Teoría de números trascendentales

Estudio de números que no son soluciones de polinomios con coeficientes racionales.

La teoría de números trascendentales es una rama de la teoría de números que investiga los números trascendentales (números que no son soluciones de ninguna ecuación polinomial con coeficientes racionales ), tanto de forma cualitativa como cuantitativa.

Trascendencia

El teorema fundamental del álgebra nos dice que si tenemos un polinomio no constante con coeficientes racionales (o equivalentemente, despejando denominadores , con coeficientes enteros ) entonces ese polinomio tendrá una raíz en los números complejos . Es decir, para cualquier polinomio no constante con coeficientes racionales habrá un número complejo tal que . La teoría de la trascendencia se ocupa de la pregunta inversa: dado un número complejo , ¿existe un polinomio con coeficientes racionales tal que Si no existe tal polinomio entonces el número se llama trascendental. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle P(\alpha )=0}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P(\alpha )=0?}$

En términos más generales, la teoría trata de la independencia algebraica de los números. Un conjunto de números {α ₁ , α ₂ , …, α _n } se denomina algebraicamente independiente en un cuerpo K si no hay ningún polinomio P distinto de cero en n variables con coeficientes en K tales que P (α ₁ , α ₂ , …, α _n ) = 0. Por lo tanto, determinar si un número dado es trascendental es realmente un caso especial de independencia algebraica donde n  = 1 y el cuerpo K es el cuerpo de los números racionales .

Un concepto relacionado es si existe una expresión en forma cerrada para un número, incluidas las exponenciales y los logaritmos, así como las operaciones algebraicas. Existen varias definiciones de "forma cerrada", y las preguntas sobre la forma cerrada a menudo pueden reducirse a preguntas sobre la trascendencia.

Historia

Aproximación por números racionales: de Liouville a Roth

El uso del término trascendental para referirse a un objeto que no es algebraico se remonta al siglo XVII, cuando Gottfried Leibniz demostró que la función seno no era una función algebraica . ^[1] La cuestión de si ciertas clases de números podrían ser trascendentales se remonta a 1748 ^[2] cuando Euler afirmó ^[3] que el número log _a b no era algebraico para los números racionales a y b siempre que b no sea de la forma b  =  a ^c para algún racional c .

La afirmación de Euler no fue demostrada hasta el siglo XX, pero casi cien años después de su afirmación, Joseph Liouville logró demostrar la existencia de números que no son algebraicos, algo que hasta entonces no se sabía con certeza. ^[4] Sus artículos originales sobre el tema en la década de 1840 esbozaron argumentos utilizando fracciones continuas para construir números trascendentales. Más tarde, en la década de 1850, dio una condición necesaria para que un número sea algebraico y, por lo tanto, una condición suficiente para que un número sea trascendental. ^[5] Este criterio de trascendencia no era lo suficientemente fuerte como para ser necesario también, y de hecho no detecta que el número e es trascendental. Pero su trabajo proporcionó una clase más amplia de números trascendentales, ahora conocidos como números de Liouville en su honor.

El criterio de Liouville básicamente decía que los números algebraicos no pueden ser muy bien aproximados por números racionales. Por lo tanto, si un número puede ser muy bien aproximado por números racionales, entonces debe ser trascendental. El significado exacto de "muy bien aproximado" en el trabajo de Liouville se relaciona con un cierto exponente. Demostró que si α es un número algebraico de grado d  ≥ 2 y ε es cualquier número mayor que cero, entonces la expresión

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{d+\varepsilon }}}}$

puede ser satisfecha sólo por un número finito de números racionales p / q . Utilizar esto como criterio de trascendencia no es trivial, ya que uno debe verificar si hay infinitas soluciones p / q para cada d  ≥ 2.

En el trabajo del siglo XX de Axel Thue , ^[6] Carl Siegel , ^[7] y Klaus Roth ^[8] redujeron el exponente en el trabajo de Liouville de d  + ε a d /2 + 1 + ε, y finalmente, en 1955, a 2 + ε. Este resultado, conocido como el teorema de Thue-Siegel-Roth , es ostensiblemente el mejor posible, ya que si el exponente 2 + ε se reemplaza por solo 2, entonces el resultado ya no es verdadero. Sin embargo, Serge Lang conjeturó una mejora del resultado de Roth; en particular, conjeturó que q ^2+ε en el denominador del lado derecho podría reducirse a . ${\displaystyle q^{2}(\log q)^{1+\epsilon }}$

El trabajo de Roth puso fin de manera efectiva al trabajo iniciado por Liouville, y su teorema permitió a los matemáticos demostrar la trascendencia de muchos más números, como la constante de Champernowne . Sin embargo, el teorema aún no es lo suficientemente fuerte como para detectar todos los números trascendentales, y muchas constantes famosas, incluidas e y π, no son o no se sabe que sean muy bien aproximables en el sentido antes mencionado. ^[9]

Funciones auxiliares: Hermite a Baker

Afortunadamente, en el siglo XIX se desarrollaron otros métodos para tratar las propiedades algebraicas de e y, en consecuencia, de π mediante la identidad de Euler . Este trabajo se centró en el uso de la llamada función auxiliar . Se trata de funciones que normalmente tienen muchos ceros en los puntos considerados. Aquí, "muchos ceros" puede significar muchos ceros distintos, o tan solo un cero pero con una multiplicidad alta , o incluso muchos ceros todos con una multiplicidad alta. Charles Hermite utilizó funciones auxiliares que aproximaban las funciones para cada número natural para demostrar la trascendencia de en 1873. ^[10] Su trabajo fue ampliado por Ferdinand von Lindemann en la década de 1880 ^[11] para demostrar que e ^α es trascendental para números algebraicos α distintos de cero. En particular, esto demostró que π es trascendental ya que e ^{π i} es algebraico, y por lo tanto respondió negativamente al problema de la antigüedad sobre si era posible cuadrar el círculo . Karl Weierstrass desarrolló aún más su trabajo y finalmente demostró el teorema de Lindemann-Weierstrass en 1885. ^[12] ${\displaystyle e^{kx}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle e}$

En 1900 David Hilbert planteó su famosa colección de problemas . El séptimo de ellos , y uno de los más difíciles en la estimación de Hilbert, preguntaba por la trascendencia de números de la forma a ^b donde a y b son algebraicos, a no es cero ni uno, y b es irracional . En la década de 1930, Alexander Gelfond ^[13] y Theodor Schneider ^[14] demostraron que todos esos números eran de hecho trascendentales utilizando una función auxiliar no explícita cuya existencia fue garantizada por el lema de Siegel . Este resultado, el teorema de Gelfond-Schneider , demostró la trascendencia de números como e π y la constante de Gelfond-Schneider .

El siguiente gran resultado en este campo se produjo en la década de 1960, cuando Alan Baker avanzó en un problema planteado por Gelfond sobre formas lineales en logaritmos . El propio Gelfond había logrado encontrar un límite inferior no trivial para la cantidad

${\displaystyle |\beta _{1}\log \alpha _{1}+\beta _{2}\log \alpha _{2}|\,}$

donde las cuatro incógnitas son algebraicas, las α no son ni cero ni uno y las β son irracionales. Sin embargo, Gelfond no había podido encontrar límites inferiores similares para la suma de tres o más logaritmos. La prueba del teorema de Baker contenía dichos límites, resolviendo en el proceso el problema de los números de clase de Gauss para la clase número uno. Este trabajo le valió a Baker la medalla Fields por su uso en la resolución de ecuaciones diofánticas . Desde un punto de vista puramente teórico de números trascendentales, Baker había demostrado que si α ₁ , ..., α _n son números algebraicos, ninguno de ellos cero o uno, y β ₁ , ..., β _n son números algebraicos tales que 1, β ₁ , ..., β _n son linealmente independientes sobre los números racionales, entonces el número

${\displaystyle \alpha _{1}^{\beta _{1}}\alpha _{2}^{\beta _{2}}\cdots \alpha _{n}^{\beta _{n}}}$

es trascendental. ^[15]

Otras técnicas: Cantor y Zilber

En la década de 1870, Georg Cantor comenzó a desarrollar la teoría de conjuntos y, en 1874, publicó un artículo que demostraba que los números algebraicos podían ponerse en correspondencia biunívoca con el conjunto de números naturales y, por lo tanto, que el conjunto de números trascendentales debía ser incontable . ^{[16] Más tarde, en 1891, Cantor utilizó su} argumento diagonal más conocido para demostrar el mismo resultado. ^[17] Aunque el resultado de Cantor se cita a menudo como puramente existencial y, por lo tanto, inutilizable para construir un único número trascendental, ^{[18] [19]} las pruebas en ambos artículos mencionados anteriormente proporcionan métodos para construir números trascendentales. ^[20]

Si bien Cantor utilizó la teoría de conjuntos para demostrar la plenitud de los números trascendentales, un desarrollo reciente ha sido el uso de la teoría de modelos en los intentos de demostrar un problema no resuelto en la teoría de números trascendentales. El problema es determinar el grado de trascendencia del campo.

${\displaystyle K=\mathbb {Q} (x_{1},\ldots ,x_{n},e^{x_{1}},\ldots ,e^{x_{n}})}$

para números complejos x ₁ , ..., x _n que son linealmente independientes sobre los números racionales. Stephen Schanuel conjeturó que la respuesta es al menos n , pero no se conoce ninguna prueba. Sin embargo, en 2004, Boris Zilber publicó un artículo que utilizó técnicas de teoría de modelos para crear una estructura que se comporta de manera muy similar a los números complejos equipados con las operaciones de adición, multiplicación y exponenciación. Además, en esta estructura abstracta, la conjetura de Schanuel sí se cumple. ^[21] Desafortunadamente, aún no se sabe si esta estructura es de hecho la misma que los números complejos con las operaciones mencionadas; podría existir alguna otra estructura abstracta que se comporte de manera muy similar a los números complejos pero donde la conjetura de Schanuel no se cumpla. Zilber proporcionó varios criterios que probarían que la estructura en cuestión era C , pero no pudo probar el llamado axioma de cierre exponencial fuerte. El caso más simple de este axioma ha sido probado desde entonces, ^[22] pero se requiere una prueba de que se cumple con plena generalidad para completar la prueba de la conjetura.

Aproches

Un problema típico en esta área de las matemáticas es determinar si un número dado es trascendental. Cantor utilizó un argumento de cardinalidad para demostrar que sólo hay una cantidad contable de números algebraicos y, por lo tanto, casi todos los números son trascendentales. Por lo tanto, los números trascendentales representan el caso típico; aun así, puede resultar extremadamente difícil demostrar que un número dado es trascendental (o incluso simplemente irracional).

Por esta razón, la teoría de la trascendencia a menudo trabaja hacia un enfoque más cuantitativo. Así, dado un número complejo particular α, uno puede preguntarse qué tan cerca está α de ser un número algebraico. Por ejemplo, si uno supone que el número α es algebraico, ¿puede uno demostrar que debe tener un grado muy alto o un polinomio mínimo con coeficientes muy grandes? En última instancia, si es posible demostrar que ningún grado finito o tamaño de coeficiente es suficiente, entonces el número debe ser trascendental. Dado que un número α es trascendental si y solo si P (α) ≠ 0 para cada polinomio P distinto de cero con coeficientes enteros, este problema puede abordarse tratando de encontrar límites inferiores de la forma

${\displaystyle |P(a)|>F(A,d)}$

donde el lado derecho es alguna función positiva que depende de alguna medida A del tamaño de los coeficientes de P , y su grado d , y tal que estos límites inferiores se aplican a todos los P ≠ 0. Tal límite se llama medida de trascendencia .

El caso de d  = 1 es el de la aproximación diofántica "clásica" que pide límites inferiores para

${\displaystyle |ax+b|}$.

Los métodos de la teoría de la trascendencia y la aproximación diofántica tienen mucho en común: ambos utilizan el concepto de función auxiliar .

Resultados principales

El teorema de Gelfond-Schneider fue el mayor avance en la teoría de la trascendencia en el período 1900-1950. En la década de 1960, el método de Alan Baker sobre formas lineales en logaritmos de números algebraicos revivió la teoría de la trascendencia, con aplicaciones a numerosos problemas clásicos y ecuaciones diofánticas .

Clasificación de Mahler

En 1932, Kurt Mahler dividió los números trascendentales en tres clases, llamadas S , T y U. [ ^23] La definición de estas clases se basa en una extensión de la idea del número de Liouville (citado anteriormente).

Medida de irracionalidad de un número real

Una forma de definir un número de Liouville es considerar qué tan pequeño un número real dado x hace polinomios lineales | qx  −  p | sin hacerlos exactamente 0. Aquí p , q son números enteros con | p |, | q | acotados por un entero positivo  H .

Sea el valor absoluto mínimo distinto de cero que toman estos polinomios y tome: ${\displaystyle m(x,1,H)}$

${\displaystyle \omega (x,1,H)=-{\frac {\log m(x,1,H)}{\log H}}}$

${\displaystyle \omega (x,1)=\limsup _{H\to \infty }\,\omega (x,1,H).}$

ω( x , 1) se suele denominar la medida de irracionalidad de un número real  x . Para los números racionales, ω( x , 1) = 0 y es al menos 1 para los números reales irracionales. Se define que un número de Liouville tiene una medida de irracionalidad infinita. El teorema de Roth dice que los números algebraicos reales irracionales tienen una medida de irracionalidad de 1.

Medida de trascendencia de un número complejo

A continuación, consideremos los valores de los polinomios en un número complejo x , cuando estos polinomios tienen coeficientes enteros, grado como máximo n y altura como máximo H , siendo n y H números enteros positivos.

Sea el valor absoluto mínimo distinto de cero que toman dichos polinomios en y toman: ${\displaystyle m(x,n,H)}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \omega (x,n,H)=-{\frac {\log m(x,n,H)}{n\log H}}}$

${\displaystyle \omega (x,n)=\limsup _{H\to \infty }\,\omega (x,n,H).}$

Supongamos que esto es infinito para algún entero positivo mínimo  n . En este caso, un número complejo x se denomina número U de grado  n .

Ahora podemos definir

${\displaystyle \omega (x)=\limsup _{n\to \infty }\,\omega (x,n).}$

ω( x ) se denomina a menudo la medida de trascendencia de  x . Si los ω( x , n ) están acotados, entonces ω( x ) es finito y x se denomina número S . Si los ω( x , n ) son finitos pero no acotados, x se denomina número T . x  es algebraico si y solo si ω( x ) = 0.

Es evidente que los números de Liouville son un subconjunto de los números U. William LeVeque, en 1953, construyó números U de cualquier grado deseado. ^[24] Los números de Liouville y, por lo tanto, los números U son conjuntos incontables. Son conjuntos de medida 0. ^[25]

Los números T también comprenden un conjunto de medida 0. ^[26] Se necesitaron unos 35 años para demostrar su existencia. Wolfgang M. Schmidt en 1968 demostró que existen ejemplos. Sin embargo, casi todos los números complejos son números S. ^[27] Mahler demostró que la función exponencial envía todos los números algebraicos distintos de cero a números S: ^{[28] [29]} esto muestra que e es un número S y da una prueba de la trascendencia de π . Se sabe que este número π no es un número U. ^[30] Muchos otros números trascendentales permanecen sin clasificar.

Dos números x , y se denominan algebraicamente dependientes si existe un polinomio P distinto de cero en dos indeterminados con coeficientes enteros tales que P ( x ,  y ) = 0. Existe un poderoso teorema que establece que dos números complejos que son algebraicamente dependientes pertenecen a la misma clase de Mahler. ^{[24] [31]} Esto permite la construcción de nuevos números trascendentales, como la suma de un número de Liouville con e o  π .

El símbolo S probablemente representa el nombre del maestro de Mahler , Carl Ludwig Siegel , y T y U son sólo las dos letras siguientes.

Clasificación equivalente de Koksma

Jurjen Koksma en 1939 propuso otra clasificación basada en la aproximación por números algebraicos. ^{[23] [32]}

Consideremos la aproximación de un número complejo x mediante números algebraicos de grado ≤  n y altura ≤  H . Sea α un número algebraico de este conjunto finito tal que | x  − α| tenga el valor positivo mínimo. Definamos ω*( x , H , n ) y ω*( x , n ) mediante:

${\displaystyle |x-\alpha |=H^{-n\omega ^{*}(x,H,n)-1}.}$

${\displaystyle \omega ^{*}(x,n)=\limsup _{H\to \infty }\,\omega ^{*}(x,n,H).}$

Si para un entero positivo más pequeño n , ω*( x , n ) es infinito, x se llama un número U* de grado  n .

Si los ω*( x , n ) están acotados y no convergen a 0, x se llama un número S* ,

Un número x se llama número A* si ω*( x , n ) converge a 0.

Si los ω*( x , n ) son todos finitos pero ilimitados, x se llama un número T* ,

Las clasificaciones de Koksma y Mahler son equivalentes en el sentido de que dividen los números trascendentales en las mismas clases. ^[32] Los números A* son los números algebraicos. ^[27]

La construcción de LeVeque

Dejar

${\displaystyle \lambda ={\tfrac {1}{3}}+\sum _{k=1}^{\infty }10^{-k!}.}$

Se puede demostrar que la raíz n- ésima de λ (un número de Liouville) es un número U de grado n . ^[33]

Esta construcción se puede mejorar para crear una familia incontable de números U de grado n . Sea Z el conjunto que consiste en todas las demás potencias de 10 en la serie anterior para λ. El conjunto de todos los subconjuntos de Z es incontable. Eliminar cualquiera de los subconjuntos de Z de la serie para λ crea una cantidad incontable de números de Liouville distintos, cuyas raíces n son números U de grado n .

Tipo

El supremo de la sucesión {ω( x ,  n )} se denomina tipo . Casi todos los números reales son números S de tipo 1, que es mínimo para los números S reales. Casi todos los números complejos son números S de tipo 1/2, que también es mínimo. Las afirmaciones de casi todos los números fueron conjeturadas por Mahler y en 1965 demostradas por Vladimir Sprindzhuk. ^[34]

Problemas abiertos

Si bien el teorema de Gelfond-Schneider demostró que una gran clase de números era trascendental, esta clase seguía siendo contable. Muchas constantes matemáticas conocidas aún no se sabe si son trascendentales y, en algunos casos, ni siquiera se sabe si son racionales o irracionales. Puede encontrar una lista parcial aquí .

Un problema importante en la teoría de la trascendencia es demostrar que un conjunto particular de números es algebraicamente independiente, en lugar de simplemente demostrar que los elementos individuales son trascendentales. Por lo tanto, aunque sabemos que e y π son trascendentales, eso no implica que e  +  π sea trascendental, ni tampoco otras combinaciones de los dos (excepto e ^π , la constante de Gelfond , que se sabe que es trascendental). Otro problema importante es tratar con números que no están relacionados con la función exponencial. Los principales resultados en la teoría de la trascendencia tienden a girar en torno a e y la función logaritmo, lo que significa que tienden a requerirse métodos completamente nuevos para tratar con números que no se pueden expresar en términos de estos dos objetos de manera elemental.

La conjetura de Schanuel resolvería en cierta medida el primero de estos problemas, ya que trata de la independencia algebraica y, de hecho, confirmaría que e + π es trascendental. Sin embargo, sigue girando en torno a la función exponencial y, por lo tanto, no trataría necesariamente con números como la constante de Apéry o la constante de Euler-Mascheroni . Otro problema extremadamente difícil sin resolver es el llamado problema de la constante o de la identidad . ^[35]

Notas

1. N. Bourbaki, Elementos de la historia de las matemáticas Springer (1994).
2. Gelfond 1960, pág. 2.
3. Euler, L. (1748). Introductio in analysin infinitorum. Lausana.
4. La prueba de existencia basada en las diferentes cardinalidades de los números reales y algebraicos no fue posible antes del primer artículo de teoría de conjuntos de Cantor en 1874.
5. Liouville, J. (1844). "Sur les classs très étendues de quantités dont la valeur n'est ni algébrique ni même réductible à des irrationelles algébriques". Cuentas rendus de la Academia de Ciencias de París . 18 : 883–885, 910–911.; Diario de matemáticas. Pures et Appl. 16 , (1851), págs.133-142.
6. Martes, A. (1909). "Über Annäherungswerte algebraischer Zahlen". J. Reina Angew. Matemáticas. 1909 (135): 284–305. doi :10.1515/crll.1909.135.284. S2CID  125903243.
7. Siegel, CL (1921). "Aproximación algebraischer Zahlen". Mathematische Zeitschrift . 10 (3–4): 172–213. doi : 10.1007/BF01211608 .
8. Roth, KF (1955). "Aproximaciones racionales a números algebraicos". Mathematika . 2 (1): 1–20. doi :10.1112/S0025579300000644.Y "Corrección", pág. 168, doi :10.1112/S002559300000826.
9. Mahler, K. (1953). "Sobre la aproximación de π". Proc. Akád. Wetensch. Ser. A . 56 : 30–42.
10. Hermita, C. (1873). "Sobre la función exponencial". CR Acad. Ciencia. París . 77 .
11. Lindemann, F. (1882). "Ueber die Zahl π". Annalen Matemáticas . 20 (2): 213–225. doi : 10.1007/BF01446522 .
12. Weierstrass, K. (1885). "Zu Hrn. Abhandlung de Lindemann: 'Über die Ludolph'sche Zahl'". Sitzungber. Königl. Preuss. Akad. Wissensch. Zu Berlin . 2 : 1067–1086.
13. Gelfond, AO (1934). "Sur le septième Problème de D. Hilbert". Izv. Akád. Nauk SSSR . 7 : 623–630.
14. Schneider, T. (1935). "Transzendenzuntersuchungen periodischer Funktionen. I. Transzendend von Potenzen". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 1935 (172): 65–69. doi :10.1515/crll.1935.172.65. S2CID  115310510.
15. A. Baker, Formas lineales en los logaritmos de números algebraicos. I, II, III , Mathematika 13 , (1966), págs. 204-216; ibíd. 14 , (1967), págs. 102-107; ibíd. 14 , (1967), págs. 220-228, MR 0220680
16. Cantor, G. (1874). "Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reelen algebraischen Zahlen". J. Reina Angew. Matemáticas. (en alemán). 1874 (77): 258–262. doi :10.1515/crll.1874.77.258. S2CID  199545885.
17. Cantor, G. (1891). "Ueber eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre". Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (en alemán). 1 : 75–78.
18. Kac, M.; Stanislaw, U. (1968). Matemáticas y lógica . Fredering A. Praeger. pág. 13.
19. Bell, ET (1937). Hombres de Matemáticas . Nueva York: Simon & Schuster. pág. 569.
20. Gray, R. (1994). "Georg Cantor y los números trascendentales" (PDF) . American Mathematical Monthly . 101 (9): 819–832. doi :10.1080/00029890.1994.11997035. JSTOR  2975129.
21. Zilber, B. (2005). "Pseudo-exponenciación en cuerpos algebraicamente cerrados de característica cero". Anales de lógica pura y aplicada . 132 (1): 67–95. doi : 10.1016/j.apal.2004.07.001 . MR  2102856.
22. Marker, D. (2006). "Una observación sobre la pseudoexponenciación de Zilber". Journal of Symbolic Logic . 71 (3): 791–798. doi :10.2178/jsl/1154698577. JSTOR  27588482. MR  2250821. S2CID  1477361.
23. Bugeaud 2012, pág. 250.
24. LeVeque 2002, pág. II:172.
25. Burger y Tubbs 2004, pág. 170.
26. Burger y Tubbs 2004, pág. 172.
27. Bugeaud 2012, pág. 251.
28. LeVeque 2002, págs. II: 174–186.
29. Burger y Tubbs 2004, pág. 182.
30. Baker 1975, pág. 86.
31. Burger y Tubbs 2004, pág. 163.
32. Baker 1975, pág. 87.
33. Baker 1975, pág. 90.
34. Baker 1975, pág. 86.
35. Richardson, D. (1968). "Algunos problemas indecidibles que involucran funciones elementales de una variable real". Journal of Symbolic Logic . 33 (4): 514–520. doi :10.2307/2271358. JSTOR  2271358. MR  0239976. S2CID  37066167.

Referencias

• Baker, Alan (1975). Teoría de números trascendentales . Edición de bolsillo de 1990. Cambridge University Press . ISBN. 0-521-20461-5.Zbl 0297.10013  .
• Bugeaud, Yann (2012). Distribución módulo uno y aproximación diofántica . Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 193. Cambridge University Press . ISBN. 978-0-521-11169-0.Zbl 1260.11001  .
• Burger, Edward B.; Tubbs, Robert (2004). Hacer transparente la trascendencia. Un enfoque intuitivo a la teoría clásica de números trascendentales . Springer . ISBN 978-0-387-21444-3.Zbl1092.11031  .​
• Gelfond, AO (1960). Números trascendentales y algebraicos . Dover. Zbl  0090.26103.
• Lang, Serge (1966). Introducción a los números trascendentales . Addison–Wesley. Zbl  0144.04101.
• LeVeque, William J. (2002) [1956]. Temas de teoría de números, volúmenes I y II . Dover. ISBN 978-0-486-42539-9.
• Natarajan, Saradha [en francés] ; Thangadurai, Ravindranathan (2020). Pilares de la teoría de números trascendentales . Springer Verlag . ISBN 978-981-15-4154-4.
• Sprindzhuk, Vladimir G. (1969). El problema de Mahler en la teoría de números métricos (1967) . Traducciones de monografías matemáticas de la AMS. Traducido del ruso por B. Volkmann. Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-1-4704-4442-6.
• Sprindzhuk, Vladimir G. (1979). Teoría métrica de aproximaciones diofánticas . Serie Scripta en matemáticas. Traducido del ruso por Richard A. Silverman. Prólogo de Donald J. Newman. Wiley . ISBN 0-470-26706-2.Zbl 0482.10047  .

Lectura adicional

• Alan Baker y Gisbert Wüstholz , Formas logarítmicas y geometría diofántica , New Mathematical Monographs 9 , Cambridge University Press, 2007, ISBN 978-0-521-88268-2