La paradoja de la nave espacial de Bell

Experimento mental sobre relatividad especial

Arriba : En S la distancia entre las naves espaciales permanece igual, mientras que la cuerda se contrae. Abajo : En S′ la distancia entre las naves espaciales aumenta, mientras que la longitud de la cuerda permanece igual.

La paradoja de la nave espacial de Bell es un experimento mental en relatividad especial . Fue descrita por primera vez por E. Dewan y M. Beran en 1959 ^[1] pero se hizo más conocida después de que John Stewart Bell elaborara más la idea en 1976. ^[2] Un hilo delicado cuelga entre dos naves espaciales inicialmente en reposo en el marco inercial S. Comienzan a acelerar en la misma dirección simultáneamente e igualmente, medida en S, teniendo así la misma velocidad en todo momento vista desde S. Por lo tanto, todas están sujetas a la misma contracción de Lorentz , por lo que todo el conjunto parece estar igualmente contraído en el marco S con respecto a la longitud al principio. A primera vista, podría parecer que el hilo no se romperá durante la aceleración.

Este argumento, sin embargo, es incorrecto como lo demostraron Dewan y Beran, y más tarde Bell. ^{[1] [2]} La distancia entre las naves espaciales no sufre contracción de Lorentz con respecto a la distancia al inicio, porque en S, está efectivamente definida para permanecer igual, debido a la aceleración igual y simultánea de ambas naves espaciales en S. También resulta que la longitud en reposo entre las dos ha aumentado en los marcos en los que están momentáneamente en reposo (S′), porque las aceleraciones de las naves espaciales no son simultáneas aquí debido a la relatividad de la simultaneidad . El hilo, por otro lado, al ser un objeto físico mantenido unido por fuerzas electrostáticas , mantiene la misma longitud en reposo. Por lo tanto, en el marco S, debe estar contraído por Lorentz, cuyo resultado también se puede derivar cuando se consideran los campos electromagnéticos de los cuerpos en movimiento. Entonces, los cálculos realizados en ambos marcos muestran que el hilo se romperá; en S′ debido a la aceleración no simultánea y al aumento de la distancia entre las naves espaciales, y en S debido a la contracción de la longitud del hilo.

En lo sucesivo, la longitud en reposo ^[3] o longitud propia ^[4] de un objeto es su longitud medida en el sistema de referencia en reposo del objeto. (Esta longitud corresponde a la distancia propia entre dos eventos en el caso especial, cuando estos eventos se miden simultáneamente en los puntos finales en el sistema de referencia en reposo del objeto. ^[4] )

Dewan y Beran

Dewan y Beran enunciaron el experimento mental de la siguiente manera:

"Consideremos dos cohetes construidos de manera idéntica en reposo en un sistema inercial S. Supongamos que están orientados en la misma dirección y situados uno detrás del otro. Si suponemos que en un momento preestablecido ambos cohetes se ponen en marcha simultáneamente (con respecto a S), entonces sus velocidades con respecto a S son siempre iguales durante el resto del experimento (aunque sean funciones del tiempo). Esto significa, por definición, que con respecto a S la distancia entre los dos cohetes no cambia incluso cuando aceleran hasta alcanzar velocidades relativistas". ^[1]

Luego se repite esta configuración, pero esta vez la parte trasera del primer cohete está conectada con la parte delantera del segundo cohete mediante un hilo de seda. Llegaron a la siguiente conclusión:

"Según la teoría especial, el hilo debe contraerse con respecto a S porque tiene una velocidad con respecto a S. Sin embargo, como los cohetes mantienen una distancia constante entre sí con respecto a S, el hilo (que hemos supuesto tenso al principio) no puede contraerse: por lo tanto, debe formarse una tensión hasta que, a velocidades suficientemente altas, el hilo finalmente alcance su límite elástico y se rompa". ^[1]

Dewan y Beran también analizaron el resultado desde el punto de vista de los marcos inerciales que se mueven momentáneamente con el primer cohete, aplicando una transformación de Lorentz :

"Puesto que (...) cada marco utilizado aquí tiene un esquema de sincronización diferente debido al factor . Se puede demostrar que, a medida que aumenta, el cohete delantero no sólo parecerá estar a una distancia mayor del cohete trasero con respecto a un marco inercial instantáneo, sino que también parecerá haber empezado en un momento anterior". ^[1] ${\displaystyle \scriptstyle t'=(t-vx/c^{2})/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$ ${\displaystyle vx/c^{2}}$ ${\displaystyle v}$

Concluyeron:

"Se puede concluir que siempre que un cuerpo está obligado a moverse de tal manera que todas sus partes tengan la misma aceleración con respecto a un marco inercial (o, alternativamente, de tal manera que con respecto a un marco inercial sus dimensiones sean fijas y no haya rotación), entonces dicho cuerpo debe, en general, experimentar tensiones relativistas." ^[1]

Luego discutieron la objeción de que no debería haber diferencia entre a) la distancia entre dos extremos de una varilla conectada y b) la distancia entre dos objetos no conectados que se mueven con la misma velocidad con respecto a un sistema inercial. Dewan y Beran eliminaron esas objeciones argumentando:

• Dado que los cohetes están construidos exactamente de la misma manera y parten del mismo momento en S con la misma aceleración, deben tener la misma velocidad todo el tiempo en S. Por lo tanto, recorren las mismas distancias en S, por lo que su distancia mutua no puede cambiar en este marco. De lo contrario, si la distancia se redujera en S, esto implicaría velocidades diferentes de los cohetes también en este marco, lo que contradice la suposición inicial de construcción y aceleración iguales.
• También argumentaron que efectivamente hay una diferencia entre a) y b): el caso a) es el caso ordinario de contracción de longitud, basado en el concepto de la longitud de reposo de la varilla l ₀ en S ₀ , que siempre permanece igual mientras la varilla pueda verse como rígida. Bajo esas circunstancias, la varilla se contrae en S. Pero la distancia no puede verse como rígida en el caso b) porque está aumentando debido a aceleraciones desiguales en S ₀ , y los cohetes tendrían que intercambiar información entre sí y ajustar sus velocidades para compensar esto – todas esas complicaciones no surgen en el caso a).

Campana

Disposición vertical según lo sugerido por Bell.

En la versión de Bell del experimento mental, tres naves espaciales A, B y C están inicialmente en reposo en un sistema de referencia inercial común , siendo B y C equidistantes de A. Luego, se envía una señal desde A para que llegue a B y C simultáneamente, lo que hace que B y C comiencen a acelerar en la dirección vertical (habiendo sido preprogramadas con perfiles de aceleración idénticos), mientras que A permanece en reposo en su sistema de referencia original. Según Bell, esto implica que B y C (como se ven en el sistema de referencia en reposo de A) "tendrán en cada momento la misma velocidad, y por lo tanto permanecerán desplazados uno del otro por una distancia fija". Ahora bien, si se ata un hilo frágil entre B y C, ya no es lo suficientemente largo debido a las contracciones de longitud, por lo que se romperá. Concluyó que "la prevención artificial de la contracción natural impone una tensión intolerable". ^[2]

Bell informó que se encontró con mucho escepticismo por parte de "un distinguido experimentalista" cuando presentó la paradoja. Para intentar resolver la disputa, se realizó una encuesta informal y no sistemática de opinión en el CERN . Según Bell, hubo un "claro consenso" que afirmaba, incorrectamente, que la cuerda no se rompería. Bell continúa agregando:

"Por supuesto, muchas personas que al principio obtienen la respuesta incorrecta obtienen la respuesta correcta tras una reflexión más profunda. Por lo general, se sienten obligados a averiguar cómo ven las cosas los observadores B o C. Descubren que B, por ejemplo, ve que C se aleja cada vez más, de modo que un trozo de hilo dado ya no puede cubrir la distancia. Es solo después de calcular esto, y tal vez solo con una sensación residual de inquietud, que estas personas finalmente aceptan una conclusión que es perfectamente trivial en términos de la explicación de las cosas de A, incluida la contracción de Fitzgerald".

Importancia de la contracción de longitud

En general, Dewan & Beran y Bell concluyeron que las tensiones relativistas surgen cuando todas las partes de un objeto se aceleran de la misma manera con respecto a un marco inercial, y que la contracción de la longitud tiene consecuencias físicas reales. Por ejemplo, Bell argumentó que la contracción de la longitud de los objetos, así como la falta de contracción de la longitud entre objetos en el marco S, se pueden explicar utilizando el electromagnetismo relativista . Los campos intermoleculares electromagnéticos distorsionados hacen que los objetos en movimiento se contraigan o se estresen si se les impide hacerlo. En contraste, tales fuerzas no actúan sobre el espacio entre los objetos. ^[2] (En general, Richard Feynman demostró cómo la transformación de Lorentz se puede derivar del caso del potencial de una carga que se mueve con velocidad constante (como se representa por el potencial de Liénard-Wiechert ). En cuanto al aspecto histórico, Feynman aludió a la circunstancia de que Hendrik Lorentz llegó esencialmente de la misma manera a la transformación de Lorentz, ^[5] ver también Historia de las transformaciones de Lorentz .)

Sin embargo, Petkov (2009) ^[6] y Franklin (2009) ^[3] interpretan esta paradoja de forma diferente. Coincidieron en el resultado de que la cuerda se romperá debido a aceleraciones desiguales en los marcos de referencia del cohete, lo que hace que la longitud en reposo entre ellos aumente (véase el diagrama de Minkowski en la sección de análisis). Sin embargo, negaron la idea de que esas tensiones sean causadas por la contracción de la longitud en S. Esto se debe a que, en su opinión, la contracción de la longitud no tiene "realidad física", sino que es simplemente el resultado de una transformación de Lorentz, es decir , una rotación en el espacio de cuatro dimensiones que por sí misma nunca puede causar tensión alguna. Por lo tanto, se supone que la aparición de tales tensiones en todos los marcos de referencia, incluido S, y la rotura de la cuerda es el efecto de la aceleración relativista únicamente. ^{[3] [6]}

Discusiones y publicaciones

Paul Nawrocki (1962) ofrece tres argumentos por los cuales la cuerda no debería romperse, ^[7] mientras que Edmond Dewan (1963) demostró en una respuesta que su análisis original sigue siendo válido. ^[8] Muchos años después y después del libro de Bell, Matsuda y Kinoshita informaron haber recibido muchas críticas después de publicar un artículo sobre su versión de la paradoja redescubierta independientemente en una revista japonesa. Sin embargo, Matsuda y Kinoshita no citan artículos específicos, y solo afirman que estas objeciones fueron escritas en japonés. ^[9]

Sin embargo, en la mayoría de las publicaciones se coincide en que la cuerda se romperá, con algunas reformulaciones, modificaciones y diferentes escenarios, como por ejemplo por Evett & Wangsness (1960), ^[10] Dewan (1963), ^[8] Romain (1963), ^[11] Evett (1972), ^[12] Gershtein & Logunov (1998), ^[13] Tartaglia & Ruggiero (2003), ^[14] Cornwell (2005), ^[15] Flores (2005), ^[16] Semay (2006), ^[17] Styer (2007), ^[18] Freund (2008), ^[19] Redzic (2008), ^[20] Peregoudov (2009), ^[21] Redžić (2009), ^[22] Gu (2009), ^[23] Petkov (2009), ^[6] Franklin (2009), ^[3] Miller (2010), ^[24] Fernflores (2011), ^[25] Kassner (2012), ^[26] Natario (2014), ^[27] Lewis, Barnes & Sticka (2018), ^[28] Bokor (2018). ^[29] También se discutió un problema similar en relación con las aceleraciones angulares : Grøn (1979), ^[30] MacGregor (1981), ^[31] Grøn (1982, 2003). ^{[32] [33]}

Aceleración inmediata

De manera similar, en el caso de la paradoja de la nave espacial de Bell, la relación entre la longitud de reposo inicial entre las naves (idéntica a la longitud de movimiento en S después de la aceleración) y la nueva longitud de reposo en S′ después de la aceleración, es: ^{[3] [6] [8] [16]} ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L'}$

${\displaystyle L'=\gamma L}$.

Este aumento de longitud se puede calcular de diferentes maneras. Por ejemplo, si se termina la aceleración, los barcos permanecerán constantemente en la misma posición en el sistema de referencia de reposo final S′, por lo que solo es necesario calcular la distancia entre las coordenadas x transformadas de S a S′. Si y son las posiciones de los barcos en S, las posiciones en su nuevo sistema de referencia de reposo S′ son: ^[3] ${\displaystyle x_{A}}$ ${\displaystyle x_{B}=x_{A}+L}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x'_{A}&=\gamma \left(x_{A}-vt\right)\\x'_{B}&=\gamma \left(x_{A}+L-vt\right)\\L'&=x'_{B}-x'_{A}\\&=\gamma L\end{aligned}}}$

Dewan (1963) mostró otro método que demostró la importancia de la relatividad de la simultaneidad . ^[8] Se describe la perspectiva del marco S′, en el que ambos barcos estarán en reposo después de que finalice la aceleración. Los barcos están acelerando simultáneamente en S (asumiendo una aceleración en un tiempo infinitesimal), aunque B está acelerando y deteniéndose en S′ antes que A debido a la relatividad de la simultaneidad, con la diferencia de tiempo: ${\displaystyle t_{A}=t_{B}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta t'&=t'_{B}-t'_{A}=\gamma \left(t_{B}-{\frac {vx_{B}}{c^{2}}}\right)-\gamma \left(t_{A}-{\frac {vx_{A}}{c^{2}}}\right)\\&={\frac {\gamma vL}{c^{2}}}\end{aligned}}}$

Como las naves se mueven con la misma velocidad en S' antes de la aceleración, la longitud de reposo inicial en S se acorta en S' debido a la contracción de la longitud. Desde el marco de S', B comienza a acelerar antes que A y también deja de acelerar antes que A. Debido a esto, B siempre tendrá mayor velocidad que A hasta el momento en que A también termina de acelerar, y ambos están en reposo con respecto a S'. La distancia entre B y A sigue aumentando hasta que A deja de acelerar. Aunque la línea de tiempo de aceleración de A se retrasa por un desfase de , tanto A como B cubren la misma distancia en sus respectivas aceleraciones. Pero la línea de tiempo de B contiene aceleración y también está en reposo en S` hasta que A deja de acelerar. Por lo tanto, la distancia adicional cubierta por B durante todo el curso se puede calcular midiendo la distancia recorrida por B durante esta fase. Dewan llegó a la relación (en una notación diferente): ^[8] ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L'_{old}=L/\gamma }$ ${\displaystyle \Delta t'}$ ${\displaystyle \Delta t'}$

${\displaystyle {\begin{aligned}L'&=L'_{old}+v\Delta t'={\frac {L}{\gamma }}+{\frac {\gamma v^{2}L}{c^{2}}}\\&=\gamma L\end{aligned}}}$

Varios autores también observaron que la longitud constante en S y la longitud aumentada en S′ son consistentes con la fórmula de contracción de longitud , porque la longitud de reposo inicial aumenta en S′, que se contrae en S por el mismo factor, por lo que permanece igual en S: ^{[6] [14] [18]} ${\displaystyle L=L'/\gamma }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle L_{contr.}=L'/\gamma =\gamma L/\gamma =L}$

Resumiendo: mientras que la distancia en reposo entre las naves aumenta en S′, el principio de relatividad requiere que la cuerda (cuya constitución física no se altera) mantenga su longitud en reposo en su nuevo sistema de reposo S′. Por lo tanto, se rompe en S′ debido al aumento de la distancia entre las naves. Como se explicó anteriormente, lo mismo también se obtiene considerando solo el sistema de referencia de partida S utilizando la contracción de la longitud de la cuerda (o la contracción de sus campos moleculares en movimiento) mientras que la distancia entre las naves permanece igual debido a la misma aceleración. ${\displaystyle \gamma L}$ ${\displaystyle L}$

Aceleración adecuada constante

En lugar de cambios instantáneos de dirección, la relatividad especial también permite describir el escenario más realista de aceleración propia constante , es decir, la aceleración indicada por un acelerómetro comóvil. Esto conduce al movimiento hiperbólico , en el que el observador cambia continuamente de sistema inercial momentáneo ^[34].

${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {c^{2}}{\alpha }}\left({\sqrt {1+\left({\frac {\alpha t}{c}}\right)^{2}}}-1\right)={\frac {c^{2}}{\alpha }}\left(\cosh {\frac {\alpha \tau }{c}}-1\right)\\c\tau &={\frac {c^{2}}{\alpha }}\operatorname {asinh} {\frac {\alpha t}{c}},\quad ct={\frac {c^{2}}{\alpha }}\sinh {\frac {\alpha \tau }{c}}\end{aligned}}}$

donde es el tiempo de coordenadas en el marco inercial externo, y el tiempo propio en el marco momentáneo, y la velocidad momentánea está dada por ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle v={\frac {\alpha t}{\sqrt {1+\left({\frac {\alpha t}{c}}\right)^{2}}}}=c\tanh {\frac {\alpha \tau }{c}}}$

El tratamiento matemático de esta paradoja es similar al tratamiento del movimiento rígido de Born . Sin embargo, en lugar de preguntar por la separación de naves espaciales con la misma aceleración en un marco inercial, el problema del movimiento rígido de Born pregunta: "¿Qué perfil de aceleración requiere la segunda nave espacial para que la distancia entre las naves espaciales permanezca constante en su marco propio?" ^{[35] [34] [36]} Para que las dos naves espaciales, inicialmente en reposo en un marco inercial, mantengan una distancia propia constante, la nave espacial líder debe tener una aceleración propia menor. ^{[3] [36] [37]}

Este marco rígido de Born se puede describir utilizando coordenadas de Rindler (coordenadas de Kottler-Møller) ^{[34] [38]}

${\displaystyle {\begin{aligned}ct&=\left(x'+{\frac {c^{2}}{\alpha }}\right)\sinh {\frac {\alpha t'}{c}},&y&=y',\\x&=\left(x'+{\frac {c^{2}}{\alpha }}\right)\cosh {\frac {\alpha t'}{c}}-{\frac {c^{2}}{\alpha }},&z&=z'.\end{aligned}}\ (t'=\tau )}$

La condición de rigidez de Born requiere que la aceleración adecuada de las naves espaciales difiera en ^[38]

${\displaystyle \alpha _{2}={\frac {\alpha _{1}}{1+{\frac {\alpha _{1}L'}{c^{2}}}}}}$

y la longitud medida en el marco de Rindler (o marco inercial momentáneo) por uno de los observadores es contraída por Lorentz en el marco inercial externo por ^[38] ${\displaystyle L'=x_{2}^{\prime }-x_{1}^{\prime }}$ ${\displaystyle L=x_{2}-x_{1}}$

${\displaystyle L={\frac {L'}{\cosh {\frac {\alpha t'}{c}}}}=L'{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

que es el mismo resultado que el anterior. En consecuencia, en el caso de la rigidez de Born, la constancia de la longitud L' en el marco momentáneo implica que L en el marco externo disminuye constantemente, el hilo no se rompe. Sin embargo, en el caso de la paradoja de la nave espacial de Bell, la condición de rigidez de Born se rompe, porque la constancia de la longitud L en el marco externo implica que L' en el marco momentáneo aumenta, el hilo se rompe (además, la expresión para el aumento de la distancia entre dos observadores que tienen la misma aceleración propia también se vuelve más complicada en el marco momentáneo ^[17] ).

Véase también

• Movimiento hiperbólico (relatividad)
• Paradoja física
• Coordenadas de Rindler
• La paradoja de Supplee
• Paradoja de los gemelos

Referencias

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Enlaces externos

• Michael Weiss; Don Koks (1995–2017): La paradoja de la nave espacial de Bell, Preguntas frecuentes sobre relatividad de USENET
• Mathieu Rouaud (2022): El ascensor de Einstein: líneas del mundo, experimento de Michelson-Morley y paradoja relativista. Otra paradoja relativista en un sistema de referencia acelerado con tres cohetes: una partícula de materia parece viajar más rápido que la luz.