Dinámica del cuerpo rígido

Estudio de los efectos de las fuerzas sobre cuerpos indeformables.

El movimiento de cada uno de los componentes de la máquina de vapor Boulton & Watt (1784) se puede describir mediante un conjunto de ecuaciones de cinemática y cinética.

En la ciencia física de la dinámica , la dinámica de cuerpos rígidos estudia el movimiento de sistemas de cuerpos interconectados bajo la acción de fuerzas externas . La suposición de que los cuerpos son rígidos (es decir, no se deforman bajo la acción de fuerzas aplicadas) simplifica el análisis, al reducir los parámetros que describen la configuración del sistema a la traslación y rotación de sistemas de referencia adjuntos a cada cuerpo. ^{[1] [2]} Esto excluye los cuerpos que muestran un comportamiento fluido , altamente elástico y plástico .

La dinámica de un sistema de cuerpo rígido se describe mediante las leyes de la cinemática y por la aplicación de la segunda ley de Newton ( cinética ) o su forma derivada, la mecánica lagrangiana . La solución de estas ecuaciones de movimiento proporciona una descripción de la posición, el movimiento y la aceleración de los componentes individuales del sistema, y ​​en general del sistema mismo, en función del tiempo . La formulación y solución de la dinámica de cuerpos rígidos es una herramienta importante en la simulación por computadora de sistemas mecánicos .

Dinámica de cuerpos rígidos planos

Si un sistema de partículas se mueve paralelamente a un plano fijo, se dice que el sistema está limitado a un movimiento plano. En este caso, las leyes de Newton (cinética) para un sistema rígido de N partículas, P _i , i =1,..., N , se simplifican porque no hay movimiento en la dirección k . Determine la fuerza y ​​el par resultantes en un punto de referencia R , para obtener

$${\displaystyle \mathbf {F} =\sum _{i=1}^{N}m_{i}\mathbf {A} _{i},\quad \mathbf {T} =\sum _{i=1}^{N}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\times m_{i}\mathbf {A} _{i},}$$

donde r _i denota la trayectoria plana de cada partícula.

La cinemática de un cuerpo rígido produce la fórmula para la aceleración de la partícula P _i en términos de la posición R y la aceleración A de la partícula de referencia, así como el vector de velocidad angular ω y el vector de aceleración angular α del sistema rígido de partículas como ,

$${\displaystyle \mathbf {A} _{i}={\boldsymbol {\alpha }}\times (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} ))+\mathbf {A} .}$$

Para sistemas que están restringidos a un movimiento plano, los vectores de velocidad angular y aceleración angular se dirigen a lo largo de k perpendicular al plano de movimiento, lo que simplifica esta ecuación de aceleración. En este caso, los vectores de aceleración se pueden simplificar introduciendo los vectores unitarios e _i desde el punto de referencia R a un punto _ri y los vectores unitarios , entonces ${\textstyle \mathbf {t} _{i}=\mathbf {k} \times \mathbf {e} _{i}}$

$${\displaystyle \mathbf {A} _{i}=\alpha (\Delta r_{i}\mathbf {t} _{i})-\omega ^{2}(\Delta r_{i}\mathbf {e} _{i})+\mathbf {A} .}$$

Esto produce la fuerza resultante sobre el sistema como

$${\displaystyle \mathbf {F} =\alpha \sum _{i=1}^{N}m_{i}\left(\Delta r_{i}\mathbf {t} _{i}\right)-\omega ^{2}\sum _{i=1}^{N}m_{i}\left(\Delta r_{i}\mathbf {e} _{i}\right)+\left(\sum _{i=1}^{N}m_{i}\right)\mathbf {A} ,}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} ={}&\sum _{i=1}^{N}(m_{i}\Delta r_{i}\mathbf {e} _{i})\times \left(\alpha (\Delta r_{i}\mathbf {t} _{i})-\omega ^{2}(\Delta r_{i}\mathbf {e} _{i})+\mathbf {A} \right)\\{}={}&\left(\sum _{i=1}^{N}m_{i}\Delta r_{i}^{2}\right)\alpha \mathbf {k} +\left(\sum _{i=1}^{N}m_{i}\Delta r_{i}\mathbf {e} _{i}\right)\times \mathbf {A} ,\end{aligned}}}$$

donde y es el vector unitario perpendicular al plano para todas las partículas P _i . ${\textstyle \mathbf {e} _{i}\times \mathbf {e} _{i}=0}$ ${\textstyle \mathbf {e} _{i}\times \mathbf {t} _{i}=\mathbf {k} }$

Utilice el centro de masa C como punto de referencia, de modo que estas ecuaciones para las leyes de Newton se simplifiquen y se conviertan en

$${\displaystyle \mathbf {F} =M\mathbf {A} ,\quad \mathbf {T} =I_{\textbf {C}}\alpha \mathbf {k} ,}$$

donde M es la masa total y I _C es el momento de inercia alrededor de un eje perpendicular al movimiento del sistema rígido y que pasa por el centro de masa.

Cuerpo rígido en tres dimensiones.

Descripciones de orientación o actitud

Se han desarrollado varios métodos para describir orientaciones de un cuerpo rígido en tres dimensiones. Se resumen en las siguientes secciones.

ángulos de euler

El primer intento de representar una orientación se atribuye a Leonhard Euler . Imaginó tres sistemas de referencia que podían rotar uno alrededor del otro, y se dio cuenta de que comenzando con un sistema de referencia fijo y realizando tres rotaciones, podía obtener cualquier otro sistema de referencia en el espacio (usando dos rotaciones para fijar el eje vertical y otra para fijar el eje vertical). fijar los otros dos ejes). Los valores de estas tres rotaciones se denominan ángulos de Euler . Comúnmente se utiliza para denotar precesión, nutación y rotación intrínseca. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$

• 
  Diagrama de los ángulos de Euler.
• 
  Rotación intrínseca de una bola alrededor de un eje fijo.
• 
  Movimiento de una peonza en los ángulos de Euler.

Ángulos de Tait-Bryan

Ángulos de Tait-Bryan, otra forma de describir la orientación.

Estos son tres ángulos, también conocidos como guiñada, cabeceo y balanceo, ángulos de navegación y ángulos cardán. Matemáticamente constituyen un conjunto de seis posibilidades dentro de los doce conjuntos posibles de ángulos de Euler, siendo el orden el que mejor se utiliza para describir la orientación de un vehículo como un avión. En ingeniería aeroespacial se les suele denominar ángulos de Euler.

Vector de orientación

Euler también se dio cuenta de que la composición de dos rotaciones equivale a una sola rotación alrededor de un eje fijo diferente ( teorema de rotación de Euler ). Por tanto, la composición de los tres primeros ángulos tiene que ser igual a una sola rotación, cuyo eje era complicado de calcular hasta que se desarrollaron las matrices.

Basándose en este hecho, introdujo una forma vectorial de describir cualquier rotación, con un vector en el eje de rotación y un módulo igual al valor del ángulo. Por tanto, cualquier orientación puede representarse mediante un vector de rotación (también llamado vector de Euler) que conduce a ella desde el sistema de referencia. Cuando se utiliza para representar una orientación, el vector de rotación se denomina comúnmente vector de orientación o vector de actitud.

Un método similar, llamado representación eje-ángulo , describe una rotación u orientación utilizando un vector unitario alineado con el eje de rotación y un valor separado para indicar el ángulo (ver figura).

Matriz de orientación

Con la introducción de las matrices se reescribieron los teoremas de Euler. Las rotaciones se describieron mediante matrices ortogonales denominadas matrices de rotación o matrices de cosenos direccionales. Cuando se utiliza para representar una orientación, una matriz de rotación se denomina comúnmente matriz de orientación o matriz de actitud.

El vector de Euler mencionado anteriormente es el vector propio de una matriz de rotación (una matriz de rotación tiene un valor propio real único ). El producto de dos matrices de rotación es la composición de rotaciones. Por lo tanto, como antes, la orientación se puede dar como la rotación desde el cuadro inicial para lograr el cuadro que queremos describir.

El espacio de configuración de un objeto no simétrico en un espacio n -dimensional es SO( n ) × R n . La orientación se puede visualizar adjuntando una base de vectores tangentes a un objeto. La dirección en la que apunta cada vector determina su orientación.

Cuaternión de orientación

Otra forma de describir las rotaciones es utilizando cuaterniones de rotación , también llamados versores. Son equivalentes a matrices de rotación y vectores de rotación. Con respecto a los vectores de rotación, se pueden convertir más fácilmente desde y hacia matrices. Cuando se utilizan para representar orientaciones, los cuaterniones de rotación suelen denominarse cuaterniones de orientación o cuaterniones de actitud.

La segunda ley de Newton en tres dimensiones.

Para considerar la dinámica de un cuerpo rígido en un espacio tridimensional, se debe ampliar la segunda ley de Newton para definir la relación entre el movimiento de un cuerpo rígido y el sistema de fuerzas y momentos de torsión que actúan sobre él.

Newton formuló su segunda ley para una partícula como: "El cambio de movimiento de un objeto es proporcional a la fuerza aplicada y se realiza en la dirección de la línea recta en la que se aplica la fuerza". ^[3] Debido a que Newton generalmente se refería a la masa multiplicada por la velocidad como el "movimiento" de una partícula, la frase "cambio de movimiento" se refiere a la masa multiplicada por la aceleración de la partícula, por lo que esta ley generalmente se escribe como

$${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} ,}$$

Fma

Sistema rígido de partículas.

Si un sistema de N partículas, P _i , i=1,..., N , se ensamblan en un cuerpo rígido, entonces la segunda ley de Newton se puede aplicar a cada una de las partículas del cuerpo. Si F _i es la fuerza externa aplicada a la partícula P _i con masa m _i , entonces

$${\displaystyle \mathbf {F} _{i}+\sum _{j=1}^{N}\mathbf {F} _{ij}=m_{i}\mathbf {a} _{i},\quad i=1,\ldots ,N,}$$

Fi _jjy

Cuerpo humano modelado como un sistema de cuerpos rígidos de sólidos geométricos. Se agregaron huesos representativos para una mejor visualización de la persona que camina.

Una simplificación importante de estas ecuaciones de fuerza se obtiene introduciendo la fuerza y ​​el par resultantes que actúan sobre el sistema rígido. Esta fuerza y ​​par resultantes se obtienen eligiendo una de las partículas del sistema como punto de referencia, R , donde cada una de las fuerzas externas se aplica con la adición de un par asociado. La fuerza resultante F y el par T vienen dados por las fórmulas,

$${\displaystyle \mathbf {F} =\sum _{i=1}^{N}\mathbf {F} _{i},\quad \mathbf {T} =\sum _{i=1}^{N}(\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )\times \mathbf {F} _{i},}$$

R _ii

La segunda ley de Newton para una partícula se combina con estas fórmulas para que la fuerza y ​​el par resultantes cedan,

$${\displaystyle \mathbf {F} =\sum _{i=1}^{N}m_{i}\mathbf {a} _{i},\quad \mathbf {T} =\sum _{i=1}^{N}(\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )\times (m_{i}\mathbf {a} _{i}),}$$

Fij _secinemática_iRa

$${\displaystyle \mathbf {a} _{i}=\alpha \times (\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )+\omega \times (\omega \times (\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} ))+\mathbf {a} .}$$

Propiedades de masa

Las propiedades de masa del cuerpo rígido están representadas por su centro de masa y matriz de inercia . Elija el punto de referencia R para que satisfaga la condición

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}m_{i}(\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )=0,}$$

entonces se le conoce como centro de masa del sistema.

La matriz de inercia [I _R ] del sistema con respecto al punto de referencia R está definida por

$${\displaystyle [I_{R}]=\sum _{i=1}^{N}m_{i}\left(\mathbf {I} \left(\mathbf {S} _{i}^{\textsf {T}}\mathbf {S} _{i}\right)-\mathbf {S} _{i}\mathbf {S} _{i}^{\textsf {T}}\right),}$$

donde está el vector columna R _i − R ; es su transpuesta y es la matriz identidad de 3 por 3. ${\displaystyle \mathbf {S} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {S} _{i}^{\textsf {T}}}$ ${\displaystyle \mathbf {I} }$

${\displaystyle \mathbf {S} _{i}^{\textsf {T}}\mathbf {S} _{i}}$es el producto escalar de consigo mismo, mientras que es el producto tensorial de consigo mismo. ${\displaystyle \mathbf {S} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {S} _{i}\mathbf {S} _{i}^{\textsf {T}}}$ ${\displaystyle \mathbf {S} _{i}}$

Ecuaciones fuerza-par

Usando el centro de masa y la matriz de inercia, las ecuaciones de fuerza y ​​torsión para un solo cuerpo rígido toman la forma

$${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} ,\quad \mathbf {T} =[I_{R}]\alpha +\omega \times [I_{R}]\omega ,}$$

La dinámica de un sistema interconectado de cuerpos rígidos, Bi _, j = 1, ..., M , se formula aislando cada cuerpo rígido e introduciendo las fuerzas de interacción. La resultante de las fuerzas externas y de interacción sobre cada cuerpo produce las ecuaciones de fuerza-torque.

$${\displaystyle \mathbf {F} _{j}=m_{j}\mathbf {a} _{j},\quad \mathbf {T} _{j}=[I_{R}]_{j}\alpha _{j}+\omega _{j}\times [I_{R}]_{j}\omega _{j},\quad j=1,\ldots ,M.}$$

La formulación de Newton produce 6 M ecuaciones que definen la dinámica de un sistema de M cuerpos rígidos. ^[4]

Rotación en tres dimensiones.

Un objeto en rotación, ya sea bajo la influencia de pares de torsión o no, puede exhibir comportamientos de precesión y nutación . La ecuación fundamental que describe el comportamiento de un cuerpo sólido en rotación es la ecuación de movimiento de Euler :

$${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\frac {D\mathbf {L} }{Dt}}={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {L} ={\frac {d(I{\boldsymbol {\omega }})}{dt}}+{\boldsymbol {\omega }}\times {I{\boldsymbol {\omega }}}=I{\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times {I{\boldsymbol {\omega }}}}$$

pseudovectores τLparesangularImomento de inerciaωα

La solución a esta ecuación cuando no se aplica ningún par se analiza en los artículos Ecuación de movimiento de Euler y Elipsoide de Poinsot .

De la ecuación de Euler se deduce que un par τ aplicado perpendicular al eje de rotación, y por lo tanto perpendicular a L , da como resultado una rotación alrededor de un eje perpendicular tanto a τ como a L. Este movimiento se llama precesión . La velocidad angular de precesión Ω _P viene dada por el producto cruzado : ^{[ cita necesaria ]}

$${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\boldsymbol {\Omega }}_{\mathrm {P} }\times \mathbf {L} .}$$

Precesión de un giroscopio

La precesión se puede demostrar colocando una peonza con su eje horizontal y apoyada sin apretar (sin fricción hacia la precesión) en un extremo. En lugar de caer, como podría esperarse, la peonza parece desafiar la gravedad al permanecer con su eje horizontal, cuando el otro extremo del eje queda sin apoyo y el extremo libre del eje describe lentamente un círculo en un plano horizontal, el resultado giro de precesión. Este efecto se explica por las ecuaciones anteriores. El par en la parte superior es proporcionado por un par de fuerzas: la gravedad que actúa hacia abajo sobre el centro de masa del dispositivo y una fuerza igual que actúa hacia arriba para sostener un extremo del dispositivo. La rotación resultante de este par no es hacia abajo, como podría esperarse intuitivamente, provocando la caída del dispositivo, sino perpendicular tanto al par gravitacional (horizontal y perpendicular al eje de rotación) como al eje de rotación (horizontal y hacia afuera del eje de rotación). punto de apoyo), es decir, alrededor de un eje vertical, haciendo que el dispositivo gire lentamente alrededor del punto de apoyo.

Bajo un par constante de magnitud τ , la velocidad de precesión Ω _P es inversamente proporcional a L , la magnitud de su momento angular:

$${\displaystyle \tau ={\mathit {\Omega }}_{\mathrm {P} }L\sin \theta ,}$$

θΩ _PL

Por convención, estos tres vectores (par, giro y precesión) están orientados entre sí según la regla de la mano derecha .

Trabajo virtual de fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido.

Se obtiene una formulación alternativa de la dinámica de cuerpos rígidos que tiene varias características convenientes considerando el trabajo virtual de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido.

El trabajo virtual de las fuerzas que actúan en varios puntos sobre un solo cuerpo rígido se puede calcular utilizando las velocidades de su punto de aplicación y la fuerza y ​​el par resultantes . Para ver esto, dejemos que las fuerzas F ₁ , F ₂ ... F _n actúen sobre los puntos R ₁ , R ₂ ... R _n en un cuerpo rígido.

Las trayectorias de R _i , i = 1, ..., n están definidas por el movimiento del cuerpo rígido. Las velocidades de los puntos R _i a lo largo de sus trayectorias son

$${\displaystyle \mathbf {V} _{i}={\boldsymbol {\omega }}\times (\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {V} ,}$$

ω

Trabajo virtual

El trabajo se calcula a partir del producto escalar de cada fuerza con el desplazamiento de su punto de contacto.

$${\displaystyle \delta W=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}.}$$

coordenadas generalizadas q _jj = 1, ..., mδ r _i

$${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}=\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}=\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j}.}$$

$${\displaystyle \delta W=\mathbf {F} _{1}\cdot \left(\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {V} _{1}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j}\right)+\dots +\mathbf {F} _{n}\cdot \left(\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {V} _{n}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j}\right)}$$

o recogiendo los coeficientes de δq _j

$${\displaystyle \delta W=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{1}}}\right)\delta q_{1}+\dots +\left(\sum _{1=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{m}}}\right)\delta q_{m}.}$$

Fuerzas generalizadas

Para simplificar, considere una trayectoria de un cuerpo rígido que está especificada por una única coordenada generalizada q, como un ángulo de rotación, entonces la fórmula se convierte en

$${\displaystyle \delta W=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}}}\right)\delta q=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial ({\boldsymbol {\omega }}\times (\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {V} )}{\partial {\dot {q}}}}\right)\delta q.}$$

Introduzca la fuerza resultante F y el par T para que esta ecuación tome la forma

$${\displaystyle \delta W=\left(\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial {\dot {q}}}}+\mathbf {T} \cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial {\dot {q}}}}\right)\delta q.}$$

La cantidad Q definida por

$${\displaystyle Q=\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial {\dot {q}}}}+\mathbf {T} \cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial {\dot {q}}}},}$$

se conoce como fuerza generalizada asociada con el desplazamiento virtual δq. Esta fórmula se generaliza al movimiento de un cuerpo rígido definido por más de una coordenada generalizada, es decir

$${\displaystyle \delta W=\sum _{j=1}^{m}Q_{j}\delta q_{j},}$$

$${\displaystyle Q_{j}=\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial {\dot {q}}_{j}}}+\mathbf {T} \cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial {\dot {q}}_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m.}$$

Es útil observar que las fuerzas conservativas como la gravedad y las fuerzas del resorte se pueden derivar de una función potencial V ( q ₁ ,..., q _n ) , conocida como energía potencial . En este caso las fuerzas generalizadas están dadas por

$${\displaystyle Q_{j}=-{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m.}$$

La forma de D'Alembert del principio del trabajo virtual.

Las ecuaciones de movimiento para un sistema mecánico de cuerpos rígidos se pueden determinar utilizando la forma del principio de trabajo virtual de D'Alembert. El principio de trabajo virtual se utiliza para estudiar el equilibrio estático de un sistema de cuerpos rígidos; sin embargo, al introducir términos de aceleración en las leyes de Newton, este enfoque se generaliza para definir el equilibrio dinámico.

Equilibrio estático

El equilibrio estático de un sistema mecánico de cuerpos rígidos se define por la condición de que el trabajo virtual de las fuerzas aplicadas sea cero para cualquier desplazamiento virtual del sistema. Esto se conoce como el principio del trabajo virtual. ^[5] Esto equivale al requisito de que las fuerzas generalizadas para cualquier desplazamiento virtual sean cero, es decir Q _i =0.

Sea un sistema mecánico construido a partir de n cuerpos rígidos, Bi _, i = 1, ..., n , y sea la resultante de las fuerzas aplicadas sobre cada cuerpo los pares fuerza-par , Fi _y Ti _, i = 1, ..., norte . Observe que estas fuerzas aplicadas no incluyen las fuerzas de reacción donde los cuerpos están conectados. Finalmente, supongamos que la velocidad V _i y las velocidades angulares ω _i , i = 1, ..., n , para cada cuerpo rígido, están definidas por una única coordenada generalizada q. Se dice que tal sistema de cuerpos rígidos tiene un grado de libertad .

El trabajo virtual de las fuerzas y pares, Fi y Ti , aplicados a este sistema de un grado de libertad está _{dado por}

$${\displaystyle \delta W=\sum _{i=1}^{n}\left(\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}}}+\mathbf {T} _{i}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}_{i}}{\partial {\dot {q}}}}\right)\delta q=Q\delta q,}$$

$${\displaystyle Q=\sum _{i=1}^{n}\left(\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}}}+\mathbf {T} _{i}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}_{i}}{\partial {\dot {q}}}}\right),}$$

Si el sistema mecánico está definido por m coordenadas generalizadas, q _j , j = 1, ..., m , entonces el sistema tiene m grados de libertad y el trabajo virtual viene dado por,

$${\displaystyle \delta W=\sum _{j=1}^{m}Q_{j}\delta q_{j},}$$

$${\displaystyle Q_{j}=\sum _{i=1}^{n}\left(\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}+\mathbf {T} _{i}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}_{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right),\quad j=1,\ldots ,m.}$$

q _j

$${\displaystyle Q_{j}=0,\quad j=1,\ldots ,m.}$$

Estas m ecuaciones definen el equilibrio estático del sistema de cuerpos rígidos.

Fuerzas de inercia generalizadas

Considere un solo cuerpo rígido que se mueve bajo la acción de una fuerza resultante F y un par T , con un grado de libertad definido por la coordenada generalizada q . Supongamos que el punto de referencia para la fuerza y ​​el par resultantes es el centro de masa del cuerpo, entonces la fuerza de inercia generalizada Q* asociada con la coordenada generalizada q viene dada por

$${\displaystyle Q^{*}=-(M\mathbf {A} )\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial {\dot {q}}}}-\left([I_{R}]{\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times [I_{R}]{\boldsymbol {\omega }}\right)\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial {\dot {q}}}}.}$$

Esta fuerza de inercia se puede calcular a partir de la energía cinética del cuerpo rígido,

$${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}M\mathbf {V} \cdot \mathbf {V} +{\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot [I_{R}]{\boldsymbol {\omega }},}$$

$${\displaystyle Q^{*}=-\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}}}-{\frac {\partial T}{\partial q}}\right).}$$

Un sistema de n cuerpos rígidos con m coordenadas generalizadas tiene la energía cinética

$${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{n}\left({\tfrac {1}{2}}M\mathbf {V} _{i}\cdot \mathbf {V} _{i}+{\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}_{i}\cdot [I_{R}]{\boldsymbol {\omega }}_{i}\right),}$$

^[6]

$${\displaystyle Q_{j}^{*}=-\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}\right),\quad j=1,\ldots ,m.}$$

Equilibrio dinámico

La forma de D'Alembert del principio de trabajo virtual establece que un sistema de cuerpos rígidos está en equilibrio dinámico cuando el trabajo virtual de la suma de las fuerzas aplicadas y las fuerzas de inercia es cero para cualquier desplazamiento virtual del sistema. Por tanto, el equilibrio dinámico de un sistema de n cuerpos rígidos con m coordenadas generalizadas requiere que

$${\displaystyle \delta W=\left(Q_{1}+Q_{1}^{*}\right)\delta q_{1}+\dots +\left(Q_{m}+Q_{m}^{*}\right)\delta q_{m}=0,}$$

δq _jm

$${\displaystyle Q_{j}+Q_{j}^{*}=0,\quad j=1,\ldots ,m,}$$

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}=Q_{j},\quad j=1,\ldots ,m.}$$

ecuaciones de lagrange

Si las fuerzas generalizadas Q _j son derivables de una energía potencial V ( q ₁ , ..., q _m ) , entonces estas ecuaciones de movimiento toman la forma

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}=-{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m.}$$

En este caso, introduzca el lagrangiano , L = T − V , de modo que estas ecuaciones de movimiento se conviertan en

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}=0\quad j=1,\ldots ,m.}$$

ecuaciones de movimiento de Lagrange

Momento lineal y angular

Sistema de partículas

El momento lineal y angular de un sistema rígido de partículas se formula midiendo la posición y la velocidad de las partículas en relación con el centro de masa. Sea el sistema de partículas P _i , i = 1, ..., n ubicado en las coordenadas r _i y velocidades v _i . Seleccione un punto de referencia R y calcule la posición relativa y los vectores de velocidad,

$${\displaystyle \mathbf {r} _{i}=\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)+\mathbf {R} ,\quad \mathbf {v} _{i}={\frac {d}{dt}}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {V} .}$$

Los vectores de momento lineal y angular totales relativos al punto de referencia R son

$${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)\right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} ,}$$

$${\displaystyle \mathbf {L} =\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)\times {\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)\right)\times \mathbf {V} .}$$

Si se elige R como centro de masa, estas ecuaciones se simplifican a

$${\displaystyle \mathbf {p} =M\mathbf {V} ,\quad \mathbf {L} =\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)\times {\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right).}$$

Sistema rígido de partículas.

Para especializar estas fórmulas en un cuerpo rígido, supongamos que las partículas están conectadas rígidamente entre sí, de modo que P _i , i=1,...,n estén ubicadas en las coordenadas r _i y las _velocidades vi . Seleccione un punto de referencia R y calcule la posición relativa y los vectores de velocidad,

$${\displaystyle \mathbf {r} _{i}=(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {R} ,\quad \mathbf {v} _{i}=\omega \times (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {V} ,}$$

^{[7] [8] [9]}

El momento lineal y el momento angular de este sistema rígido medidos con respecto al centro de masa R es

$${\displaystyle \mathbf {p} =\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} ,\quad \mathbf {L} =\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\times \mathbf {v} _{i}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\times (\omega \times (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )).}$$

Estas ecuaciones se simplifican para convertirse en,

$${\displaystyle \mathbf {p} =M\mathbf {V} ,\quad \mathbf {L} =[I_{R}]\omega ,}$$

_Rde momentos de inercia

$${\displaystyle [I_{R}]=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[r_{i}-R][r_{i}-R],}$$

_ir _iR

Aplicaciones

• Para el análisis de sistemas robóticos.
• Para el análisis biomecánico de animales, humanos o sistemas humanoides.
• Para el análisis de objetos espaciales.
• Para la comprensión de movimientos extraños de cuerpos rígidos. ^[10]
• Para el diseño y desarrollo de sensores basados ​​en dinámica, como sensores giroscópicos.
• Para el diseño y desarrollo de diversas aplicaciones de mejora de la estabilidad en automóviles.
• Para mejorar los gráficos de videojuegos que involucran cuerpos rígidos.

Ver también

• Mecánica analítica
• Dinámica analítica
• Cálculo de variaciones
• Mecanica clasica
• Dinámica (mecánica)
• Historia de la mecanica clasica
• Mecánica lagrangiana
• lagrangiano
• Mecánica hamiltoniana
• Cuerpo rígido
• Rotor rígido
• Dinámica del cuerpo blando
• sistema multicuerpo
• pólhode
• Herpolhode
• Precesión
• Elipsoide de Poinsot
• Giroscopio
• motor de fisica
• Unidad de procesamiento de física
• Capa de abstracción física : simulador multicuerpo unificado
• RigidChips : simulador japonés de cuerpo rígido
• Ecuación de Euler

Referencias

1. B. Paul, Cinemática y dinámica de maquinaria plana, Prentice-Hall, Nueva Jersey, 1979
2. LW Tsai, Análisis de robots: la mecánica de manipuladores en serie y paralelo, John-Wiley, NY, 1999.
3. Encyclopædia Britannica, Leyes del movimiento de Newton.
4. KJ Waldron y GL Kinzel, Cinemática y dinámica y diseño de maquinaria, 2.ª ed., John Wiley and Sons, 2004.
5. Torby, Bruce (1984). "Métodos energéticos". Dinámica avanzada para ingenieros . Serie HRW en Ingeniería Mecánica. Estados Unidos de América: CBS College Publishing. ISBN 0-03-063366-4.
6. TR Kane y DA Levinson, Dinámica, teoría y aplicaciones, McGraw-Hill, Nueva York, 2005.
7. Marion, JB; Thornton, ST (1995). Dinámica clásica de sistemas y partículas (4ª ed.). Thompson. ISBN 0-03-097302-3..
8. Symon, KR (1971). Mecánica (3ª ed.). Addison-Wesley. ISBN 0-201-07392-7..
9. Tenenbaum, RA (2004). Fundamentos de la Dinámica Aplicada. Saltador. ISBN 0-387-00887-X..
10. Gómez, RW; Hernández-Gómez, JJ; Marquina, V (25 de julio de 2012). "Un cilindro que salta sobre un plano inclinado". EUR. J. Física . PIO. 33 (5): 1359-1365. arXiv : 1204.0600 . Código Bib : 2012EJPh...33.1359G. doi :10.1088/0143-0807/33/5/1359. S2CID  55442794 . Consultado el 25 de abril de 2016 .

Otras lecturas

• E. Leimanis (1965). El problema general del movimiento de cuerpos rígidos acoplados alrededor de un punto fijo. ( Springer , Nueva York).
• WB escuchado (2006). Mecánica de cuerpos rígidos: matemáticas, física y aplicaciones. ( Wiley-VCH ).

enlaces externos

• Información sobre la dinámica del cuerpo rígido de Chris Hecker Archivada el 12 de marzo de 2007 en la Wayback Machine.
• Modelado basado físicamente: principios y práctica
• Base de conocimientos de DigitalRune Archivado el 20 de noviembre de 2008 en Wayback Machine contiene una tesis de maestría y una colección de recursos sobre la dinámica de cuerpos rígidos.
• F. Klein, "Nota sobre la conexión entre la geometría lineal y la mecánica de cuerpos rígidos" (traducción al inglés)
• F. Klein, "Sobre la teoría de los tornillos de Sir Robert Ball" (traducción al inglés)
• E. Cotton, "Aplicación de la geometría de Cayley al estudio geométrico del desplazamiento de un sólido alrededor de un punto fijo" (traducción al inglés)