Forma cuadrática

En matemáticas , una forma cuadrática es un polinomio con términos todos de grado dos (" forma " es otro nombre para un polinomio homogéneo ). Por ejemplo, $Estilo de visualización 4x^{2}+2xy-3y^{2}}$

es una forma cuadrática en las variables $x$ e $y$ . Los coeficientes pertenecen habitualmente a un cuerpo fijo $K$ , como los números reales o complejos , y se habla de una forma cuadrática sobre $K$ . Si $K = R$ , y la forma cuadrática es igual a cero sólo cuando todas las variables son simultáneamente cero, entonces es una forma cuadrática definida ; en caso contrario es una forma cuadrática isótropa .

Las formas cuadráticas ocupan un lugar central en varias ramas de las matemáticas, incluyendo la teoría de números , el álgebra lineal , la teoría de grupos ( grupos ortogonales ), la geometría diferencial (la métrica de Riemann , la segunda forma fundamental ), la topología diferencial ( formas de intersección de variedades , especialmente las de cuatro variedades ), la teoría de Lie (la forma Killing ) y la estadística (donde el exponente de una distribución normal multivariante de media cero tiene la forma cuadrática ). $-\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}\mathbf {x}$

Las formas cuadráticas no deben confundirse con una ecuación cuadrática , que tiene una sola variable e incluye términos de grado dos o menos. Una forma cuadrática es un caso del concepto más general de polinomios homogéneos .

Introducción

Las formas cuadráticas son polinomios cuadráticos homogéneos en $n$ variables. En los casos de una, dos y tres variables se denominan unarios , binarios y ternarios y tienen la siguiente forma explícita: ${\begin{aligned}q(x)&=ax^{2}&&{\textrm {(unario)}}\\q(x,y)&=ax^{2}+bxy+cy^{2}&&{\textrm {(binario)}}\\q(x,y,z)&=ax^{2}+bxy+cy^{2}+dyz+ez^{2}+fxz&&{\textrm {(ternario)}}\end{aligned}}$

donde $a$ , ..., $f$ son los coeficientes . ^[1]

La teoría de las formas cuadráticas y los métodos utilizados en su estudio dependen en gran medida de la naturaleza de los coeficientes, que pueden ser números reales o complejos , números racionales o enteros . En álgebra lineal , geometría analítica y en la mayoría de las aplicaciones de las formas cuadráticas, los coeficientes son números reales o complejos. En la teoría algebraica de las formas cuadráticas, los coeficientes son elementos de un cierto cuerpo . En la teoría aritmética de las formas cuadráticas, los coeficientes pertenecen a un anillo conmutativo fijo , frecuentemente los enteros $Z$ o los enteros p $-ádicos Z p$ . ^[2] Las formas cuadráticas binarias han sido ampliamente estudiadas en la teoría de números , en particular, en la teoría de cuerpos cuadráticos , fracciones continuas y formas modulares . La teoría de las formas cuadráticas integrales en $n$ variables tiene importantes aplicaciones a la topología algebraica .

Utilizando coordenadas homogéneas , una forma cuadrática distinta de cero en $n$ variables define una cuadrática $(n - 2)$ -dimensional en el espacio proyectivo $($ $n$ $- 1)$ -dimensional . Esta es una construcción básica en geometría proyectiva . De esta manera, se pueden visualizar formas cuadráticas reales tridimensionales como secciones cónicas . Un ejemplo lo da el espacio euclidiano tridimensional y el cuadrado de la norma euclidiana que expresa la distancia entre un punto con coordenadas $($ $x$ $,$ $y$ $,$ $z$ $)$ y el origen: $q(x,y,z)=d((x,y,z),(0,0,0))^{2}=\left\|(x,y,z)\right\|^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}.$

Una noción estrechamente relacionada con matices geométricos es un espacio cuadrático , que es un par $(V, q)$ , con $V$ un espacio vectorial sobre un cuerpo $K$ , y $q : V \to K$ una forma cuadrática en V. Consulte § Definiciones a continuación para obtener la definición de una forma cuadrática en un espacio vectorial.

Historia

El estudio de las formas cuadráticas, en particular la cuestión de si un entero dado puede ser el valor de una forma cuadrática sobre los enteros, se remonta a muchos siglos atrás. Uno de esos casos es el teorema de Fermat sobre las sumas de dos cuadrados , que determina cuándo un entero puede expresarse en la forma $x 2 + y 2$ , donde $x$ , $y$ son números enteros. Este problema está relacionado con el problema de encontrar ternas pitagóricas , que apareció en el segundo milenio a. C. ^[3]

En 628, el matemático indio Brahmagupta escribió Brāhmasphuṭasiddhānta , que incluye, entre muchas otras cosas, un estudio de ecuaciones de la forma $x 2 - ny 2 = c$ . Consideró lo que ahora se llama ecuación de Pell , $x 2 - ny 2 = 1$ , y encontró un método para su solución. ^[4] En Europa, este problema fue estudiado por Brouncker , Euler y Lagrange .

En 1801, Gauss publicó Disquisitiones Arithmeticae , una parte importante de la cual estaba dedicada a una teoría completa de las formas cuadráticas binarias sobre los números enteros . Desde entonces, el concepto se ha generalizado y se han dilucidado aún más las conexiones con los cuerpos de números cuadráticos , el grupo modular y otras áreas de las matemáticas.

Matriz simétrica asociada

Cualquier matriz $n \times n$ $A$ determina una forma cuadrática $q A$ en $n$ variables por donde $A$ $= ($ $a$ $ij$ $)$ . $q_{A}(x_{1},\ldots,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij} {x_{i}}{x_{j}}=\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {x} ,$

Ejemplo

Consideremos el caso de formas cuadráticas en tres variables $x, y, z$ . La matriz $A$ tiene la forma $A={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&k\end{bmatrix}}.$

La fórmula anterior da $q_{A}(x,y,z)=ax^{2}+ey^{2}+kz^{2}+(b+d)xy+(c+g)xz+(f+h)yz.$

Por lo tanto, dos matrices diferentes definen la misma forma cuadrática si y solo si tienen los mismos elementos en la diagonal y los mismos valores para las sumas $b + d$ , $c + g$ y $f + h$ . En particular, la forma cuadrática $q A$ está definida por una matriz simétrica única $A={\begin{bmatrix}a&{\frac {b+d}{2}}&{\frac {c+g}{2}}\\{\frac {b+d}{2}}&e&{\frac {f+h}{2}}\\{\frac {c+g}{2}}&{\frac {f+h}{2}}&k\end{bmatrix}}.$

Esto se generaliza a cualquier número de variables como sigue.

Caso general

Dada una forma cuadrática $q A$ , definida por la matriz $A = (a ij)$ , la matriz es simétrica , define la misma forma cuadrática que $A$ y es la única matriz simétrica que define $q$ $A$ . $B=\left({\frac {a_{ij}+a_{ji}}{2}}\right)={\frac {1}{2}}(A+A^{\text{T}})$

Así pues, sobre los números reales (y, más generalmente, sobre un cuerpo de característica distinto de dos), existe una correspondencia biunívoca entre las formas cuadráticas y las matrices simétricas que las determinan.

Formas cuadráticas reales

Un problema fundamental es la clasificación de formas cuadráticas reales bajo un cambio lineal de variables .

Jacobi demostró que, para cada forma cuadrática real, existe una diagonalización ortogonal ; es decir, un cambio ortogonal de variables que pone la forma cuadrática en una " forma diagonal " donde la matriz simétrica asociada es diagonal . Además, los coeficientes $λ$ $1$ $,$ $λ$ $2$ $, ...,$ $λ$ $n$ se determinan de forma única hasta una permutación . ^[5] $\lambda _{1}{\tilde {x}}_{1}^{2}+\lambda _{2}{\tilde {x}}_{2}^{2}+\cdots +\lambda _{n}{\tilde {x}}_{n}^{2},$

Si el cambio de variables está dado por una matriz invertible que no es necesariamente ortogonal, se puede suponer que todos los coeficientes $λ i$ son 0, 1 o −1. La ley de inercia de Sylvester establece que los números de cada 0, 1 y −1 son invariantes de la forma cuadrática, en el sentido de que cualquier otra diagonalización contendrá el mismo número de cada uno. La firma de la forma cuadrática es el triple $(n 0, n +, n -)$ , donde estos componentes cuentan el número de 0, el número de 1 y el número de −1, respectivamente. La ley de inercia de Sylvester muestra que esta es una cantidad bien definida asociada a la forma cuadrática.

El caso en el que todas $las λ i$ tienen el mismo signo es especialmente importante: en este caso la forma cuadrática se llama definida positiva (todas 1) o definida negativa (todas −1). Si ninguno de los términos es 0, entonces la forma se llamano degenerado ; esto incluye la forma cuadrática definida positiva, definida negativa eisótropa(una mezcla de 1 y −1); equivalentemente, una forma cuadrática no degenerada es aquella cuya forma simétrica asociada es unaforma bilineal no degenerada. Un espacio vectorial real con una forma cuadrática no degenerada indefinida de índice $(p, q)$ (que denota $p$ 1s y $q$ −1s) a menudo se denota como $R p, q$ particularmente en la teoría física delespacio-tiempo.

El discriminante de una forma cuadrática , concretamente la clase del determinante de una matriz representativa en $K / (K \times) 2$ (hasta cuadrados distintos de cero) también se puede definir, y para una forma cuadrática real es un invariante más burdo que signatura, tomando valores de solo "positivo, cero o negativo". Cero corresponde a degenerado, mientras que para una forma no degenerada es la paridad del número de coeficientes negativos, $(-1) n -$ .

Estos resultados se reformulan de forma diferente a continuación.

Sea $q$ una forma cuadrática definida en un espacio vectorial real $de n$ dimensiones . Sea $A$ la matriz de la forma cuadrática $q$ en una base dada. Esto significa que $A$ es una matriz simétrica $n$ $\times$ $n$ tal que donde x es el vector columna de coordenadas de $v$ en la base elegida. Bajo un cambio de base, la columna $x$ se multiplica por la izquierda por una matriz invertible $n$ $\times$ $n$ $S$ , y la matriz cuadrada simétrica $A$ se transforma en otra matriz cuadrada simétrica $B$ del mismo tamaño según la fórmula $q(v)=x^{\mathsf {T}}Ax,$ $A\to B=S^{\mathsf {T}}AS.$

Cualquier matriz simétrica $A$ puede transformarse en una matriz diagonal mediante la elección adecuada de una matriz ortogonal $S$ , y las entradas diagonales de $B$ están unívocamente determinadas: este es el teorema de Jacobi. Si se permite que $S$ sea cualquier matriz invertible, entonces $B$ puede tener solo 0, 1 y −1 en la diagonal, y el número de entradas de cada tipo ( $n$ $0$ para 0, $n$ $+$ para 1 y $n$ $-$ para −1) depende solo de $A$ . Esta es una de las formulaciones de la ley de inercia de Sylvester y los números $n$ $+$ y $n$ $-$ se denominan índices de inercia positivo y negativo . Aunque su definición implicó la elección de una base y la consideración de la matriz simétrica real correspondiente $A$ , la ley de inercia de Sylvester significa que son invariantes de la forma cuadrática $q$ . $B={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &0\\0&0&\cdots &\lambda _{n}\end{pmatrix}}$

La forma cuadrática $q$ es definida positiva si $q (v) > 0$ (de manera similar, definida negativa si $q (v) < 0$ ) para cada vector distinto de cero $v$ . ^[6] Cuando $q (v)$ asume valores positivos y negativos, $q$ es una forma cuadrática isótropa . Los teoremas de Jacobi y Sylvester muestran que cualquier forma cuadrática definida positiva en $n$ variables puede llevarse a la suma de $n$ cuadrados mediante una transformación lineal invertible adecuada: geométricamente, solo hay una forma cuadrática real definida positiva de cada dimensión. Su grupo de isometría es un grupo ortogonal compacto $O(n)$ . Esto contrasta con el caso de las formas isótropas, cuando el grupo correspondiente, el grupo ortogonal indefinido $O(p, q)$ , no es compacto. Además, los grupos de isometría de $Q$ y $- Q$ son los mismos ( $O(p, q) \approx O(q, p))$ , pero las álgebras de Clifford asociadas (y, por lo tanto, los grupos pin ) son diferentes.

Definiciones

Una forma cuadrática sobre un cuerpo $K$ es una función $q : V \to K$ de un espacio vectorial $K$ de dimensión finita a $K$ tal que $q (av) = a 2 q (v)$ para todo $a \in K$ , $v \in V$ y la función $q (u + v) - q (u) - q (v)$ es bilineal.

Más concretamente, una forma cuadrática $n$ -aria sobre un cuerpo $K$ es un polinomio homogéneo de grado 2 en $n$ variables con coeficientes en $K$ : $q(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{x_{i}}{x_{j}},\quad a_{ij}\in K.$

Esta fórmula puede reescribirse utilizando matrices: sea $x$ el vector columna con componentes $x 1$ , ..., $x n$ y $A = (a ij)$ la matriz $n \times n$ sobre $K$ cuyas entradas son los coeficientes de $q$ . Entonces $q(x)=x^{\mathsf {T}}Ax.$

Un vector $v = (x 1, ..., x n)$ es un vector nulo si $q (v) = 0$ .

Dos formas cuadráticas $n -arias$ $φ$ y $ψ$ sobre $K$ son equivalentes si existe una transformación lineal no singular $C \in GL (n, K)$ tal que $\psi (x)=\varphi (Cx).$

Sea la característica de $K$ distinta de 2. ^[7] La matriz de coeficientes $A$ de $q$ puede sustituirse por la matriz simétrica $(A + A T)/2$ con la misma forma cuadrática, por lo que puede suponerse desde el principio que $A$ es simétrica. Además, una matriz simétrica $A$ está determinada de forma única por la forma cuadrática correspondiente. Bajo una equivalencia $C$ , la matriz simétrica $A$ de $φ$ y la matriz simétrica $B$ de $ψ$ están relacionadas de la siguiente manera: $B=C^{\mathsf {T}}AC.$

La forma bilineal asociada de una forma cuadrática $q$ se define por $b_{q}(x,y)={\tfrac {1}{2}}(q(x+y)-q(x)-q(y))=x^{\mathsf {T}}Ay=y^{\mathsf {T}}Ax.$

Por lo tanto, $b q$ es una forma bilineal simétrica sobre $K$ con matriz $A$ . A la inversa, cualquier forma bilineal simétrica $b$ define una forma cuadrática y estos dos procesos son inversos entre sí. En consecuencia, sobre un cuerpo de característica diferente de 2, las teorías de las formas bilineales simétricas y de las formas cuadráticas en $n$ variables son esencialmente las mismas. $q(x)=b(x,x),$

Espacio cuadrático

Dado un espacio vectorial $n$ -dimensional $V$ sobre un cuerpo $K$ , una forma cuadrática sobre $V$ es una función $Q$ $:$ $V$ $\to$ $K$ que tiene la siguiente propiedad: para alguna base, la función $q$ que mapea las coordenadas de $v$ $\in$ $V$ a $Q$ $($ $v$ $)$ es una forma cuadrática. En particular, si $V$ $=$ $K$ $n$ con su base estándar , se tiene $q(v_{1},\ldots ,v_{n})=Q([v_{1},\ldots ,v_{n}])\quad {\text{for}}\quad [v_{1},\ldots ,v_{n}]\in K^{n}.$

Las fórmulas de cambio de base muestran que la propiedad de ser una forma cuadrática no depende de la elección de una base específica en $V$ , aunque la forma cuadrática $q$ depende de la elección de la base.

Un espacio vectorial de dimensión finita con forma cuadrática se denomina espacio cuadrático .

La función $Q$ es una función homogénea de grado 2, lo que significa que tiene la propiedad de que, para todo $a$ en $K$ y $v$ en $V$ : $Q(av)=a^{2}Q(v).$

Cuando la característica de $K$ no es 2, la función bilineal $B : V \times V \to K$ sobre $K$ se define: Esta forma bilineal $B$ es simétrica. Es decir, $B$ $($ $x$ $,$ $y$ $) =$ $B$ $($ $y$ $,$ $x$ $)$ para todo $x$ , $y$ en $V$ , y determina $Q$ : $Q$ $($ $x$ $) =$ $B$ $($ $x$ $,$ $x$ $)$ para todo $x$ en $V$ . $B(v,w)={\tfrac {1}{2}}(Q(v+w)-Q(v)-Q(w)).$

Cuando la característica de $K$ es 2, de modo que 2 no es una unidad , todavía es posible utilizar una forma cuadrática para definir una forma bilineal simétrica $B'(x, y) = Q (x + y) - Q (x) - Q (y)$ . Sin embargo, $Q (x)$ ya no se puede recuperar de este $B'$ de la misma manera, ya que $B'(x, x) = 0$ para todo $x$ (y por lo tanto es alternante). ^[8] Alternativamente, siempre existe una forma bilineal $B ″$ (en general ni única ni simétrica) tal que $B ″(x, x) = Q (x)$ .

El par $(V, Q)$ que consiste en un espacio vectorial de dimensión finita $V$ sobre $K$ y una función cuadrática $Q$ de $V$ a $K$ se denomina espacio cuadrático , y $B$ , como se define aquí, es la forma bilineal simétrica asociada de $Q.$ La noción de espacio cuadrático es una versión sin coordenadas de la noción de forma cuadrática. A veces, $a Q$ también se le denomina forma cuadrática.

Dos espacios cuadráticos $n$ $-dimensionales (V, Q)$ y $(V', Q')$ son isométricos si existe una transformación lineal invertible $T : V \to V'$ ( isometría ) tal que $Q(v)=Q'(Tv){\text{ for all }}v\in V.$

Las clases de isometría de espacios cuadráticos $n -dimensionales sobre$ $K$ corresponden a las clases de equivalencia de formas cuadráticas $n$ - arias sobre $K.$

Generalización

Sea $R$ un anillo conmutativo , $M$ un $R$ - módulo y $b : M \times M \to R$ una forma $R$ -bilineal. ^[9] Una aplicación $q : M \to R : v \mapsto b (v, v)$ es la forma cuadrática asociada de $b$ , y $B : M \times M \to R : (u, v) \mapsto q (u + v) - q (u) - q (v)$ es la forma polar de $q$ .

Una forma cuadrática $q : M \to R$ puede caracterizarse de las siguientes maneras equivalentes:

Existe una forma $R -bilineal$ $b : M \times M \to R$ tal que $q (v)$ es la forma cuadrática asociada.
$q (av) = a 2 q (v)$ para todos $a \in R$ y $v \in M$ , y la forma polar de $q$ es $R$ -bilineal.

Conceptos relacionados

Dos elementos $v$ y $w$ de $V$ se denominan ortogonales si $B (v, w) = 0$ . El núcleo de una forma bilineal $B$ consiste en los elementos que son ortogonales a cada elemento de $V$ . $Q$ no es singular si el núcleo de su forma bilineal asociada es ${0}$ . Si existe un $v$ distinto de cero en $V$ tal que $Q (v) = 0$ , la forma cuadrática $Q$ es isótropa ; de lo contrario, es definida . Esta terminología también se aplica a vectores y subespacios de un espacio cuadrático. Si la restricción de $Q$ a un subespacio $U$ de $V$ es idénticamente cero, entonces $U$ es totalmente singular .

El grupo ortogonal de una forma cuadrática no singular $Q$ es el grupo de los automorfismos lineales de $V$ que preservan $Q$ : es decir, el grupo de isometrías de $(V, Q)$ en sí mismo.

Si un espacio cuadrático $(A, Q)$ tiene un producto tal que $A$ es un álgebra sobre un cuerpo y satisface entonces es un álgebra de composición . $\forall x,y\in A\quad Q(xy)=Q(x)Q(y),$

Equivalencia de formas

Toda forma cuadrática $q$ en $n$ variables sobre un cuerpo de característica no igual a 2 es equivalente a una forma diagonal $q(x)=a_{1}x_{1}^{2}+a_{2}x_{2}^{2}+\cdots +a_{n}x_{n}^{2}.$

Esta forma diagonal se suele denotar por $⟨ a 1, ..., a n ⟩$ . La clasificación de todas las formas cuadráticas hasta la equivalencia se puede reducir al caso de las formas diagonales.

Significado geométrico

Utilizando coordenadas cartesianas en tres dimensiones, sea $x = (x, y, z) T$ , y sea $A$ una matriz simétrica de 3 por 3. Entonces, la naturaleza geométrica del conjunto solución de la ecuación $x T A x + b T x = 1$ depende de los valores propios de la matriz $A$ .

Si todos los valores propios de $A$ son distintos de cero, entonces el conjunto solución es un elipsoide o un hiperboloide . ^{[ cita requerida ]} Si todos los valores propios son positivos, entonces es un elipsoide; si todos los valores propios son negativos, entonces es un elipsoide imaginario (obtenemos la ecuación de un elipsoide pero con radios imaginarios); si algunos valores propios son positivos y otros son negativos, entonces es un hiperboloide.

Si existen uno o más valores propios $λ i = 0$ , entonces la forma depende del correspondiente $b i$ . Si el correspondiente $b i \neq 0$ , entonces el conjunto solución es un paraboloide (ya sea elíptico o hiperbólico); si el correspondiente $b i = 0$ , entonces la dimensión $i$ degenera y no entra en juego, y el significado geométrico estará determinado por otros valores propios y otros componentes de $b$ . Cuando el conjunto solución es un paraboloide, si es elíptico o hiperbólico se determina por si todos los demás valores propios distintos de cero son del mismo signo: si lo son, entonces es elíptico; de lo contrario, es hiperbólico.

Formas cuadráticas integrales

Las formas cuadráticas sobre el anillo de números enteros se denominan formas cuadráticas integrales , mientras que los módulos correspondientes son retículos cuadráticos (a veces, simplemente retículos ). Desempeñan un papel importante en la teoría de números y la topología .

Una forma cuadrática integral tiene coeficientes enteros, como $x 2 + xy + y 2$ ; equivalentemente, dada una red $Λ$ en un espacio vectorial $V$ (sobre un campo con característica 0, como $Q$ o $R$ ), una forma cuadrática $Q$ es integral con respecto a $Λ$ si y solo si tiene un valor entero en $Λ$ , lo que significa $Q (x, y) \in Z$ si $x, y \in Λ$ .

Éste es el uso actual del término; en el pasado a veces se utilizaba de forma diferente, como se detalla a continuación.

Uso histórico

Históricamente hubo cierta confusión y controversia sobre si la noción de forma cuadrática integral debería significar:

dos en: la forma cuadrática asociada a una matriz simétrica con coeficientes enteros
dos fuera: un polinomio con coeficientes enteros (por lo que la matriz simétrica asociada puede tener coeficientes semienteros fuera de la diagonal)

Este debate se debió a la confusión de formas cuadráticas (representadas por polinomios) y formas bilineales simétricas (representadas por matrices), y "dos fuera" es ahora la convención aceptada; "dos dentro" es en cambio la teoría de formas bilineales simétricas integrales (matrices simétricas integrales).

En "twos in", las formas cuadráticas binarias son de la forma $ax 2 + 2 bxy + cy 2$ , representadas por la matriz simétrica. Esta es la convención que Gauss usa en Disquisitiones Arithmeticae . ${\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}}$

En "twos out", las formas cuadráticas binarias tienen la forma $ax 2 + bxy + cy 2$ , representadas por la matriz simétrica ${\begin{pmatrix}a&b/2\\b/2&c\end{pmatrix}}.$

Varios puntos de vista indican que se ha adoptado la convención estándar de dos puntos . Entre ellos se incluyen:

mejor comprensión de la teoría 2-ádica de las formas cuadráticas, la fuente "local" de la dificultad;
el punto de vista reticular , que fue generalmente adoptado por los expertos en aritmética de formas cuadráticas durante la década de 1950;
las necesidades reales de la teoría de la forma cuadrática integral en topología para la teoría de intersecciones ;
El grupo de Lie y los aspectos del grupo algebraico .

Formas cuadráticas universales

Una forma cuadrática integral cuya imagen consiste en todos los números enteros positivos se denomina a veces universal . El teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange muestra que $w 2 + x 2 + y 2 + z 2$ es universal. Ramanujan generalizó este $aw 2 + bx 2 + cy 2 + dz 2$ y encontró 54 multiconjuntos ${a, b, c, d}$ que pueden generar todos los números enteros positivos, a saber,

${1, 1, 1, d}, 1 \leq d \leq 7$
${1, 1, 2, d}, 2 \leq d \leq 14$
${1, 1, 3, d}, 3 \leq d \leq 6$
${1, 2, 2, d}, 2 \leq d \leq 7$
${1, 2, 3, d}, 3 \leq d \leq 10$
${1, 2, 4, d}, 4 \leq d \leq 14$
${1, 2, 5, d}, 6 \leq d \leq 10$

También existen formas cuya imagen está formada por todos los números enteros positivos menos uno. Por ejemplo, ${1, 2, 5, 5}$ tiene como excepción el 15. Recientemente, los teoremas 15 y 290 han caracterizado por completo las formas cuadráticas integrales universales: si todos los coeficientes son números enteros, entonces representa todos los números enteros positivos si y solo si representa todos los números enteros hasta 290; si tiene una matriz integral, representa todos los números enteros positivos si y solo si representa todos los números enteros hasta 15.

Véase también

Notas

^ Una tradición que se remonta a Gauss dicta el uso de coeficientes manifiestamente pares para los productos de variables distintas, es decir, $2 b$ en lugar de $b$ en formas binarias y $2 b$ , $2 d$ , $2 f$ en lugar de $b$ , $d$ , $f$ en formas ternarias. Ambas convenciones aparecen en la literatura.
^ lejos de 2 , es decir, si 2 es invertible en el anillo, las formas cuadráticas son equivalentes a las formas bilineales simétricas (por las identidades de polarización ), pero en 2 son conceptos diferentes; esta distinción es particularmente importante para las formas cuadráticas sobre los números enteros.
^ Pitágoras babilónico
^ Biografía de Brahmagupta
^ Maxime Bôcher (con EPR DuVal) (1907) Introducción al álgebra superior , § 45 Reducción de una forma cuadrática a una suma de cuadrados a través de HathiTrust
^ Si se cumple una desigualdad no estricta (con ≥ o ≤), entonces la forma cuadrática $q$ se llama semidefinida.
^ La teoría de formas cuadráticas sobre un cuerpo de característica 2 tiene diferencias importantes y muchas definiciones y teoremas deben modificarse.
^ Esta forma alternada asociada con una forma cuadrática en la característica 2 es de interés en relación con el invariante Arf – Irving Kaplansky (1974), Álgebra lineal y geometría , pág. 27.
^ La forma bilineal a la que se asocia una forma cuadrática no está restringida a ser simétrica, lo cual es significativo cuando 2 no es una unidad en $R.$

Referencias

O'Meara, OT (2000), Introducción a las formas cuadráticas , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-66564-9
Conway, John Horton ; Fung, Francis YC (1997), La forma sensual (cuadrática) , Monografías matemáticas de Carus, Asociación Matemática de Estados Unidos, ISBN 978-0-88385-030-5
Shafarevich, IR ; Remizov, AO (2012). Álgebra lineal y geometría. Springer . ISBN 978-3-642-30993-9.

Lectura adicional

Cassels, JWS (1978). Formas cuadráticas racionales . Monografías de la London Mathematical Society. Vol. 13. Academic Press . ISBN. 0-12-163260-1.Zbl 0395.10029 .
Kitaoka, Yoshiyuki (1993). Aritmética de formas cuadráticas . Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 106. Cambridge University Press. ISBN. 0-521-40475-4.Zbl 0785.11021 .
Lam, Tsit-Yuen (2005). Introducción a las formas cuadráticas sobre cuerpos . Estudios de posgrado en matemáticas . Vol. 67. American Mathematical Society . ISBN. 0-8218-1095-2.MR 2104929.Zbl 1068.11023 .
Milnor, J .; Husemoller, D. (1973). Formas bilineales simétricas . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . vol. 73. Springer-Verlag . ISBN 3-540-06009-X.Zbl 0292.10016 .
O'Meara, OT (1973). Introducción a las formas cuadráticas . Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 117. Springer-Verlag . ISBN 3-540-66564-1.Zbl 0259.10018 .
Pfister, Albrecht (1995). Formas cuadráticas con aplicaciones a la geometría algebraica y la topología . Serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society. Vol. 217. Cambridge University Press . ISBN 0-521-46755-1.Zbl 0847.11014 .

Enlaces externos

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con Formas cuadráticas .

AVMalyshev (2001) [1994], "Forma cuadrática", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
AVMalyshev (2001) [1994], "Forma cuadrática binaria", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press