Transformada Z

Transformada matemática que convierte señales del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia.

En matemáticas y procesamiento de señales , la transformada Z convierte una señal de tiempo discreto , que es una secuencia de números reales o complejos , en una representación de dominio de frecuencia de valor complejo (el dominio z o plano z ). ^{[1] [2]}

Puede considerarse un equivalente en tiempo discreto de la transformada de Laplace (el dominio s o plano s ). ^[3] Esta similitud se explora en la teoría del cálculo de escala de tiempo .

Mientras que la transformada de Fourier de tiempo continuo se evalúa en el eje vertical del dominio s (el eje imaginario), la transformada de Fourier de tiempo discreto se evalúa a lo largo del círculo unitario del dominio z . El semiplano izquierdo del dominio s se asigna al área dentro del círculo unitario del dominio z, mientras que el semiplano derecho del dominio s se asigna al área fuera del círculo unitario del dominio z.

Uno de los medios para diseñar filtros digitales es tomar diseños analógicos, someterlos a una transformación bilineal que los mapee desde el dominio s al dominio z y luego producir el filtro digital mediante inspección, manipulación o aproximación numérica. Estos métodos tienden a no ser precisos excepto en las proximidades de la unidad compleja, es decir, a bajas frecuencias.

Historia

El concepto fundamental ahora reconocido como transformada Z, que es una piedra angular en el análisis y diseño de sistemas de control digital, no era del todo novedoso cuando surgió a mediados del siglo XX. Sus principios embrionarios se remontan al trabajo del matemático francés Pierre-Simon Laplace , más conocido por la transformada de Laplace , una técnica matemática estrechamente relacionada. Sin embargo, Witold Hurewicz y sus colegas avanzaron significativamente en 1947 en la formulación y aplicación explícitas de lo que ahora entendemos como la transformada Z. Su trabajo estuvo motivado por los desafíos que presentaban los sistemas de control de datos de muestreo, que se estaban volviendo cada vez más relevantes en el contexto de la tecnología de radar durante ese período. La transformada Z proporcionó un método sistemático y eficaz para resolver ecuaciones en diferencias lineales con coeficientes constantes, que son omnipresentes en el análisis de señales y sistemas de tiempo discreto. ^{[4] [5]}

El método se perfeccionó aún más y obtuvo su nomenclatura oficial, "la transformada Z", en 1952, gracias a los esfuerzos de John R. Ragazzini y Lotfi A. Zadeh , que formaban parte del grupo de control de datos muestreados de la Universidad de Columbia. Su trabajo no sólo solidificó el marco matemático de la transformada Z sino que también amplió su alcance de aplicación, particularmente en el campo de la ingeniería eléctrica y los sistemas de control. ^{[6] [7]}

El desarrollo de la transformada Z no se detuvo con Ragazzini y Zadeh. Posteriormente , Eliahu I. Jury introdujo una extensión notable, conocida como transformada Z modificada o avanzada . El trabajo del jurado amplió la aplicabilidad y robustez de la transformada Z, especialmente en el manejo de condiciones iniciales y proporcionando un marco más completo para el análisis de sistemas de control digital. Esta formulación avanzada ha desempeñado un papel fundamental en el diseño y análisis de estabilidad de sistemas de control en tiempo discreto, contribuyendo significativamente al campo del procesamiento de señales digitales. ^{[8] [9]}

Curiosamente, los fundamentos conceptuales de la transformada Z se cruzan con un concepto matemático más amplio conocido como método de generación de funciones , una poderosa herramienta en combinatoria y teoría de probabilidad. Esta conexión fue insinuada ya en 1730 por Abraham de Moivre , figura pionera en el desarrollo de la teoría de la probabilidad. De Moivre utilizó funciones generadoras para resolver problemas de probabilidad, sentando las bases para lo que eventualmente evolucionaría hacia la transformada Z. Desde una perspectiva matemática, la transformada Z puede verse como un caso específico de una serie de Laurent , donde la secuencia de números bajo investigación se interpreta como los coeficientes en la expansión (de Laurent) de una función analítica . Esta perspectiva no sólo resalta las profundas raíces matemáticas de la transformada Z, sino que también ilustra su versatilidad y amplia aplicabilidad en diferentes ramas de las matemáticas y la ingeniería. ^[10]

Definición

La transformada Z se puede definir como una transformada unilateral o bilateral . (Al igual que tenemos la transformada de Laplace unilateral y la transformada de Laplace bilateral ). ^[11]

Transformada Z bilateral

La transformada Z bilateral o bilateral de una señal en tiempo discreto es la serie de potencias formal definida como: ${\displaystyle x[n]}$ ${\displaystyle X(z)}$

donde es un número entero y es, en general, un número complejo . En forma polar , puede escribirse como: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle z=Ae^{j\phi }=A\cdot (\cos {\phi }+j\sin {\phi })}$

donde es la magnitud de , es la unidad imaginaria y es el argumento complejo (también conocido como ángulo o fase ) en radianes . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \phi }$

Transformada Z unilateral

Alternativamente, en los casos en los que se define solo para , la transformada Z unilateral o unilateral se define como: ${\displaystyle x[n]}$ ${\displaystyle n\geq 0}$

En el procesamiento de señales , esta definición se puede utilizar para evaluar la transformada Z de la respuesta al impulso unitario de un sistema causal en tiempo discreto .

Un ejemplo importante de la transformada Z unilateral es la función generadora de probabilidad , donde el componente es la probabilidad de que una variable aleatoria discreta tome el valor , y la función generalmente se escribe en términos de . Las propiedades de las transformadas Z (enumeradas en § Propiedades) tienen interpretaciones útiles en el contexto de la teoría de la probabilidad. ${\displaystyle x[n]}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X(z)}$ ${\displaystyle X(s)}$ ${\displaystyle s=z^{-1}}$

Transformada Z inversa

La transformada Z inversa es:

donde es un camino cerrado en sentido antihorario que rodea el origen y está completamente en la región de convergencia (ROC). En el caso en que la República de China sea causal (ver Ejemplo 2), esto significa que el camino debe rodear todos los polos de . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X(z)}$

Un caso especial de esta integral de contorno ocurre cuando es el círculo unitario. Este contorno se puede utilizar cuando la República de China incluye el círculo unitario, lo cual siempre se garantiza cuando es estable, es decir, cuando todos los polos están dentro del círculo unitario. Con este contorno, la transformada Z inversa simplifica a la transformada de Fourier de tiempo discreto inversa , o serie de Fourier , de los valores periódicos de la transformada Z alrededor del círculo unitario: ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X(z)}$

La transformada Z con un rango finito y un número finito de valores espaciados uniformemente se puede calcular de manera eficiente mediante el algoritmo FFT de Bluestein . La transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT), que no debe confundirse con la transformada de Fourier discreta (DFT), es un caso especial de dicha transformada Z que se obtiene restringiendo su uso al círculo unitario. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$

Región de convergencia

La región de convergencia (ROC) es el conjunto de puntos en el plano complejo para los cuales la sumatoria de la transformada Z converge (es decir, no aumenta en magnitud hasta el infinito):

${\displaystyle \mathrm {ROC} =\left\{z:\left|\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}\right|<\infty \right\}}$

Ejemplo 1 (sin República de China)

Vamos a expandir el intervalo en el que se convierte ${\displaystyle x[n]=(.5)^{n}\ .}$ ${\displaystyle x[n]}$ ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$

${\displaystyle x[n]=\left\{\dots ,(.5)^{-3},(.5)^{-2},(.5)^{-1},1,(.5),(.5)^{2},(.5)^{3},\dots \right\}=\left\{\dots ,2^{3},2^{2},2,1,(.5),(.5)^{2},(.5)^{3},\dots \right\}.}$

mirando la suma

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}\to \infty .}$

Por tanto, no existen valores de que cumplan esta condición. ${\displaystyle z}$

Ejemplo 2 (ROC causal)

República de China (azul), | z | = 0,5 (círculo negro discontinuo) y el círculo unitario (círculo gris punteado).

Let (¿dónde está la función de paso de Heaviside ?). Ampliando el intervalo se convierte en ${\displaystyle x[n]=(.5)^{n}\,u[n]}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle x[n]}$ ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$

${\displaystyle x[n]=\left\{\dots ,0,0,0,1,(.5),(.5)^{2},(.5)^{3},\dots \right\}.}$

mirando la suma

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }(.5)^{n}z^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {.5}{z}}\right)^{n}={\frac {1}{1-(.5)z^{-1}}}.}$

La última igualdad surge de la serie geométrica infinita y la igualdad sólo se cumple si se puede reescribir en términos de as Por lo tanto, la República de China es En este caso, la República de China es el plano complejo con un disco de radio 0,5 en el origen "perforado". . ${\displaystyle |(.5)z^{-1}|<1,}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle |z|>(.5).}$ ${\displaystyle |z|>(.5).}$

Ejemplo 3 (ROC anticausal)

República de China (azul), | z | = 0,5 (círculo negro discontinuo) y el círculo unitario (círculo gris punteado).

Let (¿dónde está la función de paso de Heaviside ?). Ampliando el intervalo se convierte en ${\displaystyle x[n]=-(.5)^{n}\,u[-n-1]}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle x[n]}$ ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$

${\displaystyle x[n]=\left\{\dots ,-(.5)^{-3},-(.5)^{-2},-(.5)^{-1},0,0,0,0,\dots \right\}.}$

mirando la suma

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\,z^{-n}&=-\sum _{n=-\infty }^{-1}(.5)^{n}\,z^{-n}\\&=-\sum _{m=1}^{\infty }\left({\frac {z}{.5}}\right)^{m}\\&=-{\frac {(.5)^{-1}z}{1-(.5)^{-1}z}}\\&=-{\frac {1}{(.5)z^{-1}-1}}\\&={\frac {1}{1-(.5)z^{-1}}}\\\end{aligned}}}$

y usando nuevamente la serie geométrica infinita , la igualdad solo se cumple si se puede reescribir en términos de como Así, la República de China es En este caso la República de China es un disco centrado en el origen y de radio 0,5. ${\displaystyle |(.5)^{-1}z|<1}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle |z|<(.5).}$ ${\displaystyle |z|<(.5).}$

Lo que diferencia este ejemplo del anterior es únicamente la República de China. Esto tiene la intención de demostrar que el resultado de la transformación por sí solo es insuficiente.

Conclusión de ejemplos

Los ejemplos 2 y 3 muestran claramente que la transformada Z de es única cuando y sólo cuando se especifica la República de China. La creación del gráfico polo-cero para el caso causal y anticausal muestra que la República de China para cualquiera de los casos no incluye el polo que está en 0,5. Esto se extiende a casos con múltiples polos: la República de China nunca contendrá polos. ${\displaystyle X(z)}$ ${\displaystyle x[n]}$

En el ejemplo 2, el sistema causal produce una República de China que incluye, mientras que el sistema anticausal en el ejemplo 3 produce una República de China que incluye ${\displaystyle |z|=\infty }$ ${\displaystyle |z|=0.}$

La República de China se muestra como un anillo azul 0,5 < | z | < 0,75

En sistemas con múltiples polos es posible tener una ROC que no incluya ni La ROC crea una banda circular. Por ejemplo, ${\displaystyle |z|=\infty }$ ${\displaystyle |z|=0.}$

${\displaystyle x[n]=(.5)^{n}\,u[n]-(.75)^{n}\,u[-n-1]}$

tiene polos en 0,5 y 0,75. La República de China será 0,5 < | z | < 0,75, que no incluye ni el origen ni el infinito. Este sistema se denomina sistema de causalidad mixta porque contiene un término causal y un término anticausal. ${\displaystyle (.5)^{n}\,u[n]}$ ${\displaystyle -(.75)^{n}\,u[-n-1].}$

La estabilidad de un sistema también se puede determinar conociendo únicamente la República de China. Si la República de China contiene el círculo unitario (es decir, | z | = 1), entonces el sistema es estable. En los sistemas anteriores, el sistema causal (Ejemplo 2) es estable porque | z | > 0,5 contiene el círculo unitario.

Supongamos que se nos proporciona una transformada Z de un sistema sin una República de China (es decir, una ambigua ). Podemos determinar un único siempre que deseemos lo siguiente: ${\displaystyle x[n]}$ ${\displaystyle x[n]}$

• Estabilidad
• Causalidad

Para lograr estabilidad, la República de China debe contener el círculo unitario. Si necesitamos un sistema causal, entonces la República de China debe contener infinito y la función del sistema será una secuencia del lado derecho. Si necesitamos un sistema anticausal, entonces la República de China debe contener el origen y la función del sistema será una secuencia del lado izquierdo. Si necesitamos tanto estabilidad como causalidad, todos los polos de la función del sistema deben estar dentro del círculo unitario.

Entonces se puede encontrar lo único . ${\displaystyle x[n]}$

Propiedades

teorema de parseval

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{1}[n]x_{2}^{*}[n]\quad =\quad {\frac {1}{j2\pi }}\oint _{C}X_{1}(v)X_{2}^{*}({\tfrac {1}{v^{*}}})v^{-1}\mathrm {d} v}$

Teorema del valor inicial : sies causal, entonces ${\displaystyle x[n]}$

${\displaystyle x[0]=\lim _{z\to \infty }X(z).}$

Teorema del valor final : si los polos deestán dentro del círculo unitario, entonces ${\displaystyle (z-1)X(z)}$

${\displaystyle x[\infty ]=\lim _{z\to 1}(z-1)X(z).}$

Tabla de pares de transformadas Z comunes

Aquí:

${\displaystyle u:n\mapsto u[n]={\begin{cases}1,&n\geq 0\\0,&n<0\end{cases}}}$

es la función de paso unitario (o Heaviside) y

${\displaystyle \delta :n\mapsto \delta [n]={\begin{cases}1,&n=0\\0,&n\neq 0\end{cases}}}$

es la función de impulso unitario de tiempo discreto (consulte la función delta de Dirac , que es una versión de tiempo continuo). Las dos funciones se eligen juntas de modo que la función de paso unitario sea la acumulación (total acumulado) de la función de impulso unitario.

Relación con las series de Fourier y la transformada de Fourier

Para valores de en la región conocida como círculo unitario , podemos expresar la transformada en función de una única variable real definiendo Y la transformada bilateral se reduce a una serie de Fourier : ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle |z|{=}1}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle z{=}e^{j\omega }.}$

que también se conoce como transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT) de la secuencia. Esta función periódica es la suma periódica de una transformada de Fourier , lo que la convierte en una herramienta de análisis ampliamente utilizada. Para entender esto, sea la transformada de Fourier de cualquier función, cuyas muestras en algún intervalo sean iguales a la secuencia. Entonces la DTFT de la secuencia se puede escribir de la siguiente manera. ${\displaystyle x[n]}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle X(f)}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle x[n]}$ ${\displaystyle x[n]}$

donde tiene unidades de segundos, tiene unidades de hercios . La comparación de las dos series revela que es una frecuencia normalizada con unidades de radianes por muestra . El valor corresponde a . Y ahora, con la sustitución la Ec.4 se puede expresar en términos de (una transformada de Fourier): ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \omega {=}2\pi fT}$ ${\displaystyle \omega {=}2\pi }$ ${\textstyle f{=}{\frac {1}{T}}}$ ${\textstyle f{=}{\frac {\omega }{2\pi T}},}$ ${\displaystyle X({\tfrac {\omega -2\pi k}{2\pi T}})}$

A medida que cambia el parámetro T , los términos individuales de la ecuación 5 se alejan o se acercan a lo largo del eje f . Sin embargo, en la ecuación 6 , los centros permanecen separados por 2 π , mientras que sus anchos se expanden o contraen. Cuando la secuencia representa la respuesta al impulso de un sistema LTI , estas funciones también se conocen como respuesta de frecuencia . Cuando la secuencia es periódica, su DTFT es divergente en una o más frecuencias armónicas y cero en todas las demás frecuencias. Esto a menudo se representa mediante el uso de funciones delta de Dirac con variantes de amplitud en las frecuencias armónicas. Debido a la periodicidad, solo hay un número finito de amplitudes únicas, que se calculan fácilmente mediante la transformada discreta de Fourier (DFT), mucho más simple. (Ver Transformada de Fourier en tiempo discreto § Datos periódicos ). ${\displaystyle x(nT)}$ ${\displaystyle x(nT)}$

Relación con la transformada de Laplace

transformada bilineal

La transformada bilineal se puede utilizar para convertir filtros de tiempo continuo (representados en el dominio de Laplace) en filtros de tiempo discreto (representados en el dominio Z) y viceversa. Se utiliza la siguiente sustitución:

${\displaystyle s={\frac {2}{T}}{\frac {(z-1)}{(z+1)}}}$

convertir alguna función en el dominio de Laplace a una función en el dominio Z ( transformación de Tustin ), o ${\displaystyle H(s)}$ ${\displaystyle H(z)}$

${\displaystyle z=e^{sT}\approx {\frac {1+sT/2}{1-sT/2}}}$

del dominio Z al dominio de Laplace. Mediante la transformación bilineal, el plano s complejo (de la transformada de Laplace) se asigna al plano z complejo (de la transformada z). Si bien este mapeo es (necesariamente) no lineal, es útil porque mapea todo el eje del plano s en el círculo unitario en el plano z. Como tal, la transformada de Fourier (que es la transformada de Laplace evaluada en el eje) se convierte en la transformada de Fourier de tiempo discreto. Esto supone que existe la transformada de Fourier; es decir, que el eje esté en la región de convergencia de la transformada de Laplace. ${\displaystyle j\omega }$ ${\displaystyle j\omega }$ ${\displaystyle j\omega }$

Transformación destacada

Dada una transformada Z unilateral de una función muestreada en el tiempo, la transformada estrella correspondiente produce una transformada de Laplace y restaura la dependencia de (el parámetro de muestreo): ${\displaystyle X(z)}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle {\bigg .}X^{*}(s)=X(z){\bigg |}_{\displaystyle z=e^{sT}}}$

La transformada inversa de Laplace es una abstracción matemática conocida como función de muestreo de impulsos .

Ecuación lineal en diferencias de coeficientes constantes

La ecuación de diferencia lineal de coeficientes constantes (LCCD) es una representación de un sistema lineal basada en la ecuación de media móvil autorregresiva :

${\displaystyle \sum _{p=0}^{N}y[n-p]\alpha _{p}=\sum _{q=0}^{M}x[n-q]\beta _{q}.}$

Ambos lados de la ecuación anterior se pueden dividir por si no es cero. Normalizando con la ecuación LCCD se puede escribir ${\displaystyle \alpha _{0}}$ ${\displaystyle \alpha _{0}{=}1,}$

${\displaystyle y[n]=\sum _{q=0}^{M}x[n-q]\beta _{q}-\sum _{p=1}^{N}y[n-p]\alpha _{p}.}$

Esta forma de la ecuación LCCD es favorable para hacer más explícito que la producción "actual" es una función de las salidas pasadas, la entrada actual y las entradas anteriores. ${\displaystyle y[n]}$ ${\displaystyle y[n-p],}$ ${\displaystyle x[n],}$ ${\displaystyle x[n-q].}$

Función de transferencia

Tomando la transformada Z de la ecuación anterior (usando leyes de linealidad y cambio de tiempo) se obtiene:

${\displaystyle Y(z)\sum _{p=0}^{N}z^{-p}\alpha _{p}=X(z)\sum _{q=0}^{M}z^{-q}\beta _{q}}$

donde y son la transformada z de y respectivamente. (Las convenciones de notación suelen utilizar letras mayúsculas para referirse a la transformada z de una señal indicada por una letra minúscula correspondiente, similar a la convención utilizada para anotar las transformadas de Laplace). ${\displaystyle X(z)}$ ${\displaystyle Y(z)}$ ${\displaystyle x[n]}$ ${\displaystyle y[n],}$

Reorganizar los resultados en la función de transferencia del sistema :

${\displaystyle H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {\sum _{q=0}^{M}z^{-q}\beta _{q}}{\sum _{p=0}^{N}z^{-p}\alpha _{p}}}={\frac {\beta _{0}+z^{-1}\beta _{1}+z^{-2}\beta _{2}+\cdots +z^{-M}\beta _{M}}{\alpha _{0}+z^{-1}\alpha _{1}+z^{-2}\alpha _{2}+\cdots +z^{-N}\alpha _{N}}}.}$

Ceros y polos

Según el teorema fundamental del álgebra, el numerador tiene raíces (correspondientes a ceros de ) y el denominador tiene raíces (correspondientes a polos). Reescribiendo la función de transferencia en términos de ceros y polos ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle H(z)={\frac {(1-q_{1}z^{-1})(1-q_{2}z^{-1})\cdots (1-q_{M}z^{-1})}{(1-p_{1}z^{-1})(1-p_{2}z^{-1})\cdots (1-p_{N}z^{-1})}},}$

donde está el cero y es el polo. Los ceros y los polos suelen ser complejos y, cuando se representan en el plano complejo (plano z), se denomina gráfico polo-cero . ${\displaystyle q_{k}}$ ${\displaystyle k^{\text{th}}}$ ${\displaystyle p_{k}}$ ${\displaystyle k^{\text{th}}}$

Además, también pueden existir ceros y polos en y. Si se tienen en cuenta estos polos y ceros, así como los ceros y polos de orden múltiple, el número de ceros y polos es siempre igual. ${\displaystyle z{=}0}$ ${\displaystyle z{=}\infty .}$

Al factorizar el denominador, se puede utilizar la descomposición en fracciones parciales , que luego se puede transformar nuevamente al dominio del tiempo. Hacerlo daría como resultado la respuesta al impulso y la ecuación en diferencia de coeficientes constantes lineales del sistema.

Respuesta de salida

Si dicho sistema es impulsado por una señal , entonces la salida se puede encontrar realizando una descomposición en fracciones parciales y luego tomando la transformada Z inversa . En la práctica, suele ser útil descomponer fraccionariamente antes de multiplicar esa cantidad por para generar una forma que tenga términos con transformadas Z inversas fácilmente computables. ${\displaystyle H(z)}$ ${\displaystyle X(z)}$ ${\displaystyle Y(z)=H(z)X(z).}$ ${\displaystyle Y(z)}$ ${\displaystyle y[n]}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {Y(z)}{z}}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle Y(z)}$

Ver también

• Transformada Z avanzada
• transformada bilineal
• Ecuación en diferencias (relación de recurrencia)
• convolución discreta
• Transformada de Fourier en tiempo discreto
• Respuesta de impulso finito
• Serie de potencias formales
• función generadora
• Generando transformación de función
• transformada de Laplace
• serie laurent
• Análisis espectral de mínimos cuadrados
• Función generadora de probabilidad
• transformación de estrella
• transformación de zak
• Regularización de la función Zeta

Referencias

1. Mandal, Jyotsna Kumar (2020). " Codificación reversible basada en transformación Z ". Esteganografía reversible y autenticación mediante codificación de transformación . Estudios en Inteligencia Computacional. vol. 901. Singapur: Springer Singapur. págs. 157-195. doi :10.1007/978-981-15-4397-5_7. ISBN 978-981-15-4396-8. ISSN  1860-949X. S2CID  226413693. Z es una variable compleja. La transformada Z convierte la señal del dominio espacial discreto en una representación compleja del dominio de frecuencia. La transformada Z se deriva de la transformada de Laplace.
2. Lynn, Paul A. (1986). "La transformada de Laplace y la transformada z ". Señales y Sistemas Electrónicos . Londres: Macmillan Education Reino Unido. págs. 225–272. doi :10.1007/978-1-349-18461-3_6. ISBN 978-0-333-39164-8. La transformada de Laplace y la transformada z están estrechamente relacionadas con la transformada de Fourier. La transformación z es especialmente adecuada para tratar con señales y sistemas discretos. Ofrece una notación más compacta y conveniente que la transformada de Fourier en tiempo discreto.
3. Palani, S. (26 de agosto de 2021). "El análisis de transformada z de sistemas y señales de tiempo discreto". Señales y Sistemas . Cham: Editorial Internacional Springer. págs. 921-1055. doi :10.1007/978-3-030-75742-7_9. ISBN 978-3-030-75741-0. S2CID  238692483. La transformada z es la contraparte discreta de la transformada de Laplace. La transformada z convierte ecuaciones en diferencias de sistemas de tiempo discreto en ecuaciones algebraicas, lo que simplifica el análisis de sistemas de tiempo discreto. La transformada de Laplace y la transformada z son comunes, excepto que la transformada de Laplace se ocupa de señales y sistemas de tiempo continuo.
4. ER Kanasewich (1981). Análisis de secuencia temporal en geofísica. Universidad de Alberta. págs.186, 249. ISBN 978-0-88864-074-1.
5. ER Kanasewich (1981). Análisis de secuencia temporal en geofísica (3ª ed.). Universidad de Alberta. págs. 185-186. ISBN 978-0-88864-074-1.
6. Ragazzini, JR; Zadeh, Luisiana (1952). "El análisis de sistemas de datos muestreados". Transacciones del Instituto Americano de Ingenieros Eléctricos, Parte II: Aplicaciones e Industria . 71 (5): 225–234. doi :10.1109/TAI.1952.6371274. S2CID  51674188.
7. Cornelius T. Leondes (1996). Implementación de sistemas de control digital y técnicas computacionales. Prensa académica. pag. 123.ISBN _ 978-0-12-012779-5.
8. Jurado Eliahu Ibrahim (1958). Sistemas de control de datos muestreados . John Wiley e hijos.
9. Jurado Eliahu Ibrahim (1973). Teoría y Aplicación del Método de la Transformada Z. Krieger Pub Co. ISBN 0-88275-122-0.
10. Jurado Eliahu Ibrahim (1964). Teoría y Aplicación del Método de la Transformada Z. John Wiley e hijos. pag. 1.
11. Jackson, Leland B. (1996). "La transformada z". Filtros digitales y procesamiento de señales . Boston, MA: Springer EE. UU. págs. 29–54. doi :10.1007/978-1-4757-2458-5_3. ISBN 978-1-4419-5153-3. La transformada z es para sistemas de tiempo discreto lo que la transformada de Laplace es para sistemas de tiempo continuo. z es una variable compleja. Esto a veces se denomina transformada z bilateral , siendo la transformada z unilateral la misma excepto por una suma desde n = 0 hasta el infinito. El uso principal de la transformación unilateral... es para secuencias causales, en cuyo caso las dos transformaciones son iguales de todos modos. Por lo tanto, no haremos esta distinción y nos referiremos a... simplemente como la transformada z de x ( n ).
12. Bolzern, Paolo; Scattolini, Ricardo; Schiavoni, Nicola (2015). Fondamenti di Controlli Automatici (en italiano). Educación de MC Graw Hill. ISBN 978-88-386-6882-1.
13. AR Forouzan (2016). "Región de convergencia de la derivada de la transformada Z". Letras de Electrónica . 52 (8): 617–619. Código Bib :2016ElL....52..617F. doi :10.1049/el.2016.0189. S2CID  124802942.

Otras lecturas

• Refaat El Attar, Apuntes de conferencias sobre Z-Transform , Lulu Press, Morrisville NC, 2005. ISBN 1-4116-1979-X . 
• Ogata, Katsuhiko, Sistemas de control de tiempo discretos, segunda edición , Prentice-Hall Inc, 1995, 1987. ISBN 0-13-034281-5 . 
• Alan V. Oppenheim y Ronald W. Schafer (1999). Procesamiento de señales en tiempo discreto, segunda edición, serie de procesamiento de señales de Prentice Hall. ISBN 0-13-754920-2 . 

enlaces externos

• "Transformada Z". Enciclopedia de Matemáticas . Prensa EMS . 2001 [1994].
• Merrikh-Bayat, Farshad (2014). "Dos métodos para la inversión numérica de la transformada Z". arXiv : 1409.1727 [matemáticas.NA].
• Tabla de transformada Z de algunas transformadas de Laplace comunes
• Entrada de Mathworld sobre la transformada Z
• Hilos de transformación Z en Comp.DSP
• Un gráfico de la relación entre el plano s de la transformada de Laplace y el plano Z de la transformada Z
• Una explicación en vídeo de la Transformada Z para ingenieros
• ¿Qué es la transformada z?