Transformada de Fourier discreta

Tipos de transformada de Fourier en matemáticas discretas

Fig. 1: Relación entre la transformada de Fourier (continua) y la transformada de Fourier discreta.
Izquierda: Una función continua (arriba) y su transformada de Fourier (abajo).
Centro-izquierda: Suma periódica de la función original (arriba). La transformada de Fourier (abajo) es cero excepto en puntos discretos. La transformada inversa es una suma de senosides llamada serie de Fourier .
Centro-derecha: La función original se discretiza (se multiplica por un peine de Dirac ) (arriba). Su transformada de Fourier (abajo) es una suma periódica ( DTFT ) de la transformada original.
Derecha: La DFT (abajo) calcula muestras discretas de la DTFT continua. La DFT inversa (arriba) es una suma periódica de las muestras originales. El algoritmo FFT calcula un ciclo de la DFT y su inversa es un ciclo de la DFT inversa.

Fig. 2: Representación de una transformada de Fourier (arriba a la izquierda) y su suma periódica (DTFT) en la esquina inferior izquierda. Las secuencias espectrales en (a) arriba a la derecha y (b) abajo a la derecha se calculan respectivamente a partir de (a) un ciclo de la suma periódica de s(t) y (b) un ciclo de la suma periódica de la secuencia s(nT). Las fórmulas respectivas son (a) la integral de la serie de Fourier y (b) la suma DFT . Sus similitudes con la transformada original, S(f), y su relativa facilidad computacional son a menudo la motivación para calcular una secuencia DFT.

En matemáticas , la transformada de Fourier discreta ( DFT ) convierte una secuencia finita de muestras igualmente espaciadas de una función en una secuencia de la misma longitud de muestras igualmente espaciadas de la transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT), que es una función de frecuencia de valor complejo . El intervalo en el que se muestrea la DTFT es el recíproco de la duración de la secuencia de entrada. ^{[A] [1]}   Una DFT inversa (IDFT) es una serie de Fourier que utiliza las muestras de la DTFT como coeficientes de sinusoides complejos en las frecuencias de la DTFT correspondientes. Tiene los mismos valores de muestra que la secuencia de entrada original. Por lo tanto, se dice que la DFT es una representación del dominio de frecuencia de la secuencia de entrada original. Si la secuencia original abarca todos los valores distintos de cero de una función, su DTFT es continua (y periódica) y la DFT proporciona muestras discretas de un ciclo. Si la secuencia original es un ciclo de una función periódica, la DFT proporciona todos los valores distintos de cero de un ciclo de DTFT.

La DFT es la transformada discreta más importante , utilizada para realizar análisis de Fourier en muchas aplicaciones prácticas. ^[2] En el procesamiento de señales digitales , la función es cualquier cantidad o señal que varía con el tiempo, como la presión de una onda de sonido , una señal de radio o lecturas diarias de temperatura , muestreadas durante un intervalo de tiempo finito (a menudo definido por una función de ventana ^[3] ). En el procesamiento de imágenes , las muestras pueden ser los valores de los píxeles a lo largo de una fila o columna de una imagen rasterizada . La DFT también se utiliza para resolver de manera eficiente ecuaciones diferenciales parciales y para realizar otras operaciones como convoluciones o multiplicación de números enteros grandes.

Dado que se trata de una cantidad finita de datos, se puede implementar en computadoras mediante algoritmos numéricos o incluso hardware dedicado . Estas implementaciones suelen emplear algoritmos eficientes de transformada rápida de Fourier (FFT); ^[4] tanto es así que los términos "FFT" y "DFT" a menudo se usan indistintamente. Antes de su uso actual, la sigla "FFT" también puede haberse utilizado para el término ambiguo " transformada finita de Fourier ".

La DFT tiene muchas aplicaciones, incluidas las puramente matemáticas sin interpretación física. Pero físicamente se la puede relacionar con el procesamiento de señales como una versión discreta (es decir, muestras) de la transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT), que es una función continua y periódica. La DFT calcula N muestras igualmente espaciadas de un ciclo de la DTFT. (ver Fig.2 y § Muestreo de la DTFT )

Definición

La transformada de Fourier discreta transforma una secuencia de N números complejos en otra secuencia de números complejos, que se define por: ${\displaystyle \left\{\mathbf {x} _{n}\right\}:=x_{0},x_{1},\ldots ,x_{N-1}}$ ${\displaystyle \left\{\mathbf {X} _{k}\right\}:=X_{0},X_{1},\ldots ,X_{N-1},}$

Transformada de Fourier discreta

La transformación a veces se denota con el símbolo , como en o o . ^[B] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mathbf {X} ={\mathcal {F}}\left\{\mathbf {x} \right\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\left(\mathbf {x} \right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\mathbf {x} }$

La ecuación 1 se puede interpretar o derivar de varias maneras, por ejemplo:

• Describe completamente la transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT) de una secuencia periódica, que comprende solo componentes de frecuencia discretos. ^[C] ( Uso de la DTFT con datos periódicos ) ${\displaystyle N}$
• También puede proporcionar muestras espaciadas uniformemente de la DTFT continua de una secuencia de longitud finita. ( § Muestreo de la DTFT )
• Es la correlación cruzada de la secuencia de entrada , , y una sinusoide compleja en la frecuencia. Por lo tanto, actúa como un filtro adaptado para esa frecuencia. ${\displaystyle x_{n}}$ ${\textstyle {\frac {k}{N}}.}$
• Es el análogo discreto de la fórmula para los coeficientes de una serie de Fourier :

  ${\displaystyle C_{k}={\frac {1}{P}}\int _{P}x(t)e^{-i2\pi {\tfrac {k}{P}}t}\,dt.}$

La ecuación 1 también se puede evaluar fuera del dominio , y esa secuencia extendida es - periódica . En consecuencia, a veces se utilizan otras secuencias de índices, como (si es par) y (si es impar), lo que equivale a intercambiar las mitades izquierda y derecha del resultado de la transformación. ^[5] ${\displaystyle k\in [0,N-1]}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\textstyle \left[-{\frac {N}{2}},{\frac {N}{2}}-1\right]}$ ${\displaystyle N}$ ${\textstyle \left[-{\frac {N-1}{2}},{\frac {N-1}{2}}\right]}$ ${\displaystyle N}$

La transformada inversa viene dada por:

Transformada inversa

La ecuación 2 también es periódica (en índice n). En la ecuación 2 , cada uno es un número complejo cuyas coordenadas polares son la amplitud y la fase de un componente sinusoidal complejo de la función (ver Serie de Fourier discreta ). La frecuencia de la sinusoide es ciclos por muestra. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X_{k}}$ ${\displaystyle \left(e^{i2\pi {\tfrac {k}{N}}n}\right)}$ ${\displaystyle x_{n}.}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle N}$

El factor de normalización que multiplica la DFT y la IDFT (aquí 1 y ) y los signos de los exponentes son las convenciones más comunes . Los únicos requisitos reales de estas convenciones son que la DFT y la IDFT tengan exponentes de signo opuesto y que el producto de sus factores de normalización sea Una normalización poco común de tanto para la DFT como para la IDFT hace que el par de transformadas sea unitario. ${\displaystyle {\tfrac {1}{N}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{N}}.}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{N}}}}$

Ejemplo

Este ejemplo demuestra cómo aplicar la DFT a una secuencia de longitud y al vector de entrada ${\displaystyle N=4}$

$${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x_{0}\\x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\2-i\\-i\\-1+2i\end{pmatrix}}.}$$

Cálculo de la DFT utilizando la ecuación 1 ${\displaystyle \mathbf {x} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}X_{0}&=e^{-i2\pi 0\cdot 0/4}\cdot 1+e^{-i2\pi 0\cdot 1/4}\cdot (2-i)+e^{-i2\pi 0\cdot 2/4}\cdot (-i)+e^{-i2\pi 0\cdot 3/4}\cdot (-1+2i)=2\\X_{1}&=e^{-i2\pi 1\cdot 0/4}\cdot 1+e^{-i2\pi 1\cdot 1/4}\cdot (2-i)+e^{-i2\pi 1\cdot 2/4}\cdot (-i)+e^{-i2\pi 1\cdot 3/4}\cdot (-1+2i)=-2-2i\\X_{2}&=e^{-i2\pi 2\cdot 0/4}\cdot 1+e^{-i2\pi 2\cdot 1/4}\cdot (2-i)+e^{-i2\pi 2\cdot 2/4}\cdot (-i)+e^{-i2\pi 2\cdot 3/4}\cdot (-1+2i)=-2i\\X_{3}&=e^{-i2\pi 3\cdot 0/4}\cdot 1+e^{-i2\pi 3\cdot 1/4}\cdot (2-i)+e^{-i2\pi 3\cdot 2/4}\cdot (-i)+e^{-i2\pi 3\cdot 3/4}\cdot (-1+2i)=4+4i\end{aligned}}}$$

resultados en $${\displaystyle \mathbf {X} ={\begin{pmatrix}X_{0}\\X_{1}\\X_{2}\\X_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\-2-2i\\-2i\\4+4i\end{pmatrix}}.}$$

Propiedades

Linealidad

La DFT es una transformación lineal, es decir, si y , entonces para cualquier número complejo : ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\{x_{n}\})_{k}=X_{k}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\{y_{n}\})_{k}=Y_{k}}$ ${\displaystyle a,b}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}(\{ax_{n}+by_{n}\})_{k}=aX_{k}+bY_{k}}$

Inversión de tiempo y frecuencia

Invertir el tiempo (es decir, reemplazar por ) ^[D] en corresponde a invertir la frecuencia (es decir, por ). ^{[6] : p.421} Matemáticamente, si representa el vector x entonces ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle N-n}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle N-k}$ ${\displaystyle \{x_{n}\}}$

si ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\{x_{n}\})_{k}=X_{k}}$

entonces ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\{x_{N-n}\})_{k}=X_{N-k}}$

Conjugación en el tiempo

Si entonces . ^{[6] : p.423} ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\{x_{n}\})_{k}=X_{k}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\{x_{n}^{*}\})_{k}=X_{N-k}^{*}}$

Parte real e imaginaria

Esta tabla muestra algunas operaciones matemáticas en el dominio del tiempo y los efectos correspondientes en su DFT en el dominio de la frecuencia. ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle X_{k}}$

Ortogonalidad

Los vectores forman una base ortogonal sobre el conjunto de vectores complejos N -dimensionales: ${\displaystyle u_{k}=\left[\left.e^{{\frac {i2\pi }{N}}kn}\;\right|\;n=0,1,\ldots ,N-1\right]^{\mathsf {T}}}$

${\displaystyle u_{k}^{\mathsf {T}}u_{k'}^{*}=\sum _{n=0}^{N-1}\left(e^{{\frac {i2\pi }{N}}kn}\right)\left(e^{{\frac {i2\pi }{N}}(-k')n}\right)=\sum _{n=0}^{N-1}e^{{\frac {i2\pi }{N}}(k-k')n}=N~\delta _{kk'}}$

donde es el delta de Kronecker . (En el último paso, la suma es trivial si , donde es 1 + 1 + ⋯ = N , y en caso contrario es una serie geométrica que se puede sumar explícitamente para obtener cero). Esta condición de ortogonalidad se puede utilizar para derivar la fórmula para la IDFT a partir de la definición de la DFT, y es equivalente a la propiedad de unitaridad a continuación. ${\displaystyle \delta _{kk'}}$ ${\displaystyle k=k'}$

El teorema de Plancherel y el teorema de Parseval

Si y son las DFT de y respectivamente, entonces el teorema de Parseval establece: ${\displaystyle X_{k}}$ ${\displaystyle Y_{k}}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle y_{n}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}x_{n}y_{n}^{*}={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}X_{k}Y_{k}^{*}}$

donde la estrella denota conjugación compleja . El teorema de Plancherel es un caso especial del teorema de Parseval y establece:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}|x_{n}|^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}|X_{k}|^{2}.}$

Estos teoremas también son equivalentes a la condición unitaria siguiente.

Periodicidad

La periodicidad se puede demostrar directamente desde la definición:

${\displaystyle X_{k+N}\ \triangleq \ \sum _{n=0}^{N-1}x_{n}e^{-{\frac {i2\pi }{N}}(k+N)n}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}e^{-{\frac {i2\pi }{N}}kn}\underbrace {e^{-i2\pi n}} _{1}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}e^{-{\frac {i2\pi }{N}}kn}=X_{k}.}$

De manera similar, se puede demostrar que la fórmula IDFT conduce a una extensión periódica.

Teorema de desplazamiento

Multiplicar por una fase lineal para algún entero m corresponde a un desplazamiento circular de la salida : se reemplaza por , donde el subíndice se interpreta módulo N (es decir, periódicamente). De manera similar, un desplazamiento circular de la entrada corresponde a multiplicar la salida por una fase lineal. Matemáticamente, si representa el vector x entonces ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle e^{{\frac {i2\pi }{N}}nm}}$ ${\displaystyle X_{k}}$ ${\displaystyle X_{k}}$ ${\displaystyle X_{k-m}}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle X_{k}}$ ${\displaystyle \{x_{n}\}}$

si ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\{x_{n}\})_{k}=X_{k}}$

entonces ${\displaystyle {\mathcal {F}}\left(\left\{x_{n}\cdot e^{{\frac {i2\pi }{N}}nm}\right\}\right)_{k}=X_{k-m}}$

y ${\displaystyle {\mathcal {F}}\left(\left\{x_{n-m}\right\}\right)_{k}=X_{k}\cdot e^{-{\frac {i2\pi }{N}}km}}$

Teorema de convolución circular y teorema de correlación cruzada

El teorema de convolución para la transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT) indica que una convolución de dos secuencias se puede obtener como la transformada inversa del producto de las transformadas individuales. Una simplificación importante ocurre cuando una de las secuencias es N-periódica, denotada aquí por porque es distinta de cero solo en frecuencias discretas (ver DTFT § Datos periódicos ), y por lo tanto también lo es su producto con la función continua   . Esto conduce a una simplificación considerable de la transformada inversa. ${\displaystyle y_{_{N}},}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{DTFT}}\displaystyle \{y_{_{N}}\}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{DTFT}}\displaystyle \{x\}.}$

${\displaystyle x*y_{_{N}}\ =\ \scriptstyle {\rm {DTFT}}^{-1}\displaystyle \left[\scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{x\}\cdot \scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{y_{_{N}}\}\right]\ =\ \scriptstyle {\rm {DFT}}^{-1}\displaystyle \left[\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{x_{_{N}}\}\cdot \scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{y_{_{N}}\}\right],}$

donde es una suma periódica de la secuencia : ${\displaystyle x_{_{N}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (x_{_{N}})_{n}\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }x_{(n-mN)}.}$

Habitualmente, las sumas de DFT e inversas de DFT se realizan sobre el dominio . Si se definen esas DFT como y , el resultado es : ${\displaystyle [0,N-1]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle (x*y_{_{N}})_{n}\triangleq \sum _{\ell =-\infty }^{\infty }x_{\ell }\cdot (y_{_{N}})_{n-\ell }=\underbrace {{\mathcal {F}}^{-1}} _{\rm {DFT^{-1}}}\left\{X\cdot Y\right\}_{n}.}$

En la práctica, la secuencia suele tener una longitud N o menor, y es una extensión periódica de una secuencia de longitud N , que también puede expresarse como una función circular : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y_{_{N}}}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle (y_{_{N}})_{n}=\sum _{p=-\infty }^{\infty }y_{(n-pN)}=y_{(n\operatorname {mod} N)},\quad n\in \mathbb {Z} .}$

Entonces la convolución se puede escribir como :

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}\left\{X\cdot Y\right\}_{n}=\sum _{\ell =0}^{N-1}x_{\ell }\cdot y_{_{(n-\ell )\operatorname {mod} N}}}$

lo que da lugar a la interpretación como una convolución circular de y ^{[7] [8]} A menudo se utiliza para calcular de manera eficiente su convolución lineal. (ver Convolución circular , Algoritmos de convolución rápida y Superposición-guardar ) ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y.}$

De manera similar, la correlación cruzada de y viene dada por : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y_{_{N}}}$

${\displaystyle (x\star y_{_{N}})_{n}\triangleq \sum _{\ell =-\infty }^{\infty }x_{\ell }^{*}\cdot (y_{_{N}})_{n+\ell }={\mathcal {F}}^{-1}\left\{X^{*}\cdot Y\right\}_{n}.}$

Unicidad de la transformada de Fourier discreta

Como se ha visto anteriormente, la transformada discreta de Fourier tiene la propiedad fundamental de convertir la convolución en un producto por componentes. Una pregunta natural es si es la única que tiene esta capacidad. Se ha demostrado ^{[9] [10]} que cualquier transformada lineal que convierta la convolución en un producto puntual es la DFT hasta una permutación de coeficientes. Puesto que el número de permutaciones de n elementos es igual a n!, existen exactamente n! mapas lineales e invertibles con la misma propiedad fundamental que la DFT con respecto a la convolución.

Dualidad del teorema de convolución

También se puede demostrar que :

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{\mathbf {x\cdot y} \right\}_{k}\ \triangleq \sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\cdot y_{n}\cdot e^{-i{\frac {2\pi }{N}}kn}}$

${\displaystyle ={\frac {1}{N}}(\mathbf {X*Y_{N}} )_{k},}$que es la convolución circular de y . ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {Y} }$

Polinomio de interpolación trigonométrica

El polinomio de interpolación trigonométrica

${\displaystyle p(t)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {1}{N}}\left[{\begin{alignedat}{3}X_{0}+X_{1}e^{i2\pi t}+\cdots &+X_{{\frac {N}{2}}-1}e^{i2\pi {\big (}\!{\frac {N}{2}}-1\!{\big )}t}&\\&+X_{\frac {N}{2}}\cos(N\pi t)&\\&+X_{{\frac {N}{2}}+1}e^{-i2\pi {\big (}\!{\frac {N}{2}}-1\!{\big )}t}&+\cdots +X_{N-1}e^{-i2\pi t}\end{alignedat}}\right]&N{\text{ even}}\\\displaystyle {\frac {1}{N}}\left[{\begin{alignedat}{3}X_{0}+X_{1}e^{i2\pi t}+\cdots &+X_{\frac {N-1}{2}}e^{i2\pi {\frac {N-1}{2}}t}&\\&+X_{\frac {N+1}{2}}e^{-i2\pi {\frac {N-1}{2}}t}&+\cdots +X_{N-1}e^{-i2\pi t}\end{alignedat}}\right]&N{\text{ odd}}\end{cases}}}$

donde los coeficientes X _k están dados por la DFT de x _n anterior, satisface la propiedad de interpolación para . ${\displaystyle p(n/N)=x_{n}}$ ${\displaystyle n=0,\ldots ,N-1}$

Para N pares , observe que el componente Nyquist se maneja de manera especial. ${\textstyle {\frac {X_{N/2}}{N}}\cos(N\pi t)}$

Esta interpolación no es única : el aliasing implica que se podría añadir N a cualquiera de las frecuencias de las sinusoides complejas (por ejemplo, cambiando a ) sin cambiar la propiedad de interpolación, pero dando diferentes valores entre los puntos. La elección anterior, sin embargo, es típica porque tiene dos propiedades útiles. En primer lugar, consta de sinusoides cuyas frecuencias tienen las magnitudes más pequeñas posibles: la interpolación está limitada en banda . En segundo lugar, si son números reales, entonces es real también. ${\displaystyle e^{-it}}$ ${\displaystyle e^{i(N-1)t}}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle p(t)}$

Por el contrario, el polinomio de interpolación trigonométrica más obvio es aquel en el que las frecuencias varían de 0 a (en lugar de aproximadamente a como se indicó anteriormente), de manera similar a la fórmula DFT inversa. Esta interpolación no minimiza la pendiente y, por lo general, no tiene un valor real para valores reales ; su uso es un error común. ${\displaystyle N-1}$ ${\displaystyle -N/2}$ ${\displaystyle +N/2}$ ${\displaystyle x_{n}}$

La DFT unitaria

Otra forma de ver la DFT es observar que en la discusión anterior, la DFT se puede expresar como la matriz DFT , una matriz de Vandermonde , introducida por Sylvester en 1867,

${\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{bmatrix}\omega _{N}^{0\cdot 0}&\omega _{N}^{0\cdot 1}&\cdots &\omega _{N}^{0\cdot (N-1)}\\\omega _{N}^{1\cdot 0}&\omega _{N}^{1\cdot 1}&\cdots &\omega _{N}^{1\cdot (N-1)}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\omega _{N}^{(N-1)\cdot 0}&\omega _{N}^{(N-1)\cdot 1}&\cdots &\omega _{N}^{(N-1)\cdot (N-1)}\\\end{bmatrix}}}$

donde es una raíz N primitiva de la unidad . ${\displaystyle \omega _{N}=e^{-i2\pi /N}}$

Por ejemplo, en el caso cuando , , y ${\displaystyle N=2}$ ${\displaystyle \omega _{N}=e^{-i\pi }=-1}$

${\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\\\end{bmatrix}},}$

(que es una matriz de Hadamard ) o cuando como en la transformada de Fourier discreta § Ejemplo anterior, , y ${\displaystyle N=4}$ ${\displaystyle \omega _{N}=e^{-i\pi /2}=-i}$

${\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-i&-1&i\\1&-1&1&-1\\1&i&-1&-i\\\end{bmatrix}}.}$

La transformación inversa viene dada entonces por la inversa de la matriz anterior,

${\displaystyle \mathbf {F} ^{-1}={\frac {1}{N}}\mathbf {F} ^{*}}$

Con constantes de normalización unitarias , la DFT se convierte en una transformación unitaria , definida por una matriz unitaria: ${\textstyle 1/{\sqrt {N}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {U} &={\frac {1}{\sqrt {N}}}\mathbf {F} \\\mathbf {U} ^{-1}&=\mathbf {U} ^{*}\\\left|\det(\mathbf {U} )\right|&=1\end{aligned}}}$

donde es la función determinante . El determinante es el producto de los valores propios, que son siempre o como se describe a continuación. En un espacio vectorial real, una transformación unitaria puede considerarse simplemente como una rotación rígida del sistema de coordenadas, y todas las propiedades de una rotación rígida pueden encontrarse en la DFT unitaria. ${\displaystyle \det()}$ ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle \pm i}$

La ortogonalidad de la DFT ahora se expresa como una condición de ortonormalidad (que surge en muchas áreas de las matemáticas como se describe en la raíz de la unidad ):

${\displaystyle \sum _{m=0}^{N-1}U_{km}U_{mn}^{*}=\delta _{kn}}$

Si X se define como la DFT unitaria del vector x , entonces

${\displaystyle X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}U_{kn}x_{n}}$

y el teorema de Parseval se expresa como

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}x_{n}y_{n}^{*}=\sum _{k=0}^{N-1}X_{k}Y_{k}^{*}}$

Si consideramos la DFT como una transformación de coordenadas que simplemente especifica los componentes de un vector en un nuevo sistema de coordenadas, entonces lo anterior es simplemente la afirmación de que el producto escalar de dos vectores se conserva bajo una transformación DFT unitaria. Para el caso especial , esto implica que la longitud de un vector también se conserva; esto es simplemente el teorema de Plancherel . ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {y} }$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}|x_{n}|^{2}=\sum _{k=0}^{N-1}|X_{k}|^{2}}$

Una consecuencia del teorema de convolución circular es que la matriz DFT F diagonaliza cualquier matriz circulante .

Expresar la DFT inversa en términos de la DFT

Una propiedad útil de la DFT es que la DFT inversa se puede expresar fácilmente en términos de la DFT (directa), mediante varios "trucos" bien conocidos (por ejemplo, en los cálculos, a menudo es conveniente implementar solo una transformada rápida de Fourier correspondiente a una dirección de la transformada y luego obtener la otra dirección de la transformada a partir de la primera).

En primer lugar, podemos calcular la DFT inversa invirtiendo todas las entradas menos una (Duhamel et al. , 1988):

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}(\{x_{n}\})={\frac {1}{N}}{\mathcal {F}}(\{x_{N-n}\})}$

(Como es habitual, los subíndices se interpretan módulo N ; por lo tanto, para , tenemos .) ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle x_{N-0}=x_{0}}$

En segundo lugar, también se pueden conjugar las entradas y las salidas:

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}(\mathbf {x} )={\frac {1}{N}}{\mathcal {F}}\left(\mathbf {x} ^{*}\right)^{*}}$

En tercer lugar, una variante de este truco de conjugación, que a veces es preferible porque no requiere ninguna modificación de los valores de los datos, implica intercambiar las partes reales e imaginarias (lo que se puede hacer en una computadora simplemente modificando los punteros ). Defina como con sus partes reales e imaginarias intercambiadas, es decir, si entonces es . Equivalentemente, es igual a . Entonces ${\textstyle \operatorname {swap} (x_{n})}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle x_{n}=a+bi}$ ${\textstyle \operatorname {swap} (x_{n})}$ ${\displaystyle b+ai}$ ${\textstyle \operatorname {swap} (x_{n})}$ ${\displaystyle ix_{n}^{*}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}(\mathbf {x} )={\frac {1}{N}}\operatorname {swap} ({\mathcal {F}}(\operatorname {swap} (\mathbf {x} )))}$

Es decir, la transformada inversa es la misma que la transformada directa con las partes reales e imaginarias intercambiadas tanto para la entrada como para la salida, hasta una normalización (Duhamel et al. , 1988).

El truco de la conjugación también se puede utilizar para definir una nueva transformación, estrechamente relacionada con la DFT, que sea involutiva , es decir, que sea su propia inversa. En particular, es claramente su propia inversa: . Una transformación involutiva estrechamente relacionada (por un factor de ) es , ya que los factores en cancelan el 2. Para entradas reales , la parte real de no es otra que la transformada discreta de Hartley , que también es involutiva. ${\displaystyle T(\mathbf {x} )={\mathcal {F}}\left(\mathbf {x} ^{*}\right)/{\sqrt {N}}}$ ${\displaystyle T(T(\mathbf {x} ))=\mathbf {x} }$ ${\textstyle {\frac {1+i}{\sqrt {2}}}}$ ${\displaystyle H(\mathbf {x} )={\mathcal {F}}\left((1+i)\mathbf {x} ^{*}\right)/{\sqrt {2N}}}$ ${\displaystyle (1+i)}$ ${\displaystyle H(H(\mathbf {x} ))}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle H(\mathbf {x} )}$

Valores propios y vectores propios

Los valores propios de la matriz DFT son simples y bien conocidos, mientras que los vectores propios son complicados, no únicos y son objeto de investigación en curso. Se proporcionan fórmulas explícitas con una cantidad significativa de teoría de números. ^[11]

Considere la forma unitaria definida anteriormente para la DFT de longitud N , donde ${\displaystyle \mathbf {U} }$

${\displaystyle \mathbf {U} _{m,n}={\frac {1}{\sqrt {N}}}\omega _{N}^{(m-1)(n-1)}={\frac {1}{\sqrt {N}}}e^{-{\frac {i2\pi }{N}}(m-1)(n-1)}.}$

Esta matriz satisface la ecuación polinómica matricial :

${\displaystyle \mathbf {U} ^{4}=\mathbf {I} .}$

Esto se puede ver a partir de las propiedades inversas anteriores: al operar dos veces se obtienen los datos originales en orden inverso, por lo que al operar cuatro veces se obtienen los datos originales y, por lo tanto, la matriz identidad . Esto significa que los valores propios satisfacen la ecuación: ${\displaystyle \mathbf {U} }$ ${\displaystyle \mathbf {U} }$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \lambda ^{4}=1.}$

Por lo tanto, los valores propios de son las raíces cuartas de la unidad : es +1, −1, + i o − i . ${\displaystyle \mathbf {U} }$ ${\displaystyle \lambda }$

Dado que solo hay cuatro valores propios distintos para esta matriz, estos tienen cierta multiplicidad . La multiplicidad indica el número de vectores propios linealmente independientes correspondientes a cada valor propio. (Hay N vectores propios independientes; una matriz unitaria nunca es defectuosa ). ${\displaystyle N\times N}$

El problema de su multiplicidad fue resuelto por McClellan y Parks (1972), aunque posteriormente se demostró que era equivalente a un problema resuelto por Gauss (Dickinson y Steiglitz, 1982). La multiplicidad depende del valor de N módulo 4 y viene dada por la siguiente tabla:

En otras palabras, el polinomio característico de es: ${\displaystyle \mathbf {U} }$

${\displaystyle \det(\lambda I-\mathbf {U} )=(\lambda -1)^{\left\lfloor {\tfrac {N+4}{4}}\right\rfloor }(\lambda +1)^{\left\lfloor {\tfrac {N+2}{4}}\right\rfloor }(\lambda +i)^{\left\lfloor {\tfrac {N+1}{4}}\right\rfloor }(\lambda -i)^{\left\lfloor {\tfrac {N-1}{4}}\right\rfloor }.}$

No se conoce ninguna fórmula analítica simple para vectores propios generales. Además, los vectores propios no son únicos porque cualquier combinación lineal de vectores propios para el mismo valor propio es también un vector propio para ese valor propio. Varios investigadores han propuesto diferentes opciones de vectores propios, seleccionados para satisfacer propiedades útiles como la ortogonalidad y para tener formas "simples" (por ejemplo, McClellan y Parks, 1972; Dickinson y Steiglitz, 1982; Grünbaum, 1982; Atakishiyev y Wolf, 1997; Candan et al. , 2000; Hanna et al. , 2004; Gurevich y Hadani, 2008).

Un método para construir vectores propios DFT para un valor propio se basa en la combinación lineal de operadores: ^{[12] [13] [14]} ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{\lambda }={\frac {1}{4}}\left(\mathbf {I} +\lambda ^{-1}\mathbf {U} +\lambda ^{-2}\mathbf {U} ^{2}+\lambda ^{-3}\mathbf {U} ^{3}\right)}$

Para un vector arbitrario , vector satisface: ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} (\lambda )={\mathcal {P}}_{\lambda }\mathbf {v} }$

${\displaystyle {\textbf {U}}\mathbf {u} (\lambda )=\lambda \mathbf {u} (\lambda )}$

Por lo tanto, el vector es, de hecho, el vector propio de la matriz DFT . Los operadores proyectan vectores sobre subespacios que son ortogonales para cada valor de . ^[13] Es decir, para dos vectores propios, y tenemos: ${\displaystyle \mathbf {u} (\lambda )}$ ${\displaystyle \mathbf {U} }$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mathbf {u} (\lambda )={\mathcal {P}}_{\lambda }\mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} '(\lambda ')={\mathcal {P}}_{\lambda '}\mathbf {v} '}$

${\displaystyle \mathbf {u} ^{\dagger }(\lambda )\mathbf {u} '(\lambda ')=\delta _{\lambda \lambda '}\mathbf {u} ^{\dagger }(\lambda )\mathbf {v} '}$

Sin embargo, en general, el método del operador de proyección no produce vectores propios ortogonales dentro de un subespacio. ^[14] El operador puede verse como una matriz, cuyas columnas son vectores propios de , pero no son ortogonales. Cuando se elige un conjunto de vectores , que abarca un espacio de dimensión 1 (donde es la multiplicidad de valor propio ) para generar el conjunto de vectores propios a valor propio , no se garantiza la ortogonalidad mutua de . Sin embargo, el conjunto ortogonal se puede obtener aplicando un algoritmo de ortogonalización adicional al conjunto , por ejemplo, el proceso de Gram-Schmidt . ^[15] ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{\lambda }}$ ${\displaystyle \mathbf {U} }$ ${\displaystyle \{\mathbf {v} _{n}\}_{n=1,\dots ,N_{\lambda }}}$ ${\displaystyle N_{\lambda }}$ ${\displaystyle N_{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \{\mathbf {u} _{n}(\lambda )={\mathcal {P}}_{\lambda }\mathbf {v} _{n}\}_{n=1,\dots ,N_{\lambda }}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mathbf {u} _{n}(\lambda )}$ ${\displaystyle \{\mathbf {u} _{n}(\lambda )\}_{n=1,\dots ,N_{\lambda }}}$

Un método sencillo para obtener vectores propios de la DFT es discretizar una función propia de la transformada continua de Fourier , de las cuales la más famosa es la función gaussiana . Dado que la suma periódica de la función implica discretizar su espectro de frecuencias y la discretización implica la suma periódica del espectro, la función gaussiana discretizada y sumada periódicamente produce un vector propio de la transformada discreta:

• ${\displaystyle F(m)=\sum _{k\in \mathbb {Z} }\exp \left(-{\frac {\pi \cdot (m+N\cdot k)^{2}}{N}}\right).}$

La expresión de forma cerrada para la serie se puede expresar mediante funciones theta de Jacobi como

• ${\displaystyle F(m)={\frac {1}{\sqrt {N}}}\vartheta _{3}\left({\frac {\pi m}{N}},\exp \left(-{\frac {\pi }{N}}\right)\right).}$

Se encontraron varios otros vectores propios analíticos de forma cerrada simples para el período DFT especial N (Kong, 2008 y Casper-Yakimov, 2024):

Para el período DFT N = 2 L + 1 = 4 K + 1, donde K es un entero, el siguiente es un vector propio de DFT:

• ${\displaystyle F(m)=\prod _{s=K+1}^{L}\left[\cos \left({\frac {2\pi }{N}}m\right)-\cos \left({\frac {2\pi }{N}}s\right)\right]}$

Para el período DFT N = 2 L = 4 K , donde K es un entero, los siguientes son vectores propios de DFT:

• ${\displaystyle F(m)=\sin \left({\frac {2\pi }{N}}m\right)\prod _{s=K+1}^{L-1}\left[\cos \left({\frac {2\pi }{N}}m\right)-\cos \left({\frac {2\pi }{N}}s\right)\right]}$
• ${\displaystyle F(m)=\cos \left({\frac {\pi }{N}}m\right)\prod _{s=K+1}^{3K-1}\sin \left({\frac {\pi (s-m)}{N}}\right)}$

Para el período DFT N = 4 K - 1, donde K es un entero, los siguientes son vectores propios de DFT:

• ${\displaystyle F(m)=\sin \left({\frac {2\pi }{N}}m\right)\prod _{s=K+1}^{3K-2}\sin \left({\frac {\pi (s-m)}{N}}\right)}$
• ${\displaystyle F(m)=\left(\cos \left({\frac {2\pi }{N}}m\right)-\cos \left({\frac {2\pi }{N}}K\right)\pm \sin \left({\frac {2\pi }{N}}K\right)\right)\prod _{s=K+1}^{3K-2}\sin \left({\frac {\pi (s-m)}{N}}\right)}$

La elección de vectores propios de la matriz DFT ha cobrado importancia en los últimos años para definir un análogo discreto de la transformada de Fourier fraccionaria —la matriz DFT puede llevarse a potencias fraccionarias mediante la exponenciación de los valores propios (p. ej., Rubio y Santhanam, 2005). Para la transformada de Fourier continua , las funciones propias ortogonales naturales son las funciones de Hermite , por lo que se han empleado varios análogos discretos de estas como vectores propios de la DFT, como los polinomios de Kravchuk (Atakishiyev y Wolf, 1997). Sin embargo, la "mejor" elección de vectores propios para definir una transformada de Fourier discreta fraccionaria sigue siendo una cuestión abierta.

Principios de incertidumbre

Principio de incertidumbre probabilística

Si la variable aleatoria X _k está restringida por

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}|X_{n}|^{2}=1,}$

entonces

${\displaystyle P_{n}=|X_{n}|^{2}}$

puede considerarse que representa una función de masa de probabilidad discreta de n , con una función de masa de probabilidad asociada construida a partir de la variable transformada,

${\displaystyle Q_{m}=N|x_{m}|^{2}.}$

Para el caso de funciones continuas y , el principio de incertidumbre de Heisenberg establece que ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle Q(k)}$

${\displaystyle D_{0}(X)D_{0}(x)\geq {\frac {1}{16\pi ^{2}}}}$

donde y son las varianzas de y respectivamente, con la igualdad alcanzada en el caso de una distribución gaussiana adecuadamente normalizada . Aunque las varianzas pueden definirse análogamente para la DFT, un principio de incertidumbre análogo no es útil, porque la incertidumbre no será invariante al desplazamiento. Aun así, Massar y Spindel han introducido un principio de incertidumbre significativo. ^[16] ${\displaystyle D_{0}(X)}$ ${\displaystyle D_{0}(x)}$ ${\displaystyle |X|^{2}}$ ${\displaystyle |x|^{2}}$

Sin embargo, la incertidumbre entrópica de Hirschman tendrá un análogo útil para el caso de la DFT. ^[17] El principio de incertidumbre de Hirschman se expresa en términos de la entropía de Shannon de las dos funciones de probabilidad.

En el caso discreto, las entropías de Shannon se definen como

${\displaystyle H(X)=-\sum _{n=0}^{N-1}P_{n}\ln P_{n}}$

y

${\displaystyle H(x)=-\sum _{m=0}^{N-1}Q_{m}\ln Q_{m},}$

y el principio de incertidumbre entrópica se convierte en ^[17]

${\displaystyle H(X)+H(x)\geq \ln(N).}$

La igualdad se obtiene para igual a las traslaciones y modulaciones de un peine de Kronecker adecuadamente normalizado de período donde es cualquier divisor entero exacto de . La función de masa de probabilidad será entonces proporcional a un peine de Kronecker adecuadamente traducido de período . ^[17] ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle Q_{m}}$ ${\displaystyle B=N/A}$

Principio de incertidumbre determinista

También existe un principio de incertidumbre determinista bien conocido que utiliza la escasez de señales (o el número de coeficientes distintos de cero). ^[18] Sea y el número de elementos distintos de cero de las secuencias de tiempo y frecuencia y , respectivamente. Entonces, ${\displaystyle \left\|x\right\|_{0}}$ ${\displaystyle \left\|X\right\|_{0}}$ ${\displaystyle x_{0},x_{1},\ldots ,x_{N-1}}$ ${\displaystyle X_{0},X_{1},\ldots ,X_{N-1}}$

${\displaystyle N\leq \left\|x\right\|_{0}\cdot \left\|X\right\|_{0}.}$

Como consecuencia inmediata de la desigualdad de las medias aritmética y geométrica , también se tiene . Se demostró que ambos principios de incertidumbre son estrictos para secuencias de "valla de estacas" específicamente elegidas (trenes de impulsos discretos) y encuentran un uso práctico para aplicaciones de recuperación de señales. ^[18] ${\displaystyle 2{\sqrt {N}}\leq \left\|x\right\|_{0}+\left\|X\right\|_{0}}$

DFT de señales reales y puramente imaginarias

• Si son números reales , como suele ocurrir en aplicaciones prácticas, entonces la DFT es incluso simétrica : ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{N-1}}$ ${\displaystyle X_{0},\ldots ,X_{N-1}}$

${\displaystyle x_{n}\in \mathbb {R} \quad \forall n\in \{0,\ldots ,N-1\}\implies X_{k}=X_{-k\mod N}^{*}\quad \forall k\in \{0,\ldots ,N-1\}}$, donde denota conjugación compleja . ${\displaystyle X^{*}\,}$

De ello se deduce que, para pares , y son de valor real, y el resto de la DFT está completamente especificado solo por números complejos. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X_{0}}$ ${\displaystyle X_{N/2}}$ ${\displaystyle N/2-1}$

• Si son números puramente imaginarios, entonces la DFT es simétrica impar : ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{N-1}}$ ${\displaystyle X_{0},\ldots ,X_{N-1}}$

${\displaystyle x_{n}\in i\mathbb {R} \quad \forall n\in \{0,\ldots ,N-1\}\implies X_{k}=-X_{-k\mod N}^{*}\quad \forall k\in \{0,\ldots ,N-1\}}$, donde denota conjugación compleja . ${\displaystyle X^{*}\,}$

DFT generalizada (fase desplazada y no lineal)

Es posible desplazar el muestreo de la transformada en el dominio del tiempo y/o de la frecuencia mediante algunos desplazamientos reales a y b , respectivamente. Esto a veces se conoce como DFT generalizada (o GDFT ), también llamada DFT desplazada o DFT desplazada , y tiene propiedades análogas a la DFT ordinaria:

${\displaystyle X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}e^{-{\frac {i2\pi }{N}}(k+b)(n+a)}\quad \quad k=0,\dots ,N-1.}$

La mayoría de las veces, se utilizan desplazamientos de (la mitad de una muestra). Mientras que la DFT ordinaria corresponde a una señal periódica tanto en el dominio del tiempo como en el de la frecuencia, produce una señal que es antiperiódica en el dominio de la frecuencia ( ) y viceversa para . Por lo tanto, el caso específico de se conoce como transformada de Fourier discreta de frecuencia impar y tiempo impar (o O ² DFT). Estas transformadas desplazadas se utilizan con mayor frecuencia para datos simétricos, para representar diferentes simetrías de contorno, y para datos simétricos reales corresponden a diferentes formas de las transformadas discretas de coseno y seno . ${\displaystyle 1/2}$ ${\displaystyle a=1/2}$ ${\displaystyle X_{k+N}=-X_{k}}$ ${\displaystyle b=1/2}$ ${\displaystyle a=b=1/2}$

Otra opción interesante es , que se denomina DFT centrada (o CDFT ). La DFT centrada tiene la propiedad útil de que, cuando N es un múltiplo de cuatro, todos sus cuatro valores propios (ver arriba) tienen multiplicidades iguales (Rubio y Santhanam, 2005) ^[19] ${\displaystyle a=b=-(N-1)/2}$

El término GDFT también se utiliza para las extensiones de fase no lineal de DFT. Por lo tanto, el método GDFT proporciona una generalización para transformadas de bloques ortogonales de amplitud constante que incluyen tipos de fase lineales y no lineales. GDFT es un marco para mejorar las propiedades del dominio de tiempo y frecuencia de la DFT tradicional, por ejemplo, correlaciones automáticas/cruzadas, mediante la adición de la función de modelado de fase correctamente diseñada (no lineal, en general) a las funciones de fase lineal originales (Akansu y Agirman-Tosun, 2010). ^[20]

La transformada de Fourier discreta puede considerarse un caso especial de la transformada z , evaluada en el círculo unitario en el plano complejo; las transformadas z más generales corresponden a los desplazamientos complejos a y b anteriores.

Transformaciones discretas incrustadas en el tiempo y el espacio.

DFT multidimensional

La DFT ordinaria transforma una secuencia o matriz unidimensional que es función de exactamente una variable discreta n . La DFT multidimensional de una matriz multidimensional que es función de d variables discretas para in se define por: ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle x_{n_{1},n_{2},\dots ,n_{d}}}$ ${\displaystyle n_{\ell }=0,1,\dots ,N_{\ell }-1}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle 1,2,\dots ,d}$

${\displaystyle X_{k_{1},k_{2},\dots ,k_{d}}=\sum _{n_{1}=0}^{N_{1}-1}\left(\omega _{N_{1}}^{~k_{1}n_{1}}\sum _{n_{2}=0}^{N_{2}-1}\left(\omega _{N_{2}}^{~k_{2}n_{2}}\cdots \sum _{n_{d}=0}^{N_{d}-1}\omega _{N_{d}}^{~k_{d}n_{d}}\cdot x_{n_{1},n_{2},\dots ,n_{d}}\right)\right),}$

donde como se indicó anteriormente y los índices de salida d van desde . Esto se expresa de manera más compacta en notación vectorial , donde definimos y como vectores d -dimensionales de índices desde 0 hasta , que definimos como : ${\displaystyle \omega _{N_{\ell }}=\exp(-i2\pi /N_{\ell })}$ ${\displaystyle k_{\ell }=0,1,\dots ,N_{\ell }-1}$ ${\displaystyle \mathbf {n} =(n_{1},n_{2},\dots ,n_{d})}$ ${\displaystyle \mathbf {k} =(k_{1},k_{2},\dots ,k_{d})}$ ${\displaystyle \mathbf {N} -1}$ ${\displaystyle \mathbf {N} -1=(N_{1}-1,N_{2}-1,\dots ,N_{d}-1)}$

${\displaystyle X_{\mathbf {k} }=\sum _{\mathbf {n} =\mathbf {0} }^{\mathbf {N} -1}e^{-i2\pi \mathbf {k} \cdot (\mathbf {n} /\mathbf {N} )}x_{\mathbf {n} }\,,}$

donde la división se define como que debe realizarse elemento por elemento, y la suma denota el conjunto de sumas anidadas anteriores. ${\displaystyle \mathbf {n} /\mathbf {N} }$ ${\displaystyle \mathbf {n} /\mathbf {N} =(n_{1}/N_{1},\dots ,n_{d}/N_{d})}$

La inversa de la DFT multidimensional, análogamente al caso unidimensional, viene dada por:

${\displaystyle x_{\mathbf {n} }={\frac {1}{\prod _{\ell =1}^{d}N_{\ell }}}\sum _{\mathbf {k} =\mathbf {0} }^{\mathbf {N} -1}e^{i2\pi \mathbf {n} \cdot (\mathbf {k} /\mathbf {N} )}X_{\mathbf {k} }\,.}$

Como la DFT unidimensional expresa la entrada como una superposición de senos, la DFT multidimensional expresa la entrada como una superposición de ondas planas o senos multidimensionales. La dirección de oscilación en el espacio es . Las amplitudes son . Esta descomposición es de gran importancia para todo, desde el procesamiento de imágenes digitales (bidimensional) hasta la resolución de ecuaciones diferenciales parciales . La solución se descompone en ondas planas. ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {k} /\mathbf {N} }$ ${\displaystyle X_{\mathbf {k} }}$

La DFT multidimensional se puede calcular mediante la composición de una secuencia de DFT unidimensionales a lo largo de cada dimensión. En el caso bidimensional, las DFT independientes de las filas (es decir, a lo largo de ) se calculan primero para formar una nueva matriz . Luego, las DFT independientes de y a lo largo de las columnas (a lo largo de ) se calculan para formar el resultado final . Alternativamente, las columnas se pueden calcular primero y luego las filas. El orden es irrelevante porque las sumas anidadas anteriores conmutan . ${\displaystyle x_{n_{1},n_{2}}}$ ${\displaystyle N_{1}}$ ${\displaystyle n_{2}}$ ${\displaystyle y_{n_{1},k_{2}}}$ ${\displaystyle N_{2}}$ ${\displaystyle n_{1}}$ ${\displaystyle X_{k_{1},k_{2}}}$

Por lo tanto, un algoritmo para calcular una DFT unidimensional es suficiente para calcular de manera eficiente una DFT multidimensional. Este enfoque se conoce como algoritmo de fila-columna . También existen algoritmos FFT intrínsecamente multidimensionales .

La DFT multidimensional de entrada real

Para datos de entrada que consisten en números reales , las salidas DFT tienen una simetría conjugada similar al caso unidimensional anterior: ${\displaystyle x_{n_{1},n_{2},\dots ,n_{d}}}$

${\displaystyle X_{k_{1},k_{2},\dots ,k_{d}}=X_{N_{1}-k_{1},N_{2}-k_{2},\dots ,N_{d}-k_{d}}^{*},}$

donde la estrella nuevamente denota conjugación compleja y el subíndice -ésimo nuevamente se interpreta módulo (para ). ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle N_{\ell }}$ ${\displaystyle \ell =1,2,\ldots ,d}$

Aplicaciones

La DFT se ha utilizado ampliamente en una gran cantidad de campos; a continuación, solo esbozamos algunos ejemplos (consulte también las referencias al final). Todas las aplicaciones de la DFT dependen fundamentalmente de la disponibilidad de un algoritmo rápido para calcular transformadas de Fourier discretas y sus inversas, una transformada rápida de Fourier .

Análisis espectral

Cuando la DFT se utiliza para el análisis espectral de señales , la secuencia suele representar un conjunto finito de muestras de tiempo uniformemente espaciadas de alguna señal , donde representa el tiempo. La conversión de tiempo continuo a muestras (tiempo discreto) cambia la transformada de Fourier subyacente de en una transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT), que generalmente implica un tipo de distorsión llamada aliasing . La elección de una frecuencia de muestreo adecuada (consulte la frecuencia de Nyquist ) es la clave para minimizar esa distorsión. De manera similar, la conversión de una secuencia muy larga (o infinita) a un tamaño manejable implica un tipo de distorsión llamada fuga , que se manifiesta como una pérdida de detalle (también conocida como resolución) en la DTFT. La elección de una longitud de subsecuencia adecuada es la clave principal para minimizar ese efecto. Cuando los datos disponibles (y el tiempo para procesarlos) son mayores que la cantidad necesaria para alcanzar la resolución de frecuencia deseada, una técnica estándar es realizar múltiples DFT, por ejemplo para crear un espectrograma . Si el resultado deseado es un espectro de potencia y hay ruido o aleatoriedad en los datos, promediar los componentes de magnitud de las múltiples DFT es un procedimiento útil para reducir la varianza del espectro (también llamado periodograma en este contexto); dos ejemplos de tales técnicas son el método Welch y el método Bartlett ; el tema general de estimación del espectro de potencia de una señal ruidosa se denomina estimación espectral . ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ ${\displaystyle x(t)\,}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x(t)}$

Una última fuente de distorsión (o quizás ilusión ) es la propia DFT, porque es simplemente un muestreo discreto de la DTFT, que es una función de un dominio de frecuencia continuo. Esto se puede mitigar aumentando la resolución de la DFT. Ese procedimiento se ilustra en § Muestreo de la DTFT .

• El procedimiento se conoce a veces como relleno de ceros , que es una implementación particular que se utiliza junto con el algoritmo de transformada rápida de Fourier (FFT). La ineficiencia de realizar multiplicaciones y sumas con "muestras" de valor cero se ve más que compensada por la eficiencia inherente de la FFT.
• Como ya se dijo, la fuga impone un límite a la resolución inherente de la DTFT, por lo que existe un límite práctico al beneficio que se puede obtener de una DFT de grano fino.

Óptica, difracción y tomografía

La transformada de Fourier discreta se utiliza ampliamente con frecuencias espaciales para modelar la forma en que la luz, los electrones y otras sondas viajan a través de sistemas ópticos y se dispersan desde objetos en dos y tres dimensiones. El espacio vectorial dual (directo/recíproco) de objetos tridimensionales también proporciona una red recíproca tridimensional, cuya construcción a partir de sombras de objetos translúcidos (a través del teorema de corte de Fourier ) permite la reconstrucción tomográfica de objetos tridimensionales con una amplia gama de aplicaciones, por ejemplo, en la medicina moderna.

Banco de filtros

Consulte § Bancos de filtros FFT y § Muestreo de la DTFT .

Compresión de datos

El campo del procesamiento de señales digitales depende en gran medida de operaciones en el dominio de frecuencia (es decir, de la transformada de Fourier). Por ejemplo, varios métodos de compresión de sonido e imágenes con pérdida emplean la transformada de Fourier discreta: la señal se corta en segmentos cortos, cada uno se transforma y luego se descartan los coeficientes de Fourier de frecuencias altas, que se supone que son imperceptibles. El descompresor calcula la transformada inversa basándose en este número reducido de coeficientes de Fourier. (Las aplicaciones de compresión a menudo utilizan una forma especializada de la DFT, la transformada de coseno discreta o, a veces, la transformada de coseno discreta modificada ). Sin embargo, algunos algoritmos de compresión relativamente recientes utilizan transformadas wavelet , que dan un compromiso más uniforme entre el dominio del tiempo y la frecuencia que el obtenido cortando los datos en segmentos y transformando cada segmento. En el caso de JPEG2000 , esto evita las características de imagen espurias que aparecen cuando las imágenes están muy comprimidas con el JPEG original .

Ecuaciones diferenciales parciales

Las transformadas de Fourier discretas se utilizan a menudo para resolver ecuaciones diferenciales parciales , donde nuevamente la DFT se utiliza como una aproximación para la serie de Fourier (que se recupera en el límite de N infinito ). La ventaja de este enfoque es que expande la señal en exponenciales complejas , que son funciones propias de la diferenciación: . Por lo tanto, en la representación de Fourier, la diferenciación es simple: simplemente multiplicamos por . (Sin embargo, la elección de no es única debido al aliasing; para que el método sea convergente, se debe utilizar una elección similar a la de la sección de interpolación trigonométrica anterior). Una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes se transforma en una ecuación algebraica fácilmente solucionable. Luego, se utiliza la DFT inversa para transformar el resultado nuevamente en la representación espacial ordinaria. Este enfoque se denomina método espectral . ${\displaystyle e^{inx}}$ ${\displaystyle {{\text{d}}{\big (}e^{inx}{\big )}}/{\text{d}}x=ine^{inx}}$ ${\displaystyle in}$ ${\displaystyle n}$

Multiplicación de polinomios

Supongamos que deseamos calcular el producto polinómico c ( x ) = a ( x ) · b ( x ). La expresión ordinaria del producto para los coeficientes de c implica una convolución lineal (acíclica), donde los índices no se "enrollan". Esto se puede reescribir como una convolución cíclica tomando primero los vectores de coeficientes para a ( x ) y b ( x ) con término constante, y luego agregando ceros de modo que los vectores de coeficientes resultantes a y b tengan dimensión d  > deg( a ( x )) + deg( b ( x )) . Entonces,

${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a} *\mathbf {b} }$

Donde c es el vector de coeficientes para c ( x ), y el operador de convolución se define así ${\displaystyle *\,}$

${\displaystyle c_{n}=\sum _{m=0}^{d-1}a_{m}b_{n-m\ \mathrm {mod} \ d}\qquad \qquad \qquad n=0,1\dots ,d-1}$

Pero la convolución se convierte en multiplicación bajo la DFT:

${\displaystyle {\mathcal {F}}(\mathbf {c} )={\mathcal {F}}(\mathbf {a} ){\mathcal {F}}(\mathbf {b} )}$

Aquí el producto vectorial se toma elemento por elemento. Por lo tanto, los coeficientes del polinomio producto c ( x ) son simplemente los términos 0, ..., deg( a ( x )) + deg( b ( x )) del vector de coeficientes

${\displaystyle \mathbf {c} ={\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}(\mathbf {a} ){\mathcal {F}}(\mathbf {b} )).}$

Con una transformada rápida de Fourier , el algoritmo resultante realiza O ( N  log  N ) operaciones aritméticas. Debido a su simplicidad y velocidad, el algoritmo Cooley–Tukey FFT , que está limitado a tamaños compuestos , se elige a menudo para la operación de transformación. En este caso, d debe elegirse como el entero más pequeño mayor que la suma de los grados del polinomio de entrada que se puede factorizar en factores primos pequeños (por ejemplo, 2, 3 y 5, según la implementación de la FFT).

Multiplicación de números enteros grandes

Los algoritmos más rápidos conocidos para la multiplicación de números enteros muy grandes utilizan el método de multiplicación de polinomios descrito anteriormente. Los números enteros pueden tratarse como el valor de un polinomio evaluado específicamente en la base numérica, con los coeficientes del polinomio correspondientes a los dígitos de esa base (p. ej. ). Después de la multiplicación de polinomios, un paso de propagación de acarreo de complejidad relativamente baja completa la multiplicación. ${\displaystyle 123=1\cdot 10^{2}+2\cdot 10^{1}+3\cdot 10^{0}}$

Circunvolución

Cuando se convolucionan los datos con una función con amplio soporte, como por ejemplo para reducir el muestreo con una gran proporción de muestreo, debido al teorema de convolución y al algoritmo FFT, puede ser más rápido transformarlos, multiplicarlos puntualmente por la transformada del filtro y luego transformarlos en forma inversa. Alternativamente, se obtiene un buen filtro simplemente truncando los datos transformados y volviendo a transformar el conjunto de datos acortado.

Algunos pares de transformadas de Fourier discretas

Generalizaciones

Teoría de la representación

La DFT puede interpretarse como una representación de valor complejo del grupo cíclico finito . En otras palabras, una secuencia de números complejos puede considerarse como un elemento del espacio complejo de dimensión 1 o, equivalentemente, una función del grupo cíclico finito de orden para los números complejos, . Por lo tanto, es una función de clase en el grupo cíclico finito y, por lo tanto, puede expresarse como una combinación lineal de los caracteres irreducibles de este grupo, que son las raíces de la unidad. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}\mapsto \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f}$

Desde este punto de vista, se puede generalizar la DFT a la teoría de la representación en general, o más específicamente a la teoría de la representación de grupos finitos .

De manera más específica aún, se puede generalizar la DFT cambiando el objetivo (tomando valores en un campo distinto de los números complejos) o el dominio (un grupo distinto de un grupo cíclico finito), como se detalla a continuación.

Otros campos

Muchas de las propiedades de la DFT dependen únicamente del hecho de que es una raíz primitiva de la unidad , a veces denotada como o (de modo que ). Dichas propiedades incluyen las propiedades de completitud, ortogonalidad, Plancherel/Parseval, periodicidad, desplazamiento, convolución y unitaridad mencionadas anteriormente, así como muchos algoritmos FFT. Por esta razón, la transformada de Fourier discreta se puede definir utilizando raíces de la unidad en campos distintos de los números complejos, y dichas generalizaciones se denominan comúnmente transformadas teóricas de números (NTT) en el caso de campos finitos . Para obtener más información, consulte transformada teórica de números y transformada de Fourier discreta (general) . ${\displaystyle e^{-{\frac {i2\pi }{N}}}}$ ${\displaystyle \omega _{N}}$ ${\displaystyle W_{N}}$ ${\displaystyle \omega _{N}^{N}=1}$

Otros grupos finitos

La DFT estándar actúa sobre una secuencia x ₀ , x ₁ , ..., x _{N −1} de números complejos, que se pueden ver como una función {0, 1, ..., N − 1} → C . La DFT multidimensional actúa sobre secuencias multidimensionales, que se pueden ver como funciones

${\displaystyle \{0,1,\ldots ,N_{1}-1\}\times \cdots \times \{0,1,\ldots ,N_{d}-1\}\to \mathbb {C} .}$

Esto sugiere la generalización a transformadas de Fourier sobre grupos finitos arbitrarios , que actúan sobre funciones G → C donde G es un grupo finito . En este marco, la DFT estándar se considera como la transformada de Fourier sobre un grupo cíclico , mientras que la DFT multidimensional es una transformada de Fourier sobre una suma directa de grupos cíclicos.

Además, la transformada de Fourier puede aplicarse a clases laterales de un grupo.

Alternativas

Existen varias alternativas a la DFT para diversas aplicaciones, entre las que destacan las wavelets . El análogo de la DFT es la transformada wavelet discreta (DWT). Desde el punto de vista del análisis tiempo-frecuencia , una limitación clave de la transformada de Fourier es que no incluye información de ubicación , solo información de frecuencia , y por lo tanto tiene dificultades para representar transitorios. Como las wavelets tienen ubicación además de frecuencia, son más capaces de representar la ubicación, a expensas de una mayor dificultad para representar la frecuencia. Para obtener más detalles, consulte la comparación de la transformada wavelet discreta con la transformada de Fourier discreta .

Véase también

• Matriz de acompañamiento
• Matriz DFT
• Transformada rápida de Fourier
• Paquete FFT
• ¡Vaya!
• Generalizaciones de matrices de Pauli
• Análisis espectral de mínimos cuadrados
• Lista de transformadas relacionadas con Fourier
• Transformación multidimensional
• Transformación de Zak
• Transformada cuántica de Fourier

Notas

1. De manera equivalente, es la relación entre la frecuencia de muestreo y el número de muestras.
2. Como una transformación lineal en un espacio vectorial de dimensión finita , la expresión DFT también se puede escribir en términos de una matriz DFT ; cuando se escala apropiadamente se convierte en una matriz unitaria y las X _k pueden verse así como coeficientes de x en una base ortonormal .
3. Los componentes distintos de cero de una DTFT de una secuencia periódica son un conjunto discreto de frecuencias idénticas a la DFT.
4. La inversión temporal para la DFT significa reemplazar por y no por para evitar índices negativos. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle N-n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle -n}$

Referencias

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Lectura adicional

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• Cormen, Thomas H. ; Charles E. Leiserson ; Ronald L. Rivest ; Clifford Stein (2001). "Capítulo 30: Polinomios y la FFT". Introducción a los algoritmos (segunda edición). MIT Press y McGraw-Hill. págs. 822–848. ISBN 978-0-262-03293-3.esp. sección 30.2: La DFT y la FFT, págs. 830–838.
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• Bradley W. Dickinson; Kenneth Steiglitz (1982). "Vectores propios y funciones de la transformada discreta de Fourier" (PDF) . IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing . 30 (1): 25–31. CiteSeerX  10.1.1.434.5279 . doi :10.1109/TASSP.1982.1163843.(Tenga en cuenta que este artículo tiene un error tipográfico aparente en su tabla de multiplicidades de valores propios: las columnas + i / − i están intercambiadas. La tabla correcta se puede encontrar en McClellan y Parks, 1972, y se confirma fácilmente numéricamente).
• FA Grünbaum (1982). "Los vectores propios de la transformada de Fourier discreta". Revista de análisis matemático y aplicaciones . 88 (2): 355–363. doi : 10.1016/0022-247X(82)90199-8 .
• Natig M. Atakishiyev; Kurt Bernardo Wolf (1997). "Transformada de Fourier-Kravchuk fraccional". Revista de la Sociedad Óptica de América A . 14 (7): 1467–1477. Código Bibliográfico :1997JOSAA..14.1467A. doi :10.1364/JOSAA.14.001467.
• C. Candan; MA Kutay; HMOzaktas (2000). "La transformada de Fourier fraccionaria discreta" (PDF) . IEEE Transactions on Signal Processing . 48 (5): 1329–1337. Bibcode :2000ITSP...48.1329C. doi :10.1109/78.839980. hdl : 11693/11130 . Archivado (PDF) desde el original el 21 de septiembre de 2017.
• Magdy Tawfik Hanna, Nabila Philip Attalla Seif y Waleed Abd El Maguid Ahmed (2004). "Vectores propios tipo Hermite-Gaussian de la matriz de transformada de Fourier discreta basada en la descomposición en valores singulares de sus matrices de proyección ortogonal". IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Regular Papers . 51 (11): 2245–2254. doi :10.1109/TCSI.2004.836850. S2CID  14468134.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Shamgar Gurevich; Ronny Hadani (2009). "Sobre la diagonalización de la transformada de Fourier discreta". Análisis armónico computacional y aplicado . 27 (1): 87–99. arXiv : 0808.3281 . doi :10.1016/j.acha.2008.11.003. S2CID  14833478. preimpresión en.
• Shamgar Gurevich; Ronny Hadani; Nir Sochen (2008). "El oscilador armónico finito y sus aplicaciones a secuencias, comunicación y radar". IEEE Transactions on Information Theory . 54 (9): 4239–4253. arXiv : 0808.1495 . Bibcode :2008arXiv0808.1495G. doi :10.1109/TIT.2008.926440. S2CID  6037080. preimpresión en.
• Juan G. Vargas-Rubio; Balu Santhanam (2005). "Sobre la transformada de Fourier fraccionaria discreta centrada en múltiples ángulos". IEEE Signal Processing Letters . 12 (4): 273–276. Bibcode :2005ISPL...12..273V. doi :10.1109/LSP.2005.843762. S2CID  1499353.
• FN Kong (2008). "Expresiones analíticas de dos señales discretas de Hermite-Gauss". IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Express Briefs . 55 (1): 56–60. doi :10.1109/TCSII.2007.909865. S2CID  5154718.
• Casper, William; Yakimov, Milen (2024). "La transformada de Fourier discreta restringida". arXiv : 2407.20379 [math.CA].

Enlaces externos

• Explicación interactiva de la DFT
• Tutorial de Matlab sobre la Transformación de Fourier Discreta Archivado el 4 de marzo de 2016 en Wayback Machine
• Tutorial interactivo en flash sobre la DFT
• Matemáticas de la transformada discreta de Fourier por Julius O. Smith III
• FFTW: Implementación rápida de la DFT, codificada en C y bajo Licencia Pública General (GPL)
• Paquete FFT de propósito general: otra implementación rápida de DFT en C y FORTRAN, licencia permisiva
• Explicación: La transformada de Fourier discreta
• Transformada de Fourier discreta
• Indexación y desplazamiento de la transformada de Fourier discreta
• Propiedades de la transformada de Fourier discreta
• Transformada de Fourier discreta generalizada (GDFT) con fase no lineal