dB, ya que dB representa una relación de intensidad. La relación de presión (a diferencia de la relación de potencia) no es inversa al cuadrado, sino inversamente proporcional (ley de la distancia inversa):
Lo mismo ocurre con el componente de la velocidad de las partículas que está en fase con la presión sonora instantánea :
En el campo cercano hay un componente de cuadratura de la velocidad de la partícula que está desfasado 90° con la presión del sonido y no contribuye a la energía promediada en el tiempo ni a la intensidad del sonido. La intensidad del sonido es el producto de la presión del sonido RMS y el componente en fase de la velocidad de la partícula RMS, los cuales son inversamente proporcionales. En consecuencia, la intensidad sigue un comportamiento de cuadrado inverso:
Para un campo vectorial irrotacional en un espacio tridimensional, la ley del inverso del cuadrado corresponde a la propiedad de que la divergencia es cero fuera de la fuente. Esto se puede generalizar a dimensiones superiores. Generalmente, para un campo vectorial irrotacional en un espacio euclidiano de n dimensiones , la intensidad "I" del campo vectorial cae con la distancia "r" siguiendo la ley de potencia inversa ( n − 1).
dado que el espacio fuera de la fuente está libre de divergencia. [ cita necesaria ]
La ley del cuadrado inverso, fundamental en los espacios euclidianos , también se aplica a las geometrías no euclidianas , incluido el espacio hiperbólico . La curvatura inherente en estos espacios impacta las leyes físicas, sustentando varios campos como la cosmología , la relatividad general y la teoría de cuerdas . [11]
John D. Barrow , en su artículo de 2020 "Cosmología newtoniana no euclidiana", detalla el comportamiento de la fuerza (F) y el potencial (Φ) dentro del espacio tridimensional hiperbólico (H3). Ilustra que F y Φ obedecen a las fórmulas F ∝ 1 / R^2 sinh^2(r/R) y Φ ∝ coth(r/R), donde R y r representan el radio de curvatura y la distancia desde el punto focal, respectivamente. [11]
El concepto de dimensionalidad del espacio, propuesto por primera vez por Immanuel Kant, es un tema de debate actual en relación con la ley del cuadrado inverso. [12] Dimitria Electra Gatzia y Rex D. Ramsier, en su artículo de 2021, sostienen que la ley del cuadrado inverso pertenece más a la simetría en la distribución de fuerzas que a la dimensionalidad del espacio. [12]
Dentro del ámbito de las geometrías no euclidianas y la relatividad general, las desviaciones de la ley del cuadrado inverso podrían no provenir de la ley misma sino más bien de la suposición de que la fuerza entre cuerpos depende instantáneamente de la distancia, lo que contradice la relatividad especial . En cambio, la relatividad general interpreta la gravedad como una distorsión del espacio-tiempo, lo que hace que las partículas que caen libremente atraviesen geodésicas en este espacio-tiempo curvo. [13]
John Dumbleton, de las Calculadoras Oxford del siglo XIV , fue uno de los primeros en expresar relaciones funcionales en forma gráfica. Dio una prueba del teorema de la velocidad media afirmando que "la latitud de un movimiento uniformemente diferente corresponde al grado del punto medio" y utilizó este método para estudiar la disminución cuantitativa en la intensidad de la iluminación en su Summa logicæ et philosophiæ naturalis (ca. 1349), afirmando que no era linealmente proporcional a la distancia, pero no pudo exponer la ley del cuadrado inverso. [14]
En la proposición 9 del Libro 1 de su libro Ad Vitellionem paralipomena, quibus astronomiae pars optica traditur (1604), el astrónomo Johannes Kepler argumentó que la propagación de la luz desde una fuente puntual obedece a una ley del cuadrado inverso: [15] [16]
En 1645, en su libro Astronomia Philolaica ..., el astrónomo francés Ismaël Bullialdus (1605-1694) refutó la sugerencia de Johannes Kepler de que la "gravedad" [17] se debilita en proporción inversa a la distancia; en cambio, argumentó Bullialdus, la "gravedad" se debilita como el cuadrado inverso de la distancia: [18] [19]
En Inglaterra, el obispo anglicano Seth Ward (1617-1689) publicó las ideas de Bullialdus en su crítica In Ismaelis Bullialdi astronomiae philolaicae fundamenta inquisitio brevis (1653) y publicó la astronomía planetaria de Kepler en su libro Astronomia geométrica (1656).
En 1663-1664, el científico inglés Robert Hooke estaba escribiendo su libro Micrographia (1666) en el que analizaba, entre otras cosas, la relación entre la altura de la atmósfera y la presión barométrica en la superficie. Dado que la atmósfera rodea a la Tierra, que a su vez es una esfera, el volumen de la atmósfera que pesa sobre cualquier unidad de área de la superficie de la Tierra es un cono truncado (que se extiende desde el centro de la Tierra hasta el vacío del espacio; obviamente, sólo la sección del cono desde la superficie de la Tierra al espacio tiene que ver con la superficie de la Tierra). Aunque el volumen de un cono es proporcional al cubo de su altura, Hooke argumentó que la presión del aire en la superficie de la Tierra es proporcional a la altura de la atmósfera porque la gravedad disminuye con la altitud. Aunque Hooke no lo afirmó explícitamente, la relación que propuso sería cierta sólo si la gravedad disminuye como el inverso del cuadrado de la distancia desde el centro de la Tierra. [20] [21]
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