Mapeo comprimido

En álgebra lineal , un mapeo de compresión , también llamado transformación de compresión , es un tipo de mapa lineal que preserva el área euclidiana de regiones en el plano cartesiano , pero no es un mapeo de rotación o corte .

Para un número real positivo fijo $a$ , el mapeo

(x,y)\mapsto (ax,y/a)

es el mapeo de compresión con el parámetro $a$ . Desde

\{(u,v)\,:\,uv=\mathrm {constante} \}

es una hipérbola , si $u = ax$ y $v = y / a$ , entonces $uv = xy$ y los puntos de la imagen del mapeo de compresión están en la misma hipérbola que $(x, y)$ . Por esta razón, es natural pensar en el mapeo de compresión como una rotación hiperbólica , como lo hizo Émile Borel en 1914, ^[1] por analogía con las rotaciones circulares , que preservan los círculos.

Logaritmo y ángulo hiperbólico.

El mapeo de compresión sienta las bases para el desarrollo del concepto de logaritmos. El problema de encontrar el área delimitada por una hipérbola (como $xy = 1)$ es de cuadratura . La solución, encontrada por Grégoire de Saint-Vincent y Alphonse Antonio de Sarasa en 1647, requería la función logaritmo natural , un concepto nuevo. Alguna idea de los logaritmos se obtiene a través de sectores hiperbólicos que se permutan mediante asignaciones de compresión preservando al mismo tiempo su área. El área de un sector hiperbólico se toma como medida de un ángulo hiperbólico asociado con el sector. El concepto de ángulo hiperbólico es bastante independiente del ángulo circular ordinario , pero comparte una propiedad de invariancia con él: mientras que el ángulo circular es invariante bajo rotación, el ángulo hiperbólico es invariante bajo mapeo de compresión. Tanto el ángulo circular como el hiperbólico generan medidas invariantes pero con respecto a diferentes grupos de transformación. Las funciones hiperbólicas , que toman el ángulo hiperbólico como argumento, desempeñan el papel que desempeñan las funciones circulares con el argumento del ángulo circular. ^[2]

teoría de grupos

En 1688, mucho antes de la teoría abstracta de grupos , Euclid Speidell describió el mapeo de compresión en los términos de la época: "A partir de un cuadrado y una compañía infinita de oblongos en superficies, cada uno igual a ese cuadrado, cómo se engendra una curva que tendrá las mismas propiedades o afecciones de cualquier hipérbola inscrita dentro de un cono en ángulo recto." ^[3]

Si $r$ y $s$ son números reales positivos, la composición de sus aplicaciones de compresión es la aplicación de compresión de su producto. Por lo tanto, la colección de asignaciones de compresión forma un grupo de un parámetro isomorfo al grupo multiplicativo de números reales positivos . Una visión aditiva de este grupo surge de la consideración de los sectores hiperbólicos y sus ángulos hiperbólicos.

Desde el punto de vista de los grupos clásicos , el grupo de asignaciones de compresión es $SO + (1,1)$ , el componente identidad del grupo ortogonal indefinido de matrices reales 2×2 que conservan la forma cuadrática $u 2 - v 2$ . Esto equivale a preservar la forma $xy$ mediante el cambio de base.

x=u+v,\quad y=uv\,,

y corresponde geométricamente a preservar hipérbolas. La perspectiva del grupo de asignaciones de compresión como rotación hiperbólica es análoga a interpretar el grupo $SO(2)$ (el componente conectado del grupo ortogonal definido ) preservando la forma cuadrática $x 2 + y 2$ como rotaciones circulares .

Tenga en cuenta que la notación " $SO +$ " corresponde al hecho de que las reflexiones

u\mapsto -u,\quad v\mapsto -v

no están permitidos, aunque conservan la forma (en términos de xey $estos$ $son$ x $\mapsto y, y \mapsto x y$ x $\mapsto - x, y \mapsto - y)$ ; el " $+$ " adicional en el caso hiperbólico (en comparación con el caso circular) es necesario para especificar el componente de identidad porque el grupo $O(1,1)$ tiene $4$ componentes conectados , mientras que el grupo $O(2)$ tiene $2$ componentes: $SO (1,1)$ tiene $2$ componentes, mientras que $SO(2)$ solo tiene 1. El hecho de que las transformadas de compresión conserven el área y la orientación corresponde a la inclusión de subgrupos $SO \subset SL$ – en este caso $SO(1,1) \subset SL( 2)$ – del subgrupo de rotaciones hiperbólicas en el grupo lineal especial de transformadas que preservan el área y la orientación (una forma de volumen ). En el lenguaje de las transformaciones de Möbius , las transformaciones de compresión son los elementos hiperbólicos en la clasificación de elementos .

Una transformación geométrica se llama conforme cuando conserva los ángulos. El ángulo hiperbólico se define usando el área bajo y = 1/ x . Dado que los mapeos comprimidos preservan áreas de regiones transformadas, como los sectores hiperbólicos , se conserva la medida del ángulo de los sectores. Por tanto, las asignaciones de compresión son conformes en el sentido de preservar el ángulo hiperbólico.

Aplicaciones

Aquí se resumen algunas aplicaciones con referencias históricas.

Espacio-tiempo relativista

La geometría del espacio-tiempo se desarrolla convencionalmente de la siguiente manera: seleccione (0,0) para un "aquí y ahora" en un espacio-tiempo. La luz radiante a izquierda y derecha a través de este evento central rastrea dos líneas en el espacio-tiempo, líneas que pueden usarse para dar coordenadas a eventos alejados de (0,0). Las trayectorias de menor velocidad se acercan más a la línea de tiempo original (0, t ). Cualquier velocidad de este tipo puede verse como una velocidad cero bajo un mapeo de compresión llamado impulso de Lorentz . Esta idea se desprende de un estudio de las multiplicaciones de números complejos divididos y la base diagonal que corresponde al par de líneas claras. Formalmente, una compresión conserva la métrica hiperbólica expresada en la forma xy ; en un sistema de coordenadas diferente. Esta aplicación en la teoría de la relatividad fue señalada en 1912 por Wilson y Lewis, ^[4] por Werner Greub, ^[5] y por Louis Kauffman . ^[6] Además, la forma de mapeo de compresión de las transformaciones de Lorentz fue utilizada por Gustav Herglotz (1909/10) ^[7] mientras analizaba la rigidez de Born , y fue popularizada por Wolfgang Rindler en su libro de texto sobre relatividad, quien la usó en su demostración de su propiedad característica. ^[8]

El término transformación de compresión se utilizó en este contexto en un artículo que relacionaba el grupo de Lorentz con el cálculo de Jones en óptica. ^[9]

flujo de esquina

En dinámica de fluidos, uno de los movimientos fundamentales de un flujo incompresible implica la bifurcación de un flujo que choca contra una pared inamovible. Representando la pared por el eje y = 0 y tomando el parámetro r = exp( t ) donde t es el tiempo, entonces el mapeo de compresión con el parámetro r aplicado a un estado de fluido inicial produce un flujo con bifurcación a izquierda y derecha del eje x = 0. El mismo modelo proporciona una convergencia fluida cuando el tiempo retrocede. De hecho, el área de cualquier sector hiperbólico es invariante bajo compresión.

Para conocer otro enfoque de un flujo con líneas de corriente hiperbólicas , consulte Flujo potencial § Leyes de potencia con n = 2 .

En 1989, Ottino ^[10] describió el "flujo bidimensional isocórico lineal" como

{\ Displaystyle v_ {1} = Gx_ {2} \ quad v_ {2} = KGx_ {1}}

donde K se encuentra en el intervalo [−1, 1]. Las líneas de corriente siguen las curvas.

x_{2}^{2}-Kx_{1}^{2}=\mathrm {constante}

entonces K negativo corresponde a una elipse y K positivo a una hipérbola, con el caso rectangular del mapeo de compresión correspondiente a K = 1.

Stocker y Hosoi ^[11] describieron su enfoque del flujo de esquina de la siguiente manera:

Sugerimos una formulación alternativa para tener en cuenta la geometría en forma de esquina, basada en el uso de coordenadas hiperbólicas, que permite un progreso analítico sustancial hacia la determinación del flujo en un borde de meseta y hilos líquidos adjuntos. Consideramos una región de flujo que forma un ángulo de π /2 y delimitada hacia la izquierda y hacia abajo por planos de simetría.

Stocker y Hosoi recuerdan luego la consideración de Moffatt ^[12] sobre "el flujo en una esquina entre límites rígidos, inducido por una perturbación arbitraria a una gran distancia". Según Stocker y Hosoi,

Para un fluido libre en una esquina cuadrada, la función de flujo (antisimétrica) de Moffatt... [indica] que las coordenadas hiperbólicas son de hecho la elección natural para describir estos flujos.

Puente hacia lo trascendental

La propiedad de conservación del área del mapeo de compresión tiene una aplicación para establecer las bases del logaritmo natural de funciones trascendentales y su inversa, la función exponencial :

Definición: Sector( a,b ) es el sector hiperbólico obtenido con rayos centrales a ( a , 1/ a ) y ( b , 1/ b ).

Lema: Si bc = ad , entonces hay un mapeo de compresión que mueve el sector ( a,b ) al sector ( c,d ).

Prueba: Tome el parámetro r = c / a de modo que ( u,v ) = ( rx , y / r ) lleve ( a , 1/ a ) a ( c , 1/ c ) y ( b , 1/ b ) a ( d , 1/ d ).

Teorema ( Grégoire de Saint-Vincent 1647) Si bc = ad , entonces la cuadratura de la hipérbola xy = 1 contra la asíntota tiene áreas iguales entre a y b en comparación con entre c y d .

Prueba: un argumento que suma y resta triángulos de área 1 ⁄ 2 , siendo un triángulo {(0,0), (0,1), (1,1)}, muestra que el área del sector hiperbólico es igual al área a lo largo de la asíntota . El teorema se sigue entonces del lema.

Teorema ( Alphonse Antonio de Sarasa 1649) A medida que el área medida contra la asíntota aumenta en progresión aritmética, las proyecciones sobre la asíntota aumentan en secuencia geométrica. Así, las áreas forman logaritmos del índice asíntota.

Por ejemplo, para un ángulo de posición estándar que va desde (1, 1) hasta ( x , 1/ x ), uno puede preguntar "¿Cuándo es el ángulo hiperbólico igual a uno?" La respuesta es el número trascendental x = e .

Un apretón con r = e mueve el ángulo unitario a uno entre ( e , 1/ e ) y ( ee , 1/ ee ) que subtiende un sector también de área uno. La progresión geométrica

mi , mi ² , mi ³ , ..., mi ⁿ , ...

corresponde al índice asintótico alcanzado con cada suma de áreas

1,2,3, ..., norte ,...

que es una progresión aritmética prototípica A + nd donde A = 0 y d = 1 .

mentira transformar

Siguiendo las investigaciones de Pierre Ossian Bonnet (1867) sobre superficies de curvaturas constantes, Sophus Lie (1879) encontró una manera de derivar nuevas superficies pseudoesféricas a partir de una conocida. Tales superficies satisfacen la ecuación de Seno-Gordon :

{\frac {d^{2}\Theta }{ds\ d\sigma }}=K\sin \Theta,

donde son las coordenadas asintóticas de dos curvas tangentes principales y su respectivo ángulo. Lie demostró que si es una solución a la ecuación de Seno-Gordon, entonces el siguiente mapeo de compresión (ahora conocido como transformada de Lie ^[13] ) indica otras soluciones de esa ecuación: ^[14] $(s,\sigma)$ $\Theta$ $\Theta =f(s,\sigma)$

\Theta =f\left(ms,\ {\frac {\sigma }{m}}\right).

Lie (1883) notó su relación con otras dos transformaciones de superficies pseudoesféricas: ^[15] La transformada de Bäcklund (introducida por Albert Victor Bäcklund en 1883) puede verse como la combinación de una transformada de Lie con una transformada de Bianchi (introducida por Luigi Bianchi en 1879.) Estas transformaciones de superficies pseudoesféricas fueron discutidas en detalle en las conferencias sobre geometría diferencial de Gaston Darboux (1894), ^[16] Luigi Bianchi (1894), ^[17] o Luther Pfahler Eisenhart (1909). ^[18]

Se sabe que las transformadas de Lie (o mapeos de compresión) corresponden a impulsos de Lorentz en términos de coordenadas del cono de luz , como señalaron Terng y Uhlenbeck (2000): ^[13]

Sophus Lie observó que la SGE [ecuación de Sinus-Gordon] es invariante bajo transformaciones de Lorentz. En coordenadas asintóticas, que corresponden a las coordenadas del cono de luz, una transformación de Lorentz es . $(x,t)\mapsto \left({\tfrac {1}{\lambda }}x,\lambda t\right)$

Esto se puede representar de la siguiente manera:

{\begin{matrix}-c^{2}t^{2}+x^{2}=-c^{2}t^{\prime 2}+x^{\prime 2}\\ \hline {\begin{aligned}ct'&=ct\gamma -x\beta \gamma &&=ct\cosh \eta -x\sinh \eta \\x'&=-ct\beta \gamma +x\gamma &&=-ct\sinh \eta +x\cosh \eta \end{aligned}}\\\hline u=ct+x,\ v=ct-x,\ k={\sqrt {\tfrac {1+\ beta }{1-\beta }}}=e^{\eta }\\u'={\frac {u}{k}},\ v'=kv\\\hline u'v'=uv\end {matriz}}

donde k corresponde al factor Doppler en el cálculo Bondi k , η es la rapidez .

Ver también

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con Squeeze (geometría) .

Referencias

^ Émile Borel (1914) Introducción Geometrique à quelques Théories Physiques, página 29, Gauthier-Villars, enlace de Monografías de matemáticas históricas de la Universidad de Cornell
^ Mellen W. Haskell (1895) Sobre la introducción de la noción de funciones hiperbólicas Boletín de la American Mathematical Society 1(6):155–9, en particular la ecuación 12, página 159
^ Euclid Speidell (1688) Logaritmotecnia: la formación de números llamados logaritmos de Google Books
^ Edwin Bidwell Wilson y Gilbert N. Lewis (1912) "La variedad espacio-temporal de la relatividad. La geometría no euclidiana de la mecánica y el electromagnetismo", Actas de la Academia Estadounidense de Artes y Ciencias 48:387–507, nota al pie p. 401
^ WH Greub (1967) Álgebra lineal , Springer-Verlag. Ver páginas 272 a 274.
^ Louis Kauffman (1985) "Transformaciones en la relatividad especial", Revista Internacional de Física Teórica 24:223–36
^ Herglotz, Gustav (1910) [1909], "Über den vom Standpunkt des Relativitätsprinzips aus als starr zu bezeichnenden Körper" [traducción de Wikisource: Sobre cuerpos que deben designarse como "rígidos" desde el punto de vista del principio de relatividad], Annalen der Physik , 336 (2): 408, Bibcode :1910AnP...336..393H, doi :10.1002/andp.19103360208
^ Wolfgang Rindler , Relatividad esencial , ecuación 29.5 en la página 45 de la edición de 1969, o ecuación 2.17 en la página 37 de la edición de 1977, o ecuación 2.16 en la página 52 de la edición de 2001
^ Daesoo Han, Young Suh Kim y Marilyn E. Noz (1997) "El formalismo matricial de Jones como representación del grupo Lorentz", Journal of the Optical Society of America A14(9):2290–8
^ JM Ottino (1989) La cinemática de la mezcla: estiramiento, caos, transporte , página 29, Cambridge University Press
^ Roman Stocker y AE Hosoi (2004) "Flujo de esquina en películas líquidas libres", Journal of Engineering Mathematics 50:267–88
^ HK Moffatt (1964) "Remolinos viscosos y resistivos cerca de una esquina afilada", Journal of Fluid Mechanics 18:1–18
^ ab Terng, CL y Uhlenbeck, K. (2000). «Geometría de solitones» (PDF) . Avisos de la AMS . 47 (1): 17–25.{{cite journal}}: Mantenimiento CS1: varios nombres: lista de autores ( enlace )
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