Klaus Friedrich Roth FRS (29 de octubre de 1925 - 10 de noviembre de 2015) fue un matemático británico nacido en Alemania que ganó la Medalla Fields por demostrar el teorema de Roth sobre la aproximación diofántica de los números algebraicos . También fue ganador de la Medalla De Morgan y la Medalla Sylvester , y miembro de la Royal Society .
Roth se mudó a Inglaterra cuando era niño en 1933 para escapar de los nazis y se educó en la Universidad de Cambridge y en el University College de Londres , terminando su doctorado en 1950. Enseñó en el University College de Londres hasta 1966, cuando ocupó una cátedra en el Imperial College de Londres . Se jubiló en 1988.
Además de su trabajo sobre la aproximación diofántica, Roth realizó importantes contribuciones a la teoría de conjuntos libres de progresión en combinatoria aritmética y a la teoría de irregularidades de distribución . También fue conocido por su investigación sobre sumas de potencias , sobre la criba grande , sobre el problema del triángulo de Heilbronn y sobre el empaquetamiento de cuadrados en un cuadrado . Fue coautor del libro Sequences on entire sequences .
Roth nació en una familia judía en Breslau , Prusia , el 29 de octubre de 1925. Sus padres se establecieron con él en Londres para escapar de la persecución nazi en 1933, y fue criado y educado en el Reino Unido. [1] [2] Su padre, un abogado, había estado expuesto a gas venenoso durante la Primera Guerra Mundial y murió cuando Roth aún era joven. Roth se convirtió en alumno de la St Paul's School, Londres de 1939 a 1943, y con el resto de la escuela fue evacuado de Londres a Easthampstead Park durante el Blitz . En la escuela, era conocido por su habilidad tanto en ajedrez como en matemáticas. Trató de unirse al Cuerpo de Entrenamiento Aéreo , pero fue bloqueado durante algunos años por ser alemán y luego por carecer de la coordinación necesaria para un piloto. [2]
Roth estudió matemáticas en Peterhouse, Cambridge , y jugó como primer tablero para el equipo de ajedrez de Cambridge, [2] terminando en 1945. [3] A pesar de su habilidad en matemáticas, sólo logró honores de tercera clase en el Tripos de Matemáticas , debido a su pobre capacidad para realizar exámenes. Su tutor de Cambridge, John Charles Burkill , no apoyó que Roth continuara con las matemáticas, recomendando en cambio que aceptara "algún trabajo comercial con un sesgo estadístico". [2] En cambio, se convirtió brevemente en maestro de escuela en Gordonstoun , entre terminar en Cambridge y comenzar sus estudios de posgrado. [1] [2]
Por recomendación de Harold Davenport , fue aceptado en 1946 en un programa de maestría en matemáticas en el University College de Londres , donde trabajó bajo la supervisión de Theodor Estermann . [2] Completó una maestría allí en 1948 y un doctorado en 1950. [3] Su disertación fue Prueba de que casi todos los números enteros positivos son sumas de un cuadrado, un cubo positivo y una cuarta potencia . [4]
Al recibir su título de maestría en 1948, Roth se convirtió en profesor asistente en el University College de Londres, y en 1950 fue ascendido a profesor. [5] Sus contribuciones más significativas, sobre la aproximación diofántica, las secuencias libres de progresión y la discrepancia, se publicaron a mediados de la década de 1950, y en 1958 recibió la Medalla Fields, el mayor honor de los matemáticos. [2] [6] Sin embargo, no fue hasta 1961 que fue ascendido a profesor titular. [1] Durante este período, continuó trabajando en estrecha colaboración con Harold Davenport. [2]
Tomó sabáticos en el Instituto Tecnológico de Massachusetts a mediados de los años 1950 y mediados de los años 1960, y consideró seriamente migrar a los Estados Unidos. Walter Hayman y Patrick Linstead contrarrestaron esta posibilidad, que vieron como una amenaza para las matemáticas británicas, con una oferta de una cátedra de matemáticas puras en el Imperial College de Londres , y Roth aceptó la cátedra en 1966. [2] Mantuvo este puesto hasta su jubilación oficial en 1988. [1] Permaneció en el Imperial College como profesor visitante hasta 1996. [3]
Las clases de Roth eran generalmente muy claras, pero ocasionalmente podían ser erráticas. [2] El Proyecto de Genealogía Matemática lo menciona como alguien que tuvo solo dos estudiantes de doctorado, [4] pero uno de ellos, William Chen, quien continuó el trabajo de Roth en la teoría de la discrepancia, se convirtió en miembro de la Sociedad Matemática Australiana y jefe del departamento de matemáticas en la Universidad Macquarie . [7]
En 1955, Roth se casó con Mélèk Khaïry, quien había atraído su atención cuando era estudiante en su primera conferencia; Khaïry era hija del senador egipcio Khaïry Pacha [1] [2] Ella vino a trabajar para el departamento de psicología en el University College de Londres, donde publicó investigaciones sobre los efectos de las toxinas en las ratas. [8] Cuando Roth se jubiló, se mudaron a Inverness ; Roth dedicó una habitación de su casa al baile latino, un interés compartido. [2] [9] Khaïry murió en 2002, y Roth murió en Inverness el 10 de noviembre de 2015 a la edad de 90 años. [1] [2] [3] No tuvieron hijos, y Roth dedicó la mayor parte de su patrimonio, más de un millón de libras, a dos organizaciones benéficas de salud "para ayudar a las personas mayores y enfermas que viven en la ciudad de Inverness". Envió la Medalla Fields con un legado más pequeño a Peterhouse. [10]
Roth era conocido como un solucionador de problemas en matemáticas, más que como un creador de teorías. Harold Davenport escribe que la "moraleja del trabajo del Dr. Roth" es que "los grandes problemas no resueltos de las matemáticas aún pueden ceder ante un ataque directo, por difíciles y amenazantes que parezcan ser, y por mucho esfuerzo que ya se haya dedicado a ellos". [6] Sus intereses de investigación abarcaron varios temas en teoría de números , teoría de discrepancias y teoría de secuencias de números enteros .
El tema de la aproximación diofántica busca aproximaciones precisas de números irracionales mediante números racionales . La cuestión de con qué precisión se podían aproximar los números algebraicos se conoció como el problema de Thue-Siegel, después de los avances previos en esta cuestión por parte de Axel Thue y Carl Ludwig Siegel . La precisión de la aproximación se puede medir por el exponente de aproximación de un número , definido como el número más grande tal que tiene infinitas aproximaciones racionales con . Si el exponente de aproximación es grande, entonces tiene aproximaciones más precisas que un número cuyo exponente es menor. El exponente de aproximación más pequeño posible es dos: incluso los números más difíciles de aproximar se pueden aproximar con el exponente dos usando fracciones continuas . [3] [6] Antes del trabajo de Roth, se creía que los números algebraicos podían tener un exponente de aproximación mayor, relacionado con el grado del polinomio que define el número. [2]
En 1955, Roth publicó lo que hoy se conoce como el teorema de Roth , que resolvió por completo esta cuestión. Su teorema refutó la supuesta conexión entre el exponente de aproximación y el grado, y demostró que, en términos del exponente de aproximación, los números algebraicos son los números irracionales menos aproximados con precisión. Más precisamente, demostró que para los números algebraicos irracionales, el exponente de aproximación es siempre exactamente dos. [3] En una revisión del trabajo de Roth presentada por Harold Davenport en el Congreso Internacional de Matemáticos en 1958, cuando Roth recibió la Medalla Fields, Davenport calificó este resultado como el "mayor logro" de Roth. [6]
Otro resultado llamado " teorema de Roth ", de 1953, se encuentra en combinatoria aritmética y concierne a secuencias de números enteros sin tres en progresión aritmética . Estas secuencias habían sido estudiadas en 1936 por Paul Erdős y Pál Turán , quienes conjeturaron que debían ser dispersas. [11] [a] Sin embargo, en 1942, Raphaël Salem y Donald C. Spencer construyeron subconjuntos libres de progresión de los números de a de tamaño proporcional a , para cada . [12]
Roth reivindicó a Erdős y Turán al demostrar que no es posible que el tamaño de un conjunto de este tipo sea proporcional a : todo conjunto denso de números enteros contiene una progresión aritmética de tres términos. Su demostración utiliza técnicas de la teoría analítica de números , incluido el método del círculo de Hardy-Littlewood, para estimar el número de progresiones en una secuencia dada y demostrar que, cuando la secuencia es lo suficientemente densa, este número es distinto de cero. [2] [13]
Otros autores reforzaron posteriormente el límite de Roth sobre el tamaño de los conjuntos libres de progresiones. [14] Un fortalecimiento en una dirección diferente, el teorema de Szemerédi , muestra que los conjuntos densos de números enteros contienen progresiones aritméticas arbitrariamente largas. [15]
Aunque el trabajo de Roth sobre la aproximación diofántica le valió el mayor reconocimiento, su investigación sobre las irregularidades de la distribución fue (según un obituario de William Chen y Bob Vaughan ) de la que estaba más orgulloso. [2] Su artículo de 1954 sobre este tema sentó las bases de la teoría de la discrepancia moderna . Se refiere a la colocación de puntos en un cuadrado unitario de modo que, para cada rectángulo delimitado entre el origen y un punto del cuadrado, el área del rectángulo se aproxime bien por el número de puntos que lo componen. [2]
Roth midió esta aproximación por la diferencia al cuadrado entre el número de puntos y el área, y demostró que para un rectángulo elegido al azar el valor esperado de la diferencia al cuadrado es logarítmico en . Este resultado es el mejor posible y mejoró significativamente un límite previo sobre el mismo problema de Tatyana Pavlovna Ehrenfest . [16] A pesar del trabajo previo de Ehrenfest y Johannes van der Corput sobre el mismo problema, Roth era conocido por jactarse de que este resultado "iniciaba un tema". [2]
Algunos de los primeros trabajos de Roth incluyen un artículo de 1949 sobre sumas de potencias , que mostraba que casi todos los números enteros positivos podían representarse como una suma de un cuadrado, un cubo y una cuarta potencia, y un artículo de 1951 sobre las brechas entre números libres de cuadrados , descritos como "bastante sensacional" y "de considerable importancia" respectivamente por Chen y Vaughan. [2] Su conferencia inaugural en el Imperial College se centró en el gran tamiz : limitar el tamaño de los conjuntos de números enteros de los que se han prohibido muchas clases de congruencia de números módulo números primos . [17] Roth había publicado previamente un artículo sobre este problema en 1965.
Otro de los intereses de Roth fue el problema del triángulo de Heilbronn , de colocar puntos en un cuadrado para evitar triángulos de área pequeña. Su artículo de 1951 sobre el problema fue el primero en demostrar un límite superior no trivial en el área que se puede lograr. Finalmente publicó cuatro artículos sobre este problema, el último en 1976. [18] Roth también hizo un progreso significativo en el empaquetamiento cuadrado en un cuadrado . Si los cuadrados unitarios se empaquetan en un cuadrado de la manera obvia, paralela al eje, entonces para valores de que están justo por debajo de un entero, casi área puede quedar sin cubrir. Después de que Paul Erdős y Ronald Graham demostraran que un empaquetamiento inclinado más inteligente podría dejar un área significativamente más pequeña, solo , [19] Roth y Bob Vaughan respondieron con un artículo de 1978 que demostraba el primer límite inferior no trivial del problema. Como mostraron, para algunos valores de , el área descubierta debe ser al menos proporcional a . [2] [20]
En 1966, Heini Halberstam y Roth publicaron su libro Sequences , sobre secuencias de números enteros . Inicialmente planeado para ser el primero de un conjunto de dos volúmenes, sus temas incluían las densidades de sumas de secuencias, límites en el número de representaciones de números enteros como sumas de miembros de secuencias, densidad de secuencias cuyas sumas representan todos los números enteros, teoría de tamices y el método probabilístico , y secuencias en las que ningún elemento es múltiplo de otro . [21] Una segunda edición fue publicada en 1983. [22]
Roth ganó la Medalla Fields en 1958 por su trabajo sobre la aproximación diofántica. Fue el primer británico en recibir la medalla Fields. [1] Fue elegido miembro de la Royal Society en 1960 y más tarde se convirtió en miembro honorario de la Royal Society de Edimburgo , miembro del University College de Londres, miembro del Imperial College de Londres y miembro honorario de Peterhouse. [1] Para él fue motivo de diversión que su Medalla Fields, su elección a la Royal Society y su cátedra de profesor le llegaran en orden inverso a su prestigio. [2]
En 1983, la Sociedad Matemática de Londres le otorgó a Roth la Medalla De Morgan. [3] En 1991, la Royal Society le otorgó su Medalla Sylvester "por sus numerosas contribuciones a la teoría de números y, en particular, su solución del famoso problema relativo a la aproximación de números algebraicos mediante racionales". [23]
En 2009 se publicó un número especial de 32 ensayos sobre temas relacionados con la investigación de Roth, en honor al 80.° cumpleaños de Roth [24] , y en 2017 los editores de la revista Mathematika dedicaron un número especial a Roth. [25] Después de la muerte de Roth, el Departamento de Matemáticas del Imperial College instituyó la Beca Roth en su honor. [26]
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