En matemáticas , el teorema de Roth o teorema de Thue-Siegel-Roth es un resultado fundamental en la aproximación diofántica a los números algebraicos . Es de tipo cualitativo y afirma que los números algebraicos no pueden tener muchas aproximaciones de números racionales que sean "muy buenas". Durante medio siglo, el significado de muy bueno fue refinado por varios matemáticos, comenzando con Joseph Liouville en 1844 y continuando con el trabajo de Axel Thue (1909), Carl Ludwig Siegel (1921), Freeman Dyson (1947) y Klaus Roth (1955).
El teorema de Roth establece que todo número algebraico irracional tiene un exponente de aproximación igual a 2. Esto significa que, para cada , la desigualdad
sólo puede tener un número finito de soluciones en números enteros coprimos y . La prueba de Roth de este hecho resolvió una conjetura de Siegel. De ello se deduce que todo número algebraico irracional α satisface
con un número positivo que depende sólo de y .
El primer resultado en esta dirección es el teorema de Liouville sobre la aproximación de números algebraicos, que da un exponente de aproximación d para un número algebraico α de grado d ≥ 2. Esto ya es suficiente para demostrar la existencia de números trascendentales . Thue se dio cuenta de que un exponente menor que d tendría aplicaciones para la solución de ecuaciones diofánticas y en el teorema de Thue de 1909 estableció un exponente que aplicó para demostrar la finitud de las soluciones de la ecuación de Thue . El teorema de Siegel mejora esto a un exponente de aproximadamente 2 √ d , y el teorema de Dyson de 1947 tiene un exponente de aproximadamente √ 2 d .
El resultado de Roth con exponente 2 es en cierto sentido el mejor posible, porque esta afirmación fallaría al establecerse : según el teorema de Dirichlet sobre la aproximación diofántica, en este caso hay infinitas soluciones. Sin embargo, hay una conjetura más fuerte de Serge Lang de que
sólo puede tener un número finito de soluciones en números enteros p y q . Si se deja que α recorra todo el conjunto de números reales, no sólo los reales algebraicos, entonces tanto la conclusión de Roth como la de Lang son válidas para casi todos . Entonces, tanto el teorema como la conjetura afirman que a cierto conjunto contable le falta un cierto conjunto de medida cero. [1]
El teorema no es efectivo actualmente : es decir, no se conoce ningún límite para los posibles valores de p , q dados . [2] Davenport y Roth (1955) demostraron que las técnicas de Roth podían usarse para dar un límite efectivo para el número de p / q que satisfacía la desigualdad, utilizando un principio de "brecha". [2] El hecho de que en realidad no sepamos C (ε) significa que el proyecto de resolver la ecuación, o acotar el tamaño de las soluciones, está fuera de nuestro alcance.
La técnica de prueba implica construir un polinomio multivariado auxiliar en un número arbitrariamente grande de variables dependiendo de , lo que lleva a una contradicción en presencia de demasiadas buenas aproximaciones. Más específicamente, se encuentra un cierto número de aproximaciones racionales al número algebraico irracional en cuestión y luego se aplica la función sobre cada una de ellas simultáneamente (es decir, cada uno de estos números racionales sirve como entrada para una variable única en la expresión que define nuestra función). ). Por su naturaleza, era ineficaz (ver resultados efectivos en teoría de números ); Esto es de particular interés ya que una aplicación importante de este tipo de resultado es limitar el número de soluciones de algunas ecuaciones diofánticas .
Existe una versión de dimensiones superiores, el teorema del subespacio de Schmidt , del resultado básico. También existen numerosas ampliaciones, como por ejemplo la métrica p-ádica [ 3] basada en el método de Roth.
William J. LeVeque generalizó el resultado mostrando que se cumple un límite similar cuando los números aproximados se toman de un campo numérico algebraico fijo . Definir la altura H (ξ) de un número algebraico ξ como el máximo de los valores absolutos de los coeficientes de su polinomio mínimo . Fijar κ>2. Para un número algebraico dado α y un campo de números algebraicos K , la ecuación
tiene sólo un número finito de soluciones en elementos ξ de K . [4]
