La rigidez nata es un concepto de la relatividad especial . Es una respuesta a la pregunta de qué, en la relatividad especial, corresponde al cuerpo rígido de la mecánica clásica no relativista .
El concepto fue introducido por Max Born (1909), [1] [2] quien dio una descripción detallada del caso de aceleración propia constante al que llamó movimiento hiperbólico . Cuando autores posteriores como Paul Ehrenfest (1909) [3] intentaron incorporar también movimientos de rotación, quedó claro que la rigidez de Born es una sensación de rigidez muy restrictiva, lo que llevó al teorema de Herglotz-Noether , según el cual existen severas restricciones. sobre movimientos rígidos de rotación. Fue formulado por Gustav Herglotz (1909, quien clasificó todas las formas de movimientos de rotación) [4] y de manera menos general por Fritz Noether (1909). [5] Como resultado, Born (1910) [6] y otros dieron definiciones alternativas y menos restrictivas de rigidez.
La rigidez innata se satisface si la distancia espacio-temporal ortogonal entre curvas o líneas de mundo infinitamente separadas es constante, [7] o de manera equivalente, si la longitud del cuerpo rígido en marcos inerciales co-movientes momentáneos medidos con varillas de medición estándar (es decir, la longitud adecuada ) es constante y, por lo tanto, está sujeto a la contracción de Lorentz en marcos relativamente móviles. [8] La rigidez innata es una restricción al movimiento de un cuerpo extendido, que se logra mediante la aplicación cuidadosa de fuerzas a diferentes partes del cuerpo. Un cuerpo rígido en sí mismo violaría la relatividad especial, ya que su velocidad del sonido sería infinita.
Se puede obtener una clasificación de todos los posibles movimientos rígidos de Born utilizando el teorema de Herglotz-Noether. Este teorema establece que todos los movimientos rígidos de Born irrotacionales (clase A) consisten en hiperplanos que se mueven rígidamente a través del espacio-tiempo, mientras que cualquier movimiento rígido de Born rotacional (clase B) debe ser un movimiento Killing isométrico . Esto implica que un cuerpo rígido de Born sólo tiene tres grados de libertad . Así, un cuerpo puede pasar de un modo rígido desde el reposo a cualquier movimiento de traslación , pero no puede pasar de un modo rígido desde el reposo a un movimiento de rotación. [9]
Herglotz (1911) [10] demostró que una teoría relativista de la elasticidad puede basarse en el supuesto de que las tensiones surgen cuando se rompe la condición de rigidez de Born. [11]
Un ejemplo de ruptura de la rigidez de Born es la paradoja de Ehrenfest : aunque el estado de movimiento circular uniforme de un cuerpo se encuentra entre los movimientos rígidos de Born permitidos de clase B, un cuerpo no puede pasar de cualquier otro estado de movimiento a un movimiento circular uniforme sin romperse. la condición de rigidez de Nacimiento durante la fase en la que el cuerpo sufre diversas aceleraciones. Pero si esta fase termina y la aceleración centrípeta se vuelve constante, el cuerpo puede girar uniformemente de acuerdo con la rigidez de Born. Asimismo, si ahora se encuentra en movimiento circular uniforme, este estado no puede cambiarse sin romper nuevamente la rigidez natural del cuerpo.
Otro ejemplo es la paradoja de la nave espacial de Bell : si los puntos finales de un cuerpo se aceleran con aceleraciones propias constantes en dirección rectilínea, entonces el punto final principal debe tener una aceleración propia más baja para dejar la longitud adecuada constante para que se satisfaga la rigidez de Born. También exhibirá una contracción de Lorentz creciente en un marco inercial externo, es decir, en el marco externo los puntos finales del cuerpo no se aceleran simultáneamente. Sin embargo, si se elige un perfil de aceleración diferente mediante el cual los puntos extremos del cuerpo se aceleran simultáneamente con la misma aceleración propia que se ve en el marco inercial externo, su rigidez de Born se romperá, porque una longitud constante en el marco externo implica aumentar la longitud propia en un marco comoving debido a la relatividad de la simultaneidad. En este caso, un hilo frágil que se extiende entre dos cohetes experimentará tensiones (llamadas tensiones de Herglotz-Dewan-Beran [8] ) y, en consecuencia, se romperá.
Herglotz [4] dio una clasificación de los movimientos rígidos de Born permitidos, en particular rotacionales, en el espacio-tiempo plano de Minkowski , que también fue estudiada por Friedrich Kottler (1912, 1914), [12] Georges Lemaître (1924), [13] Adriaan Fokker (1940), [14] George Salzmann y Abraham H. Taub (1954). [7] Herglotz señaló que un continuo se mueve como un cuerpo rígido cuando las líneas universales de sus puntos son curvas equidistantes en . La mundanalidad resultante se puede dividir en dos clases:
Herglotz definió esta clase en términos de curvas equidistantes que son las trayectorias ortogonales de una familia de hiperplanos , que también pueden verse como soluciones de una ecuación de Riccati [15] (esto fue llamado "movimiento plano" por Salzmann y Taub [7] o "movimiento rígido irrotacional" de Boyer [16] [17] ). Concluyó que el movimiento de tal cuerpo está completamente determinado por el movimiento de uno de sus puntos.
La métrica general de estos movimientos irrotacionales la proporcionó Herglotz, cuyo trabajo fue resumido con notación simplificada por Lemaître (1924). Además, la métrica de Fermi en la forma dada por Christian Møller (1952) para marcos rígidos con movimiento arbitrario del origen fue identificada como la "métrica más general para el movimiento rígido irrotacional en la relatividad especial". [18] En general, se demostró que el movimiento irrotacional de Born corresponde a aquellas congruencias de Fermi de las cuales cualquier línea de mundo puede usarse como línea de base (congruencia de Fermi homogénea). [19]
Ya Born (1909) señaló que un cuerpo rígido en movimiento de traslación tiene una extensión espacial máxima dependiendo de su aceleración, dada por la relación , donde es la aceleración propia y es el radio de una esfera en la que se encuentra el cuerpo, por lo tanto el Cuanto mayor sea la aceleración adecuada, menor será la extensión máxima del cuerpo rígido. [2] El caso especial de movimiento de traslación con aceleración propia constante se conoce como movimiento hiperbólico , con la línea de mundo
Herglotz definió esta clase en términos de curvas equidistantes que son las trayectorias de un grupo de movimiento de un parámetro [29] (Salzmann y Taub [7] lo llamaron "movimiento de grupo" y Felix Pirani y Gareth lo identificaron con el movimiento Killing isométrico ). Williams (1962) [30] ). Señaló que están formadas por líneas de mundo cuyas tres curvaturas son constantes (conocidas como curvatura , torsión e hipertorsión), formando una hélice . [31] Kottler (1912) también estudió líneas de mundo de curvaturas constantes en el espacio-tiempo plano, [12] Petrův (1964), [32] John Lighton Synge (1967, quien las llamó hélices temporales en el espacio-tiempo plano), [33] o Letaw (1981, quien las llamó líneas de mundo estacionarias) [34] como las soluciones de las fórmulas de Frenet-Serret .
Herglotz separó aún más la clase B utilizando cuatro grupos de transformaciones de Lorentz de un solo parámetro (loxodrómica, elíptica, hiperbólica, parabólica) en analogía con los movimientos hiperbólicos (es decir, automorfismos isométricos de un espacio hiperbólico) , y señaló que el movimiento hiperbólico de Born (que se sigue de la grupo hiperbólico con en la notación de Herglotz y Kottler, en la notación de Lemaître, en la notación de Synge ver la siguiente tabla) es el único movimiento rígido de Born que pertenece a las clases A y B;
Salzmann y Taub (1954), [7] C. Beresford Rayner (1959), [50] Pirani y Williams (1962), [30] Robert H. Boyer han intentado ampliar el concepto de rigidez de Born a la relatividad general. (1964). [16] Se demostró que el teorema de Herglotz-Noether no se cumple completamente, porque son posibles marcos giratorios rígidos o congruencias que no representan movimientos isométricos de Killing. [30]
También se han propuesto varios sustitutos más débiles como condiciones de rigidez, como por ejemplo Noether (1909) [5] o el propio Born (1910). [6]
Epp, Mann & McGrath ofrecieron una alternativa moderna. [51] En contraste con la congruencia rígida ordinaria de Born que consiste en la "historia de un conjunto de puntos que llenan el volumen espacial", recuperan los seis grados de libertad de la mecánica clásica mediante el uso de un marco rígido cuasilocal al definir una congruencia en términos de la "historia del conjunto de puntos de la superficie que delimitan un volumen espacial".
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