Argumento (análisis complejo)

Ángulo de un número complejo respecto al eje real

Figura 1. Este diagrama de Argand representa el número complejo que se encuentra en un plano . Para cada punto del plano, arg es la función que devuelve el ángulo . ${\displaystyle \varphi }$

En matemáticas (particularmente en análisis complejo ), el argumento de un número complejo z , denotado arg( z ) , es el ángulo entre el eje real positivo y la línea que une el origen y z , representado como un punto en el plano complejo , como se muestra en la Figura 1. Por convención, el eje real positivo se dibuja apuntando hacia la derecha, el eje imaginario positivo se dibuja apuntando hacia arriba y se considera que los números complejos con parte real positiva tienen un argumento en sentido antihorario con signo positivo. ${\displaystyle \varphi }$

Cuando se considera cualquier ángulo de valor real, el argumento es una función multivaluada que opera sobre los números complejos distintos de cero . El valor principal de esta función es univaluado, típicamente elegido para ser el único valor del argumento que se encuentra dentro del intervalo (− π , π ] . ^{[1] [2]} En este artículo la función multivaluada se denotará arg( z ) y su valor principal se denotará Arg( z ) , pero en algunas fuentes se intercambia la capitalización de estos símbolos.

Definición

Figura 2. Dos opciones para el argumento ${\displaystyle \varphi }$

Un argumento del número complejo z = x + iy , denotado arg( z ) , se define de dos maneras equivalentes:

1. Geométricamente, en el plano complejo , como el ángulo polar 2D desde el eje real positivo hasta el vector que representa z . El valor numérico viene dado por el ángulo en radianes y es positivo si se mide en sentido antihorario. ${\displaystyle \varphi }$
2. Algebraicamente, como cualquier cantidad real tal que para algún valor real positivo r (véase la fórmula de Euler ). La cantidad r es el módulo (o valor absoluto) de z , denotado | z |: ${\displaystyle \varphi }$ $${\displaystyle z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )=re^{i\varphi }}$$ $${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}$$

Los nombres magnitud , para el módulo, y fase , ^{[3] [1]} para el argumento, a veces se usan de forma equivalente.

Bajo ambas definiciones, se puede ver que el argumento de cualquier número complejo distinto de cero tiene muchos valores posibles: en primer lugar, como ángulo geométrico, está claro que las rotaciones de un círculo completo no cambian el punto, por lo que los ángulos que difieren en un múltiplo entero de 2π radianes (un círculo completo) son los mismos, como se refleja en la figura 2 a la derecha. De manera similar, a partir de la periodicidad de sen y cos , la segunda definición también tiene esta propiedad. El argumento de cero generalmente se deja sin definir.

Definición alternativa

El argumento complejo también se puede definir algebraicamente en términos de raíces complejas como: Esta definición elimina la dependencia de otras funciones difíciles de calcular, como el arcotangente , y elimina la necesidad de la definición por partes . Debido a que se define en términos de raíces , también hereda la rama principal de la raíz cuadrada como su propia rama principal. La normalización de dividiendo por no es necesaria para la convergencia al valor correcto, pero acelera la convergencia y garantiza que se deje sin definir. $${\displaystyle \arg(z)=\lim _{n\to \infty }n\cdot \operatorname {Im} {\sqrt[{n}]{z/|z|}}}$$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle |z|}$ ${\displaystyle \arg(0)}$

Valor principal

Figura 3. El valor principal Arg del punto azul en 1 + i es π/4 . La línea roja aquí es el corte de la rama y corresponde a las dos líneas rojas en la figura 4 vistas verticalmente una sobre la otra.

Como una rotación completa alrededor del origen deja un número complejo sin cambios, hay muchas opciones que se pueden tomar dando vueltas alrededor del origen cualquier número de veces. Esto se muestra en la figura 2, una representación de la función multivalorada (valor fijo) , donde una línea vertical (no se muestra en la figura) corta la superficie en alturas que representan todas las opciones posibles de ángulo para ese punto. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle f(x,y)=\arg(x+iy)}$

Cuando se requiere una función bien definida , entonces la elección habitual, conocida como valor principal , es el valor en el intervalo abierto-cerrado (− π rad, π rad] , es decir de − π a π radianes , excluyendo − π rad en sí (equiv., de −180 a +180 grados , excluyendo −180° en sí). Esto representa un ángulo de hasta medio círculo completo desde el eje real positivo en cualquier dirección.

Algunos autores definen el rango del valor principal como el intervalo cerrado-abierto [0, 2 π ) .

Notación

El valor principal a veces tiene la letra inicial en mayúscula, como en Arg z , especialmente cuando también se está considerando una versión general del argumento. Tenga en cuenta que la notación varía, por lo que arg y Arg pueden intercambiarse en diferentes textos.

El conjunto de todos los valores posibles del argumento se puede escribir en términos de Arg como:

${\displaystyle \arg(z)=\{\operatorname {Arg} (z)+2\pi n\mid n\in \mathbb {Z} \}.}$

Calculando desde la parte real e imaginaria

Si se conoce un número complejo en términos de sus partes reales e imaginarias, entonces la función que calcula el valor principal Arg se llama función arcotangente de dos argumentos, atan2 :

${\displaystyle \operatorname {Arg} (x+iy)=\operatorname {atan2} (y,\,x)}$.

La función atan2 está disponible en las bibliotecas matemáticas de muchos lenguajes de programación, a veces con un nombre diferente, y generalmente devuelve un valor en el rango (−π, π] . ^[1]

En algunas fuentes, el argumento se define como, sin embargo, esto es correcto solo cuando x > 0 , donde está bien definido y el ángulo se encuentra entre y Extender esta definición a casos donde x no es positivo es relativamente complicado. Específicamente, uno puede definir el valor principal del argumento por separado en el semiplano x > 0 y los dos cuadrantes con x < 0 , y luego unir las definiciones: ${\displaystyle \operatorname {Arg} (x+iy)=\arctan(y/x),}$ ${\displaystyle y/x}$ ${\displaystyle -{\tfrac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}.}$

${\displaystyle \operatorname {Arg} (x+iy)=\operatorname {atan2} (y,\,x)={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&{\text{if }}x>0,\\[5mu]\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y\geq 0,\\[5mu]\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y<0,\\[5mu]+{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y>0,\\[5mu]-{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y<0,\\[5mu]{\text{undefined}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0.\end{cases}}}$

Consulte atan2 para obtener más detalles e implementaciones alternativas.

Realizaciones de la función en lenguajes informáticos

Lenguaje Wolfram (Mathematica)

En el lenguaje Wolfram, hay Arg[z]: ^[4]

Arg[x + y I] ${\displaystyle ={\begin{cases}{\text{undefined}}&{\text{if }}|x|=\infty {\text{ and }}|y|=\infty ,\\[5mu]0&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0,\\[5mu]0&{\text{if }}x=\infty ,\\[5mu]\pi &{\text{if }}x=-\infty ,\\[5mu]\pm {\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}y=\pm \infty ,\\[5mu]\operatorname {Arg} (x+yi)&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

o usando el idioma ArcTan:

Arg[x + y I] ${\displaystyle ={\begin{cases}0&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0,\\[5mu]{\text{ArcTan[x, y]}}&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

ArcTan[x, y]se extiende para trabajar con infinitos. es (es decir, todavía está definido), mientras que no devuelve nada (es decir, no está definido ). ${\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)}$ArcTan[0, 0]IndeterminateArcTan[Infinity, -Infinity]

Arce

Maple se argument(z)comporta igual que Arg[z]en lenguaje Wolfram, excepto que argument(z)también devuelve si es el valor de punto flotante especial . ^[5] Además, Maple no tiene . ${\displaystyle \pi }$z−0. ${\displaystyle \operatorname {atan2} }$

MATLAB

MATLAB se angle(z)comporta ^{[6] [7]} igual que Arg[z]en lenguaje Wolfram, excepto que es

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {1\pi }{4}}&{\text{if }}x=\infty {\text{ and }}y=\infty ,\\[5mu]-{\frac {1\pi }{4}}&{\text{if }}x=\infty {\text{ and }}y=-\infty ,\\[5mu]{\frac {3\pi }{4}}&{\text{if }}x=-\infty {\text{ and }}y=\infty ,\\[5mu]-{\frac {3\pi }{4}}&{\text{if }}x=-\infty {\text{ and }}y=-\infty .\end{cases}}}$

A diferencia de los lenguajes Maple y Wolfram, el de MATLAB atan2(y, x)es equivalente a angle(x + y*1i). Es decir, atan2(0, 0)es . ${\displaystyle 0}$

Identidades

Una de las principales motivaciones para definir el valor principal Arg es poder escribir números complejos en forma de módulo-argumento. Por lo tanto, para cualquier número complejo z ,

${\displaystyle z=\left|z\right|e^{i\operatorname {Arg} z}.}$

Esto sólo es realmente válido si z no es cero, pero puede considerarse válido para z = 0 si Arg(0) se considera como una forma indeterminada , en lugar de indefinida.

Se deducen algunas identidades adicionales. Si z ₁ y z ₂ son dos números complejos distintos de cero, entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Arg} (z_{1}z_{2})&\equiv \operatorname {Arg} (z_{1})+\operatorname {Arg} (z_{2}){\pmod {\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }},\\\operatorname {Arg} \left({\frac {z_{1}}{z_{2}}}\right)&\equiv \operatorname {Arg} (z_{1})-\operatorname {Arg} (z_{2}){\pmod {\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }}.\end{aligned}}}$

Si z ≠ 0 y n es cualquier número entero, entonces ^[1]

${\displaystyle \operatorname {Arg} \left(z^{n}\right)\equiv n\operatorname {Arg} (z){\pmod {\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }}.}$

Ejemplo

${\displaystyle \operatorname {Arg} {\biggl (}{\frac {-1-i}{i}}{\biggr )}=\operatorname {Arg} (-1-i)-\operatorname {Arg} (i)=-{\frac {3\pi }{4}}-{\frac {\pi }{2}}=-{\frac {5\pi }{4}}}$

Usando el logaritmo complejo

De , obtenemos , alternativamente . Como tomamos la parte imaginaria, cualquier normalización por un escalar real no afectará el resultado. Esto es útil cuando se tiene disponible el logaritmo complejo . ${\displaystyle z=|z|e^{i\operatorname {Arg} (z)}}$ ${\displaystyle i\operatorname {Arg} (z)=\ln {\frac {z}{|z|}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Arg} (z)=\operatorname {Im} (\ln {\frac {z}{|z|}})=\operatorname {Im} (\ln z)}$

Argumento extendido

El argumento extendido de un número z (denotado como ) es el conjunto de todos los números reales congruentes con el módulo 2. [ ^8] ${\displaystyle {\overline {\arg }}(z)}$ ${\displaystyle \arg(z)}$ ${\displaystyle \pi }$ $${\displaystyle {\overline {\arg }}(z)=\arg(z)+2k\pi ,\forall k\in \mathbb {Z} }$$

Referencias

1. Weisstein, Eric W. "Argumento complejo". mathworld.wolfram.com . Consultado el 31 de agosto de 2020 .
2. "Matemáticas puras". internal.ncl.ac.uk . Consultado el 31 de agosto de 2020 .
3. Diccionario de Matemáticas (2002). fase .
4. "Arg". Documentación de Wolfram Language . Consultado el 30 de agosto de 2024 .
5. "Argumento - Ayuda de Maple".
6. "Ángulo de fase - ángulo MATLAB".
7. "Tangente inversa de cuatro cuadrantes - MATLAB atan2".
8. "Estructura algebraica de números complejos". www.cut-the-knot.org . Consultado el 29 de agosto de 2021 .

Bibliografía

• Ahlfors, Lars (1979). Análisis complejo: Introducción a la teoría de funciones analíticas de una variable compleja (3.ª ed.). Nueva York; Londres: McGraw-Hill. ISBN 0-07-000657-1.
• Ponnuswamy, S. (2005). Fundamentos del análisis complejo (2.ª ed.). Nueva Delhi; Bombay: Narosa. ISBN 978-81-7319-629-4.
• Beardon, Alan (1979). Análisis complejo: el principio de argumento en análisis y topología . Chichester: Wiley. ISBN 0-471-99671-8.
• Borowski, Ephraim; Borwein, Jonathan (2002) [1.ª ed. 1989 como Diccionario de matemáticas ]. Matemáticas . Diccionario Collins (2.ª ed.). Glasgow: HarperCollins . ISBN. 0-00-710295-X.

Enlaces externos

• Argumento en la Enciclopedia de Matemáticas .