Ecuación de Riccati

Type of differential equation

En matemáticas , una ecuación de Riccati en el sentido más estricto es cualquier ecuación diferencial ordinaria de primer orden que es cuadrática en la función desconocida. En otras palabras, es una ecuación de la forma

${\displaystyle y'(x)=q_{0}(x)+q_{1}(x)\,y(x)+q_{2}(x)\,y^{2}(x)}$

donde y . Si la ecuación se reduce a una ecuación de Bernoulli , mientras que si la ecuación se convierte en una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden . ${\displaystyle q_{0}(x)\neq 0}$ ${\displaystyle q_{2}(x)\neq 0}$ ${\displaystyle q_{0}(x)=0}$ ${\displaystyle q_{2}(x)=0}$

La ecuación recibe su nombre de Jacopo Riccati (1676-1754). ^[1]

En términos más generales, el término ecuación de Riccati se utiliza para referirse a ecuaciones matriciales con un término cuadrático análogo, que se dan tanto en control gaussiano cuadrático lineal en tiempo continuo como en tiempo discreto . La versión de estado estable (no dinámica) de estas se conoce como ecuación algebraica de Riccati .

Conversión a una ecuación lineal de segundo orden

La ecuación de Riccati no lineal siempre se puede convertir en una ecuación diferencial ordinaria (EDO) lineal de segundo orden: ^[2] Si

${\displaystyle y'=q_{0}(x)+q_{1}(x)y+q_{2}(x)y^{2}\!}$

entonces, donde sea distinto de cero y diferenciable, satisface una ecuación de Riccati de la forma ${\displaystyle q_{2}}$ ${\displaystyle v=yq_{2}}$

${\displaystyle v'=v^{2}+R(x)v+S(x),\!}$

donde y , porque ${\displaystyle S=q_{2}q_{0}}$ ${\displaystyle R=q_{1}+{\frac {q_{2}'}{q_{2}}}}$

${\displaystyle v'=(yq_{2})'=y'q_{2}+yq_{2}'=(q_{0}+q_{1}y+q_{2}y^{2})q_{2}+v{\frac {q_{2}'}{q_{2}}}=q_{0}q_{2}+\left(q_{1}+{\frac {q_{2}'}{q_{2}}}\right)v+v^{2}.\!}$

Sustituyendo , se deduce que satisface la EDO lineal de segundo orden ${\displaystyle v=-u'/u}$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle u''-R(x)u'+S(x)u=0\!}$

desde

${\displaystyle v'=-(u'/u)'=-(u''/u)+(u'/u)^{2}=-(u''/u)+v^{2}\!}$

de modo que

${\displaystyle u''/u=v^{2}-v'=-S-Rv=-S+Ru'/u\!}$

y por lo tanto

${\displaystyle u''-Ru'+Su=0.\!}$

Luego, sustituyendo las dos soluciones de esta ecuación lineal de segundo orden en la transformación, es suficiente para tener un conocimiento global de la solución general de la ecuación de Riccati mediante la fórmula: ^[3] ${\displaystyle y=-u'/(q_{2}u)=-q_{2}^{-1}(\log(u))'}$

${\displaystyle y=-q_{2}^{-1}(\log(c_{1}u_{1}+c_{2}u_{2}))'.}$

Aplicación a la ecuación de Schwarz

Una aplicación importante de la ecuación de Riccati es la ecuación diferencial de Schwarz de tercer orden.

${\displaystyle S(w):=(w''/w')'-(w''/w')^{2}/2=f}$

que ocurre en la teoría de la aplicación conforme y las funciones univalentes . En este caso, las EDO están en el dominio complejo y la diferenciación es con respecto a una variable compleja. (La derivada de Schwarz tiene la notable propiedad de que es invariante bajo las transformaciones de Möbius, es decir, siempre que sea distinto de cero). La función satisface la ecuación de Riccati . ${\displaystyle S(w)}$ ${\displaystyle S((aw+b)/(cw+d))=S(w)}$ ${\displaystyle ad-bc}$ ${\displaystyle y=w''/w'}$

${\displaystyle y'=y^{2}/2+f.}$

Por lo anterior, donde es una solución de la EDO lineal ${\displaystyle y=-2u'/u}$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle u''+(1/2)fu=0.}$

Dado que , la integración da como resultado una constante . Por otra parte, cualquier otra solución independiente de la EDO lineal tiene un wronskiano constante distinto de cero que puede tomarse como después del escalado. Por lo tanto ${\displaystyle w''/w'=-2u'/u}$ ${\displaystyle w'=C/u^{2}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U'u-Uu'}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle w'=(U'u-Uu')/u^{2}=(U/u)'}$

para que la ecuación de Schwarz tenga solución ${\displaystyle w=U/u.}$

Obtención de soluciones por cuadratura

La correspondencia entre las ecuaciones de Riccati y las EDO lineales de segundo orden tiene otras consecuencias. Por ejemplo, si se conoce una solución de una EDO de segundo orden, entonces se sabe que se puede obtener otra solución por cuadratura, es decir, una integración simple. Lo mismo es válido para la ecuación de Riccati. De hecho, si se puede encontrar una solución particular, la solución general se obtiene como ${\displaystyle y_{1}}$

${\displaystyle y=y_{1}+u}$

Sustituyendo

${\displaystyle y_{1}+u}$

en la ecuación de Riccati se obtiene

${\displaystyle y_{1}'+u'=q_{0}+q_{1}\cdot (y_{1}+u)+q_{2}\cdot (y_{1}+u)^{2},}$

y desde entonces

${\displaystyle y_{1}'=q_{0}+q_{1}\,y_{1}+q_{2}\,y_{1}^{2},}$

resulta que

${\displaystyle u'=q_{1}\,u+2\,q_{2}\,y_{1}\,u+q_{2}\,u^{2}}$

o

${\displaystyle u'-(q_{1}+2\,q_{2}\,y_{1})\,u=q_{2}\,u^{2},}$

que es una ecuación de Bernoulli . La sustitución que se necesita para resolver esta ecuación de Bernoulli es

${\displaystyle z={\frac {1}{u}}}$

Sustituyendo

${\displaystyle y=y_{1}+{\frac {1}{z}}}$

directamente en la ecuación de Riccati se obtiene la ecuación lineal

${\displaystyle z'+(q_{1}+2\,q_{2}\,y_{1})\,z=-q_{2}}$

Un conjunto de soluciones para la ecuación de Riccati viene dado por

${\displaystyle y=y_{1}+{\frac {1}{z}}}$

donde z es la solución general de la ecuación lineal antes mencionada.

Véase también

• Regulador lineal-cuadrático
• Ecuación algebraica de Riccati
• Control lineal-cuadrático-gaussiano

Referencias

1. Riccati, Jacopo (1724) "Animadversiones in aequationes diferenciales secundi gradus" (Observaciones sobre ecuaciones diferenciales de segundo orden), Actorum Eruditorum, quae Lipsiae publicantur, Suplemento , 8  : 66-73. Traducción del latín original al inglés por Ian Bruce.
2. Ince, EL (1956) [1926], Ecuaciones diferenciales ordinarias , Nueva York: Dover Publications, págs. 23-25
3. Conte, Robert (1999). "El enfoque de Painlevé para ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales". The Painlevé Property . Nueva York, NY: Springer New York. pp. 5, 98. doi :10.1007/978-1-4612-1532-5_3. ISBN 978-0-387-98888-7.

Lectura adicional

• Hille, Einar (1997) [1976], Ecuaciones diferenciales ordinarias en el dominio complejo, Nueva York: Dover Publications, ISBN 0-486-69620-0
• Nehari, Zeev (1975) [1952], Mapeo conforme, Nueva York: Dover Publications, ISBN 0-486-61137-X
• Polyanin, Andrei D.; Zaitsev, Valentin F. (2003), Manual de soluciones exactas para ecuaciones diferenciales ordinarias (2.ª ed.), Boca Raton, Fla.: Chapman & Hall/CRC, ISBN 1-58488-297-2
• Zelikin, Mikhail I. (2000), Espacios homogéneos y la ecuación de Riccati en el cálculo de variaciones , Berlín: Springer-Verlag
• Reid, William T. (1972), Ecuaciones diferenciales de Riccati , Londres: Academic Press

Enlaces externos

• "Ecuación de Riccati", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Ecuación de Riccati en EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas.
• Ecuación diferencial de Riccati en Mathworld
• Función de MATLAB para resolver la ecuación de Riccati algebraica en tiempo continuo.
• SciPy tiene funciones para resolver la ecuación de Riccati algebraica continua y la ecuación de Riccati algebraica discreta.