Sequences es una monografía matemáticasobre secuencias de números enteros . Fue escrita por Heini Halberstam y Klaus Roth , publicada en 1966 por Clarendon Press y republicada en 1983 con correcciones menores por Springer-Verlag . [1] [2] Aunque se planeó que fuera parte de un conjunto de dos volúmenes, [3] [4] el segundo volumen nunca se publicó.
El libro tiene cinco capítulos, [3] cada uno en gran parte independiente [4] [5] y organizado libremente en torno a diferentes técnicas utilizadas para resolver problemas en esta área, [4] con un apéndice sobre el material de fondo en teoría de números necesario para leer el libro. [3] En lugar de ocuparse de secuencias específicas como los números primos o los números cuadrados , su tema es la teoría matemática de secuencias en general. [6] [7]
El primer capítulo considera la densidad natural de las sucesiones y conceptos relacionados como la densidad de Schnirelmann . Demuestra teoremas sobre la densidad de conjuntos sumatorios de sucesiones, incluyendo el teorema de Mann que afirma que la densidad de Schnirelmann de un conjunto sumatorio es al menos la suma de las densidades de Schnirelmann y el teorema de Kneser sobre la estructura de sucesiones cuya densidad asintótica inferior es subaditiva. Estudia los componentes esenciales , sucesiones que cuando se suman a otra sucesión de densidad de Schnirelmann entre cero y uno, aumentan su densidad, demuestra que las bases aditivas son componentes esenciales y da ejemplos de componentes esenciales que no son bases aditivas. [3] [6] [7] [8]
El segundo capítulo trata del número de representaciones de los números enteros como sumas de un número dado de elementos de una secuencia dada, e incluye el teorema de Erdős-Fuchs según el cual este número de representaciones no puede estar próximo a una función lineal . El tercer capítulo continúa el estudio de los números de representaciones, utilizando el método probabilístico ; incluye el teorema de que existe una base aditiva de orden dos cuyo número de representaciones es logarítmico, posteriormente reforzado para todos los órdenes en el teorema de Erdős-Tetali . [3] [6] [7] [8]
Después de un capítulo sobre la teoría de tamices y el tamiz grande (desafortunadamente, faltan desarrollos significativos que ocurrieron poco después de la publicación del libro), [6] [7] el capítulo final trata de secuencias primitivas de números enteros, secuencias como los números primos en los que ningún elemento es divisible por otro. Incluye el teorema de Behrend que dice que una secuencia de este tipo debe tener una densidad logarítmica cero, y la construcción aparentemente contradictoria de Abram Samoilovitch Besicovitch de secuencias primitivas con una densidad natural cercana a 1/2. También analiza las secuencias que contienen todos los múltiplos enteros de sus miembros, el teorema de Davenport-Erdős según el cual la densidad natural y logarítmica más baja existen y son iguales para tales secuencias, y una construcción relacionada de Besicovitch de una secuencia de múltiplos que no tiene densidad natural. [3] [6] [7]
Este libro está dirigido a otros matemáticos y estudiantes de matemáticas; no es adecuado para un público general. [4] Sin embargo, el revisor JWS Cassels sugiere que podría ser accesible para estudiantes universitarios avanzados en matemáticas. [6]
El crítico EM Wright destaca la "precisa erudición", la "exposición más legible" y los "temas fascinantes" del libro. [5] El crítico Marvin Knopp describe el libro como "magistral" y como el primer libro que analiza la combinatoria aditiva. [4] De manera similar, aunque Cassels señala la existencia de material sobre combinatoria aditiva en los libros Additive Zahlentheorie (Ostmann, 1956) y Addition Theorems (Mann, 1965), lo llama "el primer relato conectado" del área, [6] y el crítico Harold Stark señala que gran parte del material cubierto por el libro es "único en forma de libro". [7] Knopp también elogia el libro por, en muchos casos, corregir errores o deficiencias en las fuentes originales que examina. [4] El crítico Harold Stark escribe que el libro "debería ser una referencia estándar en esta área durante los próximos años". [7]