Forma bilineal simétrica

En matemáticas , una forma bilineal simétrica en un espacio vectorial es una función bilineal que asigna dos copias del espacio vectorial al campo de escalares de modo que el orden de los dos vectores no afecte el valor de la función. En otras palabras, es una función bilineal que asigna cada par de elementos del espacio vectorial al campo subyacente de modo que para cada y en . También se las denomina de manera más breve simplemente formas simétricas cuando se entiende "bilineal". ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (u,v)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle B(u,v)=B(v,u)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle V}$

Las formas bilineales simétricas en espacios vectoriales de dimensión finita corresponden precisamente a matrices simétricas dada una base para V. Entre las formas bilineales, las simétricas son importantes porque son aquellas para las cuales el espacio vectorial admite un tipo de base particularmente simple conocida como base ortogonal (al menos cuando la característica del campo no es 2).

Dada una forma bilineal simétrica B , la función q ( x ) = B ( x , x ) es la forma cuadrática asociada en el espacio vectorial. Además, si la característica del campo no es 2, B es la única forma bilineal simétrica asociada con q .

Definición formal

Sea V un espacio vectorial de dimensión n sobre un cuerpo K. Una función es una forma bilineal simétrica en el espacio si: ${\displaystyle B:V\times V\rightarrow K}$

• ${\displaystyle B(u,v)=B(v,u)\ \quad \forall u,v\in V}$
• ${\displaystyle B(u+v,w)=B(u,w)+B(v,w)\ \quad \forall u,v,w\in V}$
• ${\displaystyle B(\lambda v,w)=\lambda B(v,w)\ \quad \forall \lambda \in K,\forall v,w\in V}$

Los dos últimos axiomas sólo establecen linealidad en el primer argumento, pero el primer axioma (simetría) implica inmediatamente linealidad también en el segundo argumento.

Ejemplos

Sea V = R ⁿ , el espacio vectorial real de n dimensiones. Entonces, el producto escalar estándar es una forma bilineal simétrica, B ( x , y ) = x ⋅ y . La matriz correspondiente a esta forma bilineal (ver más abajo) sobre una base estándar es la matriz identidad.

Sea V cualquier espacio vectorial (incluso los de dimensión infinita) y supongamos que T es una función lineal desde V hasta el campo. Entonces, la función definida por B ( x , y ) = T ( x ) T ( y ) es una forma bilineal simétrica.

Sea V el espacio vectorial de funciones reales continuas de una variable. Para se puede definir . Por las propiedades de las integrales definidas , esto define una forma bilineal simétrica en V . Este es un ejemplo de una forma bilineal simétrica que no está asociada a ninguna matriz simétrica (ya que el espacio vectorial es de dimensión infinita). ${\displaystyle f,g\in V}$ ${\displaystyle \textstyle B(f,g)=\int _{0}^{1}f(t)g(t)dt}$

Representación matricial

Sea una base para V . Definamos la matriz A de n × n por . La matriz A es una matriz simétrica exactamente debido a la simetría de la forma bilineal. Si hacemos que la matriz x de n × 1 represente el vector v con respecto a esta base, y de manera similar hacemos que la matriz y de n × 1 represente el vector w , entonces está dada por : ${\displaystyle C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$ ${\displaystyle A_{ij}=B(e_{i},e_{j})}$ ${\displaystyle B(v,w)}$

${\displaystyle x^{\mathsf {T}}Ay=y^{\mathsf {T}}Ax.}$

Supongamos que C' es otra base para V , con : con S una matriz n × n invertible . Ahora la nueva representación matricial para la forma bilineal simétrica está dada por ${\displaystyle {\begin{bmatrix}e'_{1}&\cdots &e'_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}e_{1}&\cdots &e_{n}\end{bmatrix}}S}$

${\displaystyle A'=S^{\mathsf {T}}AS.}$

Ortogonalidad y singularidad

Se definen dos vectores v y w como ortogonales con respecto a la forma bilineal B si B ( v , w ) = 0 , lo cual, para una forma bilineal simétrica, es equivalente a B ( w , v ) = 0 .

El radical de una forma bilineal B es el conjunto de vectores ortogonales a todo vector en V . Que éste es un subespacio de V se deduce de la linealidad de B en cada uno de sus argumentos. Cuando se trabaja con una representación matricial A respecto de una base determinada, v , representada por x , está en el radical si y sólo si

${\displaystyle Ax=0\Longleftrightarrow x^{\mathsf {T}}A=0.}$

La matriz A es singular si y sólo si el radical no es trivial.

Si W es un subconjunto de V , entonces su complemento ortogonal W ^⊥ es el conjunto de todos los vectores en V que son ortogonales a cada vector en W ; es un subespacio de V . Cuando B no es degenerado, el radical de B es trivial y la dimensión de W ^⊥ es dim( W ^⊥ ) = dim( V ) − dim( W ) .

Base ortogonal

Una base es ortogonal con respecto a B si y sólo si: ${\displaystyle C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$

${\displaystyle B(e_{i},e_{j})=0\ \forall i\neq j.}$

Cuando la característica del campo no es dos, V siempre tiene una base ortogonal. Esto se puede demostrar por inducción .

Una base C es ortogonal si y sólo si la representación matricial A es una matriz diagonal .

Ley de inercia y firma de Sylvester

En una forma más general, la ley de inercia de Sylvester dice que, cuando se trabaja sobre un cuerpo ordenado , los números de elementos diagonales en la forma diagonalizada de una matriz que son positivos, negativos y cero respectivamente son independientes de la base ortogonal elegida. Estos tres números forman la firma de la forma bilineal.

Caso real

Cuando se trabaja en un espacio sobre los reales, se puede ir un poco más allá. Sea una base ortogonal. ${\displaystyle C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$

Definimos una nueva base ${\displaystyle C'=\{e'_{1},\ldots ,e'_{n}\}}$

${\displaystyle e'_{i}={\begin{cases}e_{i}&{\text{if }}B(e_{i},e_{i})=0\\{\frac {e_{i}}{\sqrt {B(e_{i},e_{i})}}}&{\text{if }}B(e_{i},e_{i})>0\\{\frac {e_{i}}{\sqrt {-B(e_{i},e_{i})}}}&{\text{if }}B(e_{i},e_{i})<0\end{cases}}}$

Ahora, la nueva representación matricial A será una matriz diagonal con solo 0, 1 y −1 en la diagonal. Los ceros aparecerán si y solo si el radical no es trivial.

Caso complejo

Cuando se trabaja en un espacio sobre números complejos, se puede ir más allá y es aún más fácil. Sea una base ortogonal. ${\displaystyle C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$

Definimos una nueva base  : ${\displaystyle C'=\{e'_{1},\ldots ,e'_{n}\}}$

${\displaystyle e'_{i}={\begin{cases}e_{i}&{\text{if }}\;B(e_{i},e_{i})=0\\e_{i}/{\sqrt {B(e_{i},e_{i})}}&{\text{if }}\;B(e_{i},e_{i})\neq 0\\\end{cases}}}$

Ahora, la nueva representación matricial A será una matriz diagonal con solo 0 y 1 en la diagonal. Los ceros aparecerán si y solo si el radical no es trivial.

Polaridades ortogonales

Sea B una forma bilineal simétrica con un radical trivial en el espacio V sobre el cuerpo K con característica distinta de 2. Ahora se puede definir una función desde D( V ), el conjunto de todos los subespacios de V , hacia sí mismo:

${\displaystyle \alpha :D(V)\rightarrow D(V):W\mapsto W^{\perp }.}$

Esta función es una polaridad ortogonal en el espacio proyectivo PG( W ). A la inversa, se puede demostrar que todas las polaridades ortogonales se inducen de esta manera, y que dos formas bilineales simétricas con radical trivial inducen la misma polaridad si y solo si son iguales hasta la multiplicación escalar.

Referencias

• Adkins, William A.; Weintraub, Steven H. (1992). Álgebra: un enfoque a través de la teoría de módulos . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 136. Springer-Verlag . ISBN. 3-540-97839-9.Zbl 0768.00003  .
• Milnor, J .; Husemoller, D. (1973). Formas bilineales simétricas . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . vol. 73. Springer-Verlag . ISBN 3-540-06009-X.Zbl 0292.10016  .
• Weisstein, Eric W. "Forma bilineal simétrica". MathWorld .