El análisis armónico es una rama de las matemáticas que se ocupa de investigar las conexiones entre una función y su representación en frecuencia . La representación en frecuencia se encuentra utilizando la transformada de Fourier para funciones en dominios no acotados, como la línea real completa , o mediante series de Fourier para funciones en dominios acotados, especialmente funciones periódicas en intervalos finitos . La generalización de estas transformadas a otros dominios generalmente se denomina análisis de Fourier , aunque el término a veces se usa indistintamente con análisis armónico. El análisis armónico se ha convertido en un vasto tema con aplicaciones en áreas tan diversas como la teoría de números , la teoría de la representación , el procesamiento de señales , la mecánica cuántica , el análisis de mareas y la neurociencia .
El término " armónicos " tiene su origen en la palabra griega antigua harmonikos , que significa "experto en música". [1] En los problemas de valores propios físicos , comenzó a significar ondas cuyas frecuencias son múltiplos enteros entre sí, como lo son las frecuencias de los armónicos de las notas musicales . Aun así, el término se ha generalizado más allá de su significado original.
Históricamente, las funciones armónicas primero se referían a las soluciones de la ecuación de Laplace . [2] Esta terminología se extendió a otras funciones especiales que resolvían ecuaciones relacionadas, [3] luego a funciones propias de operadores elípticos generales , [4] y hoy en día las funciones armónicas se consideran como una generalización de funciones periódicas [5] en espacios de funciones definidos en variedades , por ejemplo como soluciones de ecuaciones diferenciales parciales generales, no necesariamente elípticas , incluyendo algunas condiciones de contorno que pueden implicar su simetría o periodicidad. [6]
La transformada de Fourier clásica sobre R n sigue siendo un área de investigación en curso, en particular en lo que respecta a la transformada de Fourier sobre objetos más generales, como las distribuciones templadas . Por ejemplo, si imponemos algunos requisitos a una distribución f , podemos intentar traducir estos requisitos en la transformada de Fourier de f . El teorema de Paley-Wiener es un ejemplo. El teorema de Paley-Wiener implica inmediatamente que si f es una distribución distinta de cero de soporte compacto (estas incluyen funciones de soporte compacto), entonces su transformada de Fourier nunca tiene soporte compacto (es decir, si una señal está limitada en un dominio, es ilimitada en el otro). Esta es una forma elemental de un principio de incertidumbre en un entorno de análisis armónico.
Las series de Fourier se pueden estudiar fácilmente en el contexto de los espacios de Hilbert , lo que proporciona una conexión entre el análisis armónico y el análisis funcional . Existen cuatro versiones de la transformada de Fourier, que dependen de los espacios que se representan mediante la transformación:
Como los espacios mapeados por la transformada de Fourier son, en particular, subespacios del espacio de distribuciones templadas, se puede demostrar que las cuatro versiones de la transformada de Fourier son casos particulares de la transformada de Fourier en distribuciones templadas.
El análisis armónico abstracto se ocupa principalmente de cómo se pueden estudiar funciones reales o de valores complejos (a menudo en dominios muy generales) utilizando simetrías como traslaciones o rotaciones (por ejemplo, a través de la transformada de Fourier y sus parientes); este campo está, por supuesto, relacionado con el análisis armónico de variables reales, pero tal vez esté más cerca en espíritu de la teoría de la representación y el análisis funcional . [7]
Una de las ramas más modernas del análisis armónico, que tiene sus raíces a mediados del siglo XX, es el análisis sobre grupos topológicos . Las ideas motivadoras centrales son las diversas transformadas de Fourier , que pueden generalizarse a una transformada de funciones definidas sobre grupos topológicos localmente compactos de Hausdorff . [8]
Uno de los principales resultados de la teoría de funciones en grupos abelianos localmente compactos se denomina dualidad de Pontryagin . El análisis armónico estudia las propiedades de esa dualidad. Diferentes generalizaciones de las transformadas de Fourier intentan extender esas características a diferentes contextos, por ejemplo, primero al caso de los grupos topológicos abelianos generales y segundo al caso de los grupos de Lie no abelianos . [9]
El análisis armónico está estrechamente relacionado con la teoría de representaciones de grupos unitarios para grupos localmente compactos no abelianos generales. Para los grupos compactos, el teorema de Peter-Weyl explica cómo se pueden obtener armónicos eligiendo una representación irreducible de cada clase de equivalencia de representaciones. [10] Esta elección de armónicos disfruta de algunas de las valiosas propiedades de la transformada de Fourier clásica en términos de llevar las convoluciones a productos puntuales o de mostrar de otro modo una cierta comprensión de la estructura del grupo subyacente. Véase también: Análisis armónico no conmutativo .
Si el grupo no es ni abeliano ni compacto, no se conoce actualmente ninguna teoría satisfactoria general ("satisfactoria" significa al menos tan fuerte como el teorema de Plancherel ). Sin embargo, se han analizado muchos casos específicos, por ejemplo, SL n . En este caso, las representaciones en dimensiones infinitas juegan un papel crucial.
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Muchas aplicaciones del análisis armónico en la ciencia y la ingeniería comienzan con la idea o hipótesis de que un fenómeno o señal está compuesto por una suma de componentes oscilatorios individuales. Las mareas oceánicas y las cuerdas vibrantes son ejemplos comunes y simples. El enfoque teórico a menudo intenta describir el sistema mediante una ecuación diferencial o un sistema de ecuaciones para predecir las características esenciales, incluidas la amplitud, la frecuencia y las fases de los componentes oscilatorios. Las ecuaciones específicas dependen del campo, pero las teorías generalmente intentan seleccionar ecuaciones que representen principios significativos que sean aplicables.
El enfoque experimental suele ser adquirir datos que cuantifiquen con precisión el fenómeno. Por ejemplo, en un estudio de mareas, el experimentador adquiriría muestras de la profundidad del agua en función del tiempo a intervalos lo suficientemente cercanos como para ver cada oscilación y durante una duración lo suficientemente larga como para que sea probable que se incluyan múltiples períodos oscilatorios. En un estudio sobre cuerdas vibrantes, es común que el experimentador adquiera una forma de onda de sonido muestreada a una velocidad al menos dos veces mayor que la frecuencia más alta esperada y durante una duración muchas veces mayor que el período de la frecuencia más baja esperada.
Por ejemplo, la señal superior a la derecha es una forma de onda de sonido de un bajo tocando una cuerda al aire correspondiente a una nota A con una frecuencia fundamental de 55 Hz. La forma de onda parece oscilatoria, pero es más compleja que una onda sinusoidal simple, lo que indica la presencia de ondas adicionales. Los diferentes componentes de onda que contribuyen al sonido se pueden revelar aplicando una técnica de análisis matemático conocida como transformada de Fourier , que se muestra en la figura inferior. Hay un pico prominente a 55 Hz, pero otros picos a 110 Hz, 165 Hz y en otras frecuencias correspondientes a múltiplos enteros de 55 Hz. En este caso, 55 Hz se identifica como la frecuencia fundamental de la vibración de la cuerda, y los múltiplos enteros se conocen como armónicos .
