Cálculo k de Bondi

Método de enseñanza de la relatividad especial.

El cálculo Bondi k es un método de enseñanza de la relatividad especial popularizado por Sir Hermann Bondi , que se ha utilizado en clases de física a nivel universitario (por ejemplo, en la Universidad de Oxford ^[1] ) y en algunos libros de texto sobre relatividad. ^{[2] : 58–65  [3]}

La utilidad del cálculo k es su simplicidad. Muchas introducciones a la relatividad comienzan con el concepto de velocidad y una derivación de la transformación de Lorentz . Otros conceptos como la dilatación del tiempo , la contracción de la longitud , la relatividad de la simultaneidad , la resolución de la paradoja de los gemelos y el efecto Doppler relativista se derivan luego de la transformación de Lorentz, todos ellos como funciones de la velocidad.

Bondi, en su libro Relativity and Common Sense , ^[4] publicado por primera vez en 1964 y basado en artículos publicados en The Illustrated London News en 1962, invierte el orden de presentación. Comienza con lo que llama "una relación fundamental" denotada por la letra (que resulta ser el factor Doppler radial). ^{[3] : 40} A partir de esto explica la paradoja de los gemelos y la relatividad de la simultaneidad, la dilatación del tiempo y la contracción de la longitud, todo en términos de . No es hasta más adelante en la exposición que proporciona un vínculo entre la velocidad y la relación fundamental . La transformación de Lorentz aparece hacia el final del libro. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

Historia

El método de cálculo k había sido utilizado previamente por EA Milne en 1935. ^[5] Milne usó la letra para indicar un factor Doppler constante, pero también consideró un caso más general que involucraba movimiento no inercial (y por lo tanto, un factor Doppler variable). Bondi usó la letra en lugar de y simplificó la presentación ( solo para constantes) e introdujo el nombre " k -cálculo". ^{[4] : 109} ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle k}$

Bondik-factor

Diagrama de espacio-tiempo para la definición del factor k

  Alicia

  Beto

  Destello de luz

Considere dos observadores inerciales, Alice y Bob, que se alejan directamente uno del otro con velocidad relativa constante. Alice envía un destello de luz azul hacia Bob una vez cada segundo, según lo mide su propio reloj. Debido a que Alice y Bob están separados por una distancia, hay un retraso entre que Alice envía un flash y Bob recibe un flash. Además, la distancia de separación aumenta constantemente a un ritmo constante, por lo que el retraso sigue aumentando. Esto significa que el intervalo de tiempo entre que Bob recibe los destellos, medido por su reloj, es mayor que segundos, digamos segundos para alguna constante . (Si Alice y Bob, en cambio, se estuvieran moviendo directamente el uno hacia el otro, se aplicaría un argumento similar, pero en ese caso .) ^{[4] : ​​80} ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle kT}$ ${\displaystyle k>1}$ ${\displaystyle k<1}$

Bondi lo describe como "una relación fundamental", ^{[4] : 88} y desde entonces otros autores lo han llamado "el factor k de Bondi" o "el factor k de Bondi ". ^{[2] : 63} ${\displaystyle k}$

Los destellos de Alice son transmitidos a una frecuencia de Hz, por su reloj, y Bob los recibe a una frecuencia de Hz, por su reloj. Esto implica un factor Doppler de . Entonces, el factor k de Bondi es otro nombre para el factor Doppler (cuando la fuente Alice y el observador Bob se alejan o se acercan directamente el uno al otro). ^{[3] : 40} ${\displaystyle f_{s}=1/T}$ ${\displaystyle f_{o}=1/(kT)}$ ${\displaystyle f_{s}/f_{o}=k}$

Si Alice y Bob intercambiaran roles, y Bob enviara destellos de luz a Alice, el Principio de Relatividad (el primer postulado de Einstein) implica que el factor k de Bob a Alice tendría el mismo valor que el factor k de Alice a Bob, como todos los observadores inerciales son equivalentes. Entonces el factor k depende sólo de la velocidad relativa entre los observadores y nada más. ^{[4] : 80}

El recíprocok-factor

Diagrama espacio-temporal para el factor k recíproco

  Alicia

  Beto

  dave

  Destello de luz

Consideremos ahora un tercer observador inercial, Dave, que está a una distancia fija de Alice, y tal que Bob se encuentra en la línea recta entre Alice y Dave. Como Alice y Dave descansan mutuamente, el retraso de Alice a Dave es constante. Esto significa que Dave recibe los destellos azules de Alice a una velocidad de una vez cada segundo, según su reloj, la misma velocidad a la que Alice los envía. En otras palabras, el factor k de Alice a Dave es igual a uno. ^{[4] : 77} ${\displaystyle T}$

Ahora supongamos que cada vez que Bob recibe un destello azul de Alice, inmediatamente envía su propio destello rojo hacia Dave, una vez cada segundos (según el reloj de Bob). El segundo postulado de Einstein, que la velocidad de la luz es independiente del movimiento de su fuente, implica que el destello azul de Alice y el destello rojo de Bob viajan a la misma velocidad, sin adelantar al otro, y por lo tanto llegan a Dave al mismo tiempo. Entonces Dave recibe un destello rojo de Bob cada segundo, según el reloj de Dave, que Bob envió cada segundo según el reloj de Bob. Esto implica que el factor k de Bob a Dave es . ^{[4] : 80} ${\displaystyle kT}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle kT}$ ${\displaystyle 1/k}$

Esto establece que el factor k para observadores que se separan directamente (desplazamiento al rojo) es el recíproco del factor k para observadores que se mueven directamente uno hacia el otro a la misma velocidad (desplazamiento al azul).  

La paradoja de los gemelos

Diagrama espacio-temporal de la paradoja de los gemelos.

  Alicia

  Beto

  Villancico

  dave

  Destello de luz

Considere, ahora, un cuarto observador inercial, Carol, que viaja de Dave a Alice exactamente a la misma velocidad con la que Bob viaja de Alice a Dave. El viaje de Carol está programado de tal manera que deja a Dave exactamente al mismo tiempo que llega Bob. Denota los tiempos registrados por los relojes de Alice, Bob y Carol mediante . ${\displaystyle t_{A},t_{B},t_{C}}$

Cuando Bob pasa junto a Alice, ambos sincronizan sus relojes . Cuando Carol pasa junto a Bob, sincroniza su reloj con el de Bob . Finalmente, cuando Carol pasa junto a Alice, comparan sus relojes entre sí. En la física newtoniana, la expectativa sería que, en la comparación final, los relojes de Alice y Carol coincidieran . A continuación se mostrará que en la relatividad esto no es cierto. Esta es una versión de la conocida " paradoja de los gemelos " en la que gemelos idénticos se separan y se reúnen, sólo para descubrir que uno es ahora mayor que el otro. ${\displaystyle t_{A}=t_{B}=0}$ ${\displaystyle t_{C}=t_{B}}$ ${\displaystyle t_{C}=t_{A}}$

Si Alice envía un destello de luz en el momento hacia Bob, entonces, según la definición del factor k , Bob lo recibirá en el momento . El flash está cronometrado para que llegue a Bob justo en el momento en que Bob conoce a Carol, por lo que Carol sincroniza su reloj para leer . ${\displaystyle t_{A}=T}$ ${\displaystyle t_{B}=kT}$ ${\displaystyle t_{C}=t_{B}=kT}$

Además, cuando Bob y Carol se encuentran, ambos envían simultáneamente destellos a Alice, que Alice recibe simultáneamente. Considerando, primero, el flash de Bob, enviado en el momento , Alice debe recibirlo en el momento , utilizando el hecho de que el factor k de Alice a Bob es el mismo que el factor k de Bob a Alice. ${\displaystyle t_{B}=kT}$ ${\displaystyle t_{A}=k^{2}T}$

Como el viaje de ida de Bob tuvo una duración de , según su reloj, se deduce por simetría que el viaje de regreso de Carol sobre la misma distancia a la misma velocidad también debe tener una duración de , según su reloj, por lo que cuando Carol se encuentra con Alice, el reloj de Carol marca . El factor k para este tramo del viaje debe ser recíproco (como se analizó anteriormente), por lo que, considerando el destello de Carol hacia Alice, un intervalo de transmisión de corresponde a un intervalo de recepción de . Esto significa que la última hora en el reloj de Alice, cuando Carol y Alice se encuentran, es . Esto es mayor que el tiempo del reloj de Carol proporcionado desde entonces y . ^{[4] : 80-90} ${\displaystyle kT}$ ${\displaystyle kT}$ ${\displaystyle t_{C}=2kT}$ ${\displaystyle 1/k}$ ${\displaystyle kT}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle t_{A}=(k^{2}+1)T}$ ${\displaystyle t_{C}=2kT}$ $${\displaystyle t_{A}-t_{C}=(k^{2}-2k+1)T=(k-1)^{2}T>0,}$$ ${\displaystyle k\neq 1}$ ${\displaystyle T>0}$ 

Mediciones de radar y velocidad.

Diagrama espacio-temporal para mediciones de radar.

  Alicia

  Beto

  dave

  Pulso de radar

En la metodología del cálculo k , las distancias se miden mediante radar . Un observador envía un pulso de radar hacia un objetivo y recibe un eco del mismo. El pulso del radar (que viaja a , la velocidad de la luz) recorre una distancia total, de ida y vuelta, que es el doble de la distancia hasta el objetivo, y tarda un tiempo , donde y son tiempos registrados por el reloj del observador en la transmisión y recepción del pulso de radar. Esto implica que la distancia al objetivo es ^{[2] : 60} ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle T_{2}-T_{1}}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{2}}$ $${\displaystyle x_{A}={\tfrac {1}{2}}c(T_{2}-T_{1}).}$$

Además, como la velocidad de la luz es la misma en ambas direcciones, el tiempo en el que el pulso del radar llega al objetivo debe estar, según el observador, a medio camino entre los tiempos de transmisión y recepción, es decir, ^{[2] : 60} $${\displaystyle t_{A}={\tfrac {1}{2}}(T_{2}+T_{1}).}$$

En el caso particular en el que el observador del radar es Alice y el objetivo es Bob (momentáneamente ubicado junto con Dave) como se describió anteriormente, mediante el cálculo k tenemos , y así ${\displaystyle T_{2}=k^{2}T_{1}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}x_{A}&={\tfrac {1}{2}}c(k^{2}-1)T_{1}\\t_{A}&={\tfrac {1}{2}}(k^{2}+1)T_{1}.\end{aligned}}}$$

Como Alice y Bob estaban ubicados juntos en , la velocidad de Bob en relación con Alice viene dada por ^{[4] : ​​103  [2] : 64} ${\displaystyle t_{A}=0,x_{A}=0}$

$${\displaystyle v={\frac {x_{A}}{t_{A}}}={\frac {{\tfrac {1}{2}}c(k^{2}-1)T_{1}}{{\tfrac {1}{2}}(k^{2}+1)T_{1}}}=c{\frac {k^{2}-1}{k^{2}+1}}=c{\frac {k-k^{-1}}{k+k^{-1}}}.}$$

Esta ecuación expresa la velocidad en función del factor Bondi k . Se puede resolver para dar en función de : ^{[4] : ​​103  [2] : 65} ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle v}$ $${\displaystyle k={\sqrt {\frac {1+v/c}{1-v/c}}}.}$$

Composición de velocidad

Diagrama de espacio-tiempo que muestra la composición del factor k

  Alicia

  Beto

  Ed

  Destello de luz

Considere tres observadores inerciales, Alice, Bob y Ed, dispuestos en ese orden y moviéndose a diferentes velocidades a lo largo de la misma línea recta. En esta sección, la notación se utilizará para denotar el factor k de Alice a Bob (y de manera similar entre otros pares de observadores). ${\displaystyle k_{AB}}$

Como antes, Alice envía un destello azul hacia Bob y Ed cada segundo, según su reloj, que Bob recibe cada segundo, según el reloj de Bob, y Ed recibe cada segundo, según el reloj de Ed. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle k_{AB}T}$ ${\displaystyle k_{AE}T}$

Ahora supongamos que cada vez que Bob recibe un destello azul de Alice, inmediatamente envía su propio destello rojo hacia Ed, una vez cada segundos según el reloj de Bob, por lo que Ed recibe un destello rojo de Bob cada segundo, según el reloj de Ed. El segundo postulado de Einstein, que la velocidad de la luz es independiente del movimiento de su fuente, implica que el destello azul de Alice y el destello rojo de Bob viajan a la misma velocidad, sin adelantar al otro y, por lo tanto, llegan a Ed al mismo tiempo. Por lo tanto, según lo medido por Ed, el intervalo del destello rojo y el intervalo del destello azul deben ser iguales. Entonces, la regla para combinar k factores es simplemente la multiplicación: ^{[4] : ​​105} ${\displaystyle k_{AB}T}$ ${\displaystyle k_{BE}(k_{AB}T)}$ ${\displaystyle k_{BE}(k_{AB}T)}$ ${\displaystyle k_{AE}T}$ $${\displaystyle k_{AE}=k_{AB}k_{BE}.}$$

Finalmente, al sustituir se obtiene la fórmula de composición de velocidades ^{[4] : ​​105} $${\displaystyle k_{AB}={\sqrt {\frac {1+v_{AB}/c}{1-v_{AB}/c}}},\,k_{BE}={\sqrt {\frac {1+v_{BE}/c}{1-v_{BE}/c}}},\,v_{AE}=c{\frac {k_{AE}^{2}-1}{k_{AE}^{2}+1}}}$$ $${\displaystyle v_{AE}={\frac {v_{AB}+v_{BE}}{1+v_{AB}v_{BE}/c^{2}}}.}$$

El intervalo invariante

Diagrama espacio-temporal para la derivación del intervalo invariante y la transformación de Lorentz.

  Alicia

  Beto

  Pulso de radar

Utilizando el método de radar descrito anteriormente, la observadora inercial Alice asigna coordenadas a un evento transmitiendo un pulso de radar en el momento y recibiendo su eco en el tiempo , medido por su reloj. ${\displaystyle (t_{A},x_{A})}$ ${\displaystyle t_{A}-x_{A}/c}$ ${\displaystyle t_{A}+x_{A}/c}$

De manera similar, el observador inercial Bob puede asignar coordenadas al mismo evento transmitiendo un pulso de radar en el momento y recibiendo su eco en el tiempo , medido por su reloj. Sin embargo, como muestra el diagrama, no es necesario que Bob genere su propia señal de radar, ya que simplemente puede tomar los tiempos de la señal de Alice. ${\displaystyle (t_{B},x_{B})}$ ${\displaystyle t_{B}-x_{B}/c}$ ${\displaystyle t_{B}+x_{B}/c}$

Ahora, aplicando el método de cálculo k a la señal que viaja de Alice a Bob $${\displaystyle k={\frac {t_{B}-x_{B}/c}{t_{A}-x_{A}/c}}.}$$

De manera similar, aplicando el método de cálculo k a la señal que viaja de Bob a Alice $${\displaystyle k={\frac {t_{A}+x_{A}/c}{t_{B}+x_{B}/c}}.}$$

Igualando las dos expresiones y reordenando, ^{[4] : ​​118} ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle c^{2}t_{A}^{2}-x_{A}^{2}=c^{2}t_{B}^{2}-x_{B}^{2}.}$$

Esto establece que la cantidad es una invariante: toma el mismo valor en cualquier sistema de coordenadas inercial y se conoce como intervalo invariante . ${\displaystyle c^{2}t^{2}-x^{2}}$

La transformación de Lorentz

Las dos ecuaciones de la sección anterior se pueden resolver como ecuaciones simultáneas para obtener: ^{[4] : 118  [2] : 67} ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}ct_{B}&={\tfrac {1}{2}}(k+k^{-1})ct_{A}-{\tfrac {1}{2}}(k-k^{-1})x_{A}\\x_{B}&={\tfrac {1}{2}}(k+k^{-1})x_{A}-{\tfrac {1}{2}}(k-k^{-1})ct_{A}\end{aligned}}}$$

Estas ecuaciones son la transformación de Lorentz expresada en términos del factor Bondi k en lugar de en términos de velocidad. Sustituyendo se obtiene la forma más tradicional . ^{[4] : 118  [2] : 67} $${\displaystyle k={\sqrt {\frac {1+v/c}{1-v/c}}},}$$ $${\displaystyle t_{B}={\frac {t_{A}-vx_{A}/c^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}};\,x_{B}={\frac {x_{A}-vt_{A}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$$

Rapidez

La rapidez se puede definir a partir del factor k mediante ^{[2] : 71} y así ${\displaystyle \varphi }$ $${\displaystyle \varphi =\log _{e}k,\,k=e^{\varphi },}$$ $${\displaystyle v=c{\frac {k-k^{-1}}{k+k^{-1}}}=c\tanh \varphi .}$$

La versión del factor k de la transformada de Lorentz se convierte en $${\displaystyle {\begin{aligned}ct_{B}&=ct_{A}\cosh \varphi -x_{A}\sinh \varphi \\x_{B}&=x_{A}\cosh \varphi -ct_{A}\sinh \varphi \end{aligned}}}$$

De la regla de composición para , , se deduce que la regla de composición para rapidezes es la suma: ^{[2] : 71} ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k_{AE}=k_{AB}k_{BE}}$ $${\displaystyle \varphi _{AE}=\varphi _{AB}+\varphi _{BE}.}$$

Referencias

1. Mason, LJ; Woodhouse, NMJ "Relatividad y electromagnetismo" (PDF) . Consultado el 20 de febrero de 2021 .
2. Woodhouse, Nueva Jersey (2003). Relatividad especial . Saltador. ISBN 1-85233-426-6.
3. Ray d'Inverno (1992). "Capítulo 2: El k -cálculo". Presentando la Relatividad de Einstein . Prensa de Clarendon. ISBN 0-19-859686-3.
4. Bondi, Hermann (1964). Relatividad y sentido común. Nueva York: Doubleday & Company.(También publicado en 1965 en Gran Bretaña por Heinemann y reimpreso en 1980 por Dover).
5. Milne, EA (1935). Gravitación de la relatividad y estructura mundial. Prensa de la Universidad de Oxford. págs. 36–38.

enlaces externos

• Revisión de Bondi k-Calculus