Aceleración angular

Cantidad física

En física , la aceleración angular (símbolo α , alfa ) es la tasa de cambio temporal de la velocidad angular . Siguiendo los dos tipos de velocidad angular, velocidad angular de giro y velocidad angular orbital , los respectivos tipos de aceleración angular son: aceleración angular de giro , que involucra un cuerpo rígido alrededor de un eje de rotación que cruza el centroide del cuerpo ; y aceleración angular orbital , que involucra una partícula puntual y un eje externo.

La aceleración angular tiene dimensiones físicas de ángulo por tiempo al cuadrado, medida en unidades SI de radianes por segundo al cuadrado ( rad ⋅ s ^-2 ). En dos dimensiones, la aceleración angular es un pseudoescalar cuyo signo se toma positivo si la velocidad angular aumenta en sentido antihorario o disminuye en sentido horario, y se toma negativo si la velocidad angular aumenta en sentido horario o disminuye en sentido antihorario. En tres dimensiones, la aceleración angular es un pseudovector . ^[1]

Para cuerpos rígidos, la aceleración angular debe ser causada por un par externo neto . Sin embargo, esto no es así para los cuerpos no rígidos: por ejemplo, un patinador artístico puede acelerar su rotación (obteniendo así una aceleración angular) simplemente contrayendo sus brazos y piernas hacia adentro, lo que no implica ningún torque externo .

Aceleración angular orbital de una partícula puntual.

Partícula en dos dimensiones.

En dos dimensiones, la aceleración angular orbital es la velocidad a la que cambia la velocidad angular orbital bidimensional de la partícula alrededor del origen. La velocidad angular instantánea ω en cualquier momento está dada por

ω = v ⊥ r , {\displaystyle \omega ={\frac {v_{\perp }}{r}},}

donde es la distancia desde el origen y es la componente radial transversal de la velocidad instantánea (es decir, la componente perpendicular al vector de posición), que por convención es positiva para el movimiento en sentido antihorario y negativa para el movimiento en el sentido de las agujas del reloj. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle v_{\perp }}$

Por tanto, la aceleración angular instantánea α de la partícula viene dada por ^[2]

α = re re t ( v ⊥ r ) . {\displaystyle \alpha ={\frac {d}{dt}}\left({\frac {v_{\perp }}{r}}\right).}

Expandiendo el lado derecho usando la regla del producto del cálculo diferencial, esto se convierte en

${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{r}}{\frac {dv_{\perp }}{dt}}-{\frac {v_{\perp }}{r^{2}}}{\frac {dr}{dt}}.}$

En el caso especial en el que la partícula experimenta un movimiento circular alrededor del origen, se convierte simplemente en aceleración tangencial y desaparece (ya que la distancia desde el origen permanece constante), por lo que la ecuación anterior se simplifica a ${\displaystyle {\frac {dv_{\perp }}{dt}}}$ ${\displaystyle a_{\perp }}$ ${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}}$

${\displaystyle \alpha ={\frac {a_{\perp }}{r}}.}$

En dos dimensiones, la aceleración angular es un número con un signo más o menos que indica orientación, pero no apunta en una dirección. Convencionalmente, el signo se toma como positivo si la velocidad angular aumenta en el sentido antihorario o disminuye en el sentido de las agujas del reloj, y el signo se toma negativo si la velocidad angular aumenta en el sentido de las agujas del reloj o disminuye en el sentido antihorario. La aceleración angular entonces puede denominarse pseudoescalar , una cantidad numérica que cambia de signo bajo una inversión de paridad , como invertir un eje o cambiar los dos ejes.

Partícula en tres dimensiones.

En tres dimensiones, la aceleración angular orbital es la velocidad a la que el vector de velocidad angular orbital tridimensional cambia con el tiempo. El vector de velocidad angular instantánea en cualquier momento está dado por ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}},}$

donde está el vector de posición de la partícula, su distancia al origen y su vector de velocidad. ^[2] ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

Por tanto, la aceleración angular orbital es el vector definido por ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}}\right).}$

Desarrollando esta derivada usando la regla del producto para productos cruzados y la regla del cociente ordinario, se obtiene:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\alpha }}&={\frac {1}{r^{2}}}\left(\mathbf {r} \times {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}+{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\times \mathbf {v} \right)-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {dr}{dt}}\left(\mathbf {r} \times \mathbf {v} \right)\\\\&={\frac {1}{r^{2}}}\left(\mathbf {r} \times \mathbf {a} +\mathbf {v} \times \mathbf {v} \right)-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {dr}{dt}}\left(\mathbf {r} \times \mathbf {v} \right)\\\\&={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {dr}{dt}}\left(\mathbf {r} \times \mathbf {v} \right).\end{aligned}}}$

Como es justo , el segundo término puede reescribirse como . En el caso en que la distancia de la partícula desde el origen no cambia con el tiempo (lo que incluye el movimiento circular como subcaso), el segundo término desaparece y la fórmula anterior se simplifica a ${\displaystyle \mathbf {r} \times \mathbf {v} }$ ${\displaystyle r^{2}{\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle -{\frac {2}{r}}{\frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}.}$

De la ecuación anterior, se puede recuperar la aceleración radial transversal en este caso especial como:

${\displaystyle \mathbf {a} _{\perp }={\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} .}$

A diferencia de lo que ocurre en dos dimensiones, la aceleración angular en tres dimensiones no necesita estar asociada con un cambio en la velocidad ${\displaystyle \omega =|{\boldsymbol {\omega }}|}$ angular : si el vector de posición de la partícula "gira" en el espacio, cambiando su plano instantáneo de desplazamiento angular, el cambio en la dirección del ángulo La velocidad seguirá produciendo una aceleración angular distinta de cero. Esto no puede no suceder si el vector de posición está restringido a un plano fijo, en cuyo caso tiene una dirección fija perpendicular al plano. ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

El vector de aceleración angular se llama más propiamente pseudovector : tiene tres componentes que se transforman bajo rotaciones de la misma manera que lo hacen las coordenadas cartesianas de un punto, pero que no se transforman como las coordenadas cartesianas bajo reflexiones.

Relación con el par

El par neto sobre una partícula puntual se define como el pseudovector

τ = r × F , {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F},}

¿Dónde está la fuerza neta sobre la partícula? ^[3] ${\displaystyle \mathbf {F} }$

El par es el análogo rotacional de la fuerza: induce un cambio en el estado de rotación de un sistema, del mismo modo que la fuerza induce un cambio en el estado de traslación de un sistema. Como la fuerza sobre una partícula está relacionada con la aceleración mediante la ecuación F = m a {\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} } , se puede escribir una ecuación similar que conecte el par sobre una partícula con la aceleración angular, aunque esta relación es necesariamente más complicado. ^[4]

Primero, sustituyendo el torque en la ecuación anterior, se obtiene ${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=m\left(\mathbf {r} \times \mathbf {a} \right)=mr^{2}\left({\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}\right).}$

De la sección anterior:

${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}-{\frac {2}{r}}{\frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\omega }},}$

donde es la aceleración angular orbital y la velocidad angular orbital. Por lo tanto: ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=mr^{2}\left({\boldsymbol {\alpha }}+{\frac {2}{r}}{\frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\omega }}\right)=mr^{2}{\boldsymbol {\alpha }}+2mr{\frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\omega }}.}$

En el caso especial de distancia constante de la partícula desde el origen ( ), el segundo término de la ecuación anterior desaparece y la ecuación anterior se simplifica a ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\tfrac {dr}{dt}}=0}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=mr^{2}{\boldsymbol {\alpha }},}$

que puede interpretarse como un "análogo rotacional" de , donde la cantidad (conocida como momento de inercia de la partícula) desempeña el papel de la masa . Sin embargo, a diferencia de , esta ecuación no se aplica a una trayectoria arbitraria, solo a una trayectoria contenida dentro de una capa esférica alrededor del origen. ${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }$ ${\displaystyle mr^{2}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }$

Ver también

• Momento angular
• Frecuencia angular
• Velocidad angular
• alegría
• aceleración rotacional
• Esfuerzo de torsión

Referencias

1. "Variables rotacionales". LibreTextos . Toque mental. 18 de octubre de 2016 . Consultado el 1 de julio de 2020 .
2. Singh, Sunil K. Velocidad angular. Universidad de Rice.
3. Singh, Sunil K. Torque. Universidad de Rice.
4. Mashood, KK Desarrollo y evaluación de un inventario de conceptos en cinemática rotacional (PDF) . Instituto Tata de Investigación Fundamental, Mumbai. págs. 52–54.