Teorema de Latimer-MacDuffee

Teorema en álgebra abstracta

El teorema de Latimer-MacDuffee es un teorema del álgebra abstracta , una rama de las matemáticas . Lleva el nombre de Claiborne Latimer y Cyrus Colton MacDuffee , quienes lo publicaron en 1933. ^{[1] Posteriormente,} Olga Taussky-Todd hizo importantes contribuciones a su teoría . ^[2]

Sea un polinomio de grado mónico irreducible . El teorema de Latimer-MacDuffee proporciona una correspondencia uno a uno entre - clases de similitud de matrices con polinomio característico y las clases ideales en el orden ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \mathbb {Z} [x]/(f(x)).}$

donde los ideales se consideran equivalentes si son iguales hasta un múltiplo escalar racional general (distinto de cero). (Tenga en cuenta que este orden no tiene por qué ser el anillo completo de los números enteros, por lo que los ideales distintos de cero no tienen por qué ser invertibles). Dado que un orden en un campo numérico sólo tiene un número finito de clases ideales (incluso si no es el orden máximo, y aquí nos referimos a clases ideales para todos los ideales distintos de cero, no solo los invertibles), se deduce que solo hay un número finito de clases de conjugación de matrices sobre los números enteros con polinomio característico . ${\displaystyle f(x)}$

Referencias

1. Latimer, Claiborne G .; MacDuffee, CC (1933), "Una correspondencia entre clases de ideales y clases de matrices", Annals of Mathematics , Second Series, 34 (2): 313–316, doi :10.2307/1968204, MR  1503108.
2. Hanlon, Phil (1998), "¡Al teorema de Latimer-Macduffee y más allá!", Álgebra lineal y sus aplicaciones , 280 (1): 21–37, doi :10.1016/S0024-3795(98)10006-X, MR  1642834.