Teorema de Davenport-Erdős

Equivalencia de nociones de densidad para conjuntos de múltiplos de números enteros

En teoría de números , el teorema de Davenport-Erdős establece que, para conjuntos de múltiplos de números enteros, varias nociones diferentes de densidad son equivalentes. ^{[1] [2] [3]}

Sea una secuencia de números enteros positivos. Entonces los múltiplos de son otro conjunto que se puede definir como el conjunto de números formado al multiplicar miembros de por números enteros positivos arbitrarios. ^{[1] [2] [3]} ${\displaystyle A=a_{1},a_{2},\dots }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M(A)}$ ${\displaystyle M(A)=\{ka\mid k\in \mathbb {N} ,a\in A\}}$ ${\displaystyle A}$

Según el teorema de Davenport-Erdős, para un conjunto , las siguientes nociones de densidad son equivalentes, en el sentido de que todas producen el mismo número entre sí para la densidad de : ^{[1] [2] [3]} ${\displaystyle M(A)}$ ${\displaystyle M(A)}$

• La densidad natural más baja , el límite inferior va al infinito de la proporción de miembros de en el intervalo . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M(A)}$ ${\displaystyle [1,n]}$
• La densidad logarítmica o densidad multiplicativa, la proporción ponderada de miembros de en el intervalo , nuevamente en el límite, donde el peso de un elemento es . ${\displaystyle M(A)}$ ${\displaystyle [1,n]}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 1/a}$
• La densidad secuencial, definida como el límite (cuando llega al infinito) de las densidades de los conjuntos de múltiplos de los primeros elementos de . Como estos conjuntos se pueden descomponer en un número finito de progresiones aritméticas disjuntas , sus densidades están bien definidas sin recurrir a límites. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle M(\{a_{1},\dots a_{i}\})}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle A}$

Sin embargo, existen secuencias y sus conjuntos de múltiplos para las cuales la densidad natural superior (tomada usando el límite superior en lugar del límite inferior) difiere de la densidad inferior, y para las cuales la densidad natural misma (el límite de la misma secuencia de valores) no existe. ^[4] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M(A)}$

El teorema lleva el nombre de Harold Davenport y Paul Erdős , quienes lo publicaron en 1936. ^[5] Su demostración original utilizó el teorema tauberiano de Hardy-Littlewood ; Más tarde publicaron otra prueba elemental. ^[6]

Ver también

• Secuencia de Behrend , secuencia para la cual la densidad descrita por este teorema es uno ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M(A)}$

Referencias

1. Ahlswede, Rudolf ; Khachatrian, Levon H. (1997), "Resultados clásicos sobre resultados primitivos y recientes sobre secuencias primitivas cruzadas", Las matemáticas de Paul Erdős, I , Algoritmos y combinatoria, vol. 13, Berlín: Springer, Teorema 1.11, pág. 107, doi :10.1007/978-3-642-60408-9_9, SEÑOR  1425179
2. Hall, Richard R. (1996), Conjuntos de múltiplos , Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 118, Cambridge University Press, Cambridge, Teorema 0.2, pág. 5, doi :10.1017/CBO9780511566011, ISBN 0-521-40424-X, señor  1414678
3. Tenenbaum, Gérald (2015), Introducción a la teoría analítica y probabilística de números , Estudios de Posgrado en Matemáticas, vol. 163 (3ª ed.), Providence, Rhode Island: Sociedad Matemática Estadounidense, Teorema 249, pág. 422, ISBN 978-0-8218-9854-3, SEÑOR  3363366
4. Besicovitch, AS (1935), "Sobre la densidad de ciertas secuencias de números enteros", Mathematische Annalen , 110 (1): 336–341, doi :10.1007/BF01448032, MR  1512943, S2CID  119783068
5. Davenport, H .; Erdős, P. (1936), "Sobre secuencias de números enteros positivos" (PDF) , Acta Arithmetica , 2 : 147–151, doi :10.4064/aa-2-1-147-151
6. Davenport, H .; Erdős, P. (1951), "Sobre secuencias de números enteros positivos" (PDF) , J. Indian Math. Soc. , Nueva serie, 15 : 19–24, SEÑOR  0043835