tamiz grande

método matemático

El tamiz grande es un método (o familia de métodos e ideas relacionadas) de la teoría analítica de números . Es un tipo de tamiz en el que se eliminan hasta la mitad de todas las clases de residuos, a diferencia de los tamices pequeños como el tamiz Selberg , en el que sólo se eliminan unas pocas clases de residuos. El método se ha mejorado aún más con el tamiz más grande que elimina arbitrariamente muchas clases de residuos. ^[1]

Nombre

Su nombre proviene de su aplicación original: dado un conjunto tal que los elementos de S tienen prohibido estar en un conjunto A _p ⊂ Z / p Z módulo cada primo p , ¿qué tamaño puede tener S ? Aquí se piensa que Ap es grande, es decir, al menos tan grande como una constante multiplicada _por p ; si no es así, hablamos de un tamiz pequeño . ${\displaystyle S\subset \{1,\ldots ,N\}}$

Historia

La historia temprana del gran tamiz se remonta al trabajo de Yu. B. Linnik , en 1941, trabajando en el problema del no residuo mínimo cuadrático . Posteriormente Alfréd Rényi trabajó en ello, utilizando métodos de probabilidad. Sólo dos décadas después, después de bastantes contribuciones de otros, el gran tamiz se formuló de una manera más definitiva. Esto sucedió a principios de los años 1960, en la obra independiente de Klaus Roth y Enrico Bombieri . También fue en esa época cuando se comprendió mejor la conexión con el principio de dualidad. A mediados de la década de 1960, se demostró que el teorema de Bombieri-Vinogradov era una aplicación importante de tamices grandes utilizando estimaciones de valores medios de caracteres de Dirichlet . A finales de la década de 1960 y principios de la de 1970, Patrick X. Gallagher simplificó muchos de los ingredientes y estimaciones clave . ^[2]

Desarrollo

Los métodos de tamiz grande se han desarrollado lo suficiente como para que también sean aplicables a situaciones de tamiz pequeño. Comúnmente se considera que algo está relacionado con el tamiz grande, no necesariamente en términos de si está relacionado con el tipo de situación descrita anteriormente, sino más bien si involucra uno de los dos métodos de prueba utilizados tradicionalmente para producir un resultado del tamiz grande. :

Desigualdad aproximada de Plancherel

Si un conjunto S está mal distribuido módulo p (en virtud, por ejemplo, de estar excluido de las clases de congruencia Ap ₎ , entonces los coeficientes de Fourier de la función característica f _p del conjunto S  mod  p son en promedio grandes. Estos coeficientes pueden elevarse a valores de la transformada de Fourier de la función característica f del conjunto S (es decir, ${\displaystyle {\widehat {f_{p}}}(a)}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}(a/p)}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}}$

${\displaystyle {\widehat {f}}(a/p)={\widehat {f_{p}}}(a)}$).

Al acotar las derivadas, podemos ver que debe ser grande, en promedio, para todos los x números casi racionales de la forma a / p . Grande aquí significa "una constante relativamente grande veces | S |". Desde ${\displaystyle {\widehat {f}}(x)}$

${\displaystyle |f|_{2}={\sqrt {|S|}},}$

obtenemos una contradicción con la identidad de Plancherel

${\displaystyle |{\widehat {f}}|_{2}=|f|_{2}}$

a menos que | S | es pequeño. (En la práctica, para optimizar los límites, la gente hoy en día modifica la identidad de Plancherel en una igualdad en lugar de derivadas ligadas como se indicó anteriormente).

Principio de dualidad

Se puede probar fácilmente un resultado fuerte de tamiz grande observando el siguiente hecho básico del análisis funcional: la norma de un operador lineal (es decir,

${\displaystyle \sup _{v}|Av|_{W}/|v|_{V},\,}$

donde A es un operador de un espacio lineal V a un espacio lineal W ) es igual a la norma de su adjunto, es decir,

${\displaystyle \sup _{w}|A^{*}w|_{V}^{*}/|w|_{W}^{*}}$.

Este principio mismo ha llegado a adquirir el nombre de "tamiz grande" en parte de la literatura matemática.

También es posible derivar el tamiz grande de los mayorantes al estilo de Selberg (ver Selberg, Obras completas , volumen II, Conferencias sobre tamices).

Ver también

• Teorema de Bombieri-Vinogradov
• tamiz más grande

Referencias

1. Gallagher, Patricio (1971). "Un colador más grande". Acta Aritmética . 18 : 77–81.
2. Tenenbaum, Gérald (2015). Introducción a la teoría de números analítica y probabilística . Estudios de Posgrado en Matemáticas. vol. 163. Sociedad Matemática Estadounidense. págs. 102-104. ISBN 9780821898543.

• "Gran tamiz", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Cojocaru, Alina Carmen ; Murty, M. Ram . Una introducción a los métodos de tamizado y sus aplicaciones . Textos estudiantiles de la Sociedad Matemática de Londres. vol. 66. Prensa de la Universidad de Cambridge . págs. 135-155. ISBN 0-521-61275-6. Zbl  1121.11063.
• Davenport, Harold (2000). Teoría de números multiplicativos . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 74. Revisado y con prefacio de Hugh L. Montgomery (3ª ed.). Springer-Verlag . ISBN 0-387-95097-4. Zbl  1002.11001.
• Friedlander, Juan ; Iwaniec, Henryk (2010). Ópera de Cribro . Publicaciones del Coloquio AMS. ISBN 978-0-8218-4970-5. Zbl  1226.11099.
• Hooley, Christopher (1976). Aplicaciones de los métodos de tamiz a la teoría de números . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 17-20. ISBN 0-521-20915-3.
• Kowalski, Emmanuel (2008). El gran tamiz y sus aplicaciones . Tratados de Cambridge en Matemáticas. Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-88851-6.
• Tenenbaum, Gerald (1995). Introducción a la teoría de números analítica y probabilística . Estudios de Cambridge en matemáticas avanzadas. vol. 46. ​​Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 62–73. ISBN 0-521-41261-7.