Cálculo de escala de tiempo

En matemáticas , el cálculo de escala de tiempo es una unificación de la teoría de ecuaciones en diferencias con la de ecuaciones diferenciales , unificando el cálculo integral y diferencial con el cálculo de diferencias finitas , ofreciendo un formalismo para estudiar sistemas híbridos . Tiene aplicaciones en cualquier campo que requiera modelado simultáneo de datos discretos y continuos. Da una nueva definición de derivada tal que si uno diferencia una función definida en números reales, entonces la definición es equivalente a la diferenciación estándar, pero si uno usa una función definida en números enteros, entonces es equivalente al operador de diferencia directa .

Historia

El cálculo de escalas de tiempo fue introducido en 1988 por el matemático alemán Stefan Hilger. ^[1] Sin embargo, se han utilizado ideas similares antes y se remontan al menos a la introducción de la integral de Riemann-Stieltjes , que unifica sumas e integrales.

Ecuaciones dinámicas

Muchos resultados relacionados con ecuaciones diferenciales se trasladan con bastante facilidad a los resultados correspondientes de ecuaciones en diferencias, mientras que otros resultados parecen ser completamente diferentes de sus contrapartes continuas . ^[2] El estudio de ecuaciones dinámicas en escalas de tiempo revela tales discrepancias y ayuda a evitar probar los resultados dos veces: una para ecuaciones diferenciales y otra para ecuaciones en diferencias. La idea general es demostrar un resultado para una ecuación dinámica donde el dominio de la función desconocida es la llamada escala de tiempo (también conocida como conjunto de tiempo), que puede ser un subconjunto cerrado arbitrario de los reales. De esta manera, los resultados se aplican no sólo al conjunto de números reales o al conjunto de números enteros sino a escalas de tiempo más generales, como un conjunto de Cantor .

Los tres ejemplos más populares de cálculo en escalas de tiempo son el cálculo diferencial , el cálculo en diferencias y el cálculo cuántico . Las ecuaciones dinámicas en una escala de tiempo tienen potencial para aplicaciones como en la dinámica de poblaciones . Por ejemplo, pueden modelar poblaciones de insectos que evolucionan continuamente durante la temporada, mueren en invierno mientras sus huevos están incubando o están inactivos y luego eclosionan en una nueva temporada, dando lugar a una población que no se superpone.

Definiciones formales

Una escala de tiempo (o cadena de medidas ) es un subconjunto cerrado de la línea real . La notación común para una escala de tiempo general es . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$

Los dos ejemplos de escalas de tiempo más comunes son los números reales y la escala de tiempo discreta . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle h\mathbb {Z} }$

Un único punto en una escala de tiempo se define como:

${\displaystyle t:t\in \mathbb {T} }$

Operaciones en escalas de tiempo.

Los operadores de salto hacia adelante, salto hacia atrás y granulosidad en una escala de tiempo discreta

Los operadores de salto hacia adelante y salto hacia atrás representan el punto más cercano en la escala de tiempo a la derecha e izquierda de un punto determinado , respectivamente. Formalmente: ${\displaystyle t}$

${\displaystyle \sigma (t)=\inf\{s\in \mathbb {T} :s>t\}}$(operador de cambio de avance/salto)

${\displaystyle \rho (t)=\sup\{s\in \mathbb {T} :s<t\}}$(operador de cambio hacia atrás/salto)

La granulosidad es la distancia de un punto al punto más cercano a la derecha y viene dada por: ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \mu (t)=\sigma (t)-t.}$

Para un , y . Para una densidad izquierda , ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \sigma (t)=t}$ ${\displaystyle \mu (t)=0}$
${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \rho (t)=t.}$

Clasificación de puntos

Varios puntos en una escala de tiempo con diferentes clasificaciones.

Para cualquiera , es: ${\displaystyle t\in \mathbb {T} }$ ${\displaystyle t}$

• queda denso si ${\displaystyle \rho (t)=t}$
• bien denso si ${\displaystyle \sigma (t)=t}$
• dejado disperso si ${\displaystyle \rho (t)<t}$
• derecho disperso si ${\displaystyle \sigma (t)>t}$
• denso si tanto el denso izquierdo como el denso derecho
• aislado si ambos están dispersos por la izquierda y por la derecha

Como lo ilustra la figura de la derecha:

• El punto es denso. ${\displaystyle t_{1}}$
• El punto es denso a la izquierda y disperso a la derecha. ${\displaystyle t_{2}}$
• El punto está aislado. ${\displaystyle t_{3}}$
• El punto está disperso a la izquierda y denso a la derecha. ${\displaystyle t_{4}}$

Continuidad

La continuidad de una escala de tiempo se redefine como equivalente a la densidad. Se dice que una escala de tiempo es continua a la derecha en un punto ${\displaystyle t}$ si es densa a la derecha en un punto . De manera similar, se dice que una escala de tiempo es continua por la izquierda en el punto si se deja densa en el punto . ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$

Derivado

Toma una función:

${\displaystyle f:\mathbb {T} \to \mathbb {R} ,}$

(donde R podría ser cualquier espacio de Banach , pero se establece en la línea real por simplicidad).

Definición: La derivada delta (también derivada de Hilger) existe si y sólo si: ${\displaystyle f^{\Delta }(t)}$

Para cada existe una vecindad tal que: ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle \left|f(\sigma (t))-f(s)-f^{\Delta }(t)(\sigma (t)-s)\right|\leq \varepsilon \left|\sigma (t)-s\right|}$

para todos dentro . ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle U}$

Toma entonces , , ; es la derivada utilizada en el cálculo estándar . Si (los números enteros ), , , es el operador de diferencia directa utilizado en ecuaciones en diferencias. ${\displaystyle \mathbb {T} =\mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \sigma (t)=t}$ ${\displaystyle \mu (t)=0}$ ${\displaystyle f^{\Delta }=f'}$ ${\displaystyle \mathbb {T} =\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \sigma (t)=t+1}$ ${\displaystyle \mu (t)=1}$ ${\displaystyle f^{\Delta }=\Delta f}$

Integración

La integral delta se define como la antiderivada con respecto a la derivada delta. Si tiene una derivada continua se establece ${\displaystyle F(t)}$ ${\displaystyle f(t)=F^{\Delta }(t)}$

${\displaystyle \int _{r}^{s}f(t)\Delta (t)=F(s)-F(r).}$

Transformada de Laplace y transformada z

Se puede definir una transformada de Laplace para funciones en escalas de tiempo, que utiliza la misma tabla de transformaciones para cualquier escala de tiempo arbitraria. Esta transformada se puede utilizar para resolver ecuaciones dinámicas en escalas de tiempo. Si la escala de tiempo son números enteros no negativos, entonces la transformación es igual ^[2] a una transformada Z modificada :

$${\displaystyle {\mathcal {Z}}'\{x[z]\}={\frac {{\mathcal {Z}}\{x[z+1]\}}{z+1}}}$$

Diferenciación parcial

Las ecuaciones diferenciales parciales y las ecuaciones en diferencias parciales se unifican como ecuaciones dinámicas parciales en escalas de tiempo. ^{[3] [4] [5]}

Integración múltiple

La integración múltiple en escalas de tiempo se trata en Bohner (2005). ^[6]

Ecuaciones dinámicas estocásticas en escalas de tiempo.

Las ecuaciones diferenciales estocásticas y las ecuaciones en diferencias estocásticas se pueden generalizar a ecuaciones dinámicas estocásticas en escalas de tiempo. ^[7]

Teoría de la medida en escalas de tiempo.

Asociada con cada escala de tiempo hay una medida natural ^{[8] [9]} definida a través de

${\displaystyle \mu ^{\Delta }(A)=\lambda (\rho ^{-1}(A)),}$

donde denota la medida de Lebesgue y es el operador de desplazamiento hacia atrás definido en . La integral delta resulta ser la integral habitual de Lebesgue-Stieltjes con respecto a esta medida ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \int _{r}^{s}f(t)\Delta t=\int _{[r,s)}f(t)d\mu ^{\Delta }(t)}$

y la derivada delta resulta ser la derivada Radon-Nikodym con respecto a esta medida ^[10]

${\displaystyle f^{\Delta }(t)={\frac {df}{d\mu ^{\Delta }}}(t).}$

Distribuciones en escalas de tiempo.

El delta de Dirac y el delta de Kronecker están unificados en escalas de tiempo como el delta de Hilger : ^{[11] [12]}

${\displaystyle \delta _{a}^{\mathbb {H} }(t)={\begin{cases}{\dfrac {1}{\mu (a)}},&t=a\\0,&t\neq a\end{cases}}}$

Ecuaciones integrales en escalas de tiempo.

Las ecuaciones integrales y las ecuaciones sumatorias se unifican como ecuaciones integrales en escalas de tiempo. ^{[ cita necesaria ]}

Cálculo fraccionario en escalas de tiempo.

El cálculo fraccional en escalas de tiempo se trata en Bastos, Mozyrska y Torres. ^[13]

Ver también

• Análisis de fractales para ecuaciones dinámicas sobre un conjunto de Cantor .
• Análisis a múltiples escalas
• Método de promediar
• Método de promediado de Krylov-Bogoliubov

Referencias

1. Hilger, Stefan (1989). Ein Maßkettenkalkül mit Anwendung auf Zentrumsmannigfaltigkeiten (tesis doctoral). Universidad de Würzburg. OCLC  246538565.
2. Martin Bohner y Allan Peterson (2001). Ecuaciones dinámicas en escalas de tiempo . Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-4225-9.
3. Ahlbrandt, Calvin D.; Morian, Cristina (2002). "Ecuaciones diferenciales parciales en escalas de tiempo". Revista de Matemática Computacional y Aplicada . 141 (1–2): 35–55. Código Bib : 2002JCoAM.141...35A. doi : 10.1016/S0377-0427(01)00434-4 .
4. Jackson, B. (2006). "Ecuaciones dinámicas parciales en escalas de tiempo". Revista de Matemática Computacional y Aplicada . 186 (2): 391–415. Código Bib : 2006JCoAM.186..391J. doi : 10.1016/j.cam.2005.02.011 .
5. Bohner, M.; Guseinov, GS (2004). «Diferenciación parcial en escalas de tiempo» (PDF) . Sistemas dinámicos y aplicaciones . 13 : 351–379.
6. Bohner, M; Guseinov, GS (2005). "Integración múltiple en escalas de tiempo". Sistemas dinámicos y aplicaciones . CiteSeerX 10.1.1.79.8824 . 
7. Sanyal, Suman (2008). Ecuaciones dinámicas estocásticas (tesis doctoral). Universidad de Ciencia y Tecnología de Missouri . ProQuest  304364901.
8. Guseinov, GS (2003). "Integración en escalas de tiempo". J. Matemáticas. Anal. Aplica . 285 : 107–127. doi : 10.1016/S0022-247X(03)00361-5 .
9. Deniz, A. (2007). Teoría de la medida en escalas de tiempo (PDF) (tesis de maestría). Instituto de Tecnología de Esmirna .
10. Eckhardt, J.; Teschl, G. (2012). "Sobre la conexión entre los derivados de Hilger y Radon-Nikodym". J. Matemáticas. Anal. Aplica . 385 (2): 1184-1189. arXiv : 1102.2511 . doi :10.1016/j.jmaa.2011.07.041. S2CID  17178288.
11. Davis, John M.; Gravagne, Ian A.; Jackson, Billy J.; Marcos, Robert J. II; Ramos, Alicia A. (2007). "Revisión de la transformada de Laplace en escalas de tiempo". J. Matemáticas. Anal. Aplica . 332 (2): 1291-1307. Código Bib : 2007JMAA..332.1291D. doi : 10.1016/j.jmaa.2006.10.089 .
12. Davis, John M.; Gravagne, Ian A.; Marcas, Robert J. II (2010). "Transformadas bilaterales de Laplace en escalas de tiempo: convergencia, convolución y caracterización de series temporales estocásticas estacionarias". Circuitos, Sistemas y Procesamiento de Señales . 29 (6): 1141-1165. doi :10.1007/s00034-010-9196-2. S2CID  16404013.
13. Bastos, Nuno R. O.; Mozyrska, Dorota; Torres, Delfim F. M. (2011). "Fractional Derivatives and Integrals on Time Scales via the Inverse Generalized Laplace Transform". International Journal of Mathematics & Computation. 11 (J11): 1–9. arXiv:1012.1555. Bibcode:2010arXiv1012.1555B.

Further reading

• Agarwal, Ravi; Bohner, Martin; O’Regan, Donal; Peterson, Allan (2002). "Dynamic equations on time scales: a survey". Journal of Computational and Applied Mathematics. 141 (1–2): 1–26. Bibcode:2002JCoAM.141....1A. doi:10.1016/S0377-0427(01)00432-0.
• Dynamic Equations on Time Scales Special issue of Journal of Computational and Applied Mathematics (2002)
• Dynamic Equations And Applications Special Issue of Advances in Difference Equations (2006)
• Dynamic Equations on Time Scales: Qualitative Analysis and Applications Special issue of Nonlinear Dynamics And Systems Theory (2009)

External links

• The Baylor University Time Scales Group
• Timescalewiki.org