Teoría de la discrepancia

Teoría de las irregularidades de la distribución

En matemáticas, la teoría de la discrepancia describe la desviación de una situación respecto del estado en el que uno quisiera que estuviera. También se la denomina teoría de las irregularidades de la distribución . Se refiere al tema de la teoría clásica de la discrepancia, es decir, la distribución de puntos en algún espacio de manera que se distribuyan de manera uniforme con respecto a algunos subconjuntos (en su mayoría definidos geométricamente). La discrepancia (irregularidad) mide en qué medida una distribución dada se desvía de una distribución ideal.

La teoría de la discrepancia puede describirse como el estudio de las irregularidades inevitables de las distribuciones, en contextos de teoría de la medida y combinatoria . Así como la teoría de Ramsey esclarece la imposibilidad del desorden total, la teoría de la discrepancia estudia las desviaciones de la uniformidad total.

Un acontecimiento significativo en la historia de la teoría de la discrepancia fue el artículo de Weyl de 1916 sobre la distribución uniforme de secuencias en el intervalo unitario. ^[1]

Teoremas

La teoría de la discrepancia se basa en los siguientes teoremas clásicos:

• Teoría de la discrepancia geométrica
• El teorema de van Aardenne-Ehrenfest
• Progresiones aritméticas (Roth, Sarkozy, Beck , Matousek y Spencer )
• Teorema de Beck-Fiala ^[2]
• Seis desviaciones estándar son suficientes (Spencer) ^[3]

Grandes problemas abiertos

Los problemas no resueltos relacionados con la teoría de la discrepancia incluyen:

• Rectángulos paralelos al eje en dimensiones tres y superiores (folclore)
• Conjetura de Komlós
• Problema del triángulo de Heilbronn sobre el área mínima de un triángulo determinada por tres puntos de un conjunto de n puntos

Aplicaciones

Las aplicaciones de la teoría de la discrepancia incluyen:

• Integración numérica: métodos de Monte Carlo en altas dimensiones
• Geometría computacional: algoritmo divide y vencerás
• Procesamiento de imágenes: semitonos
• Formulación de ensayo aleatorio: ensayo controlado aleatorio ^{[4] [5] [6]}

Véase también

• Discrepancia de hipergrafos
• Teoría de la discrepancia geométrica

Referencias

1. Weyl, Hermann (1 de septiembre de 1916). "Über die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins" [Sobre la distribución equitativa de los números]. Mathematische Annalen (en alemán). 77 (3): 313–352. doi :10.1007/BF01475864. ISSN  1432-1807. S2CID  123470919.
2. József Beck y Tibor Fiala (1981). ""Teoremas "de formación de números enteros". Matemática Aplicada Discreta . 3 (1): 1–8. doi : 10.1016/0166-218x(81)90022-6 .
3. Joel Spencer (junio de 1985). "Seis desviaciones estándar son suficientes". Transactions of the American Mathematical Society . 289 (2). Transactions of the American Mathematical Society, vol. 289, núm. 2: 679–706. doi : 10.2307/2000258 . JSTOR  2000258.
4. Harshaw, Christopher; Sävje, Fredrik; Spielman, Daniel A; Zhang, Peng (2024). "Equilibrio de covariables en experimentos aleatorios con el diseño de caminata de Gram-Schmidt". Revista de la Asociación Estadounidense de Estadística . Revista de la Asociación Estadounidense de Estadística: 1–13.
5. Spielman, Daniel (11 de mayo de 2020). Uso de la teoría de la discrepancia para mejorar el diseño de ensayos controlados aleatorios.
6. Spielman, Daniel (29 de enero de 2021). Teoría de la discrepancia y ensayos controlados aleatorios.

Lectura adicional

• Beck, József; Chen, William WL (1987). Irregularidades de la distribución . Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-30792-9.
• Chazelle, Bernard (2000). El método de la discrepancia: aleatoriedad y complejidad . Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-77093-9.
• Matousek, Jiri (1999). Discrepancia geométrica: una guía ilustrada . Algoritmos y combinatoria. Vol. 18. Berlín: Springer. ISBN 3-540-65528-X.