En matemáticas aplicadas , la transformada en estrella , o transformada en estrella , es una variación en tiempo discreto de la transformada de Laplace , llamada así por el asterisco o "estrella" en la notación habitual de las señales muestreadas. La transformada es un operador de una función de tiempo continuo , que se transforma en una función de la siguiente manera: [1]![{\displaystyle x(t)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X^{*}(s)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}X^{*}(s)={\mathcal {L}}[x(t)\cdot \delta _ {T}(t)]={\mathcal {L}} [x^{*}(t)],\end{alineado}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde es una función de peine de Dirac , con período de tiempo T.![{\displaystyle \delta _ {T}(t)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La transformada estrellada es una abstracción matemática conveniente que representa la transformada de Laplace de una función muestreada por impulso , que es la salida de un muestreador ideal , cuya entrada es una función continua .![{\displaystyle x^{*}(t)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x(t)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La transformada en estrella es similar a la transformada Z , con un simple cambio de variables, donde la transformada en estrella se declara explícitamente en términos del período de muestreo (T), mientras que la transformada Z se realiza sobre una señal discreta y es independiente del muestreo. período. Esto hace que la transformación estrella sea una versión desnormalizada de la transformada Z unilateral , ya que restaura la dependencia del parámetro de muestreo T.
Relación con la transformada de Laplace
Desde donde:![{\displaystyle X^{*}(s)={\mathcal {L}}[x^{*}(t)]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}x^{*}(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ x(t)\cdot \delta _ {T}(t)&= x(t)\cdot \sum _{n=0}^{\infty }\delta (t-nT).\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Entonces, según el teorema de convolución , la transformación con asterisco es equivalente a la convolución compleja de y , por lo tanto: [1]![{\displaystyle {\mathcal {L}}[x(t)]=X(s)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathcal {L}}[\delta _ {T}(t)]={\frac {1}{1-e^{-Ts}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X^{*}(s)={\frac {1}{2\pi j}}\int _{cj\infty }^{c+j\infty }{X(p)\cdot {\ frac {1}{1-e^{-T(sp)}}}\cdot dp}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Esta integración lineal es equivalente a la integración en sentido positivo a lo largo de un contorno cerrado formado por dicha línea y un semicírculo infinito que encierra los polos de X(s) en el semiplano izquierdo de p . El resultado de tal integración (según el teorema del residuo ) sería:
![{\displaystyle X^{*}(s)=\sum _{\lambda ={\text{polos de }}X(s)}\operatorname {Res} \limits _{p=\lambda }{\bigg [ }X(p){\frac {1}{1-e^{-T(sp)}}}{\bigg ]}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Alternativamente, la integración lineal antes mencionada es equivalente a la integración en sentido negativo a lo largo de un contorno cerrado formado por dicha línea y un semicírculo infinito que encierra los polos infinitos de en el semiplano derecho de p . El resultado de tal integración sería:![{\displaystyle {\frac {1}{1-e^{-T(sp)}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X^{*}(s)={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left(sj{\tfrac {2\pi } {T}}k\right)+{\frac {x(0)}{2}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Relación con la transformada Z
Dada una transformada Z , X ( z ), la transformación destacada correspondiente es una sustitución simple :
[2]
Esta sustitución restablece la dependencia de T.
Es intercambiable, [ cita necesaria ]
Propiedades de la transformación estrellada
Propiedad 1: es periódica con período![{\displaystyle X^{*}(s)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle s}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle j{\tfrac {2\pi }{T}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X^{*}(s+j{\tfrac {2\pi }{T}}k)=X^{*}(s)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Propiedad 2: Si tiene un polo en , entonces debe tener polos en , donde![{\displaystyle X(s)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle s=s_{1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X^{*}(s)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle s=s_{1}+j{\tfrac {2\pi }{T}}k}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \scriptstyle k=0,\pm 1,\pm 2,\ldots }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Citas
- ^ ab Jurado, Eliahu I. Análisis y síntesis de sistemas de control de datos muestreados . Transacciones del Instituto Americano de Ingenieros Eléctricos - Parte I: Comunicación y Electrónica, 73.4, 1954, p. 332-346.
- ^ Bech, pág.9
Referencias
- Bech, Michael M. "Teoría del control digital" (PDF) . Universidad de AALBORG . Consultado el 5 de febrero de 2014 .
- Gopal, M. (marzo de 1989). Ingeniería de Control Digital . John Wiley e hijos. ISBN 0852263082.
- Phillips y Nagle, "Análisis y diseño de sistemas de control digital", tercera edición, Prentice Hall, 1995. ISBN 0-13-309832-X