Polinomio matricial

Matriz de materiales

En matemáticas, un polinomio matricial es un polinomio con matrices cuadradas como variables. Dado un polinomio ordinario de valor escalar

${\displaystyle P(x)=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}x^{i}}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n},}$

Este polinomio evaluado en una matriz es ${\displaystyle A}$

${\displaystyle P(A)=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}A^{i}}=a_{0}I+a_{1}A+a_{2}A^{2}+\cdots +a_{n}A^{n},}$

donde es la matriz identidad . ^[1] ${\displaystyle I}$

Tenga en cuenta que tiene la misma dimensión que . ${\displaystyle P(A)}$ ${\displaystyle A}$

Una ecuación polinómica matricial es una igualdad entre dos polinomios matriciales, que se cumple para las matrices específicas en cuestión. Una identidad polinómica matricial es una ecuación polinómica matricial que se cumple para todas las matrices A en un anillo de matrices especificado M _n ( R ).

Los polinomios matriciales se demuestran a menudo en clases de álgebra lineal de pregrado debido a su relevancia para mostrar las propiedades de las transformaciones lineales representadas como matrices, más notablemente el teorema de Cayley-Hamilton .

Polinomio característico y mínimo

El polinomio característico de una matriz A es un polinomio de valor escalar, definido por . El teorema de Cayley-Hamilton establece que si este polinomio se considera como un polinomio matricial y se evalúa en la matriz misma, el resultado es la matriz cero: . Un polinomio se aniquila si ; también se conoce como polinomio aniquilante . Por lo tanto, el polinomio característico es un polinomio que aniquila . ${\displaystyle p_{A}(t)=\det \left(tI-A\right)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle p_{A}(A)=0}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle p(A)=0}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle A}$

Existe un único polinomio mónico de grado mínimo que anula a ; este polinomio es el polinomio mínimo . Cualquier polinomio que anula a , como el polinomio característico, es un múltiplo del polinomio mínimo. ^[2] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

De ello se deduce que dados dos polinomios y , tenemos si y sólo si ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P(A)=Q(A)}$

${\displaystyle P^{(j)}(\lambda _{i})=Q^{(j)}(\lambda _{i})\qquad {\text{for }}j=0,\ldots ,n_{i}-1{\text{ and }}i=1,\ldots ,s,}$

donde denota la derivada n de y son los valores propios de con los índices correspondientes (el índice de un valor propio es el tamaño de su bloque de Jordan más grande ). ^[3] ${\displaystyle P^{(j)}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{s}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n_{1},\dots ,n_{s}}$

Serie geométrica matricial

Los polinomios matriciales se pueden utilizar para sumar una serie geométrica matricial como se haría con una serie geométrica ordinaria .

${\displaystyle S=I+A+A^{2}+\cdots +A^{n}}$

${\displaystyle AS=A+A^{2}+A^{3}+\cdots +A^{n+1}}$

${\displaystyle (I-A)S=S-AS=I-A^{n+1}}$

${\displaystyle S=(I-A)^{-1}(I-A^{n+1})}$

Si no es singular se puede evaluar la expresión para la suma . ${\displaystyle I-A}$ ${\displaystyle S}$

Véase también

• Teorema de Latimer-MacDuffee
• Matriz exponencial
• Función matricial

Notas

1. Horn y Johnson 1990, pág. 36.
2. Horn y Johnson 1990, Tesis 3.3.1.
3. Higham 2000, Tesis 1.3.

Referencias

• Gohberg, Israel; Lancaster, Peter ; Rodman, Leiba (2009) [1982]. Polinomios matriciales . Clásicos en matemáticas aplicadas. Vol. 58. Lancaster, PA: Sociedad de matemáticas industriales y aplicadas . ISBN 978-0-898716-81-8.Zbl1170.15300  .​
• Higham, Nicholas J. (2000). Funciones de matrices: teoría y computación . SIAM. ISBN 089-871-777-9..
• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1990). Análisis de matrices . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-38632-6..