En matemáticas , la geometría diofántica es el estudio de las ecuaciones diofánticas mediante potentes métodos de geometría algebraica . En el siglo XX, algunos matemáticos tuvieron claro que los métodos de geometría algebraica son herramientas ideales para estudiar estas ecuaciones. [1] La geometría diofántica forma parte del campo más amplio de la geometría aritmética .
Cuatro teoremas de la geometría diofántica que son de fundamental importancia incluyen: [2]
Serge Lang publicó un libro Geometría diofántica en la zona en 1962, y con este libro acuñó el término "geometría diofántica". [1] La disposición tradicional del material sobre ecuaciones diofánticas era por grado y número de variables , como en Mordell 's Diophantine Equations (1969). El libro de Mordell comienza con una observación sobre las ecuaciones homogéneas f = 0 sobre el campo racional , atribuida a CF Gauss , de que existen soluciones distintas de cero en números enteros (incluso puntos de red primitivos) si existen soluciones racionales distintas de cero, y señala una advertencia de LE Dickson , que trata sobre soluciones paramétricas. [3] El resultado de Hilbert - Hurwitz de 1890 que reduce la geometría diofántica de curvas de género 0 a grados 1 y 2 ( secciones cónicas ) aparece en el capítulo 17, al igual que la conjetura de Mordell . El teorema de Siegel sobre puntos integrales se encuentra en el capítulo 28. El teorema de Mordell sobre la generación finita del grupo de puntos racionales en una curva elíptica se encuentra en el capítulo 16, y los puntos enteros en la curva de Mordell en el capítulo 26.
En una reseña hostil del libro de Lang, Mordell escribió:
En los últimos tiempos, se han desarrollado nuevas ideas y métodos geométricos poderosos mediante los cuales se han encontrado y demostrado nuevos e importantes teoremas aritméticos y resultados relacionados, y algunos de ellos no se pueden demostrar fácilmente de otra manera. Además, ha habido una tendencia a revestir los antiguos resultados, sus ampliaciones y demostraciones con el nuevo lenguaje geométrico. A veces, sin embargo, las implicaciones completas de los resultados se describen mejor en un entorno geométrico. Lang tiene muy en cuenta estos aspectos en este libro y no parece perder oportunidad de hacer una presentación geométrica. De ahí su título de "Geometría diofántica". [4]
Señala que el contenido del libro son en gran medida versiones del teorema de Mordell-Weil , el teorema de Thue-Siegel-Roth , el teorema de Siegel, con un tratamiento del teorema de irreducibilidad de Hilbert y sus aplicaciones (al estilo de Siegel). Dejando de lado cuestiones de generalidad y un estilo completamente diferente, la principal diferencia matemática entre los dos libros es que Lang usó variedades abelianas y ofreció una prueba del teorema de Siegel, mientras que Mordell señaló que la prueba "es de un carácter muy avanzado" (p. .263).
A pesar de la mala prensa inicial, la concepción de Lang ha sido lo suficientemente aceptada como para que un homenaje de 2006 califique el libro de "visionario". [5] Un campo más amplio a veces llamado aritmética de variedades abelianas ahora incluye la geometría diofántica junto con la teoría de campos de clases , la multiplicación compleja , las funciones zeta locales y las funciones L. [6] Paul Vojta escribió:
Una sola ecuación define una hipersuperficie , y las ecuaciones diofánticas simultáneas dan lugar a una variedad algebraica general V sobre K ; la pregunta típica es sobre la naturaleza del conjunto V ( K ) de puntos sobre V con coordenadas en K , y mediante funciones de altura se pueden plantear preguntas cuantitativas sobre el "tamaño" de estas soluciones, así como el Cuestiones cualitativas sobre si existen puntos y, de ser así, si hay un número infinito. Dado el enfoque geométrico, la consideración de ecuaciones homogéneas y coordenadas homogéneas es fundamental, por las mismas razones que la geometría proyectiva es el enfoque dominante en la geometría algebraica. Por lo tanto, las soluciones de números racionales son la consideración principal; pero las soluciones integrales (es decir, puntos de red ) pueden tratarse de la misma manera que una variedad afín puede considerarse dentro de una variedad proyectiva que tiene puntos extra en el infinito .
El enfoque general de la geometría diofántica se ilustra con el teorema de Faltings (una conjetura de LJ Mordell ) que establece que una curva algebraica C de género g > 1 sobre los números racionales tiene sólo un número finito de puntos racionales . El primer resultado de este tipo puede haber sido el teorema de Hilbert y Hurwitz que trata del caso g = 0. La teoría consta tanto de teoremas como de muchas conjeturas y preguntas abiertas.